Sur la mesure de l'effet Hall dans les métaux

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Sur la mesure de l’effet Hall dans les métaux

André Fortini, Alain Le Bourgeois

To cite this version:

175 A.

SUR LA MESURE DE L’EFFET HALL DANS LES

MÉTAUX

₍₁₎

Par ANDRÉ

_FORTINI,

Faculté des Sciences de l’Université de Caen

et ALAIN LE

_BOURGEOIS,

Laboratoire Central des Industries

_{Électriques,}

_{Fontenay-aux-Roses,}

Seine.

Résumé. 2014 Un

disque

métallique

soumis à une tension alternative radiale et

_placé

dans un

champ magnétique perpendiculaire à son _plan, est le _siège de courants circulaires dus à l’effet Hall. On calcule la tension induite par ces courants dans une bobine extérieure coaxiale au

_disque.

La transformation de Fourier à deux dimensions permet de mettre le résultat sous la forme d’une

intégrale par rapport à la variable _réciproque. On en déduit la réponse en _{fréquence grâce} à des

approximations, valables

_dans

des domaines de _fréquence déterminés. La confrontation avec

l’expérience dans le cas du cuivre conduit à une valeur de la mobilité en bon accord avec celle _qui peut être obtenue par d’autres méthodes.

Abstract. 2014 A

tangential current _{component appears in} a metal disc submitted to a radial a.c.

voltage, inserted in a magnetic field

perpendicular

to its

_plane.

The voltage induced _by this current _component in an external coaxial coil is calculated. The two dimensional Fourier trans-formation enables us to formulate the result as an

_integration

with _respect to the

_reciprocal

va-riable. The

_{frequency dependent}

_signal is

_approximated

in definite _{frequency ranges.}

Compa-raison with _{experiment for copper samples gives} a value of the _mobility in _{good agreement} with the results obtained

_by

other methods.

PHYSIQUE N° 11.

PHYSIQUE APPLIQUÉE TOME _25, NOVEMBRE _1964:, PAGE

Introduction. - Dans la méthode

classique

de

mesure de l’effet

Hall,

l’échantillon,

parallélépi-pédique,

est _{parcouru par} un courant continu et

placé

dans un

_champ

_magnétique

uniforme,

cons-tant et

_{perpendiculaire}

au courant.

Il

existe de nombreuses variantes de cette méthode utilisant

des

_géométries

variées et dans

_lesquelles

le courant

et le

_{champ peuvent}

être des fonctions sinusoïdales

du

_temps.

Le cas où le courant et le

_champ

sont tous deux

alternatifs,

à des

_{fréquences différentes,}

a été

étu-dié par Russel et

_Wahlig

_{[1]. Arnold,}

Busch et

Muller

_[2]

ont mesuré la tension de Hall

entre

l’axe et la

_périphérie

d’un

_disque

_placé

dans un

champ

axial et dans

_lequel

on induit des courants

circulaires. Dans les mesures de

_Poppelbaum

_[3]

l’échantillon était

_cylindrique,

le

_champ

radial et

l’effet Hall

_apparaissait

sous la forme d’une tension aux extrémités du

cylindre

si des courants

circu-laires y étaient

induits ;

sous la forme de courants

circulaires induits si le

_cylindre

était traversé _par

un courant axial. Le cas où l’échantillon est

cylin-drique,

le courant axial et le

_champ

transversal a

été étudié en détail _par

Jaggi

et Sommerhalder

[4].

Sur la

_proposition

de P.

_Aigrain,

nous avons

repris

la

_géométrie

à

_{symétrie cylindrique}

du

_type

Corbino

_[5]

avec un courant radial alternatif et un

champ magnétique

axial uniforme et constant.

(1) Ce travail a été exécuté au titre de la convention n° 61 FR 035 _passée entre la Direction Générale à la Recherche Scientifique et _Technique et le Laboratoire Central des Industries

Électriques.

L’effet Hall se manifeste alors _{par des} courants

circulaires

_qui

induisent une tension mesurable

dans une bobine extérieure. Dans une

précédente

publication

[6]

nous avons montré _que ce

_dispositif

permet

une mesure commode de la mobilité de

Hall dans un semiconducteur. Dans le cas des

métaux la

_dépendance

en

_fréquence

du

_signal

est

profondément

modifiée par les effets de

self-induction des courants de court-circuit de Hall.

Une

_exploitation

des résultats

_{expérimentaux}

sup-pose alors une détermination

_théorique

de la

réponse

en

fréquence.

C’est

l’objet

de la

première

partie

de cette

_publication.

Dans une deuxième

partie

nous décrirons les résultats de mesures eff

ec-tuées sur le cuivre.

Étude théorique.

-

1. GÉNÉRALITÉS. COURANT

RADIAL. - Considérons

un

disque

métallique de

rayon’

R,

d’épaisseur

W

_rapporté

à un

_système

de

coordonnées

_cylindriques

r,

6, z

dont

l’origine

0 est située au centre de

symétrie

du

disque

( fig. 1).

Une électrode centrale

_et

une électrode

périphé-rique

permettent

d’établir

dans le

_disque

un

sys-tème de courants radiaux de valeur totale I et de

fréquence

circulaire w.

Dans un

_champ

magnétique parallèle

à

Oz,

les

, courants radiaux subissent une déflexion

angulaire

proportionnelle

à

_l’angle

de Hall. Il revient au

même de dire _que le

_champ

fait

_apparaître

des courants

_angulaires

de .densité Jo. Dans une

_spire

circulaire,

coaxiale au

disque,

ces courants

angu-laires induisent une tension de même

_fréquence

176 A

FIG. 1. -

_Disposition

_{géométrique} du _disque

et de la bobine collectrice.

dont la détection est une mesure de l’ eif et Hall.

On obtiendra un

_signal

mesurable à l’aide d’une bobine de

_quelques

centaines ou de

_quelques

milliers de

_spires.

Il est _{essentiel que le}

_système

ne soit le

_siège

d’aucun autre courant circulaire

_susceptible

d’in-duire une tension dans la bobine au même titre

que les courants de Hall. En

particulier,

si l’élec-trode

_{périphérique}

est

_cylindrique

elle devra être constituée par un

_grand

nombre de conducteurs

pour

qu’aucun

courant circulaire ne

_{puisse s’y}

ét’.9blir (fip.

2)-FIG. 2. - Schéma de

principe

de l’alimentation du

_disque

à l’aide d’une électrode centrale et d’une électrode

exté-rieure

_cylindrique

divisée.

Entre le

_champ

_électrique

E,

l’induction

magné-tique

B et la densité de courant J existe la relation locale bien connue issue de

l’équation

de

Boltzman,

au

premier

ordre en

_B,

_{pour des}

_porteurs

de

_charge

négative

a est la conductivité

électrique,

_UH la mobilité de

Hall.

_E,

B et J sont d’autre

_’part

reliés _par les

équations

de Maxwell

ao est la

perméabilité magnétique

du vide. On

néglige

les courants de

_{déplacement qui}

ne sont

comparables

à J

_{qu’aux fréquences}

très élevées.

Dans l’étude

_qui

_suit,

les

_fréquences

considérées ne

dépasseront

pas

quelques

centaines de

kilocycles.

Les effets de

_charge

_d’espace

sont

absolument

négligeables.

Nous

_{prendrons :}

et

De

_plus,

nous

négligerons

les inductions dues aux

courants circulant dans le

_système

devant

l’induc-tion

_Bo

résultant du

_{champ.appliqué.}

Dans cette

approximation,

le courant Jz est nul. En effet

_(1.1)

montre que

Or,

il résulte des

_équations

de Maxwell

_(1.2)

_que

Compte

tenu de

_(1.4),

on a

donc,

en

régime

sinusoïdal de

_fréquence

circulaire (ù

avec la

_{signification}

habituelle de

_{l’opérateur A}

appliqué

à un vecteur. La

_composante

en z de cette

_équation

_s’écrit,

en utilisant

(1.5)

Sur les faces du

_disque

on a

_{nécessairement,}

_quel

que soit r :

La seule solution de

_(1.6)

satisfaisant à ces

condi-tions aux limites est la solution nulle

On en

déduit,

_par

intégration

de

l’équation

de

conservation du

courant,

que If est de la

forme :

où

_f(z)

est une

fonction

_{qui dépend}

de la

et _{dont la valeur moyenne dans} l’intervalle

(2013

W /2,

+

_{W /2)}

est

_égale

à 1.

Le calcul de la tension induite se

_simplifie

si l’on

_peut

_{supposer que le rayon du}

_disque

est

infini,

c’est-à-dire très

_supérieur

à celui de la

_spire.

Cependant,

cette condition

_peut

être difficile à

satisfaire

_{pratiquement.}

Dans le calcul

_qui

_suit,

nous nous

_rapprochons

_beaucoup

du cas réel en

continuant à _{supposer que le} milieu conducteur

est infini mais en

_imposant

la condition :

La seule erreur

_qui

demeure est alors celle

_qui

résulte de F effet des courants de Foucault engen-drés par les courants de Hall dans la

_région

r > R. On

_peut

d’ailleurs la

_supprimer

àl’aide d’un anneau

de

_garde

_(fig.

_1).

Nous écrirons donc

_{l’expression}

de Jr sous la forme :

où

_{Y/R -}

_r)

est la fonction

_égale

à 1 dans l’inter-valle

₀

r

R,

et zéro à l’extérieur.

2. ÉQUATION

DU POTENTIEL VECTEUR. -

Intro-duisons le

_potentiel

vecteur A et le

_potentiel

sca-laire 03C8 :

Le flux du vecteur B à travers la

_spire

extérieure

d’élément d’arc dl est

Il nous suffira donc de calculer A à l’extérieur

du

_disque.

Nous

_complétons

la détermination

_{de jauge}

_par la condition habituelle

Des

_équations

_{(1.1), (1.2), (2.1)}

et

_(2.3)

on déduit

que A est solution de

à l’intérieur du

_disque,

et : à l’extérieur.

Le

_{potentiel scalaire 03C8}

a nécessairement la

symé-trie de révolution. Dans le dernier terme du second membre de

_(2.4)

nous ne retiendrons que la

com-posante

radiale de

_{grad 03C8.}

On

_peut

d’ailleurs choisir

la jauge

du

_champ

_{de manière que}

_{grad 03C8}

soit

purement

radial

_(en

_imposant

au

potentiel

vecteur

d’être

_purement

_tangentiel

sur les

faces +

W/2).

Nous écrirons donc

_{d’après (1.1)}

d’où,

en

_portant

dans

_(2.4)

.

Dans cette

_équation,

J, doit être

_remplacé

_par

l’expression

(1.7).

Introduisons les notations

avec

Ao

est

_indépendant

du

_temps.

Notant en outre _que

nous _{pouvons écrire}

(2.6)

sous la forme

où

est un _vecteur

_purement

radial.

Dans le cas des

_métaux,

_l’angle

de Hall

_{(lH Bo}

est faible et dans

_(2.7)

le terme en

(lk

B2ô

est tout à fait

_{négligeable.}

A la

_fréquence

(ù nous _pourrons

donc écrire

_{plus simplement,}

à l’intérieur du

_métal,

en introduisant la

pénétration

et à l’extérieur

Nous avons différencié les notations _{pour le}

potentiel

vecteur à l’intérieur et à l’extérieur du

disque.

3. CALCUL DE LA TENSION INDUITE DANS UNE SPIRE COAXIALE. - Pour résoudre les

équations

(2.8)

et

_(2.9)

il est commode d’utiliser la transfor-mée de Fourier à deux

_dimensions,

dans

_laquelle

l’image

de

_U(r,

_z)

est le vecteur : ’

U(r, z)

est relié

_àV(,

_{z) par}

178 A

.

l’image

de rot U est donc le vecteur

Il en résulte que

_l’image

de rot rot U est

Le dernier terme est

_dirigé

selon Oz.

Écrivons

d’autre

_part

que div U = 0 ,

par suite

ce

qui

_permet

de

_{simplifier l’expression}

de

AU = - rot rot U dont la

composante

située dans

le

_{plan xOy}

s’écrit finalement :

Dans le calcul du flux

_par

_{l’expressions}

_(2.2)

il suffit de connaître la

_composante

_angulaire

de U à l’extérieur du

_disque.

_Or,

du fait de la’

_symétrie

de

_révolution,

la transformée de l’une _des

compo-santes

_cylindriques

d’un vecteur est _la compo-sante de même nature de la transformée du

vec-teur,

comme on

_peut

s’en assurer aussitôt sur

l’expression

(3.1).

Nous pouvons donc écrire fina-lement la transformée de la

_composante

_angulaire

de

_{l’équation}

_{(2.6) :}

où

Vo(i)

est

_l’image

de la

_composante

_UO(i)

de

U(i)

et

_Jo(Rt)

la fonction de Bessel d’ordre zéro de Rt.

D’après

(2.9),

on aura de

_même,

à l’extérieur

Pour obtenir Ve il suffit de résoudre les

équa-tions

_(3.2)

et

_(3.3)

en écrivant la

_continuité

du

potentiel

vecteur et de sa

_dérivée,

donc du

vec-teur

_Ve,

aux limites z

_{=: ±}

_{W/2 .}

Vo

_doit,

en

outre,

être nul à l’infini. Nous

_envisagerons

d’abord le cas où

dans

_lequel

on

_peut

considérer _{que le} courant

’ radial

est uniforme en _z, c’est-à-dire

Posant

et

on trouve

_{simplement :}

D’où

En revenant à

_l’original

nous obtenons

UO(e)

à la

cote

_[zl

et à la distance r de l’axe :

En associant sous le

signe

les

éléments

symé-triques

par rapport au vecteur _r,

_{l’intégration}

sur

les

_angles

fait

_apparaître

la fonction de Bessel

_J1(rt).

Le résultat se

_présente

alors sous la forme d’une

intégrale

en t.

L’expression

du flux dans la

_spire

_{de rayon} r =

a, située à la distance

_jjzf

-

W /2

= b du

_disque,

s’obtient _par

_intégration

en r et la tension s’en déduit en

multipliant

_par m :

Nous avons

remplacé

w _par

_{2 /MO}

03C3e2.

4. ALLURE DE LA

RÉPONSE

EN

_FRÉQUENCE.-

On

ne

_{peut espérer}

obtenir une

_{expression explicite}

de v à

_partir

de

_{(3.4). Toutefois,}

si

_{l’épaisseur}

du

disque

est assez faible la condition

sera réalisée _{pour la}

plupart

des

spires

de la bobine.

Selon la

_position

de e _par

rapport

à l’intervalle

(W, b)

on

_peut

alors définir trois domaines de

fréquence

à l’intérieur de chacun

_desquels

l’inté-grale

se

simplifie

et

peut

être

complètement

calculée.

4.1. BASSES

_{FRÉQUENCES. - Nous remarquons}

d’abord _que l’élément différentiel de

l’inté-grale

(3.4),

qui

est le

_produit

_par e-bt d’une

fonc-tion décroissante

_{de t,}

n’a de valeur

_appréciable

_que

Par suite dans le domaine basse

_fréquence

défini

par

on

_peut

écrire

et

L’expression

de v devient donc

L’intégrale

en

_J,

est

_{élémentaire ;}

_{l’intégrale}

en

_{Jo J1}

est calculée en

appendice

sous la forme d’un

_{développement}

en

1/R.

On trouve finalement :

avec

Ce résultat a été

obtenu

_{précédemment}

_par

application

de la formule de Neumann

_[6].

Dans ce

domaine de

_fréquence

la tension induite est

propor-tionnelle à la

_fréquence.

4.2.

_FRÉQUENCES

INTERMÉDIAIRES. - Dans la

gamme de

fréquences

définie par

nous _avons, dans l’intervalle utile

et

Si l’on

_peut

en outre

négliger

2 Et /W

B/2i

devant

2i/E

ce

qui

est le cas

_lorsque

on

_peut

écrire

La nouvelle

_intégrale

se déduit de la

précédente

en dérivant _par

_rapport

à b. On trouve :

avec

Il est intéressant _{de remarquer que} dans cette gamme, le

signal

est

_indépendant

de la

_fréquence

et inversement

_{proportionnel}

à W. La

_réponse

en

fréquence

présente

un

_palier

dont le

_prolongement

rencontre la

_tangente

à

_l’origine

au

_point

de

fré-quence l/e§ tel

que,

d’après

(4.1)

et

_{(4.3) :}

Négligeant

les termes correctifs en

_{1 /R,}

on

a :

4.3. HAUTES

FRÉQUENCES.

- Aux

fréquences

telles que

on ne

_peut

_plus

_{supposer que le} courant radial est uniforme en z. Si l’on admet que la réaction des

courants circulaires sur le courant radial est

négli-geable,

on

_peut

_prendre

ce

_qui

correspond

à la

répartition

en z du courant

radial en l’absence de

_champ.

La résolution des

équations

(3.2)

et

_(3.3)

conduit alors à

Dans le calcul de v où

cette

_expression

se

_simplifie

_beaucoup

car

On trouve :

D’où par un calcul très

_analogue

aux

précédents

Le

_signal

croît

_{proportionnellement}

à

_vcù.

Finalement,

l’allure de la

_réponse

en

fréquence

pour des

épaisseurs

variables est celle de la

figure

3. En

_rapprochant

_(4.3)

et

(4.7)

on voit

_qu’au

point

180 A

--FIG. 3. - Allure théorique du _comportement en _fréquence du module de _{la tension induite dans la bobine pour} diverses valeurs de

_{l’épaisseur}

W du disque.

.Remarque :

Il est

_possible

de tenir

_compte,

dans les calculs

_{qui précèdent,}

_{du rayon ro de} la

con-nexion centrale.

_{L’expression}

1-

_Jo(R)

doit alors être

_remplacée

_par

_Jo(ro

_t)

-

J o(Rt) et le

résultat

peut

s’exprimer

sous la forme d’un

développement

en

puissance

de ro.

Toutefois,

les termes correctifs

qui apparaissent

peuvent

être rendus tout à fait

négligeables

si r. est suffisamment faible.

Étude expérimentale.

r-- 1. DISPOSITIF

EXPÉRI-MENTAL. - Les mesures ont

_porté

sur des

_disques

de cuivre de diamètre 2R =

1,8

_cm dont les

épais-seurs étaient

_comprises

entre

_0,02

et

0,2

mm. La

résistivité était de

En

_adoptant

une densité d’électrons de

1,1

X 1023

cm-3,

la mobilité

qui

se déduit de _p est

Le

_point

de transition du

domaine intermédiaire

et du domaine haute

_fréquence

défini _par

se situait vers _{80 Mc pour les} échantillons de

0,02

mm et 800 _{kc pour les} échantillons de

_0,2

mm.

Or,

il est difficile de

_fabriquer

une bobine

détec-trice assez sensible dont la

_fréquence

de résonance

soit

_supérieure

à

_quelques

centaines de kc. Le

domaine haute

_fréquence

est donc

_pratiquement

inaccessible

_et,

_pour observer

convenablement

le domaine

_{intermédiaire,}

nous avons dû réduire à 500

I e nombre de

_spires.

La

_fréquence

de résonance

était alors

_supérieure

à 250 kc. .

Pour une bobine de dimensions

A1,

A2,

B1, B2,

de section S =

(A2

-

A,) (B2

-

B.1), et de N

spires (fig.

1),

le coefficient

_{géométrique}

_{défini par}

(4.2)

et

_(4.4)

vaut :

dans le domaine basse

_fréquence

et

dans le domaine intermédiaire. Les

_intégrales

sont étendues à la section de la bobine. Avec les valeurs

que nous avons

_adoptées

on trouve

L = _{(0,27 ± 0,02) cm et K} = 0,88 _{± 0,05.}

Les corrections en

_{1 /R3}

sont

_{négligeables.}

Le

_disque,

muni d’une électrode centrale et d’une électrode

_{périphérique}

divisée

_{( fig. 2)}

était alimenté

par un

_générateur

de

_fréquence

variable entre 100 c et 250

_kc,

suivi d’un

_{amplificateur}

de

_puissance

adaptateur d’impédance.

Le

_{signal parasite}

dû aux

dissymétries

inévitables était

_compensé

en

gran-deur et en

_phase

_par un

_signal

dérivé du

géné-rateur. Le résultat du

_mélange

entre le

_signal

prin-cipal

et le

_signal

de

_compensation

était

_envoyé

sur un

_{amplificateur}

sélectif 0 - 100 kc et mesuré

au voltmètre. Le bruit de l’ensemble ramené à l’entrée n’excédait pas

0,3

(Jo V (fig.

4).

FIG. 4. -- Schéma de

principe

du

_dispositif

de mesure de l’effet Hall.

2.

_RÉSULTATS.

DISCUSSION. - Les

mesures

effectuées sur

cinq

échantillons dans la _gamme

0 - 100 kc ont

permis

de relever le réseau de courbes de la

_figure

_5,

sur

_{lequel apparaissent}

nettement le domaine basse

_fréquence,

_linéaire,

et

le domaine intermédiaire où le

_signal

est

sensi-blement constant. On vérifie en outre _que

l’inter-section de la

_tangente

à

_l’origine

et du

_palier

se

produit

à une

fréquence 1 Je(

en bon accord

l’ex-pression

(4.6)

appliquée

à

la spire

_{moyenne de} la

bobine.

Le courant dans le

_disque

était de 1 A et l’induc-tion

_magnétique

de

_(0,87

±

0,06)

Wb m-2. Avec

les valeurs ci-dessus des coefficients

_{géométriques}

L et

_K,

on trouve

FIG. 5. -

Réponse en _fréquence de l’effet Hall dans le cuivre pour des disques de différentes

_épaisseurs

W.

La

_figure

6

_représente

le

_signal

« intermédiaire»

en fonction de

1 /W.

De la

_pente

de la droite

obtenue,

on tire

_d’après

(4.3) :

FIG. 6. - Variation du signal « intermédiaire a

en f onction de l’inverse de

_{l’épaisseur}

du disque.

L’accord avec la valeur attendue de _{(lH est}

satis-faisant. Il semble _{que dans le} domaine

intermé-diaire on obtienne des valeurs

systématiquement

plus

faibles. Cela

_peut

_provenir

des

_hypothèses

simplificatrices

que nous avons faites dans ce cas

et

_qui

sont certainement en défaut pour les

_spires

situées très

_près

du

_disque.

Conclusion. - Nous

avons déterminé la tension induite dans une bobine extérieure _par les

cou-rants de court-circuit de Hall

_{qui apparaissent}

dans

un

_disque

alimenté en courant radiaux et

_placé

dans

un champ magnétique perpendiculaire

à son

plan.

L’étude

_théorique

est basée sur le calcul du

potentiel

vecteur à

_partir

des

_équations

de Maxwell

et de

_{l’équation}

de Boltzmann. La transformation de Fourier

_permet

de mettre le résultat sous la

forme d’une

_intégrale

_par

_rapport

à la variable

réciproque.

Dans des bandes de

_fréquence

bien déterminées où certaines

_{simplifications}

_{apparaissent,}

on

_peut

en déduire une

_{expression théorique}

du coefficient

géométrique

du

_dispositif

_et,

_par

_suite,

de la mobi-lité de Hall. ’

La confrontation avec

_{l’expérience}

dans le cas du

cuivre conduit à une valeur de la mobilité en bon

accord avec celle

_qui

_peut

être _{obtenue par des}

mesures

classiques.

Il existe une limitation vers les

fréquences

supé-rieures,

dues aux

_{capacités parasites.}

Cependant,

outre sa bonne

sensibilité,

cette méthode

_présente

l’avantage

d’être insensible aux effets

thermoélec-triques

et

_{thermomagnétiques.}

De

_plus,

elle évite

l’emploi

de contacts de tension

_qui

introduisent

toujours

des _erreurs, difficiles à

_apprécier,

en

parti-culier à basse

_{température.}

’

APPENDICE

Calcul de

l’intégrale

’

On

_peut

écrire

Où

182 A

On obtient le

_{développement}

_et,

en

intégrant

en R

Manuscrit reçu le 2 mars 1964.

BIBLIOGRAPHIE

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