Effet Hall dans les métaux par mesure de la résistance de surface

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Submitted on 1 Jan 1968

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Effet Hall dans les métaux par mesure de la résistance de surface

J. Gilchrist

To cite this version:

J. Gilchrist. Effet Hall dans les métaux par mesure de la résistance de surface. Journal de Physique,

1968, 29 (11-12), pp.990-996. �10.1051/jphys:019680029011-12099000�. �jpa-00206752�

EFFET HALL DANS LES

MÉTAUX

PAR MESURE DE LA

RÉSISTANCE

DE

SURFACE

Par

J. GILCHRIST,

Centre de Recherches sur les Très Basses Températures, ^{B.P. n°} 319, 38-Grenoble.

(Reçu

^{le 24}

juin 1968.)

Résumé. - L’échauffement d’un échantillon soumis à un

champ magnétique

^tournant

et à un

champ

fixe fournit une valeur de

l’angle

^{de Hall.}

L’emploi

^{du cuivre et de l’or a}

permis

de mettre en évidence une résonance hélicon

lorsque

l’échantillon est très mince, ^de montrer

qu’on peut

^tenir

compte

^de l’effet de peau anormal et de voir une résonance

acoustique

^liée

à la

présence

^des

champs magnétiques.

Abstract. ²⁰¹⁴ It is shown how the Hall

angle

may be determined from the

heating

^{of a}

specimen subjected

^{to a}

circularly polarised

^{and a constant}

magnetic

^field.

Experimental

results obtained with noble metals illustrate the occurrence of a helicon resonance when the

specimen

is thinner than usual, show how the anomalous skin effect can be taken into account, and demonstrate how

absorption

of power ^{can also occur}

by

^the

generation

of ultrasound.

I. Introduction. ^- Le but de ce

papier

^{est de}

pr6-

senter une

technique

^{de mesure du}

rapport Pxv/Pxx

^du

tenseur de r6sistivit6 d’un echantillon soumis a un

champ magn6tique Ho, parall6le

^{a l’axe des z. «}

L’angle

de Hall » d’un _corps

isotrope

^{est note arctan}

(Pxv/Pxx)

et

parfois Pxv/Pxx. ^Ici,

^nous 1’ecrivons

Pxv/Pxx

^{= u et}

rappelons

que dans ^un modele d’61ectrons libres

u = w i ou _wc est la

frequence

^de

cyclotron

^{et r le}

temps de relaxation.

Si la mesure habituelle de cet effet utilise la tech-

nique classique

^a

cinq contacts, l’effet

^Hall peut ^aussi 6tre 6tudi6 _par la resonance helicon

[1, 2].

^Cette

dernière m6thode necessite la mesure de

l’amplitude

de la force electromotrice

(indépendamment

^{de la}

phase)

induite dans une bobine entourant 1’6chan-

tillon,

dont 1’axe est

perpendiculaire

^a celui d’une bobine d’excitation et a

Ho.

^Cette

amplitude

^est pro-

portionnelle

^a

I [Lx v ^I,

^ou

[[L]

^{est le tenseur de}

permea-

bilit6

complexe

^efficace

[1]. L’avantage principal

^de

la

technique

^{helicon est} l’absence de contacts elec-

triques

^sur

l’ échantillon,

^contacts

parfois

difficiles a r6aliser et meme d6t6riorant 1’echantillon. De

plus,

elle permet

1’emploi

d’echantillons

plus 6pais,

^{de di-}

mensions relativement

plus uniformes,

^et

plus

purs. La

technique

que ^nous d6crivons

ci-dessousjouit

^{des m6mes}

avantages

^et

permet

^{d’obtenir certains resultats}

qui

seraient

plus

difficiles a trouver autrement.

II. La

technique experimentale.

^{- Comme} pour

un montage ^{de resonance}

helicon,

1’echantillon en

forme de

plaque

^{est monte}

perpendiculairement

^a

Ho.

Une

paire

de bobines ^est

dispos6e perpendiculairement

FIG. 1. ^- Schema de

1’appareil ;

^{un reseau}

passif

^donne

deux

signaux

^{de haute}

frequence

dont la difference de

phase 7r/2

^est controlee par ^un

oscilloscope.

^L’6chan- tillon,

plonge

^{dans un}

champ polarise

circulairement, ^est lie a un thermometre maintenu a

temperature

^constante

par ^un

syst6me thermostatique.

^{La mesure du courant}

dans la bobine de

chauffage permet

^la determination de la

puissance

absorbee par 1’echantillon ^a 10-9 W

pres.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019680029011-12099000

991

a

Ho.

^Deux differences essentielles a noter toutefois : les deux bobines sont alimentees en courant alternatif d’une part, ^{et d’autre}

part

^les

champs

alternatifs ^sont

pratiquement

^{amortis a zero au centre de} l’échantillon

(voir § III).

^{Si le}

principe

^de

1’appareil

^a

d6jh

^6t6

d6crit

[3],

^nous y ^avons

apporte

des ameliorations notables et le schema

complet

^est

represente

^{sur la}

figure

^{1. Ce}

syst6me

permet ^{de mesurer} directement la

puissance

^absorbee par 1’echantillon dans un

champ

circulairement

polarise

^et dans les conditions d’6cou- lement uniforme de chaleur. Le sens de la

polarisation

et du

champ Ho (fourni

par ^une bobine

supraconduc- trice)

^{peut etre}

change independamment,

^{et nous utili-}

serons les

quatre permutations

pour obtenir u.

Pour exposer la

th6orie,

^nous empruntons ^{la nota-} tion

complexe

^{oii v =} Va; +

ivy exprime

^les compo- santes d’un vecteur v transverse a 1’axe des z. veicot d6-

note un vecteur

qui

^{tourne dans le sens d’une}

particule

de

charge positive (Ho

>

0).

Une valeur

negative

^{de (0}

correspond

^{au sens} de rotation inverse.

L’impedance

de surface

s’exprime R

^{+ iX =}

4niEm/Hm

^ou

Em

^est

l’amplitude (complexe)

^du

champ electrique

^{a la}

surface, qui correspond

^{a un}

champ magn6tique H.

eiCJ>t ^t

(mettons H. reel).

^{Le vecteur de}

Poynting

^{est une}

constante, ^{normale a} la surface et de

grandeur Re{iEmH/4n}

⁼

RH/16n2,

^ce

qui

^montre que 1’echauffement de 1’echantillon est bien

proportionnel

a

R,

pour

Hm

donne. Si 1’effet de _peau ^est

classique () k ) ^{I «} 1),

^les

champs

alternatifs varient comme

e-ikz

^{ou :}

Donc R ⁼ 47rw

Re 11 Ik I

^{dans le cas} d’un matériau

non

magn6tique.

^{Pour les}

frequences qui

^{nous int6-}

ressent, I w T

^{1. Alors en}

champ

^{nul R = 27r )}

I (0 8

ou

ð == Ý 1/ (27t I (0 I G) .

^{Si on mesure la}

puissance absorbee, P(+ (0),

pour

chaque

^{sens de rotation du}

champ,

^a

amplitude

^et

frequence fixes,

^on peut former :

oii g

^{est le}

rapport

^{entre la}

superficie

totale de 1’echan- tillon et la

partie

^{normale a}

Ho.

^Par

exemple,

pour ^un

disque

de rayon ^{r et}

d’6paisseur h, g

⁼

(1

⁺

hlr).

Si on

envisage

^{le cas ou}

hjr «

^{1 et la} resistance de surface de la

p6riph6rie

^est

approximativement

On peut determiner u

puisque,

^a 1’aide de

1’6qua-

tion

(1) :

Comme dans nos

experiences

^u

^1,

^on

peut

^{écrire :}

Il se trouve

justement

que la m6thode ^est la

plus

avantageuse dans l’intervalle

0,01

^{u 1. Pour u}

faible,

la forme de la resonance helicon devient ind6-

pendante

de la valeur exacte de u et il est n6cessaire de la calculer a

partir

de la valeur absolue de l’induc-

tance mutuelle des deux

bobines, procédé qui

^entraine

n6cessairement une incertitude. La

technique

^calori-

m6trique,

par contre, permet ^{d’obtenir u a une}

pr6ci-

sion

de =b 0,001

par des mesures relatives exclusive-

ment. Bien

sur,

^{il faut}

ajouter

^{a cette} incertitude absolue une erreur

probable

de l’ordre

de +

³

%.

Nous pensons que la

plus

grave ^source d’erreurs à craindre sera

g6om6trique,

provenant ^{soit de}

1’absorp-

tion

d’energie

par la queue de

1’echantillon,

^{soit des}

irrégularités

^{de la} surface. L’influence des

irrégularités

devenant

plus

^{forte aux}

frequences plus 6lev6es,

^les

resultats obtenus

indiquent

l’absence d’une erreur

importante

^{de cette}

origine.

^Par contre, ^il n’est _pas n6cessaire de connaitre

1’epaisseur

de l’échantillon

avec une

grande precision,

^{et, a} la difference de la

technique

^{de resonance}

^helicon,

^une

16g6re

^non-uni-

formit6

d’6paisseur

n’est pas

g6nante.

^{La m6thode}

calorimetrique

permet de tol6rer une certaine

ellip-

ticité de la

polarisation

^des

champs

^{sans introduire}

une erreur

appreciable,

^car 1’erreur relative est pro-

portionnelle

^a l’excentricité a la

puissance

^{4 et non}

au carr6 de l’excentricité comme dans une

technique

lineaire.

Dans les sections

suivantes,

^nous 6tudions diverses influences sur la resistance de surface apparente, ^et u*.

Pour ces

etudes,

nous avons utilise trois 6chantillons

et 1’ensemble des

propri6t6s caractéristiques

^{sont re-}

groupees

^{dans un} seul tableau.

III.

Échantillon trop

^{mince. - Pour le calcul de}

la section

pr6c6dente,

nous avons

suppose

que

1’epais-

seur h de 1’echantillon est suffisante pour que l’inter- f6rence des

champs p6n6trant

^{a travers} les surfaces

oppos6es

^soit

negligeable. Ici,

^nous consid6rons le cas

ou

l’épaisseur

^r6duite

p(= hla)

^est de l’ordre de l’unit6.

Supposons

que les surfaces de 1’echantillon ^se situent _{a z = +}

h/2

^et consid6rons la

partie

^du

potentiel

^vecteur

qui

^{tourne a la vitesse w,} telle que

a -->-

a(z)

^{eiWt et}

a(0)

^{= 0.}

a (z)

^{doit etre} de la forme as sh

(ikz)

^{oii k est donne} par

1’equation (1).

^Pour

assurer la continuite a la

surface,

^{on a :}

Si nous 6crivons

R(p) H.’/16 TC2

^{pour la}

puissance

absorbee _par unite de

surface,

^nous remarquons que

R(p),

la resistance de surface

effective,

^n’est

plus

^une

TABLEAU DES

ECHANTILLONS

(a)

^{Par le}

poids

de 1’echantillon dont l’aire est d6termin6e a 2

% pres

a l’aide du

papier

millimetre.

(b)

^{Fstfin6 a}

partir

^{de la} resistance de surface seulement.

(c)

Mesure par ^Mlle F.

Lapierre.

propriete intrinsèque

^du

materiau,

^{mais une fonction}

de

l’épaisseur

^de 1’echantillon. Ainsi :

d’où :

ou :

C’est le resultat bien connu de Chambers et

Jones [1]

^etabli par la m6thode de la

permeabilite

moyenne

efficace,

que l’on peut obtenir aussi _par le calcul direct de

EmI Hm

^a la surface. Sur la

figure

²

sont montr6es les fonctions

R (p) / (27c I (ù I a)

^et

u* ju

pour diverses valeurs de ^u. En

particulier,

^{il faut noter} que,

lorsque

^u -> 0 :

R(p)/(27r ) 8) (sh P

^{- sin}

P)/(ch P ⁺

^cos

P) (6)

et :

993

FIG. 2. ^- Resistance de surface en fonction de

1’6paisseur

de l’échantillon : _++++,

R (p) /(2,n I c.> 18)

pour ^uw > 0 ;

R(P)/(27r w 8)

pour ^uw 0; ^{les traits} continus sont des fonctions

u*/u correspondantes.

Il est a noter que, pour ^un echantillon donne, ^la coordonnee ho- rizontale est

proportionnelle

^a

VI,

^{comme sur les}

figu-

res 3, ^{5 et 7.}

ceci 6tant

toujours

^{bon a 1}

% pres, quand u 0,1.

Donc,

pour ^u

faible,

^on peut ^utiliser

1’equation (4)

a 1

% pres

^{a condition}

que P

> 7. Les resultats

exp6-

rimentaux de la

figure

^{3 montrent} bien l’allure de la fonction

(7).

Pour les valeurs de u

plus 6lev6es, R( + to)

^{a un}

comportement

^de

plus

^en

plus oscillatoire,

^tandis que

R(- w)

^{atteint sa} valeur limite suivant une loi de

plus

en

plus exponentielle. u* /u

^est 6troitement lie à

I p,,,,y 1 [1],

^et,

comme I [Lxv I,

^ce rapport ^{a un maximum} pour ^une valeur

de P

tres voisine de

7c2 ⁽¹

⁺

^U2)1/4,

y2

IV. L’influence du libre parcours des electrons. ^- La theorie de l’effet de peau anormal

[7] exprime

l’influence du libre parcours moyen 1 dans le cadre d’un modele d’61ectrons

libres,

par la

quantite

^sans

dimensions,

^{a =} 37rco 12 Cy

=3 _12/32,

^{où 8 est}

_toujours

4

la

profondeur

^{de peau}

classique

^en

champ

^{nul. L’im-}

pedance

de surface

(a Ho

⁼

0)

^a ete calcul6e _pour les

FIG. 3. ^- Resonance helicon de 1’echantillon or-fer : ., u* en 4,97 k0152; ^{o, u* en} 9,94 k0152. Les courbes

th6oriques

^{sont obtenues a}

partir

^{des valeurs donn6es}

dans le tableau des echantillons. Le coefficient de ^Hall a 4,97 k0152 ^{est de} l’ordre de - 8,0 ^{X 10-4 u.e.m.}

deux cas suivants : reflexion

sp6culaire

^des

porteurs

de

charge

^sur la surface et diffusion avec une

probabi-

lit6

6gale

^a

chaque

^element

d’angle

^{solide. Dans}

chacune de ces formules intervient une

int6grale

^de

la

forme f: f(q,

^w,

^{(Jq) dq}

^{ou 6q est la composante}

de Fourier de la conductibilit6 _pour le nombre d’onde _q. Aux tres hautes

fr6quences,

sq doit _compren- dre le facteur

1/(l

+

iCJJ’r)

pour tenir

compte

^{de 1’effet} de retard. Ceci est valable _pour un

champ

circulaire-

ment

polarisé, mais, lorsque Ho =,4 ^0,

^{il faut rem-}

placer 1/ (1

⁺

iCJJ’r)

par

1/ (1 - iu

⁺

iCJJ’r),

^ce

qui

revient a se

placer

^{dans un} referentiel tournant a la

frequence

⁺ wc.

La

figure

^{4 montre} des resultats de nos calculs.

Nous n’avons _pas utilise les formules de Reuter et

Sondheimer

[7]

pour le cas u >

I /A/3,

^{mais les d6ve-}

loppements

^de

Dingle [8]

^en

puissance

^{de a1/2 et}

de

OC-1/3,

^valables pour ^tout u, a condition _que oc soit

assez faible ou assez fort

(1).

^{On voit} que la correction a apporter ^{a la formule}

classique pour u* (6q. (4))

^est

nettement

plus importante

^{dans le cas de la}

^diffusion, qui

^{est le}

plus

^{r6aliste. En}

effet,

^{dans le}

d6veloppement

de

Dingle

^en

(Xl/2,

^le

premier

^terme de correction ^est

(1) Lorsque uw/ co ] > 1/y3,

^les

intégrands

^{de Reuter}

et Sondheimer ont une

singularité

^à 1’interieur de la zone

d’application

^du th6oreme de

Cauchy.

FIG. 4. ^- Le

rapport

entre u* et u pour diverses valeurs du libre parcours moyen : traits continus, ^{diffusion sur} la surface; ^traits discontinus, ^réflexion

speculaire.

Chaque

^{courbe est} obtenue pour (ù’t’ -> 0, ^{sauf la} courbe en

pointillés.

en

oc 112

^tandis que pour la reflexion

sp6culaire

^{il est}

en oc.

Les resultats

experimentaux

pour 1’echantillon

Cul,

sur la

figure 5,

^sont bien decrits _par les courbes th6o-

riques

^a

l’approximation

de diffusion. La variation du u* de

Cu2

^{avec la}

frequence

est nettement

plus importante

que celle de

Cul.

^Il y ^{a un} facteur

2,0,

par

exemple,

^entre les valeurs a 550 kHz et;h

4,2

^MHz.

Il semble _que la meilleure

façon

^{d’obtenir u est de}

rapporter

les valeurs de u* en fonction de

ilf

^et

d’extrapoler

^a

ýJ ==

^0.

V. Rdsonances diverses. ^- Nous avons discute la

propagation

d’une onde

électromagnétique

^{dans un}

conducteur continu

(III),

^et

puis

nous avons tenu

compte

du libre parcours des porteurs ^de

charge (IV).

Dans un conducteur

reel,

il faut examiner en

plus

^la

possibilite d’absorption d’6nergie

par ^une deformation du reseau des ions ^et _par ^une interaction avec des

moments

magn6tiques.

RESONANCES ACOUSTIQUES. ^-

Quand

^{cor 1 et}

ql 1,

^cas

envisage

^{dans ce}

travail,

^il

n’y

^a pas d’interaction entre une onde

électromagnétique

^{et le}

FIG. 5. ^- u* de l’ échantillon

Cul

^{en fonction de la fr6-}

quence, a 4,97 k0152

(e)

^{et a} 9,94 k0152

(o).

Les courbes

th6oriques

utilisent les valeurs donn6es dans le tableau des 6chantillons.

reseau,

sauf dans un

champ magn6tique

^{non nul.}

Lorsque Ho"# 0,

l’interaction

signal6e

^{par Houck}

et al.

[9]

et autres

[10-12]

^a lieu. Cette interaction 6troitement li6e a l’effet Hall donne lieu a une onde ultrasonore

polaris6e perpendiculairement

^{a la fois}

a

Ho

^{et au courant} alternatif dans la couche

superfi-

cielle. Nous _pouvons donc

expliquer

les resonances

repr6sent6es

^{sur la}

figure

^{6. A} 1’aide de

I’hypoth6se

selon

laquelle

la resonance se

produit quand 1’epaisseur

de 1’echantillon est la moiti6 d’une

longueur d’onde,

on

peut

estimer la vitesse du son transverse

(voir

tableau des

6chantillons)

^{et, a}

partir

^des

largeurs

^des

resonances,

estimer les coefficients d’amortissement.

Sur la

figure 6,

^{il faut noter} que l’intensit6 de la r6so-

nance a

9,94

^{k0152 est} presque

quatre

^{fois celle à}

4,97

^{k0152 et a} peu

pres

^{la meme pour les deux}

polari-

sations

(ou

^bien pour ^une

polarisation lineaire) .

En ce

qui

^concerne la valeur absolue de l’intensit6 de la

resonance,

^on peut ^noter d’abord que la

puis-

sance

dissip6e

par conduction

electronique (par

^cm2

de

surface)

^{est de w}

8Hm/16n.

^La theorie 616mentaire

montre que,

lorsqu’un

oscillateur

harmonique

^d’une

masse M est excite a sa

frequence

de résonance 6> _par

une force

d’amplitude F,

^la

dissipation

^de

puissance

est en

QF2/26>M.

En ordre de

grandeur,

^{M est la}

masse de 1’echantillon

(par cm2)

^{et :}

995

FIG. 6. ^- Resonance

acoustique

^de 1’echantillon

CUI.

^La

resistance de surface ^en

champ

^nul,

R(0),

^est presque constante dans _{la gamme} 4,08 MHz-4,12 ^MHz.

.,

R(H) /R(0)

pour ^les deux

polarisations

^à 4,97 k0152 ;

o, a 9,94 k0152. La difference de niveau des

paires

^de

lignes

loin de la resonance donne u* mais seulement

approximativement,

^{car ici nous n’avons} pas elimine

une erreur

provenant

d’une derive

electrique.

les deux autres facteurs 6tant le

champ electrique

^et

la

charge,

^{et n} la concentration

electronique.

^On

s’aper- çoit

que :

Pour 1’echantillon

Cul

^{a 10 k0152 et a 4 MHz :}

ce

qui correspond

^{bien a} l’observation. Nous avons

cherche ^sans succ6s

l’harmonique

^{aux environs de}

12,3 MHz,

^{mais nous} pensons que les faibles r6so-

nances visibles a la

figure

⁶

(ainsi qu’une

^{autre à}

4,15 MHz) proviennent

^{des autres modes}

acoustiques,

pas n6cessairement transverses. Il s’av6re que, loin d’une

resonance,

^la

puissance

^{convertie en ultrason}

sera ordinairement

n6gligeable.

RESONANCES

MAGNETIQUES

NUCLEAIRES. ^- On peut remarquer que ^la R.M.N. peut ^{etre detectee}

[13]

^dans

des conditions

favorables,

^{mais si} 1’echantillon est

m6tallique

^{et massif nous} pouvons la

negliger comple-

tement devant

l’absorption

par les electrons de conduc- tion. La R.M.N. ^est excit6e _par la composante ^{de la}

polarisation

^du

champ électromagnétique qui

^corres-

pond

^{au sens de}

precession

^des

spins nucl6aires,

^tandis

que les resonances

acoustiques

^{sont excit6es}

ind6pen-

damment de la

polarisation.

VI. Conclusions. ^{- Les mesures} de la resistance de surface

peuvent

fournir des resultats

quantitatifs

^sur

1’effet Hall. Nous n’avons _pas 6tendu ces etudes vers

les m6taux _purs en

champs

^forts

(u

>

1),

^{et nous}

avons

envisage

^surtout

I’application

^aux

alliages

^dilues.

I1 semble

probable

que la

technique puisse

^6tre

employee

^a 1’6tude du tenseur de r6sistivit6 des mono-

cristaux

anisotropes [14].

^En

plus,

1’6tude de u* en

fonction de la

frequence permettrait

^de

determiner,

dans le cas des metaux

plus compliques

que le cuivre

et

l’or,

les mobilites associees ^aux differentes

regions

de la surface de Fermi. Dans

1’appendice,

^nous

expliquons

pour

quelles

^{raisons la}

technique

^est

adaptee

^{surtout a} 1’6tude des

supraconducteurs

^à

1’etat mixte.

L’auteur tient a remercier M. le Professeur P. No- zi6res _pour une discussion

utile,

^{et le}

Groupe

^{de Calcul}

du Laboratoire

d’Electrostatique

^{et de}

Physique

^du

Metal du C.N.R.S. _pour leur aide dans _{les pro-}

grammations.

APPENDICE

Application

^aux

supraconducteurs.

^{- La}

technique

d6crite ci-dessus offre un avantage

suppl6mentaire

pour 1’6tude des

supraconducteurs

^a 1’etat mixte dans le

regime

d’écoulement de flux

magnetique.

^{Les autres}

techniques qui

necessitent un courant continu

[15, 16]

ou de basse

frequence [17, 18]

^{se heurtent}

plus

^ou

moins gravement ^au

probl6me

^de

1’ancrage

^{du flux}

quantifié. Or,

^{on a montre}

[3, 19]

^{que les}

propri6t6s

FIG. 7. ^- L’influence de

1’ancrage

^{de flux} sur R et u*

selon un modele

simple

^{de 1’etat} mixte d’un supra- conducteur. v est une

f requence

^r6duite.

électromagnétiques

deviennent

independantes

^{de 1’an-}

crage au-dela d’une certaine

frequence qui

peut ^se situer dans la _gamme de nos mesures.

L’objet

^du

calcul suivant est d’évaluer l’influence

probable

^de

1’ancrage

^{sur u*.}

Supposons

que la

penetration

^des

champs

peut

s’exprimer,

^{en l’absence}

d’ancrage,

par ^une conducti- bilit6 _af et par ^un

rapport

^{de Hall} uf

(a trouver),

induisant une resistance de surface

R,(co).

^{Pour une}

polarisation

circulaire :

Exprime

^{avec la}

partie variable, aeic.ùt,

^du

potentiel

vecteur

(que

^nous

disposons

transversement a 1’axe des z et zero loin de la

surface) :

OU :

ou [Lxx ^est la

permeabilite

transverse

[20]. Puisqu’il s’agit

^{de flux}

magn6tique (de

^densite

B, I10z)

quan- tifié en unites de

(Do(= h/2e),

^nous

remplaqons a

par iBs

(s

^{6tant le}

deplacement

^des

quanta

^{de flux a}

partir

^{de leurs}

positions d’equilibre)

^et

B(Do

^{af par 7j,}

le coefficient de viscosite des

quanta

^{de flux}

[21].

Alors :

(A. 3)

^se

presente

^en

quelque

^{sorte comme un}

6qui-

libre des forces _par unite de

longueur

^d’un

quantum.

La

faqon

^la

plus simple

pour tenir

compte

^de

1’ancrage

est

d’ajouter

^{une force de}

rappel

^de

type elastique.

Pour le cas d’un coefficient

elastique

^constant

[19], ^x, (A . 3)

^{devient :}

Introduisons une

frequence

^{réduite v et un nombre}

d’onde r6duit

I(,

^d6finis par :

Selon

(A. 4) :

Quand

u f ^- 0 :

ou :

et :

Les fonctions

(A. 7)

^et

(A. 8)

^sont

rapport6es

^{a la}

figure

^{7 en} fonction de

Jv.

^Le maximum de

u*luf (valeur 1,76)

^{semble assez}

prononcé,

mais dans un

modele

plus

^{r6aliste ou X n’est}

plus

uniforme il faut s’attendre a ce que la fonction soit

plus

6tal6e. Pour-

tant le resultat

u*luf

⁼

(1

⁺

4e), quand v »

^{1 et}

R/Rr

⁼

(1 2013 e),

^reste valable dans le cas ou X varie lentement. Par

consequent,

^{nous concluons} que, pour

mesurer uf, ^{il est}

preferable

^{de trouver une}

frequence

telle

que R N R f

^{a une bonne}

approximation,

^et

de supposer que l’influence de

1’ancrage

^est

d’aug-

menter

16g6rement

^u*.

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