Recherche d’arbres de Steiner de longueur minimal
Ecole Centrale Paris Mounib. Mekhilef
6 janvier 2004
1 Introduction
Le probl`eme de la minimisation d’un arbre de Steiner (MStT) se pose de la fa¸con suivante :
Etant donn´e un ensembleT denpoints sur le plan, appel´es points terminaux, trouver un ensemble S de points additionnels, appel´es points de Steiner, tel que la longueur de l’arbre est minimis´ee.
Ce probl`eme est consid´er´e comme NP-complet.
En dehors du fait que ce probl`eme est particuli`erement bien adapt´e pour un traitement par algorithmes g´en´etiques, il est d’une grande importance pra- tique. A titre d’exemple, nous pouvons citer la conception de grands r´eseaux (t´el´ecommunication, distribution ´electrique, pipelines,. . .).
Dans la version simple du probl`eme, nous pouvons consid´erer que l’objectif principal est la minimisation de la longueur des connections entre les noeuds.
Un nombre donn´e de noeuds doivent ˆetre connect´es pour minimiser la lon- gueur totale obtenue.
Il est probable que le cas le plus connu de cette application est celui fourni par Gilebrt pour la connection ds grandes villes am´ericaines. Traitement qui lui a fait baisser le coˆut total de l’ordre de 240 millions de dollars en consid´erant
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les arbres minimaux de Steiner (MStT) plutˆot que les (MSpT) pour lesquels on minimise le nombre de points de Steiner.
2 Mise en oeuvre
Le probl`eme dit (MStT) est dfinit comme suit :
Un nombre npoints du plan peuvent ˆetre reli´es par des arˆetes de telles fa¸con que tous les noeuds connect´es forment un arbre. Des nombres peuvent ˆetres affect´es chacune des arˆetes pour donner une longeur Euclidienne. La longueur de l’arbre est la somme de la longueur de ces arˆetes.
Parmi tous les arbres possibles, au moins un arbre peut avoir la longueur minimale. Ces arbres sont appel´es (MSpT’s). de fa¸con optimale, un MSpT n noeuds peut ˆetre trouv´e en O(nlog(n)) op´erations.
Cependant, un arbre de longueur plus petite peut ˆetre trouv´e si des noeuds additionnels peuvent ˆetre introduits. Les figures (1 and 2) montrent cet effet.
Fig. 1 – MSpT `a 4 noeuds. Longueur=3.
Fig. 2 – MStT `a 4 noeuds. L’insertion de points de Steiner (points en noir) donne un arbre r´esultant de longueur 2.73.
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Pour minimiser un MStT, il est n´ecessaire de connaitre le nombre de points deSteineret leur position sur le plan. Ce plan comme on l’a dit plus haut est consid´er´e comme NP-Complet. C’est-`a-dire que l’effort de calcul n´ecessaire pour construire la solution optimale est tellement important (il croˆıt exponen- tiellment avec le nombre de noeuds) que seuls les probl`emes avec 17 noeuds ont ´et´e r´esolu de fa¸con exacte `a ce jour. Quelques cas `a 30 noeuds ont ´et´e
´egalement r´esolus.
Pour obtenir des solutions quasi-optimales pour des probl`emes grand nombre de neouds, on utilise des heuristiques. Une des meilleures heuristqieus connues est celle deRayward-SmthetClareutilis´ee pour des probl`emes de taille allant jusqu’`a 80 noeuds.
3 Travail ` a faire
Nous nous pla¸cons dans le cas de la recherche d’un arbre deSteiner minimal.
On consid`ere connu le nombre de points. Nous recherchons la position des points dans le plan.
Proposez un codage binaire de la population (construction d’un chromo- some) dans laquelle chaque chromosome repr´esente un arbre de Steiner. On expliquera le choix des op´erateurs de combinaison et de mutation. Analyse critique.
Dans un deuxi`eme temps, je vous propose de trouver un codage plus appro- pri´e pour un arbre. Trouvez les op´erateurs de combinaison et de mutation.
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