é m m a i r e de T h é o r i e des Nombres.
- Besançon -
Année 1974 - 1975
Q U E L Q U E S C A R A C T E R E S U T I L E S A L ' A R I T H M E T I Q U E .
B e r n a r d ORIAT
F a c u l t é d e s S c i e n c e s . Mathématique 25030 BESANCON CEDEX
QUELQUES C A R A C T E R E S U T I L E S A L ' A R I T H M E T I Q U E
par B e r n a r d ORIAT .
Introduction
Le p r é s e n t exposé n ' a pas la p r é t e n t i o n de t r a i t e r de que s - tions o r i g i n a l e s . Nous avons voulu p r é s e n t e r des notions de c a r a c t è r e s couramment u t i l i s é e s p a r Leopoldt et s u r l e s q u e l l e s r e p o s e e n t r e a u t r e s , l ' a r t i c l e intitulé : U b e r Einheitengruppe und Klassenzahl a b e l s c h e r
Z a h l k o r p e r [ 5 l • Celui-ci f e r a l ' o b j e t d'un a u t r e exposé .
Les o u v r a g e s t r a i t a n t des r e p r é s e n t a t i o n s des g r o u p e s sont nombreux . Nous avons limité nos r é f é r e n c e s à [ l ] , [ 2 ] et [ 8 ] .
Mais il faut avouer qu'il y a une c e r t a i n e distance e n t r e les g é n é r a l i t é s e x p o s é e s dans c e s l i v r e s et l'emploi qu'il en e s t fait dans [ 5 ] . P a r e x - emple, dans [ 2 ] et [ 8 ] l e s définitions et p r e m i è r e s p r o p r i é t é s sont don- n é e s avec le c o r p s d e s nombres complexes comme « c o r p s de base >:> , a l o r s que dans [ 5 l ne sont u t i l i s é s que des c a r a c t è r e s s u r le c o r p s des nombres r a t i o n n e l s . En fait , l e s c a r a c t è r e s complexes et l e s c a r a c t e - r e s r a t i o n n e l s d'un groupe sont r e l i é s p a r la notion de - conjugaison . C e l l e - c i e s t t r a i t é e dans le c h a p i t r e II § 12 et 13 de [ 8 ] , mais cela est vu sous un angle g é n é r a l , a l o r s que dans [ 5 ] , il n ' e s t question que de g r o u p e s commutatifs et dans ce c a d r e r e s t r e i n t les c h o s e s peuvent ê t r e d i s s é q u é e s élémentairement .
Nous d i s t i n g u e r o n s cinq p a r t i e s :
Dans la p r e m i è r e il s e r a question de la s t r u c t u r e de l ' a l g è b r e Q[G] et des c a r a c t è r e s de G s u r Q ( G étant un groupe abélien fini ) . Nous mon- t r e r o n s dans la deuxième que d e s r é s u l t a t s analogues peuvent ê t r e énon- c é s pour l ' a l g è b r e Q^CG] et pour l e s c a r a c t è r e s de G s u r Q^ . Dans la t r o i s i è m e , on t r a i t e r a de l ' a l g è b r e Z [ G ] et de c e r t a i n s de s e s modules.
Dans la quatrième , s e r o n t i n t r o d u i t s l e s c a r a c t è r e s r é s i d u e l s . Cette notion r e p o s e e s s e n t i e l l e m e n t s u r le théorème de K r o n e c k e r - W e b e r . Il s ' a g i t de c a r a c t è r e s qui c a r a c t é r i s e n t ( ! ) l e s extensions abéliennes de Q . Cette p a r t i e e s t p r e s q u e indépendante des p r é c é d e n t e s . Enfin dans la cinquième , nous e s s a y e r o n s d ' u t i l i s e r l e s notions p r é s e n t é e s aupa - r a v a n t pour décomposer le p - s o u s - g r o u p e de Sylow du groupe des c l a s s e s d ' e x t e n s i o n s abéliennes de d e g r é p r e m i e r à p .
Nous s u p p o s e r o n s connues l e s notions de b a s e :
c ' e s t - à - d i r e c e l l e s contenues d a n s le c h a p i t r e I de [ 8 ] ( ou dans l e s c h a p i t r e s I à V de [ 2 ] ) . Nous e s s a y e r o n s de p r é s e n t e r c e s q u e s t i o n s de la façon la plus é l é m e n t a i r e .
1
C a r a c t è r e s s u r le c o r p s d e s r a t i o n n e l s .
1) N o t a t i o n s . R a p p e l s . On d é s i g n e p a r G un groupe abélien fini d ' o r - d r e g et p a r K un c o r p s de c a r a c t é r i s t i q u e 0 . Rappelons rapidement les d é f i n i t i o n s e s s e n t i e l l e s ( [83 ch I § 1 et ch II § 6 ) . Une r e p r é s e n t a t i o n l i n é a i r e de G s u r un c o r p s K e s t un homomorphisme p de G dans le g r o u - pe l i n é a i r e d ' u n e s p a c e v e c t o r i e l V de dimension finie s u r K :
p : G - G L ( V ) a - pa .
Il lui e s t a s s o c i é une s t r u c t u r e de K [ G ] - m o d u l e s u r V ainsi définie : Si T, a a e s t un élément de K [ G ] , l ' a c t i o n de K [ G ] s u r V est donnée a € G a
p a r :
C ^c t G a t G aaCT ' 0 —> aa pa( x ) •
R é c i p r o q u e m e n t , si V e s t un K - e s p a c e v e c t o r i e l de dimension finie et si V e s t muni d'une s t r u c t u r e de K[ G]-module , a l o r s d é f i n i s s o n s pour tout a de G , pa comme étant l ' a p p l i c a t i o n de V dans V telle que PC T( x ) = o x ;
c e t t e a p p l i c a t i o n e s t un automorphisme de V et p : G -• GL ( V ) e s t u n e r e - p r é s e n t a t i o n l i n é a i r e de G s u r K . Se d o n n e r une r e p r é s e n t a t i o n de G s u r K e s t donc équivalent à se d o n n e r un K [ G ] - m o d u l e et r é c i p r o q u e m e n t .
On dit que deux r e p r é s e n t a t i o n s l i n é a i r e s de G s u r K sont i s o - m o r p h e s si e l l e s c o r r e s p o n d e n t à d e s K [ G ] - m o d u l e s i s o m o r p h e s .
Soit k l ' a p p l i c a t i o n de G d a n s K qui a s s o c i e à tout a de G la t r a c e de Pa . Rappelons que la p r o p r i é t é e s s e n t i e l l e de h e s t de c a r a c - t é r i s e r ( à un i s o m o r p h i s m e p r è s ) la r e p r é s e n t a t i o n p ou le K[ G]-module V . On d i r a que k e s t le c a r a c t è r e de la r e p r é s e n t a t i o n p , ou le c a r a c - t è r e du K [ G ] - m o d u l e V , ou e n c o r e plus b r i è v e m e n t , que H e s t un c a r a c - t è r e de G s u r K . C ' e s t donc la définition donnée en [ 8 l , ch 1 § 2 , à c e - ci p r è s que nous ne s u p p o s o n s p a s K = C .
Si V p o s s è d e deux K [ G ] - s o u s - m o d u l e s V' et V" non réduits à 0 et tels que V = V' © V" , on dit que V est décomposable . Si p* et p" sont les r e p r é s e n t a t i o n s de G s u r K c o r r e s p o n d a n t à V' et V" on dit que P est somme d i r e c t e de p1 et p" . Si H1 et H" sont l e s c a r a c t è r e s r e s p e c t i f s de V* et V" , on v é r i f i e que n est la somme de H' et H" .
Si V n ' e s t pas décomposable , on dit que V e s t un K[G]-mo - dule simple . La r e p r é s e n t a t i o n p c o r r e s p o n d a n t e e s t dite i r r é d u c t i b l e et le c a r a c t è r e k i r r é d u c t i b l e s u r K ( [ 8 ] c h l § 2 ) . Tout K[ G]-module e s t somme d i r e c t e de K [ G ] - m o d u l e s simples ; c e u x - c i sont uniques ( à un isomorphisme p r è s ) . 11 r e v i e n t au même de dire que toute r e p r é s e n - tation de G s u r K est somme d i r e c t e de r e p r é s e n t a t i o n s i r r é d u c t i b l e s de G s u r K . On en déduit qu'un c a r a c t è r e de G s u r K s ' é c r i t d'une façon et d'une seule comme combinaison l i n é a i r e à c o e f f i c i e n t s e n t i e r s positifs de c a r a c t è r e s de G i r r é d u c t i b l e s s u r K .
Rappelons a u s s i qu'un idéal minimal de K[G] e s t un K[G] - module simple et que r é c i p r o q u e m e n t , tout K[G]-module simple est i s o - morphe à un idéal minimal de K [ G ] .
Soit ï l'ensemble des c a r a c t è r e s i r r é d u c t i b l e s de G s u r C ( on d i r a a u s s i c a r a c t è r e s complexes de G ) . Ses éléments s e r o n t notés K , f , ... Ce sont l e s homomorphisme s de G dans le groupe multiplicatif des n o m b r e s complexes de module 1 . Cet ensemble 3£ , muni de la loi de composition ainsi définie : ( k i|f ) ( a ) = x ( a ) KCT ) pour tout a de G , est un groupe . On n o t e r a g^ l ' o r d r e de x . Cette quantité e s t a u s s i égale à
l ' o r d r e de x( G) .
Nous appellerons quelquefois S le dual de G et nous adopte - r o n s a l o r s la notation GA au lieu de I . En effet il existe e n t r e G et GA
des p r o p r i é t é s de dualité c l a s s i q u e s .
Nous d é s i g n e r o n s p a r : orthogonal du s o u s - g r o u p e S de G , l ' e n s e m b l e :
S = { K ; k € X ; h(ct) = 1 pour tout a € S } , et orthogonal d'un s o u s - g r o u p e § de ï , l'ensemble :
$ = { G ; a 6 G ; x ( a ) = 1 pour tout k € $ } i.
11 y a d e s isomorphismes canoniques e n t r e ( G / S )A et S , entre SA et
-L -L
l / S , e n t r e ( G / f ) et $ etc ... que nous ne d é t a i l l e r o n s pas . On peut v o i r p a r exemple [ 7 ] , ch III .
2) Décomposition de l ' a l g è b r e Q[G] ( Le groupe G est t o u j o u r s abé - lien ) .
Lemme . Soient H et i|i deux éléments de 3E .
Les s o u s - g r o u p e s de I e n g e n d r é s p a r H et I|I sont égaux si et seulement si les noyaux de k et i) sont égaux .
La d é m o n s t r a t i o n r e p o s e s u r l e s p r o p r i é t é s de dualité exis - _L tant e n t r e ï et G , Si § e s t un s o u s - g r o u p e de ï , désignons p a r $ l ' o r t h o g o n a l de $ . L ' a p p l i c a t i o n $ $ r é a l i s e une bijection de l ' e n - semble d e s s o u s - g r o u p e s de I s u r l ' e n s e m b l e des s o u s - g r o u p e s de G et Ker K est l ' o r t h o g o n a l du s o u s - g r o u p e e n g e n d r é p a r H .
Définitions . Deux éléments H et i|r de H s e r o n t dits T- conjugués si et seulement si k et i|r e n g e n d r e n t le même s o u s - g r o u p e de ï . ( Il s ' agit donc de la Tq - c o n j u g a i s o n de S e r r e , [ 8 ] , ch II , § 12 ) . On désigne p a r H1 la c l a s s e de H modulo c e t t e r e l a t i o n d ' é q u i v a l e n c e et p a r 3E' l ' e n - semble de c e s c l a s s e s d ' é q u i v a l e n c e . P o u r tout K de ï , on p o s e r a ( g étant l ' o r d r e du groupe G ) e = - L ) o et e ,= E e,
K g a 6 G K ^
Si k et tji sont F - c o n j u g u é s , g^ et g^ sont égaux . On p o s e r a g^, = g^ . P r o p o s i t i o n 1 a . L ' e n s e m b l e d e s e^, , H' p a r c o u r a n t ï* , est un sys - tème d ' i d e m p o t e n t s orthogonaux et p r i m i t i f s de l ' a l g è b r e Q[G] . La dé - composition de c e t t e a l g è b r e en somme d i r e c t e d'idéaux minimaux e s t Q[G] = © Q[G] e , . L ' i d é a l Q [ G ] e , e s t un anneau d'élément neu -
H ' e r K K
t r e e , , i s o m o r p h e au c o r p s cyclotcmique Q d é m o n s t r a t i o n
Soit K a p p a r t e n a n t à I . On a :
k' = {k^ ; ( k , g^ ) = 1 } et p o u r tout a de G , n(a ) est une r a c i n e g ^m e de 1 . Comme le groupe de Galois de Q /Q e s t isomorphe à ( Z / g ^ Z ) ^ , on en déduit que L i i ( o ) = T r , (H( a ) ) a p p a r t i e n t à Q . Donc
il» € k ' « ^ /„
e^, appartient à Q[G] . D ' a u t r e p a r t l'ensemble des e^ , k p a r c o u r a n t ï , est un système d'idempotents orthogonaux de C[G] , c ' e s t - à - d i r e que :
2
eK = eK '
e ^ = 0 s i n / t ,
1 = •
k e i
On en déduit que l'ensemble des e , , K' p a r c o u r a n t ï1 , e s t un système d'idempotents orthogonaux de Q[G] , c ' e s t - à - d i r e que :
2
ex« = ex ' '
eH, er = 0 si k' ^ r , 1= L e , .
x ' € I '
L ' a l g è b r e Q[G] est donc somme d i r e c t e des idéaux e n g e n d r é s p a r e , : Q[ G] = © Q[ G] eu , .
Notons e n c o r e x l ' a p p l i c a t i o n déduite de x p a r Q - linéa - r i t é :
(S x}
x : Q[G] — > Q ,
c ' e s t - à - d i r e telle que x( E a a ) = E a x ( a ) . Il s ' a g i t d'un 0 - a 6 G a 6 G
homomorphisme d'anneaux s u r j e c t i f . Montrons que x ( e , ) = 1 . Nous avons :
x( e , ) = — E E xk( a -1) x ( a ) . g a 6 G ( k , gK) - l
Soit AQ un élément de G , tel que X(<J^) engendre x ( G ) . Nous a u r o n s a l o r s :
x ( e , ) = ( | Ker H | / g ) E £ xk( a "u) x ( a ^ )
K - - - l ( ku l g K) - l
S*
s o i t : x ( ew l) = ( | K e r x | / g ) E E x ( a )u ( 1"k ) .
* ( k ^ - l
Or la d e r n i è r e somme e s t égale à g^ si k = 1 , sinon à 0 . D'où x ( eK, ) = 1 . On en déduit que la r e s t r i c t i o n de x à l ' i d é a l Q[G] e^, est
e n c o r e une application s u r j e c t i v e . P o u r montrer que cette application est injective , on peut s ' a p p u y e r s u r des c o n s i d é r a t i o n s de dimension : En effet :
dim^ © Q - 1*1 = • . k1 G x x. £ £
D'où l'on déduit que d i m Q Q [ G ] e ^ , = cp(g^) et que la r e s - t r i c t i o n de H à Q [ G ] e , est un isomorphisme :
( g * . ) Q[G] i ~ Q
Exemple : Si G est cyclique , l ' a p p l i c a t i o n H'-* g^, r é a l i s e une bijec - tion de ï ' s u r l'ensemble des d i v i s e u r s de g et on a :
Q[G] * © . dlfi
Remarque . Nous avons u t i l i s é la r e l a t i o n x,(e , ) = 1 . Nous avons également h( e^, ) = 0 si k n ' a p p a r t i e n t pas à \|f ' .
3 ) Calcul d e s c a r a c t è r e s de G s u r Q . Soit H' le c a r a c t è r e i r r é d u c - tible de G s u r Q c o r r e s p o n d a n t à l ' i d é a l minimal Q[G] e , de Q[G] . Si a a p p a r t i e n t à G , K'(CT) e s t donc la t r a c e du Q-endomorphisme de Q[G] e , : x -* a x . Etendons le c o r p s des s c a l a i r e s Q de cet e s p a c e v e c t o r i e l à C . Nous obtenons a l o r s l ' e s p a c e v e c t o r i e l C [ G ] e , qui a pour b a s e • Utilisant a l o r s la r e l a t i o n a eR = X-(c)eK , nous voyons que la m a t r i c e de l'endomorphisme x - ax de C[G] e^, e s t la m a t r i c e diagonale :
A
/ * ( o )
i
où i|r p a r c o u r t la T - c l a s s e de k . On a donc h ' ( c ) = L i i ( a ) , soit i/ € K '
pour a b r é g e r : H' = £ ty . L'application X' -» X! r é a l i s e une bi- i|r € K •
jection canonique de ï ' s u r l'ensemble des c a r a c t è r e s r a t i o n n e l s de G . Nous avons démontré :
P r o p o s i t i o n Ib . L'ensemble des c a r a c t è r e s i r r é d u c t i b l e s de G s u r Q c o r r e s p o n d bijectivement à l'ensemble ï ' des T - c l a s s e s de X . On confon- dra d é s o r m a i s la F - c l a s s e K' de K avec le c a r a c t è r e H' . On a a l o r s les formules :
= • L y , 1|| € H*
K' = T r ( e ) '
Q / Q
e I L K ' C a ' b a .
K g a G G
II
C a r a c t è r e s s u r le c o r p s d e s nombres p - a d i q u e s .
Soient p un nombre p r e m i e r , n un e n t i e r . E c r i v o n s le sous la forme n = pa m , avec p ne divisant pas m .
On a un isom.orph.isme canonique :
( Z /nZ )* ss ( Z / paZ )* x ( Z / mZ )* .
Si ( p ) désigne le s o u s - g r o u p e de (Z/mZ )* engendré p a r la c l a s s e de p modulo m , soit le s o u s - g r o u p e de ( Z / n Z ) * c o r r e s p o n d a n t à ( Z / paZ ) * x <p> dans l'isomorphisme c i - d e s s u s .
( n )
Rappelons que le groupe de Galois de Q^ /Q s'identifie c a - noniquement à U
H pn
1) r - conjugaison et décomposition de Q^[G] . On désigne t o u j o u r s p a r G un groupe abélien fini d ' o r d r e g et p a r n un multiple de l'exposant
de G . Soient k et t|t deux éléments de ï . Nous d i r o n s que K et ijf sont conjugués s ' i l existe un e n t i e r k dont la c l a s s e modulo n se trouve dans TJpn et tel que k = ijt . Nous d é f i n i s s o n s ainsi une r e l a t i o n d'équivalence
qui ne dépend pas de l ' e n t i e r n choisi . Nous d é s i g n e r o n s p a r H" la c l a s s e de H et p a r ï " l'ensemble de c e s c l a s s e s d'équivalence . Nous pouvons c o n s i d é r e r l e s c a r a c t è r e s K de G comme étant à v a l e u r s dans une clôture algébrique de Q . Nous p o s e r o n s e „ = L e, .
P H f
P r o p o s i t i o n 11 a . L'ensemble des e^M , k" p a r c o u r a n t ï " , est un s y s - tème d'idempotents orthogonaux et primitifs de l ' a l g è b r e Q [G], La d é - composition de cette a l g è b r e en somme d i r e c t e d'idéaux minimaux est Q [G] =
e
Q [G] ev„ .P KH€ r, P *
L ' i d é a l Q^CG] eK„ e s t isomorphe au c o r p s cyclotomique p-adique Q^
La démonstration e s t semblable à la démonstration de la p r o - position I a .
2) Calculs d e s c a r a c t è r e s de G s u r Q . Soit H" le c a r a c t è r e de G p s u r Q c o r r e s p o n d a n t à l ' i d é a l minimal Q [ G J e de Q [G] . Nous obte-
P _ P K P
nons a l o r s , comme précédemment :
P r o p o s i t i o n IIb . L'ensemble des c a r a c t è r e s i r r é d u c t i b l e s de G s u r Q E p c o r r e s p o n d bijectivement à l ' e n s e m b l e ï " des T ^ - c l a s s e s de ï . On c o n -
f o n d r a d é s o r m a i s la F ^ - c l a s s e H" de K avec le c a r a c t è r e H". On a a l o r s les f o r m u l e s
H " = L t|F ,
€ K"
K" = T r ( } ( O ,
Q / Q
P P
£ K ' - C a ' b a
K g a € G
3 ) Remarque concernant le d e g r é de g é n é r a l i t é d e s formules o b t e n u e s . Supposons un instant que G soit un groupe fini quelconque et k un c o r p s de c a r a c t é r i s t i q u e 0 . Soit I l ' e n s e m b l e des c a r a c t è r e s absolument i r r é - ductibles de G , c ' e s t - à - d i r e i r r é d u c t i b l e s s u r une c l ô t u r e algébrique k de k . P r é c i s o n s ( sans j u s t i f i c a t i o n ) que cet ensemble ne dépend pas de k . Si H appartient à 3E , on désigne p a r k ( n ) le c o r p s obtenu en a d - joignant à k l e s v a l e u r s x ( a ) , a p a r c o u r a n t G . Ce c o r p s est appelé le c o r p s d e s v a l e u r s de k . ( On r e c o n n a i t , dans les c a s p a r t i c u l i e r s qui nous i n t é r e s s a i e n t : k = Q ou Q et k ( x ) = Q ou Q )
P P Posons H' = ^ ^ (H) . On a le r é s u l t a t suivant :
Si l ' a l g è b r e k [ G ] est décomposée , a l o r s H' est un c a r a c t è r e i r r é d u c t i b l e de G s u r k et tout c a r a c t è r e i r r é d u c t i b l e de G sur k s'obtient de cette façon .
P r é c i s o n s que l ' a l g è b r e k [ G ] est dite décomposée si elle est isomorphe à un produit d'anneaux de m a t r i c e s à coefficients dans des c o r p s commutatifs .
Il e s t c l a i r que si G est commutatif , k [ G ] e s t décomposée . Signalons e n c o r e le r é s u l t a t suivant : Si G est un groupe d ' o r d r e p r e m i e r à p , l ' a l g è b r e Q [ G ] e s t décomposée . Ce r é s u l t a t et plus généralement l e s c a r a c t è r e s p - a d i q u e s sont u t i l i s é s dans [ 6 ] .
III
Etude de c e r t a i n s Z [ G ] - modules
Les notations sont l e s mêmes que précédemment . En p a r t i - c u l i e r G e s t t o u j o u r s un groupe abélien fini .
1) O r d r e s de Q [ G j . Soit x ' a p p a r t e n a n t à ï ' . On a mis en évidence dans I , un isomorphisme e n t r e Q[G] e^, et Q^ k ' ^ < Dans cet isomor - phisme , l ' a n n e a u des e n t i e r s de Q c o r r e s p o n d à Z [ G ] e , P o s o n s <3 = @ Z [ G ] e , . Ce s o u s - a n n e a u de Q[G] est l ' o r d r e
x ' € ï1
maximum de Q[G] . Si d^, désigne le discriminant de Q , le dis - criminant de (3 ( c ' e s t - à - d i r e le d i s c r i m i n a n t d'une Z - b a s e de G) s e r a d c c o = n d . .
K ' e r
L'anneau Z [ G ] e s t a u s s i un o r d r e de Q[G] . Son discriminant est g® et l ' i n d i c e de Z [ G ] dans (5 e s t donné p a r :
gg = ( <3 : Z [ G ] )2 d(<3) .
2) Extension de l'anneau d e s j c a l a i r e s de Z à Q . Soit M u n Z [ G ] - m o - d u l e . Dans tout ce qui suit on suppose que M est l i b r e de type fini sur Z . Définition de QM . On suppose que M e s t noté additivement . Si ( m , a ) et ( n , b ) appartiennent à M x Z * , c o n s i d é r o n s la r e l a t i o n d'équivalence définie p a r ( m , a ) ^ ( n , b ) si et seulement si bm = a n . La c l a s s e de (m, a ) s e r a notée m / a . En posant ( m / a ) -+ ( n / b ) = ( an+b m ) / ab et
( a b ' b ( t i / c ) = a n / b c , on définit s u r l'ensemble quotient une st.rbc - ti r e de Q - e s p a c e v e c t o r i e l . Nous le n o t e r o n s QM . ( Si M est u n Z [ G j -
Q
module noté multiplicativement : M ) . La dimensio n de QM. s u r Q est égale à la dimension de M s u r Z . En posant a ( m / a ) = ( a m ) / a , pour tout a de G , QM devient un Q[G]-module . L'application m m / 1 r é a - lise une injection de M. dans QM . On c o n s i d é r e r a M comme une p a r t i e de QM .
Remarque . QM est donc déduit de M p a r extension de l'anneau des sca - l a i r e s à Q . On a u r a i t pu p o s e r QM = Q<8^ M .
I n t e r p r é t a t i o n du théorème de Dirichlet . Soient K/Q une e x t e n s i o n a b é - lienne finie , G son groupe de Galois , E le groupe des unités de K , T le s o u s - g r o u p e de t o r s i o n de E , c ' e s t - à - d i r e l'ensemble des r a c i n e s de 1 contenues dans K . P o s o n s M = E / T . Il s'agit d'un Z [G]-module et c ' e s t u n Z - m o d u l e l i b r e de type fini . La proposition suivante d é c r i t la s t r u c t u r e de Q[ G]-module de M® . ( M est un Z [ G]-module multiplie a - tif , d'où la notation M® . )
P r o p o s i t i o n III a . Soit a le c a r a c t è r e de M . Si K est r é e l , a est la Q somme des c a r a c t è r e s i r r é d u c t i b l e s de G sur Q d i f f é r e n t s du c a r a c t è r e
_ Q r l unité ( noté 1 ) . C ' e s t - à - d i r e que M e s t isomorphe au Q[GJ-module
( additif ) :
® Q[G] e , . x « e r
1
Si K e s t imaginaire , et, e s t la somme des c a r a c t è r e s i r r é d u c t i b l e s de G s u r Q , d i f f é r e n t s de 1 et tels que Ker k contiennent la conjugaison com- plexe oœ . C ' e s t - à - d i r e que M® e s t isomorphe au Q[G]-module :
© Q[ G] e , . h ' 6 Ï '
aœ € Ker h ' H'7* 1 démonstration
Supposons K r é e l . Soient t = [ K :Q ] et -t le plongement lo - garithmique de E
l : E - IR*
défini p a r <t(e) = ( Log | eQ | )a g q . On sait ( Théorème de Dirichlet ) que t a pour noyau T et pour image un s o u s - g r o u p e d i s c r e t de IR1 de
rang t - 1 inclus dans l ' h y p e r p l a n de IR* d'équation L x = 0 . Soit U a 6 G a
le s o u s - g r o u p e de IR1" f o r m é des points de la forme ( X, X, ... , X ) , X p a r c o u r a n t ! . Considérons l ( E ) © U ; c ' e s t un s o u s - g r o u p e d i s c r e t de IR1 de r a n g t . D ' a u t r e p a r t munissons IR* de la s t r u c t u r e de G-module ainsi définie : T^xcr^a€ G = ^ XTG ^a G G ' v o i t a^o r s qu e ^ e s t u n G-homomorphisme et "U un sous-G-module de IR* . Soit {e^,e2> • ••>
une Z - b a s e de l ( E ) © U . et
Soit a appartenant à G et soit Aa la m a t r i c e à coefficients en- t i e r s d é f i n i s s a n t l ' a c t i o n de G s u r £ ( E ) © U , c ' e s t - à - d i r e
( e ^ , . . . , e J ) = ( e j , „ . , e ) A . Comme {e^, . . . , et } est une base de IR1"
la t r a c e de A ne change pas si on remplace [e-,, . . . , e } p a r une base t
quelconque de IR . C h o i s i s s a n t a l o r s la b a s e canonique , on en déduit que la t r a c e de A^ e s t 0 si a est d i f f é r e n t de 1 et t si a = 1 .
L'application G — > T r e s t le c a r a c t è r e du Q[G]-module Q(£( E ) © "U ) . Il est c l a i r que Q ( £ ( E ) @ U ) = Q - t ( E ) € Q U et que le c a r a c t è r e de ce d e r n i e r Q[ G]-module e s t 1 . Le c a r a c t è r e a c h e r c h é est donc défini p a r :
a ( a ) = - 1 si o ^ l a ( a ) = t - 1 si a = 1 . On v é r i f i e a l o r s que a = L k'
H ' G S'
h '
/
1Si maintenant K est imaginaire , on pose t = [ K : Q ] / 2 . On choisit comme indices d e s composantes de IR* l e s éléments du groupe quotient G / { 1 , Gœ } . L e p r i n c i p e de la démonstration r e s t e le même Le c a r a c t è r e a s e r a donné p a r l e s r e l a t i o n s :
r a( G ) = - 1 si a / 1 et a i oœ l a ( a ) = t - 1 si G = 1 ou G = G
x 00
On v é r i f i e a l o r s que l'on a a = L H1 , c e t t e somme étant étendue aux éléments de ï 1 , d i f f é r e n t s de 1 et t e l s que Ker x contienne
G œ
Remarque . Si K/Q est seulement galoisienne finie , l e s formules * et **
donnant le c a r a c t è r e a de M sont e n c o r e v r a i e s . Q
3 ) Z [ G ] - m o d u l e s simples et complets . L e s Z [ G ] - modules c o n s i d é r é s sont t o u j o u r s des Z-modules l i b r e s de type fini .
Définitions . Soit donc M un tel Z [ G]-module . Si QM e s t un Q[G]-mo - dule simple , o n . d i r a que M est Z [ G ] - m o d u l e simple . Si H' est le c a r a c - t è r e de QM , on d i r a a u s s i que H1 e s t le c a r a c t è r e du Z [G] - module M .
L'ensemble des x de C tels que xM c M forme un o r d r e de Q[G] noté (3^
<3m = { X ; X É O ; x M c M ] .
On a donc : Z [ G ] c c (3 . On dira que M est complet si
0M = ( 5 •
P r o p o s i t i o n III b . Soit M un Z [ G]-module . Il existe un plus petit mo - dule complet contenant M ( contenu dans QM ) noté M* et appelé l ' e n - veloppe de M . Il existe un plus grand module complet contenu dans M , noté M* , et appelé le noyau de M . Les indices ( M* : M ) et (M : M^ ) sont finis .
démonstration
* ^e P o s o n s M = C5M . ( Il s ' a g i t de la partiè/QM ainsi définie :
OM = [ x m ; x € ( ! 5 , m 6 M } ) . C ' e s t un Z [ G ] - m o d u l e , contenant M , complet et c ' e s t le plus petit module complet contenant M . D ' a u t r e part une somme de Z [ G ] - m o d u l e s complets e s t complète . Définissons donc M
comme la somme des s o u s - m o d u l e s complets de M .
On a g <3 c Z [ G] ; donc g M* = g O M c Z [ G] M c M . L ' i n c l u s i o n g M* c M prouve que ( M* : M ) est fini „
D ' a u t r e p a r t gM* est complet , d'où gM* c M .
On en déduit l'inclusion gM c M^ . Ceci prouve que ( M : M ) e s t fini . P r o p o s i t i o n IIIc . Tout Z [ G ] - m o d u l e simple est complet .
démonstration
Supposons que M soit un Z [ G]-module simple , et soit t1 son c a r a c t è r e . P o u r tout H' d i f f é r e n t de 1 on a donc ev (Q M = 0 ; d'où eK, M = 0 . Quel que soit m a p p a r t e n a n t à M , on a u r a donc : m = ( £ e .) m = e, ,m . D'où M = ex ' e r y ? v ilr, M et M = 0 M .
P r o p o s i t i o n III d . Tout Z [ G]-module complet est somme d i r e c t e de Z [G]- modules simples .
démonstration
Soit M un Z [ G]-module complet . On a donc M = © e , M h 1 € 2 ' *
et e, , M est un (3-module . C ' e s t a u s s i un e . (3-module . Or e ,(3 est K K K isomorphe à l'anneau des e n t i e r s de Q ; c ' e s t donc un anneau de
Dedekind . Le module ex, M s e r a donc isomorphe à une somme d i r e c t e ( externe ) d'idéaux de e^ r <3 , c ' e s t - à - d i r e : eK, M = @ M ^ , . En posant
i
ellr, x = 0 pour tout i|i ' d i f f é r e n t de h ' et tout x de M* , , on définit s u r M* , une s t r u c t u r e de (3-module . De plus QM* , = Q e, . (3 = Q[ G] e , est un
H H H
Q[G]-module simple . On a donc décomposé M en somme d i r e c t e de Z [G]- modules simples .
P r o p o s i t i o n 111 e . Soit H' un c a r a c t è r e i r r é d u c t i b l e de G s u r Q .
Les c l a s s e s de Z [ G ] - m o d u l e s simples , i s o m o r p h e s , de c a r a c t è r e x ' , c o r r e s p o n d e n t bijectivement aux c l a s s e s d'idéaux du c o r p s cyclotomique Q '
démonstration
Soient M^ et M^ deux Z [ G ] - m o d u l e s simples de c a r a c t è r e H'.
On a donc M^ = e^, M^ et M2 = e K, M2 . Les Z [ G ] - m o d u l e s M^ et M2 sont i s o m o r p h e s si et seulement si M^ et M2 sont i s o m o r p h e s en tant que eK, <3-modules . Or eR, ( 3 e s t un anneau de Dedekind et M^ et M2 sont donc i s o m o r p h e s ( en tant que e^, <3-modules ) à des idéaux a^ et a2 de eK,<3 . On sait que c e s idéaux sont i s o m o r p h e s si et seulement si ils se trouvent dans la même c l a s s e .
C a r a c t è r e s r é s i d u e l s
1) Définitions . On désigne p a r ( Z / f Z ) * le groupe multiplicatif des c l a s s e s r é s i d u e l l e s modulo f , p r e m i è r e s à f . On n o t e r a son dual , c ' e s t - à - d i r e le groupe des homomorphismes de ( Z / f Z )* dans le groupe des nombres complexes de module 1 . Un élément de ï f s e r a appelé un c a r a c t è r e r é s i d u e l modulo f . Enfin un s o u s - g r o u p e de s e r a appelé un groupe de c a r a c t è r e s r é s i d u e l s modulo f .
On suppose que f divise g . On n o t e r a ÎI^.
l'application ê
n
f : (Z /gZ )* > ( Z / f Z ) *qui a s s o c i e à la c l a s s e de y modulo g , la c l a s s e de y modulo f . Cette application est un homomorphisme s u r j e c t i f , est l ' i d e n t i t é et si g divise h , on a IL o II , = IL, f g g h f h
D ' a u t r e p a r t , on n o t e r a i^ l'application iff g : f - g
qui fait c o r r e s p o n d r e K o II- à k . Il s ' a g i t d'un homomorphisme in - iectif , Lr e s t l ' i d e n t i t é et on a i , o i . = ig f, .
J ' f f g h x g î h
Supposons maintenant que f et f ' soient deux d i v i s e u r s de g.
Soient d et m le P G C D et le P P C M de f et f' . O n v é r i f i e que : Ker II, . Ker II-, = Ker n , f g f g d g
Ker IL H Ker IL , = Ker n
f g f g m g
On en déduit :
if g ( ï f) n i f f g ( ï f I ) - id g( ï d)
if g( ïf) • i f . g ^ f . ^ = ir n g( ïm) •
Soit ï un groupe de c a r a c t è r e s r é s i d u e l s modulo g .
Il existe donc un plus petit e n t i e r f tel que ï soit inclus dans i^ ( ï f ) . On a p p e l l e r a cet e n t i e r le conducteur de ï .*On le n o t e r a f j . Si x. est un c a r a c t è r e r é s i d u e l modulo g , on a p p e l l e r a conducteur de k , le con -
ducteur du s o u s - g r o u p e de ï engendré p a r K . On le n o t e r a f . ci ^
Remarques . Si g divise h , le conducteur de k ( r e s p . ï ) coïncide avec le conducteur d e i , ( h ) ( r e s p . i i ( ï ) ) .
g h de g h
D'autre p a r t , le conducteur)^ est le P P C M des conducteurs des ca - r a c t è r e s appartenant à £ .
2) C o r r e s p o n d a n c e e n t r e e x t e n s i o n s abéliennes de Q et groupes de c a r a c t è r e s .
(f )
Rappelons que le groupe de Galois de Q /Q est isomorphe à (Z/fZ)""1 . Cet isomorphisme permute avec la projection n^. et la r e s - triction des automorphismes de à Q ^ ^ . C ' e s t - à - d i r e que , si f divise g , le diagramme suivant e s t commutatif :
G a l ( Q( g )/ Q ) a C Z / g Z ) * G a l ( Q
I K
( f )/ Q ) a CZ/fZ >Cf )
Définition de . Soit K un s o u s - c o r p s de Q . Soit H le s o u s - g r o u -
r r N
pe de ( Z / f Z ) * c o r r e s p o n d a n t à Gal(Q / K ) . Soit 1 l ' o r t h o g o n a l de H , c ' e s t - à - d i r e :
I =. H1 = ( H , ^ ïf ; H ( H ) = 1 }
L ' a p p l i c a t i o n e s t l ' a p p l i c a t i o n qui a s s o c i e le groupe de c a r a c t è r e s 1 au c o r p s K .
P r o p o s i t i o n IV a . L ' a p p l i c a t i o n 0(f ) 1 f ainsi définie est une bijection entre l'ensemble des s o u s - c o r p s de Q et l'ensemble des groupes de c a r a c - t è r e s r é s i d u e l s modulo f .
Si K c o r r e s p o n d à 1 , l e s c o n d u c t e u r s de K et ï sont égaux et ï est c a - noniquement isomorphe au dual de Gai ( K / Q ) que nous noterons Gal(K/û)A.
Supposons que K^ c o r r e s p o n d e à ï ^ . On a a l o r s K^ <= K si et seulement si ï ^ c j . Supposons que c e t t e condition soit v é r i f i é e . Alors d a n s l ' i s o - morphisme :
S a G a l ( K / Q )A ï., c o r r e s p o n d à Gal(K/K1)"'" .
Cd )
Enfin , si d divise f , i ^ c o r r e s p o n d p a r 9^. à Q et
Xdf 0 e s t r e s t ric ti °n de à l'ensemble des s o u s - c o r p s de Q ^ ^
L'application de l'ensemble des s o u s - g r o u p e s de ( Z / f Z )v'dans l'ensemble des s o u s - g r o u p e s de ïj. qui à H fait c o r r e s p o n d r e son ortho - gonal H est une bijection qui r e n v e r s e l ' o r d r e . L'application est composée de cette bijection et de la c o r r e s p o n d a n c e de Galois . Il s'agit donc d'une bijection qui c o n s e r v e l ' o r d r e .
L'orthogonal de Ker 11^ e s t i ^ ( ï ^ ) et Ker 11^ c o r r e s p o n d galoisiennement à Q ^ ^ . Comme le conducteur de K est le plus petit en- t i e r d tel que Q ^ ^ contienne K , on en déduit que l e s c o n d u c t e u r s de 1 et K sont égaux .
On déduit de l'isomorphisme G a l ( K / Q ) a* ( Z / f Z ) * / H un i s o - morphisme Gai ( K /Q )A a* ( (Z /f Z )* / H )A .
D'autre p a r t , en v e r t u des p r o p r i é t é s de dualité c l a s s i q u e s , on a un isomorphisme : ((Z / f Z ) * / H )A ^ H.1 .
En composant on obtient donc G a l ( K / Q )A = 1 „
Soit maintenant K^ un s o u s - c o r p s de K , H^ le s o u s - g r o u p e de ( Z / f Z ) * c o r r e s p o n d a n t à Gai ( Q ^ ^ / K ^ ) et ^ l'orthogonal de H j . Dans l'isomorphisme Gai ( K /Q ) as (Z /f Z )* /H le s o u s - g r o u p e C K/K ^ ) co- r r e s p o n d à H ^ / H . D ' a u t r e p a r t dans l'isomorphisme ( ( Z / f Z * ) / H )A = H ,
1 -1 1
le s o u s - g r o u p e ( H ^ / H ) c o r r e s p o n d à H j . On en déduit que 1 ^ = H^
c o r r e s p o n d à G a l ( K / K ^ ) dans l ' i s o m o r p h i s m e 1 ^ G a l ( K / Q )A . 3) Limites inductives et p r o j e c t i v e s . Nous allons énoncer à nouveau l e s définitions et p r o p r i é t é s déjà c i t é e s , mais en nous plaçant cette fois
« à la limite . Nous ne donnerons pas de démonstration . D ' a i l l e u r s , ce langage ne s e r a pas u t i l i s é dans la suite .
Soit A 1' extension abélienne maximale de Q et G son groupe de Galois . En v e r t u du théorème de K r o n e c k e r - W e b e r , A e s t la réunion des c o r p s cyclotomiques et G1 e s t la limite p r o j e c t i v e du système : C(Z/fZ)*, nf f, ) introduit en IV 1 . Soit ïïf : G — > ( Z / f Z )* la p r o j e c - tion de G s u r ( Z / f Z )* . On r a p p e l l e que G e s t un groupe topologique, un système fondamental de v o i s i n a g e s de 1 étant formé des Ker n^. .
Soit X l'ensemble des homomorphismes continus de G dans le groupe des nombres complexes de module 1 . Le groupe X est la limite in- ductive du système : ( Zç , i ^ , ) .
On p o u r r a i t a l o r s d é f i n i r un c a r a c t è r e r é s i d u e l H comme un élément de X . Le conducteur de H e s t le plus petit entier f tel que Ker Ilj. soit inclus dans Ker * . Un groupe de c a r a c t è r e s r é s i d u e l s pour- r a i t a l o r s ê t r e défini comme un s o u s - g r o u p e fini I de X et son conduc - t e u r comme le plus petit e n t i e r f tel que Ker nf soit inclus dans H K e r n .
A toute extension abélienne finie K/Q on peut a s s o c i e r l ' o r - thogonal I de Gai (A /K ) , c ' e s t - à - d i r e :
I = [k ; x € J ; H ( G a i 0 4 / K ) ) = 1 } .
Il s ' a g i t d'un s o u s - g r o u p e fini de X . On obtient ainsi une c o r r e s p o n d a n - ce biunivoque 9 de l'ensemble d e s extensions abéliennes f i n i e s de Q dans l'ensemble des s o u s - g r o u p e s finis de X . Cette c o r r e s p o n d a n c e est d ' a i l - l e u r s la limite des .
4-) Identifications . Notations d é f i n i t i v e s . Si f divise g nous identifie - r o n s d é s o r m a i s ï ^ à u n sou s - g r o u p e de I . Cela implique que si H est donné comme un c a r a c t è r e r é s i d u e l modulo g , c ' e s t - à - d i r e comme une application de ( Z / g Z ) * dans le groupe d e s nombres complexes de module
1 , a l o r s * ( y ) e s t défini pour tout e n t i e r y p r e m i e r au conducteur f de H k . P o u r plus de commodité nous p o s e r o n s h ( y ) = 0 si y n ' e s t pas p r e - mier à f . Nous d i r o n s le plus souvent c a r a c t è r e au lieu de c a r a c t è r e
r é s i d u e l . »
Remarque . Un c a r a c t è r e r é s i d u e l e s t donc un c a r a c t è r e de Dirichlet modulo son conducteur .
Soit K/Q une extension abélienne finie . Compte-tenu d u t h é o - C f •) rème de K r o n e c k e r - W e b e r , il e x i s t e un c o r p s cyclotomique Q conte- nant K . Soit I le groupe des c a r a c t è r e s a s s o c i é à K p a r . En vertu de la p r o p o s i t i o n IV a , l ' a p p l i c a t i o n 0^ e s t la r e s t r i c t i o n de 0 ( si f di- v i s e g ) et I ne dépend p a s de f . On a p p e l l e r a l e s éléments de I l e s ca - r a c t è r e s de K et I s e r a a p p e l é le groupe des c a r a c t è r e s de K . On con - f o n d r a également ce groupe I avec le dual de Gai ( K / Q ) .
Soit K un c a r a c t è r e de K . Il c o r r e s p o n d p a r 0£ au s o u s - g r o u - pe e n g e n d r é p a r * , un s o u s - c o r p s de K , que l'on n o t e r a Kh , et qui est cyclique s u r Q . Le c o r p s K^ peut a u s s i ê t r e défini de la façon suivante:
Le noyau de H e s t G a l ( K / KH) . Il faut r e m a r q u e r que, m a l g r é la nota - tion , K ne dépend que du c a r a c t è r e K .
Enfin , K étant fixé , l'application H - K^ induit une bijec - tion de ï ' , ensemble des r e c l a s s e s de 3E , s u r l'ensemble des s o u s - c o r p s cycliques de K .
On n o t e r a indifféremment K^ ou K^, .
Nous dirons qu'un c a r a c t è r e H est p a i r ( r e s p . impair ) si x . ( - l ) = 1 ( r e s p . - 1 ) ( x étant un c a r a c t è r e r é s i d u e l modulo f , - 1 désigne la c l a s s e de - 1 modulo f ) .
Un c a r a c t è r e H e s t p a i r si et seulement si K^ est r é e l . Un c o r p s K abé- lien s u r Q e s t r é e l si et seulement si tous s e s c a r a c t è r e s sont p a i r s . 5 ) Ramification . Décomposition . Soit K/Q une extension abélienne , 2 son groupe de c a r a c t è r e s et p un nombre p r e m i e r . On d é s i g n e r a par
K-^P"^ et les c o r p s d'inertiéYde décomposition de p dans K/Q . Soit et ^ ^ le u r s groupes de c a r a c t è r e s .
P r o p o s i t i o n IV b . Le groupe ï ^ ^ e s t l'ensemble des c a r a c t è r e s x de K tels que x . ( p ) £ 0 . Le groupe * ^ ^ e s t l'ensemble des c a r a c t è r e s h de K t e l s que n ( p ) = 1 . Si e^ , f^ , g^ sont l e s t r o i s p a r a m è t r e s h a - bituels c a r a c t é r i s a n t la décomposition de p dans K , on a :
= ( ï : 4 p ) ) ; fp = ( 4 p ) : ïCzP )> et g p = ( H ( / ) : l ) .
démonstration
Soit K j un s o u s - c o r p s de K et ï ^ son groupe de c a r a c t è r e s . Le conducteur de K^ est le P P C M des c o n d u c t e u r s de s e s c a r a c t è r e s . D ' a u t r e p a r t p est non ramifié dans K-^ si et seulement si p ne divise pas le conducteur de K^ . Comme K ^ . ^ e s t le plus grand s o u s - c o r p s de K dans lequel p e s t non r a m i f i é , on a donc = [H ; K ; n ( p ) ^ 0 }
Soit f le conducteur de K ^ ^ . La c l a s s e de p modulo f en- gendre dans ( Z / f Z ) * le groupe de décomposition D de p dans Q ^ ^ / Q
Le c o r p s de décomposition c h e r c h é , e s t le c o r p s invariant p a r D.
Son groupe de c a r a c t è r e s e s t donc l'orthogonal de D . D'où : S( z p ) = { K ; ; * ( p ) = 1 } .
e P
6) C a r a c t è r e s du c o r p s des g e n r e s . K e s t toujours une extensi ion a - bélienne finie de Q et H son groupe de c a r a c t è r e s . Rappelons que le c o r p s des g e n r e s de K est le plus grand c o r p s K ^ tel que K ç / K soit non rami- fié pour les idéaux et KQ/Q soit abélienne „
Pour avoir plus de détails s u r cette notion on p o u r r a voir [3] et [4-J . Soit f un multiple quelconque du conducteur de K , et soit u P
f = ii p F la décomposition de f en produit de nombres p r e m i e r s . Le P
groupe ïj. e s t produit d i r e c t des I . C o n s i d é r o n s a l o r s la p r o j e c t i o n : P P
h 1 u •
P P
Cette p r o j e c t i o n permute avec l e s i n j e c t i o n s canoniques i^. . Soit l'image de I p a r cette p r o j e c t i o n .
Cette image ne dépend donc p a s de f et elle e s t réduite à 1 si p ne divise pas le conducteur de K . Nous p o s e r o n s a l o r s ï " = II î ^ ^
P
P r o p r i é t é IV c . Le groupe des c a r a c t è r e s du c o r p s des g e n r e s de K e s t I * .
démonstration
Si x appartient à , soit l'image de x p a r la p r o j e c - tion — > I . On a donc K = FI x ^ et le conducteur de x ^ est la
P F F P P
p-composante du conducteur de x . En p a r t i c u l i e r p ne divise pas le con - ducteur de x si et seulement si le c a r a c t è r e x ^ est égal à 1 . Le noyau de la p r o j e c t i o n — > I e s t donc l'ensemble :
P P
{ x ; X € I|. ; x. ( p ) / 0 } .
Considérons a l o r s la r e s t r i c t i o n de cette p r o j e c t i o n à I . Son Lonc et son image
cation de p dans K ( P r o p o s i t i o n IV b )
noyau est donc et son image a pour o r d r e l'indice de ramifi-
Soient K* l ' e x t e n s i o n abélienne de Q ayant pour groupe de c a -
r a c t è r e s 1 . Appliquons le r é s u l t a t c i - d e s s u s à K et K . On a * * j [ p ] = j * t p ] pO U r t o u t p _ Le s i n d i c e s de ramifications de p dans K et
K sont l e s mêmes . L'extension K /K e s t donc non ramifiée pour le's idéaux .
Réciproquement , soit K j un c o r p s tel que K^/K soit non r a - mifiée pour les idéaux et , K^/O abélienne . Soit son groupe de c a - r a c t è r e s . On a donc \ = | l[ p ]| d'où = , pour tout p . En effectuant le produit on a u r a donc :
i 1 c n = i * .
p
Ce qui prouve que K^ e s t inclus dans K* . Nous avons montré que K* est le c o r p s des g e n r e s de K .
Exemple d e s c o r p s q u a d r a t i q u e s . Soit d un e n t i e r sans f a c t e u r c a r r é . On peut l ' é c r i r e sous la forme d = u p ^ p 2 ... pr avec u = 1, - 1 , 2 ou - 2 et p^ p r e m i e r congru à 1 modulo 4- .
P r o p r i é t é : Le c o r p s des g e n r e s de Q ( \ / d ) e s t Q(*/u , Vp^ >•••> /\/pr)«
démonstration
Nous s u p p o s e r o n s que d e s t p a i r . On a donc u = ± 2 . Nous p o s e r o n s qi = | p j . On a donc | d | = 2 q ^ ... q^ . On v é r i f i e , c ' est
élémentaire,que Q(Vd) e s t inclus d a n s Q^ ^ , où D e s t la valeur a b s o - lue du d i s c r i m i n a n t de Q(-s/d) . On a donc D = 8 q ^ ... qr .
Soit I le groupe des c a r a c t è r e s de Q(\/d) . C ' e s t un groupe
[<k]
d ' o r d r e 2 . Le groupe I est d ' o r d r e 2 et c ' e s t u n s o u s - g r o u p e de (q.) I . Il c o r r e s p o n d à ce groupe de c a r a c t è r e s le c o r p s cyclotomique Q qui n'admet qu'un seul s o u s - c o r p s quadratique Q(Vp^) avec p^ = ± q^ et p. = 1 (4-) . D'autre p a r t e s t d ' o r d r e 2 et c ' e s t un s o u s - g r o u p e de
1 (8)
ï g . Il c o r r e s p o n d à ce groupe de c a r a c t è r e s le c o r p s cyclotomique Q qui contient t r o i s s o u s - c o r p s q u a d r a t i q u e s Q (V- 1) , Q ( V 2 ) , Q ( V - 2 )
_ r 2]
Soit Q(Vv) le c o r p s quadratique c o r r e s p o n d a n t à ï . On a donc
* [ 2 ] L c il Lclr v = - 1 , 2 ou - 2 . Le groupe I e s t égal à 3E I ... I
Le c o r p s d e s g e n r e s de Q («/d) s e r a donc Q (vV , Vp^ > ••• > Vpr ) . Comme Q («/d) doit ê t r e inclus dans le c o r p s d e s g e n r e s , on en déduit que v = u .
Si d est impair , même démonstration . V
Décomposition du p - S y l o w du groupe des c l a s s e s des extensions abé - l i e n n e s de d e g r é p r e m i e r à p .
1) C a r a c t è r e s d ' e x t e n s i o n s dont le c o r p s de base e s t quelconque . Dans le p a r a g r a p h e p r é c é d e n t nous avons introduit , K/Q étant une ex - tension abélienne, les c a r a c t è r e ske K . De tels c a r a c t è r e s pouvaient ê t r e c o n s i d é r é s , soit comme des c a r a c t è r e s du groupe ( Z / f Z ) * , f étant un multiple du conducteur de K , soit comme d e s c a r a c t è r e s de G , groupe de Galois de K/Q . Le p r e m i e r a s p e c t e s t lié au fait que l ' e x t e n s i o n con- s i d é r é e a pour c o r p s de base Q . Nous allons s u p p r i m e r cette condition et nous ne r e t i e n d r o n s plus que le deuxième a s p e c t . Enonçons les choses complètement :
Définitions . Soient K/k une extension abélienne de c o r p s de nombres , G son groupe de Galois , ï le groupe des c a r a c t è r e s complexes de G. Un élément de ï s e r a appelé un c a r a c t è r e de l ' e x t e n s i o n K/k et le groupe I , le groupe des c a r a c t è r e s de K / k . ( Un c a r a c t è r e de K/Q était nommé p r é - cédemment c a r a c t è r e de K ) .
Soit K^ un c o r p s i n t e r m é d i a i r e de K/k et l'orthogonal de G a K K / K ^ c ' e s t - à - d i r e :
I1 = {k , k 6 ï ; H ( G a l ( K / K1) ) = 1 } . Soit l'application qui a s s o c i e ï ^ à K^ .
P r o p o s i t i o n V a . L'application ainsi définie e s t une bijection en- t r e l ' e n s e m b l e des c o r p s i n t e r m é d i a i r e s de K/k et l'ensemble des sous - groupes de I . Cette bijection c o n s e r v e l ' o r d r e . Si K^ c o r r e s p o n d à ï ^ , a l o r s ï-, e s t canoniquement isomorphe au dual de G a l ( K , / k ) . S i 1' on convient d ' i d e n t i f e r ces deux quantités , a l o r s ^ apparait comme la
r e s t r i c t i o n de S-j^y^ ' ^
La démonstration de cette proposition e s t contenue dans la démonstration de la proposition IV a . ( 11 est c l a i r que 6 ,-fN est l ' a p -
Q /Q plication du p a r a g r a p h e IV ) . On p o u r r a i t , comme précédemment
« p a s s e r à la limite » en utilisant l ' e x t e n s i o n abélienne maximale de k . 2) Décomposition du p - S y l o w du groupe des c l a s s e s . Soit p un nombre p r e m i e r . Nous allons u t i l i s e r l e s c a r a c t è r e s p - a d i q u e s définis en III . Soit K/k une extension abélienne de d e g r é p r e m i e r à p . Soient G son groupe de Galois , I son groupe de c a r a c t è r e s et g son d e g r é . Si n ap- partient à ï , l'idempotent e^„ a p p a r t i e n t à Z ^ [ G ] et tout Z [ G] - module H , noté multiplicativement , se d é c o m p o s e r a en produit d i r e c t de sous -
K
partient à ï , l'idempotent e^„ a p p a r t i e n t à Z ^ [ G ] et tout Z [ G] - module :nt
modules : H =
n H . i i en e s t ainsi du p - S y l o w du groupe k" 6 ï "
des c l a s s e s d'idéaux de K . Nous avons donc
EH "
= n
Soit maintenant K ^ un c o r p s i n t e r m é d i a i r e de l'extension K / k . Soient G^ , ï ^ et g^ le groupe de Galois , le groupe des c a r a c t è r e s et le d e g r é de l ' e x t e n s i o n K^/k .
Soit S™, le p - S y l o w du groupe des c l a s s e s de K1 .
M 1
I n t r o d u i s o n s l'application j : — > , déduite de l ' i n j e c t i o n cano - nique du groupe des idéaux de K^ dans le groupe des idéaux de K .
Si H a p p a r t i e n t à , il faut s i g n a l e r l ' e x i s t e n c e d'une ambi- guïté d a n s la notation e ,, qui peut d é s i g n e r
soit : - E K " ( o- 1) a , soit : — L K " ( a- 1) a .
g CT € G gx g e gx
Remarquons que H " ( a ) = k " ( t ) dès que o t " ^ appartient à G a l ( K / K ^ ) et que dans l'homomorphisme :
Q[G] — > Q[G1 ]
déduit de l'homorphisme de r e s t r i c t i o n de G à G | , l'un de c e s éléments
e K "
est l'image de l ' a u t r e . Il s ' e n suit que e s t bien défini .
P r o p o s i t i o n V b . L ' a p p l i c a t i o n j e s t un homomorphisme injectif . L'image 3 (S-^ ) de j e s t le s o u s - g r o u p e de formé des éléments de 3? K invariants par G a l ( K / K ^ )
Si est un c a r a c t è r e de K ^ , on a
d é m o n s t r a t i o n
Soit Cl ( Q ) un élément de , a p p a r t e n a n t au noyau de j
1 / '1
g / g i
Nous a u r o n s donc Q A-^ = a A-^ , avec a dans K . D'une p a r t Q est p r i n c i p a l et e s t e n g e n d r é p a r N-^y-^ (ce) et d ' a u t r e p a r t il existe un en -
u ^
t i e r u tel que soit p r i n c i p a l . On en déduit donc que a e s t p r i n c i - pal .
Soit maintenant Q un i d é a l de K tel que Cl ( a ) soit i n v a r i a n t g / g i
p a r G a l ( K / K1) . L ' i d é a l Q e s t l ' é t e n d u de • D o n c >
g / g .
Cl ( et ) se t r o u v e dans l'image de j . 1 1 en s e r a de meme de Cl ( a ) , puisque g / g ^ est p r e m i e r à p .
On déduit de l ' i n c l u s i o n j ) c , l ' i n c l u s i o n :
D ' a u t r e p a r t , on a : T EK„ = EH„ p o u r tout T de G a l ( K / K ^ ) .
e* "
Cela montre que tout élément de e s t i n v a r i a n t p a r G a l ( K / K ^ ) . C eH',vN ex "
R e m a r q u e . On a a u s s i : v®K ) = ^K ' s i K e s t u n c a r a c tè r e f
de K^ et v ^ K J = ^ ' ^ e s 1 : u n c a r a c t è r e de K n ' a p p a r t e n a n t p a s à ï ^ .
d é m o n s t r a t i o n
La p r e m i è r e a s s e r t i o n e s t une c o n s é q u e n c e immédiate de
L'égalité JV^&K
J
= • P o u r d é m o n t r e r la deuxième , on peut i n t r o - d u i r e e = ( 1 / [ K : K ] ) E G1 G € Gai ( K /K 1 )
e [ K : K ]
On a : e = I e = E e „ et h = j ( Nv / v ( h ) ) ,
K Ê Ï ^ K " € * K / K l
pour h de . Si t|i est un c a r a c t è r e de K n ' a p p a r t e n a n t pas à X nous
e\lj "
a u r o n s a l o r s eilt e = 0 ; d'où c K e r ( N ^ ^ ) .
en "
Conséquence de la p r o p o s i t i o n V b . Si on identifie et son image
Ë 1 H "
p a r j , on voit que ne dépend finalement pas de K . P o s o n s
eK"
= § (H" ) . Nous avons m o n t r é que le p - S y l o w du groupe des c l a s s e s d'idéaux de K se décompose en p r o d u i t d i r e c t : = H & ( x " ) . P o u r tout c o r p s K^ i n t e r m é d i a i r e de l ' e x t e n s i o n K/k , la décomposition du p - S y l o w du groupe des c l a s s e s d ' i d é a u x de K^ s e r a :
& = I l S > ( H " ) . Ai K " e x f
Remarquons enfin que chaque f a c t e u r &(H") e s t f a c t e u r d i r e c t du p - Sylow du g r o u p e des c l a s s e s d'au moins un c o r p s i n t e r m é d i a i r e L tel que L / k soit cyclique ; à s a v o i r le c o r p s L tel que G a l ( K / L ) = Ker K . Ces c o n s i d é r a t i o n s sont à la b a s e de [ 6 ] . Dans cet a r t i c l e , Leopoldt exhibe , sous c e r t a i n e s h y p o t h è s e s , une involution K" - k" de X" et compare l e s g r o u p e s S (H" ) et & (h1" ) .
Exemple . Soit K/Q une e x t e n s i o n abélienne complexe et soit Kq le s o u s - c o r p s de K r é e l maximal . Soient S le g r o u p e des c l a s s e s d ' i d é a u x de K, 33 le groupe des c l a s s e s d ' i d é a u x de K et 33o w le noyau de 1' application
N-i\. / r. o déduite de la norme r e l a t i v e à K/Kq • Rappelons que 33q et 33*
s ' a p p e l l e n t r e s p e c t i v e m e n t groupe d e s c l a s s e s r é e l l e s et r e l a t i v e s de K.
Un r é s u l t a t c l a s s i q u e c o n c e r n a n t c e s g r o u p e s ( H a s s e - U b e r die Klas - senzahl a b e l s c h e r Z a h l k o r p e r - B e r l i n 1952 ) e s t que : N ^ / - ^ est s u r -
o
jective et induit un isomorphisme : 3)/3) = 33q . Cet isomorphisme peut
« se d é c o m p o s e r » en c o n s i d é r a n t l e s p - S y l o w de chacun de c e s grou - pes . P o u r tout p impair , on peut le d é d u i r e de la p r o p o s i t i o n V b .
En effet posons k = Kq ; désignons par G le groupe de Galois de K/k . Il ne p o s s è d e que deux éléments : G = [ l , a } . Soit 1 et
les deux c a r a c t è r e s complexes de G . Les idempotents c o r r e s p o n d a n t s sont : e 1 = — ( l + a ) e t e, = — C 1 - a ) . Si p est un nombre p r e m i e r 1 1
1 2 V 2
impair , la T ^ - c o n j u g a i s o n de ï coïncide avec l ' é g a l i t é . Soit le p - Sylow de S . En vertu de la p r o p o s i t i o n V b , est donc produit d i r e c t de deux s o u s - g r o u p e s :
= & ( l ) & ( i | f ) .
Le p r e m i e r : S ( 1 ) , s ' i d e n t i f i e au p - S y l o w de et le deuxième est le p - S y l o w de S* ( Remarque suivant la p r o p o s i t i o n V b ) .
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