Recherche d’arbres de Steiner de longueur minimal : ´el´ements de correction.

(1)

Recherche d’arbres de Steiner de longueur minimal : ´el´ements de correction.

Ecole Centrale Paris Mounib. Mekhilef

6 janvier 2004

Un certain nombre de probl`emes apparaissent lors du traitement de cette question :

– Le coadge binaire bien que robuste cache la nature du problème. Les opérateurs de combinaison et de mutation nous mettent devant un problème de traduction de ce qui se passe. En effet, le changement d’état d’un bit n’a pas de signification directe et facile en terme de structure de l’arbre.

– Dans un algorithme génétique du type évolutionniste (sans passage par un codage binaire), se pose le problème de la nature des opérateurs de combinaison et de mutation. En effet, au delà de la fonction de croisement, se pose celui de l’intégrité de la structure (non redondance des noeuds, passage par un seul noeud, etc)

– Enfin, du point de vue op´eratoire, on doit expliciter et justifer la taille de la population, la strat´egie de rajeunissement de la population (ou de son renouvellement).

1 Premi` ere question

1.1 Mod´ elisation

Soit le cas présenté sur la figure (1). Sur le plan, nous disposons de 6 points (notés de 1 à 6). Dans ce cas quatre points A, B, C et D de Steiner sont proposés, pour lequesls nous recherchons la position optimale.

Nous proposons le codage suivant (2). On considère que l’on se trouve dans une zone du plan définie par une boˆıe [2a, a]. Chaque point est codé en x et y.

(2)

1

2 3 4

6 5

A B C D

Fig. 1 – R´eseau `a 6 noeuds et 4 points de Steiner.

1 0 1 0 0 0 1

position en x position en y etc....

Fig. 2 – Codage binaire d’un chromosome repr´esentant un arbre.

Si on considère que la distance entre les points (horizontalement et verti- calement) est de a, et si l’on désire obtenir une précision dea/p, la longueur du chromosome est ainsi égale à :

l =n.|ln(p/a+ 1)/ln(2)|_>

Où |.|> représente l’entier supérieur le plus proche. et n le nombre de points de Steiner.

1.2 Combinaison

Un opérateur de combinaison efficace est celui qui permet de faire des croisements entre des points identiques. Dans ce cas précis nous avons deux possibilités. La première consiste à générer une position aléatoire entre 0 et l/n et ensuite appliquer la césure pour chacun des points en ce même lieu.

La seconde consiste généner autant de points de césure que de points de Steiner, avec la sous variante qui consiste à différencier les positions en x et y (voir figures 3 et 4).

1.3 Mutation

Pour cet opérateur, aucune difficulté particulière n’est à signaler. Il suffit d’interpréter numériquement le changement d’état d’un bit du chromosome.

(3)

x1 y1 x2 y2 x3 y3

Individu A

Individu B

Seuil de croisement

Fig. 3 – Combinaison simple.

x1 y1 x2 y2 x3 y3

Individu A

Individu B

Seuil de croisement pour point 1

x1 y1 x2 y2 x3 y3

Individu A

Individu B

Seuils de croisement pour point 1

Fig. 4 – Combinaison multiple.

(4)

Il est cependant à signaler qu’un choix doit être fait concernant la probabilité de mutation. Soit on procède par morceaux de chromosome représentant la position d’un point (ou l’une de ses coordonnés), ou la chaine chromosomique complète.

1.4 Mise ` a jour de la population

Différentes startégies peuvent être envisagées. Pour ceux qui veulent étudier l’évolution de l’algorithme, aucune contrainte particulière n’est à poser, en particulier on ne s’attachera pas à garder l’individu (l’abre) présentant la longueur la plus petite, on fera ”confiance l’algorithme”. ceux désireux obtenir une solution et ne pas la perdre au cours du processus de recherche, veilleront

`a construire une nouvelle population en y incluant au moins l’individu le plus prometteur.

2 Deuxi` eme question

2.1 Mod´ elisation

Le problème de la recherche d’un arbre de longueur minimal a une structure particulièrement bien adaptée pour un algorithme de recherche par combinaison. En effet, les opérateurs de croisement et de mutation peuvent avoir un effet direct (compréhenbile). La figure (fig 5) illustre l’opérateur de croisement. Au lieu de coder une structure chromosomique, on code la structure

Fig. 5 – Croisement entre deux arbres.

d’un arbre.

(5)

2.2 Mutation

L’introduction d’une perturbation peut tre faire en modifiant la structure d’un arbre. La permutation de deux branches au sein d’un arbre peut tre consid´er´ee comme une bonne alternative (voir figure 6).

Fig. 6 – Mutation d’un arbre.

3 Addendum

Le code matlab ci-dessous montre comment on peut programmer un algorithme sur le problème associé de recherche de la position des points de Steiner étant donnée la structure de l’arbre (codage binaire).

3.1 Programme principal

% Program TD1

%clear PopInit bounds x Fitness NFitness Pop PopNouv

%clear Enf1 Enf2 Enfm1 Enfm2 clear all

%

global lambda n lchromosome global centres

%

fid=fopen(’temoin.txt’,’w’); rand(’seed’,sum(100*clock)) fonction=’fct1’; ncouples=10; lambda=2*ncouples;

Liste=zeros(1,lambda); n=2; centres=100*rand(1,n); duree=50;

precision=0.001; Pcroisement=0.9; Pmutation=0.01;

bounds(:,1)=zeros(n,1); bounds(:,2)=bounds(:,1)+(100*ones(n,1));

lchromosome=calcbits(bounds,precision); taille=sum(lchromosome);

Pop=round(rand(lambda,taille)); for j=1:lambda

(6)

x=b2f(Pop(j,:),bounds,lchromosome);

Fitness(j)=feval(fonction,x);

end InitFitness=Fitness; Quot=Fitness/sum(Fitness); [fmin fmoy fmax]=statistiques(Pop,Fitness,Quot); Fmin=[fmin]; Fmax=[fmax];

Fmoy=[fmoy];

% fin initialisation generation=1;

%

fprintf(fid,’fin initialisation\n’); while(generation<duree) generation=generation+1;

PopNouv=[];

for i=1:ncouples

[Par1 Par2]=selection(Pop,Quot);

Liste(Par1)=Liste(Par1)+1;

Liste(Par2)=Liste(Par2)+1;

[Enf1 Enf2]=croisement(Par1,Par2,Pop,Pcroisement);

[Em1 Em2]=mutation(Enf1,Enf2,Pmutation);

PopNouv=[PopNouv;Em1;Em2];

fprintf(fid,’generation:[%d] \t couple:%d/%d\n’,generation,i,ncouples);

end

for j=1:lambda

x=b2f(PopNouv(j,:),bounds,lchromosome);

NFitness(j)=feval(fonction,x);

end

Pop=rajeunissement(Pop,Fitness,PopNouv,NFitness);

for j=1:lambda

x=b2f(Pop(j,:),bounds,lchromosome);

if(j==lambda) xbetter=x;

end

NFitness(j)=feval(fonction,x);

end

fbetter=NFitness(lambda) Quot=NFitness/sum(NFitness);

[fmin fmoy fmax]=statistiques(Pop,NFitness,Quot);

Fmin=[Fmin fmin]; Fmax=[Fmax fmax]; Fmoy=[Fmoy fmoy];

Fitness=NFitness;

% disp([xbetter’ fbetter])

plot([1:generation],Fmax,[1:generation],Fmoy,[1:generation],Fmin) drawnow

end

(7)

plot([1:generation],Fmax,[1:generation],Fmoy,[1:generation],Fmin) fclose(fid);

3.2 Croisement

function [Enf1,Enf2]=croisement(Par1,Par2,Pop,Pcross)

%

global n lchromosome

%

cc=[0 cumsum(lchromosome)]; if(rand<Pcross) for i=1:n

seuil=cc(i)+floor(rand*lchromosome(i));

for j=cc(i)+1:seuil Enf1(j)=Pop(Par2,j);

Enf2(j)=Pop(Par1,j);

end

for j=seuil+1:cc(i+1) Enf1(j)=Pop(Par1,j);

Enf2(j)=Pop(Par2,j);

end end else

Enf1=Pop(Par1,:);

Enf2=Pop(Par2,:);

end

3.3 Mutation

function [x1,x2]=mutation(Enf1,Enf2,Pmut)

%

global n lchromosome x1=Enf1; x2=Enf2;

%

for j=1:sum(lchromosome) if(rand<Pmut)

x1(j)=~Enf1(j);

end

if(rand<Pmut) x2(j)=~Enf2(j);

end end

(8)

3.4 Selection

function [p1,p2]=selection(P,f)

%

global lambda

%

seuil=rand; somme=0; while(somme<seuil) p1=1+floor(rand*lambda);

somme=somme+f(p1);

end

%

seuil=rand; somme=0; while(somme<seuil) p2=1+floor(rand*lambda);

somme=somme+f(p2);

end

%

3.5 Rajeunissement de la population

function Nr=rajeunissement(Np,Fp,P,F) global lambda

%

%Ft=[Fp;F];

%Popt=[Np;P];

%[Ft I]=sort(Ft);

%k=0;

%for i=lambda+1:2*lambda

% k=k+1;

% Nr(k,:)=Popt(I(i),:);

%end

%Fp=Ft(lambda+1:2*lambda);

% deuxime mode Nr=P;

3.6 Statistiques

function [fmin,fmoy,fmax]=statistiques(Pop,F,Quot)

%

fmin=min(F); fmax=max(F); fmoy=mean(F); sigma=sum(F);

Quot=F/sigma;

(9)

3.7 Conversion du binaire vers les flottants

function [fval] = b2f(bval,bounds,bits)

scale=(bounds(:,2)-bounds(:,1))’./(2.^bits-1); %The range of the variables numV=size(bounds,1); cs=[0 cumsum(bits)]; size(bval); for i=1:numV

a=bval((cs(i)+1):cs(i+1));

fval(i)=sum(2.^(size(a,2)-1:-1:0).*a)*scale(i)+bounds(i,1);

end

3.8 Calcul de la longueur de la chaˆıne chromosomique

function [bits]=calcbits(bounds,precision)

%

bits=ceil(log2((bounds(:,2)-bounds(:,1))’ ./ precision));

3.9 Fonction objectif

Dans le cas où l’on considère l’arbre tel que définit sur la figure (7), la fonction peut se programmer comme suit décrit ci dessous.

La figure (8) montre une evolution de la population duarnt un processus de recherche et la figure (9) un r´esultat interm´ediaire durant le calcul.

1

2 3 4

6 5 A

B C D

Fig. 7 – Cas particulier.

function y=steiner_6_4(x)

P1x=0; P1y=0; P2x=0; P2y=1; P3x=1; P3y=1; P4x=2; P4y=1; P5x=2;

P5y=0; P6x=1; P6y=0; y=0; y= sqrt( (x(1) - P1x)^2) + sqrt(

(x(2) - P1y)^2); y=y + sqrt( (x(1) - P2x)^2) + sqrt( (x(2) - P2y)^2) ; y=y + sqrt( (x(1) - x(3))^2) + sqrt( (x(2) - x(4))^2);

y=y + sqrt( (x(3) - P3x)^2) + sqrt( (x(4) - P3y)^2) ; y=y + sqrt(

(x(3) - x(5))^2) + sqrt( (x(4) - x(6))^2) ; y=y + sqrt( (x(5) -

(10)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0.04

0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

Fig. 8 – Une évolution non contrôlée permet lapopulation de s’améliorer.

L’individu le meilleur n’est pas gard´e. ici lapopulation est renouvell´ee tota- lement.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Fig. 9 – Un r´esultat interm´ediaire de calcul.

(11)

P6x)^2) + sqrt( (x(6) - P6y)^2) ; y=y + sqrt( (x(5) - x(7))^2) + sqrt( (x(6) - x(8))^2) ; y=y + sqrt( (x(7) - P4x)^2) + sqrt(

(x(8) - P4y)^2) ; y=y + sqrt( (x(7) - P5x)^2) + sqrt( (x(8) - P5y)^2);

y=1/(1+y);