« Marquage Laser »

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DM2-2014_CORRIGE

« Marquage Laser »

Présentation du système :

Sur les lignes de fabrication, on utilise de plus en plus fréquemment des dispositifs de marquage pour identifier les références de pièces et les N° de lot. La technologie la plus utilisée est le marquage laser. Elle permet de graver une très large gamme de matériaux (verre, plastique, bois, métaux, céramiques, …) sans être obligé de fixer la pièce à graver. Les machines ressemblent à des imprimantes de type « jet d’encre » combinant deux translations avec la commande du faisceau laser. La cinématique de la machine ci-dessous est différente. Elle combine deux mouvements de rotation avec la commande du laser. Cette structure est plus simple, plus compacte mais plus délicate à piloter.

La surface à marquer est représentée par le plan (x, O, y).

Le tracé du marquage (trajectoire du point P) est géré par trois commandes différentes :

• Une rotation horizontale entre S0 et S1 : paramètre α

• Une rotation verticale entre S1 et S2 : paramètre β

• La commande tout ou rien du laser pulsé : 0 ou 1 On note la distance focale λ = O₁P

Position initiale, quand O = P, on a : λ =λ₀^etα =β =0°

Le point A est le centre de la liaison pivot entre S1 et S2 avec O1A = a = 40 mm Le point B est à l’extrémité du générateur laser, le point où le faisceau laser sort du système. Avec O1B = b = 50 mm.

Les figures planes ci-dessous définissent le paramètrage du mécanisme.

Travail demandé :

1. Définir les vecteurs rotation suivants : Ω1/0^,Ω2/1^etΩ²^/⁰ 0

. 0 /

1 =α&Y

Ω Ω²^/¹=β^&^.^X¹ Ω2/0=α&.Y0+β^&.X1

2. Donner les vecteurs vitesse et accélération du point A par rapport R0

1 . 0 /

1 a Z

VA = α& ΓA1/0=aα&&.Z1+aα&².X1

3. En déduire les vecteurs vitesse et accélération du point B par rapport à R0, en appliquant les formules de champ des vitesses et champ des accélérations.

0 / 2 0

/ 2 0 /

2 =VA +BA∧Ω

VB²^/⁰ ^a ^.^Z¹

(

^b^.^Z² ^a^.^X¹

) (

^.^Y⁰ ^.^X¹

)

VB = α& + − ∧ α& +β^&

1 . 2 . 1 . cos . 1 . 0 /

2 a Z b X b Y a Z

VB = α& − α& β + β& − α&

2 . 1 . cos . 0

/

2 b X b Y

VB =− α& β + β^&

( )

0

0 / 0 2

/ 2 0

/ 2 0 / 2 0 / 2

dt R

BA d BA

A

B 



 



 Ω

∧ + Ω

∧

∧ Ω + Γ

= Γ

α

O1 +

Y0

Z1

Z2 X1

+

B X0

β α

X1

Z1 Z0

A

O1 β

Y0 Y2

+

A +

B

(2)

( ) ( )

[ ] ( ) ( ) ( )

0

2 . 0 . 1

1 . 2 . 1 . 0 . 1 . 2 . 1 . 0 . 1 . 1 . 0 / 2

dt R

X Y

X d a Z b X Y

X a Z b X Y

X a Z a

B 



 



 +

∧

− +

+

∧

−

∧ +

+ +

=

Γ α&& α& α& β& α& β^& α^& β^&

[

^.^cos ^. ¹ ^. ¹ ^. ²

] (

^. ⁰ ^. ¹

) (

^. ² ^. ¹

) [

^. ⁰ ^. ¹ ^. ¹

]

1 . 1 . 0 /

2 a Z a ² X b X a Z b Y Y X bZ aX Y X Z

B = α&& + α& + α& β + α& − β& ∧ α& +β& + − ∧ α&& +β&& −α&β^&

Γ

2 . 1 . sin . 0 . 1 . 1 . cos . 1 . 1 . 0 /

2 a Z a ² X b ² Z a ² X a Y b X b ²Z

B = α&& + α& + α& β − α& + α&β& + α&β^& β + β^&

Γ

0 . 1 . 1 . sin . 2 . 1 . cos

. X b Y b X a Z a Y

bα&& β + β&& + α&β& β − α&& − α&β^&

−

1 . sin . 2 2 . 2 . 1 . cos . 1 . cos . 0 /

2 b ² Z b X b ² Z b Y b X

B = α& β − α&& β + β& + β&& + α&β^& β

Γ

Remarque : ces deux calculs sont bien plus simples à effectuer en dérivant le vecteur position O1B=−b.Z2

4. Etablir les relations permettant de calculer les valeurs des différents paramètres (α, β et λ) en fonction des coordonnées cartésiennes (Xp et Yp) du point P à graver.

P O OO OP= 1+ 1

Avec ^O¹^P⁼⁻^λ^.^Z²⁼⁻^λ

(

⁻^sin^β^.^Y⁰⁺^cos^β^.^Z¹

) (

⁼⁻^λ ⁻^sin^β^.^Y⁰⁺^cos^β^.^sin^α^.^X⁰⁺^cos^β^.^cos^α^.^Z⁰

)

















−

+















=















α β λ

β λ

α β λ

λ ^cos ^.^cos sin

sin . cos

o O O

O Yp Xp











=

−

=

⇒

3 cos .

. cos

2 . sin

1 . sin

. cos

o eq

eq Yp

eq Xp

α βλ λ

β λ

α β λ

Résolution :

α α λ

β

α β

λ .tan

cos . cos

sin . cos 1 .

. 3

. o o

Xp eq

eq → ⇒ =− =−

4 .

arctan eq

o Xp



 



−

=

⇒α λ

αβ α λ

β β λ

cos .tan cos

. cos

sin 2 .

. 3

. o o

Yp eq

eq → ⇒ = =



 



= 

⇒

o Yp

λ β ^arctan ^.^cosα

5 . arctan

cos .

arctan eq

o o Yp Xp















 



 



 



 



−

=

⇒ λ

β λ

Par ailleurs, dans le tétraèdre (O1, O, Xp, P), on peut calculer la longueur OP : 6

2 .

2

2 Xp Yp eq

o

OP=λ= λ + +

(3)

Le système est piloté par des moteurs pas à pas et l’inertie étant très faible, on peut se dispenser des rampes de vitesses pour limiter l’accélération angulaire. Pour les questions suivantes, on considérera que la distance focale nominale est de λ₀ =100mm. Voici les chronogrammes permettant d’effectuer le marquage d’un segment de droite allant de P1 à P2 avec 









= − 10 1 0

OP et 







= 10 2 0 OP

5. Tracer les chronogrammes α = f(t) ; β = f(t) permettant le marquage d’un segment de droite allant de P3 à P4 avec 









−

= − 10 3 10

OP et







−

= 10 4 10 OP

Pour les questions 5, 6 et 7, il est judicieux de créer une feuille de calcul sur un tableur pour calculer les commandes d’angles en fonction des coordonnées Xp et Yp pour des segments de droite.

On envisage 4 cases permettant d’entrer les coordonnées respectives des points de départ (Xi & Yi) et d’arrivée (Xf & Yf) du segment de droite à décrire et on effectue les calculs sur 5 colonnes :

- « t » : pour y décomposer le mouvement en une centaine de dates réparties uniformément sur une durée de quelques secondes. Par exemple 4s.

- « Xp » : pour y calculer les coordonnées suivant X du point P

100 Xi Xp= Xf − - « Yp » : pour y calculer les coordonnées suivant Y du point P

100 Yi Yp=Yf − - « Alpha » : pour y calculer les valeurs respectives de α avec l’éq.4

- « Beta » : pour y calculer les valeurs respectives de β avec l’éq.5 Le choix du nombre de dates conditionne la précision de la commande.

Pour le mouvement de P3 à P4, on obtient : α = cste = 5,71°

β évolue linéairement de 5,68° à -5,68°

t (s) -5,71 β (deg)

α (deg)

t (s) 0

0

4

t (s) 5,71

4

(4)

6. Tracer les chronogrammes α = f(t) ; β = f(t) permettant le marquage d’un segment de droite allant de P5 à P6 avec







−

= 0 5 20

OP et 







= 0 6 20 OP

Pour le mouvement de P5 à P6, on obtient : α évolue linéairement de 11,31° à -11,31°

β = cste = 0°

7. Tracer les chronogrammes α = f(t) ; β = f(t) permettant le marquage d’un segment de droite allant de P7 à P8 avec







−

= 30 7 20

OP et 







= 30 8 20 OP

Pour le mouvement de P7 à P8, on obtient : α évolue quasi-linéairement de 11,31° à -11,31°

β évolue très peu autour de la valeur -16,31° (pour les points de départ et d’arrivée) avec un maximum de -16,70° (pour le point milieu, quand α = 0)

(5)

8. Pour le marquage de P1 à P2, la vitesse de déplacement du point P n’est pas constante. Calculer les valeurs extrêmes de cette vitesse.

Pour cette question, il est judicieux de créer une feuille de calcul sur un tableur pour calculer les coordonnées Xp et Yp en fonction des commandes d’angles.

On envisage 1 case permettant d’entrer la distance O1O et on effectue les calculs sur 8 colonnes :

- « t » : pour y décomposer le mouvement en une centaine de dates réparties uniformément sur une durée de quelques secondes. Par exemple 4s.

- « Alpha » : pour y calculer les valeurs du 1^er angle données par l’énoncé ) 100

1 ( )

( f i

t

t α α α

α = − + ⁻

- « Beta » : pour y calculer les valeurs du 2^ème angle données par l’énoncé ) 100

1 ( )

( f i

t

t β β β

β = − ⁻

- « Xp » : pour y calculer les coordonnées suivant X du point P avec l’éq.4 - « Yp » : pour y calculer les coordonnées suivant Y du point P avec l’éq.5 - « Vx » : pour y calculer la vitesse du point P suivant X

t t Vx t

t Vx

Vx ∆

−

= ( −1) ( ) )

(

- « Vy » : pour y calculer la vitesse du point P suivant Y

t t Vy t

t Vy

Vy ∆

−

= ( −1) ( ) )

(

- « V » : pour y calculer la vitesse du point P V(t)= Vx(t)²+Vy(t)² Le choix du nombre de dates conditionne la précision de la dérivation numérique.

Pour le mouvement de P1 à P2, on obtient une vitesse maximum au début et à la fin de la trajectoire : Vmaxi = 5,03 mm/s

(6)

9. Tracer les chronogrammes α = f(t) ; β = f(t) et λ = f(t) permettant le marquage d’un cercle de rayon b = 50 mm et centré en O. En respectant une vitesse de déplacement du point P de 5 mm/s.

Pour cette question, il est presque impératif de créer une feuille de calcul sur un tableur pour calculer les commandes d’angles en fonction des coordonnées Xp et Yp pour décrire un cercle.

On envisage 5 cases permettant d’entrer les coordonnées du centre du cercle (Xc & Yc), le rayon du cercle R, la distance O1O, la vitesse de déplacement du point P et on effectue les calculs sur 5 colonnes :

- « t » : pour y décomposer le mouvement en une centaine de dates réparties uniformément sur la durée nécessaire pour faire un tour.

V t R

= ⋅

∆ 100 2π

- « Xp » : pour y calculer les coordonnées suivant X du point P 



 



 ⋅

⋅ +

= R

t R V

Xc t

Xp( ) cos - « Yp » : pour y calculer les coordonnées suivant Y du point P 



 



 ⋅

⋅ +

= R

t R V

Yc t

Yp( ) sin - « Alpha » : pour y calculer les valeurs respectives de α avec l’éq.4

- « Beta » : pour y calculer les valeurs respectives de β avec l’éq.5

Pour le décrire le cercle de centre O et de rayon 50 mm avec une vitesse de 5mm/s, on obtient :