J
OURNAL DE
T
HÉORIE DES
N
OMBRES DE
B
ORDEAUX
P
HILIPPE
D
UMAS
P
HILIPPE
F
LAJOLET
Asymptotique des récurrences mahlériennes
: le cas cyclotomique
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome 8, n
o1 (1996), p. 1-30
<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1996__8_1_1_0>
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Asymptotique
des récurrences mahlériennes : le cascyclotomique
par PHILIPPE DUMAS ET PHILIPPE FLAJOLET
RÉSUMÉ. Nous étudions le comportement
asymptotique
d’une classe de suites mahlériennes dont les sériesgénératrices
sont desproduits
infinis. Unexemple caractéristique
est celui del’estima-tion des coefficients de
Taylor
de03A0+~k=0(1
+ z2k
+z2k+1)-1,
voisin despartitions
binaires étudiées par DeBruijn.
Le résultat obtenuillustre un cas
typique
d’une classification naturelle des suites mahlériennes. Lestechniques utilisées,
transformation de Mellinou méthode du col, ressortissent à la théorie
analytique
desnom-bres et à
l’analyse asymptotique.
Elles mettent en valeur uncom-portement doublement
périodique :
l’un,prévisible,
suivant l’échel-le ordinaire etl’autre, plus subtil,
en échellelogarithmique.
ABSTRACT. We
study
theasymptotic
behaviour of a class of Mahlerian séquences whosegenerating
functions areexpressible
as infiniteproducts.
Atypical
case is the estimation of theTaylor
coefficients of03A0~k=0(1+z2k+z2k+1)-1 , a
problem
that is relatedto the
asymptotic counting
ofbinary
partitions
obtained earlierby
DeBruijn.
The main result of this paper fits into a naturalclassification of Mahlerian séquences. The
techniques
used involve Mellin transforms and saddlepoint analysis.
They
lead to acompo-site
periodic
behaviour for the coefficients considered.L’objet
de cet article est lecomportement
asymptotique
de certainessuites
mahlériennes (f,,),
définies par leur sériesgénératrices
La série
génératrice
d’une telle suite satisfait uneéquation
fonctionnellelinéaire de la forme
[9, 14, 16, 17]
dans
laquelle
le nombre B est un entier au moinségal
à 2 et les coefficient sont despolynômes.
Les suites mahlériennes
apparaissent
dans de nombreux domaines commela combinatoire des
partitions
restreintes[3, 15],
lecomptage
de certaines classes de mots[13,18],
l’analyse
d’algorithmes
dutype
diviser pourrégner
[4, 11, 20]
ou desproblèmes
liés à la numération[7, 12, 19].
Nous donnonsdans la section de conclusion
quelques explications
sur unetypologie
asymp-totique
des récurrences mahlériennes danslaquelle
s’insère leprésent
travail. Lepolynôme cyclotomique
et leproduit
mahlérien associéfournissent un
exemple simple
et inévitable.L’exemple
(1)
correspond
ainsi à B = 2 et a = 3. Notre théorème donne undéveloppement
asymptotique
qui
met en valeur lapériodicité
modulo a, mais aussi unedépendance
périodique
plus
cachée enlog n.
Nous donnons pour l’instant un énoncévolontairement
schématique.
Toutes lesquantités
utiles seront définies dans la suite et la preuve s’étendra sur les sections 2 à 4.THÉORÈME.
Soient a et B deux entierspremiers
entre e2cx, le nombre aétant libre de carré. Le
coe£ficient
de zn dans ledéveloppement
en sérieentière de
f’VB
admet le
développement asymptotiques complet
Le nombre p
vérifie
fNous devons donner
quelques explications.
Les nombres a et B sontpremiers
entre eux, car la sérief a,B (z)
sesimplifie
en une sérieB-régulière
dans le cas contraire[9],
le coefficient de z’ayant
alors uncomportement
en na. Ensuite le nombre a est libre de carré car la formuleoù
Ja
est le radical de a c’est-à-dire sapartie
libre decarré,
montre queet sont directement liés. Le nombre K vaut
et p est la solution
positive
del’équation
Elle vérifie
l’égalité asymptotique
et le coefficients de Zn dans est d’ordre
exp(log2
n/2 log B)
pour l’essentiel.Ce résultat
apparaît
comme unegénéralisation
du travail de DeBruijn
[5]
sur la sériegénératrice
despartitions B-aires,
qui
est pour nous le cas de base. L’intérêtarithmétique
de l’étude de[zn] f 1,B (z)
provient
de ce que ce nombrecompte
lespartitions
de l’entier n enpuissances
de B et ne seprête
pas aux méthodesclassiques
de la théorieasymptotique
despartitions
[3,
chap.
5].
Leproblème
que nous traitons estplus compliqué,
par le fait que la sériegénératrice
n’estplus
à coefficientpositifs.
Pour fixer les idées nous donnons tout de suite le
premier
terme dudéveloppement asymptotique
dans le cas a =3,
B =2, qui
sera notreexemple
type
et que nous traiterons enparallèle
de la démonstration.le
coefficient
de zn dans leproduit
infini f3,2 (Z)
vérifie l’égalité
asymptotique
où la constante C est
définies
paret les
fonctions 1-périodiques
P(v)
etP*(v)
sontdéfinies
par leur série de Fourieravec
Rappelons
que(8, h)
est lafonction
dhurwitz[22,
p.2fi5),
1 est laconstante d’Euter et 11 est la constante d’Euler d’ordre 1
[1,
formule23.2.5,
p.
807],
Il
importe
de remarquer que les deuxfonctions périodiques
P(v)
etP* (v)
ont uneamplitude
trèsfaible,
de l’ordre de10-5,
à cause de la décroissancetrès violente de la
f onction
r sur l’axeimaginaire
dès que l’ons’éloigne
de1.
Synopsis
de la preuveLe chemin suivi consiste à estimer les coefficients par la formule de
Cauchy.
Le contourd’intégration
choisi, qui
est très voisin du cercleunité,
passe par un
grand
nombre decols,
nombrequi
tend d’ailleurs vers l’infini avec n. La contribution dechaque
col estanalysée
localement par unetransformation de Mellin. Cette méthode ressemble ainsi
quelque
peu à laméthode du
cercle,
familière dans l’étude despartitions
non restreintes sansque soit
disponible
toute lapuissance
des transformations modulaires.Intégrale
deCauchy.
Désormais nous écrivonsf (z)
pourfa,B(z).
Len-ième coefficient du
développement
en série entière def ~z),
que nous notons[zn]j(z),
est d’abord extrait def (z)
par laformule
deCauchy
dans
laquelle
onintègre
sur un lacet C d’indice 1 parrapport
àl’origine.
Le contour
d’intégration
que nous utilisons est un cercle centré àl’origine
et collé le
long
du cercle unité. Pour évaluerl’intégrale
nousappliquons
la méthode du col
[6,
23].
Ceci estjustifié
par les variations violentes de lafonction
f (z)
auvoisinage
du cercle unité. Le lecteurpeut
s’en convaincre enregardant
lafigure
1,
danslaquelle
nous avons tracé en échellelogarithmique
les variations sur le chemin
d’intégration
du module def 3,2 (z) .
Bien quele cercle unité soit frontière naturelle pour
f (z),
tous lespoints
n’ont pas la mêmeimportance
dansl’intégrale.
Les racinescubiques
primitives
del’unité, j
etj2,
dominent tous les autres car elles sont racines de tous les termes~3 (z2k ~,
qui apparaissent
dans leproduit
Ensuite
viennent - j
and - j2,
qui
sont racines des~>3 (Z’k)
àpartir
de k= 1;
après quoi
leurs racinescarrés, qui
sont racines des àpartir
de l~ =2;
etc. Plus nousextrayons
les racinescarrées,
moins lespoints
obtenus ont
d’importance
dansl’intégrale.
Transformation
de Mellin. Pour rendre effectif cecomportement
qualitatif,
nous commençons(section 2)
par une étude locale def (z).
L’expression
classique
despolynômes cyclotomiques
à l’aide de la fonction de MôbiusM(n),
FIG. 1
-Le
comportement
delog
If3,2(Z)1 1
sur le cercled’intégration
(ici
la variableangulaire
parcourt
l’intervalle[-Jr,+Jr])
montre laprépondérance
des racinescubiques primitives
de l’unité et de leurs racines carrées itérées.nous amène à considérer d’abord la fonction
génératrice
despartitions
B-aires,
L’étude locale de utilise la fonction
dont la
transformée
de Mellin(paragraphe 2.1)
estSi w est une racine
aBl-ième
del’unité,
la suite desú.JBk
estpériodique
àpartir
d’un certain rang et cecipermet
d’étudier lessingularités
deA:(8)
(paragraphe 2.2).
Enparticulier
0 est unpôle
d’ordre 2 ou 3 derésidu en 0 est alors
La
transformation
de Medlin inverse(paragraphe 2.3)
donneet en
poussant
la droited’intégration
vers lagauche
on montre queA~, (t)
est
égal
à la somme des résidus de en tous sespôles.
n suffitde fusionner les résultats obtenus
(paragraphe 2.4)
enpondérant
avec lafonction de Môbius pour obtenir un
développement
local delog
f (we-’).
n faut remarquer que
log
f (we-t)
est de l’ordre delog2
t auvoisinage
desracines
primitives
a-ièmes de l’unité et de leurs racines B-ièmesitérées,
alorsqu’il
estsimplement
d’ordrelog t
pour les racines nonprimitives
et leurs racines B-ièmes.Estimation de col. Le contour
d’intégration
(section 3),
qui
est le cercle centré àl’origine
de rayone-P,
est brisé enpetits
arcs, surlesquels
ilest
possible d’appliquer
lesdéveloppements
locauxprécédents.
Cespetits
arcs
apparaissent
en recouvrant le cercled’intégration
par desonglets
de sommets les racinesaBt-ièmes
del’unité,
w,pour 1
entre 0 et L. Suivantque le
comportement
local delog
f (we-’)
est enlog2
t ou enlog
t,
nousparlons
d’ arcmajeure
ou d’ arc mineur. D’autrepart
cespetits
onglets
ontun
demi-angle
au sommeteo
et la borne L satisfaità 1
près.
La valeur de p est déterminée enappliquant
la méthode du col aux arcsmajeurs,
cequi
fournitl’équation
decol,
On obtient ainsi un
développement
asymptotique complet
pour lacontribu-tion de
chaque
arcmajeur,
dont lepremier
terme est enexp(log2
n).
Unemajoration
grossière
montre que la contribution des arcs mineurs est seule-ment enexp (log n) .
Collecte. La dernière
étape
(section
4)
consiste à collecter les contributions despetits
arcs. Ilapparaît
que seuls les arcsqui
font face aux racinesprimitives
a-ièmes de l’unité sont àprendre
encompte.
En effet lequotient
des contributions des racinesab’-ièmes
de l’unité et des racinesprimitives
a-ièmes
s’exprime
commel’exponentielle
d’un trinôme du seconddegré
en1. Ce trinôme est essentiellement nul en 1 =
0,
minimum etnégatif
en1 =
L/2
etpresque nul en 1 = L. En
ajustant
la valeur dudemi-angle
eo,
on
peut diminuer
la valeur de L etgarantir
que le trinôme restenégatif
dans l’intervalle utile. En fait ilpart
alors vers l’infininégatif
et la contribution des racinesab’-ièmes
estnégligeable
devant celles des racinesprimitives
a-ièmes. Nous obtenons ainsi ledéveloppement
cherché.La preuve est assez
longue
et nous n’en donnons que les éléments saillants.Une version
complète
peut
être consultée dans~9].
2.
Étude
localeLe
comportement
local def (z)
auvoisinage
d’une racineunième
del’unité (J)
peut
être de deuxtypes
selon que a =ú)BI
est ou n’estpas une
racine
primitive
a-ième de l’unité. Dans lepremier
cas nous disons quew est
majeure
et dans le secondqu’elle
est mineure,. La racine a-ième del’unité associée a a pour ordre un diviseur m de a et w est
majeure
dans le cas m = a. Laproposition
suivantequi
seraprécisée plus
loin donne lecomportement
local def(z)
auvoisinage
d’une racineab’-ième
de l’unitéúJ par le biais de la fonction
PROPOSITION 2.1. Si VJ est une racine
majeure,
lafonction
F~,(t)
s’exprime
sous la
forme
Par contre si ú.J est mineure elle
vérifie
Ces
développements
sont valables pourla
fonction
P~,(v)
estdéfinie
par une série de Fourier et lafonction
2.1. Transformation de Mellin. Nous commençons par étudier la fonc-tion
La transformée de Mellin de
A~,(t),
définie pour91(s)
>0,
est donnée paret la transformation de Mellin inverse
[8]
fournit,
avec c >0,
l’égalité
Cette
représentation
intégrale
deACA)
(t)
permet
d’en donner undéveloppe-ment via l’étude des
singularités
de et le théorème des résidus. Pour cela nous transformonsl’expression
deA:(s)
en tenantcompte
du fait que la suite desWBk
estpériodique
àpartir
durang d,
avec unepériode
qui
divise l’indicateur d’Eulercp(m).
Ceci introduit une scission de la somme(3)
qui
se récritpuis
en introduisant la
fonction (
d’Hurwitz[22,
chap.
XIII]
EXEMPLE. Prenons a =
3,
B = 2 et 1 =0,
cequi
f ait
que w = a. Si a= 1,
et,
si a =exp(2iJr/3)
ouexp(4iJr/3),
ou encore
2.2.
Singularités
deA* (s).
La formule(6)
montre que seprolonge
en une fonctionméromorphe
dans leplan complexe.
Eneffet[22,
§13.21,
p.271]
lafonction (
d’Hurwitz admet comme seulesingularité
unpôle simple
en 1 de résidu1,
en
notant e
la dérivéelogarithmique
de la fonctionr ;
la fonction r d’Euler a despôles simples
aux entiersnégatifs
[22,
§12.1
p.236]
et la fonction(1 -
a pourpôles
lesQui
plus
est,
les combinaisons defonctions (
dansA* (s)
sont entièresquand
a n’est pas
égale
à 1 car lapondération
par lespuissances
de a ou ú.J détruitle
pôle
0.LEMME 2.1. La
fonction
A~, (s)
seprolonge
en unef onction mérorrcorphe
dans le
plan
complexe.
Laf onction
admet pourpôles
les entiersnégatifs
et les Xm,k =log
B),
si a =WB’
est une racineprimitive
m-ième. Cespôles
sontsimples, sauf
0, qui
esttriple
si a =1 et double sia
-
et si
a ~
1 il est dupremier degré
enlog t
et en l.- En -
0), le
résidu estproduit
depar une
f onction
de a.- En
-n, le résidu est en
(B1mt)n
multiptié
par unefonction
de w et n.Le calcul de ces résidus ne
présente
pas de difficultéthéorique
et nous nous contentons de l’illustrer sur notreexemple
type.
EXEMPLE. Si a =
3,
B = 2 et 1 = 0 latransformée
de Metlin est donnéepar
Etudions d’abord le cas a =1. Le résidu en 0 est
f ourni
parSi n >
0,
nous obtenonserc
exprimant
les valeurs de lafonction (
de Riemann aux entiersnégatifs
enfonction
des nombres de Bernov,lli[22,
§13.14
p.267],
Enfin,
si k~
0,
le résidu en Xk =2ikir/
log
2 est donné parPassons au cas a =
D’après
(7),
(8)
ainsi que[22,
§12.15
p.
240]
et
et le résidu en 0
Pour les
pôles imaginaires
purs x~; =ik7r/
log
2,
il estplus confortable
dedistinguer
deux cas suivant laparité
de l’indice :en notant e le
signe
de lapartie
imaginaire
de a.Enfin,
pour lespôles
entiersnégatifs,
nous trouvons2.3.
Développement
de Lecomportement
local en 0 deA~, (t)
est directement lié aux
pôles
de sa transformée de MellinAW (s)
et aucomportement
de celle-ci en chacun de sespôles
[8,
p.260-261].
Par undécalage
vers lagauche
du chemind’intégration
dans la formule d’inversion(4),
la fonctionapparaît
en effet comme la somme des résidus del’intégrande
La droite
d’intégration
%(s) =
c est d’abordremplacée
(cf. figure 2)
par la
ligne
briséequi
va de c - ioo à c + ioo en passant par lespoints
1/2)/(cp(m)
log
B)
et N est un entier. Ceci donneen faisant tendre N vers l’infini.
sont
analytiques
dans ledemi-plan
> 0 et leurs transformées deMellin,
qui apparaissent
dans(5),
sont donc despour tout E > 0
[8,
p.115],
enposant y
=3(~).
Deplus
lessegments
horizontaux
passent
à mi-chemin entre lespôles
xm,k et(1-Bw~(m~ ) ~1
reste borné par 1. Il en résulte que lesintégrales
sur lessegments
horizontauxtendent vers 0
quand N
tend versl’infini,
dansl’hypothèse
(2),
carl’intégran-de est
majorée
parEn
prime
l’intégrale
tend uniformément vers 0 si l’onimpose
Ensuite
l’intégrale
sur la droite91(s) = -1/2
estremplacée
parl’intégrale
sur la droite
~(s) _ -N -1%2.
Cette dernièreintégrale
tend vers 0quand
N tend vers l’infini si
En effet la fonction
A2 (s)
est essentiellement une combinaison linéaire defonctions +
1,
h).
Oren
supposant
0 ets ft
Z[?]
36-37Titchmarsh86. 111 en résultequ’avec
s = -N - 1/2 + iy
nous obtenons lamajoration
et une
majoration
del’intégrande,
avec C ne
dépendant
que deB, m
et 1.À
nouveaul’intégrale
sur laFIG. 2
-En
poussant
vers lagauche
la droited’intégration,
nousrécoltons les résidus de
t-~A~, (s)
et ledéveloppement
deA
vient du De
plus
le terme montre quel’intégrale
tend vers 0quand
N tend vers l’infini siet la convergence est même uniforme en t dès que
En sommant les résidus nous obtenons un
développement
en série de essentiellement constitué dequatre
termes,
respectivement
un terme
logarithmique,
un termeconstant,
une série oscillante et une sérieentière.
LEMME 2.2. Soit cv une racine de et a = la racine
a-ième de l’unité
associée, qui
est une racineprimitive
m-ième de l’unité.Pour
-
un terme
logarithmique,
qui
vautlog
t, si ú.J estune racine
majeure
(m
estégal
àa),
si IJ) estlog
Bmineure
(m
est un diviseur strict dea) ;
-
une constante de la
forme
t(l)
+ ~~,, oùt(l)
est unpolynôme
du
premier
degré
en l si w est mineure et du seconddegré,
aveccoefficient
dominantlog
B/2,
siw.
estmajeure;
-
un terme oscillant p~,
où pCIJ (v)
est une unefonction
1-périodique,
analytique
dans la bande-
une
fonction
q~(t),
analytique
dans ledisque
itl
21r/mBl,
nulle en 0.De
plus
la série de Fourierqui
définit
le terme oscillant et la série entièreconvergent
uniformément
sous leshypothèses plus
strictesLe calcul fournit
avec
Le
comportement
de la fonction r sur l’axeimaginaire
pur[22,
p.275]
amène la
majoration,
d’ailleursindépendante de l,
qui
assure que la série de Fourier converge uniformément dans les bandes2.4.
Développement
deF~, (t).
Revenons à l’étude dequi
vérifieLes
développements
locaux que nous venons d’obtenir donnent par combi-naison avec la fonction de Môbius undéveloppement
deF~,(i).
La distinction introduite entre les racinesmajeures
et les racines mineures estjustifiée
par le lemmesuivant,
dont la preuve est élémentaire et repose sur le fait que lasomme, indexée par les d
qui
divisent a et sont divisés par m,est nulle sauf si m = a.
LEMME 2.3. Soit w une racine
ab’-ième
de t’unité. Ledéveloppement
deF(.,J(t)
comporte
un terme enlog2
t si et seulement si ú) est une racinemajeure.
Commençons
par étudier les racinesmajeures.
Pour obtenir ledéveloppe-ment local de
F,,(t),
il suffit depondérer
les résultats duparagraphe
précé-dent par la fonction deMôbius,
cequi
introduit les sériesLEMME 2.4. Si cv est une racine
majeure,
admet ledéveloppement
pour les t
vérifiant
De
plus
il y a convergenceuniforme
de la série de FourierPc..J
et de la série entièreQ,,,
sous les conditionsLes nombres K, et
aa
sontdéfinis
parLe terme constant
A~, s’écrit
Le terme
TQ(l)
est un binôme du seconddegré
enl,
dont lescoefficients
nedépendent
que de a et dont lecoefficient
dominant estlog
B/2.
Enfin
Passons maintenant aux racines mineures.
LEMME 2.5. Si w est 2cne racine mineure et a = est une racine
primitive
m-ième,
laf onction
FCI)(t)
admet ledéveloppement
pour les t
vérifiant
avec des
définitions
similaires au casmajeure.
Précisons que le termeAc.)
s’é cri t
où
Tw
est seulement dupremier
degré
en 1.EXEMPLE.
Reprenons
le castest,
a =3,
B = 2. Les racinesmajeures
sont,
pour 1 =
0, a
= avece = :1:1 etLa
fonction
oscillantePa
sedécompose
endeux,
suivant laparité
de kdans X3,k =
ik7r /
log
2. Il y a unepremière partie
relative aux X2k = X3,2k etindépendante
de a :et une seconde relative aux )(2k+l = x3,2k+1 et
qui
nedépend
de a que pare :D’autre
part
La
conjonction
des lemmes 2.4 et 2.5 fournit laproposition
2.1.3. Méthode de col
Le coefficients de zn dans le
développement
deTaylor
devaut,
d’après
la formule deCauchy,
où C est un lacet entourant
l’origine.
Ledéveloppement
local auvoisinage
d’une racine
primitive
a-ièmeQ,
permet
d’approcher
l’intégrande
par
l’expression
FIG. 3
-Le contour
d’intégration
est recouvert par depetits
onglets
où sont valables lesdéveloppements
locaux. Cesapproximations
permettent
d’appliquer
la méthode du colaux
intégrales
sur lespetits
arcs. nous obtenonsl’équation
de coldans
laquelle
le nombre r. esttoujours
donné parNous choisissons alors pour contour
d’intégration
C le cercle de rayon e-P. Il fautpréciser
que p satisfaitet
Par le
changement
de variables z =exp (- t), l’intégration
se fait sur lesegment
défini par t =p - ie avec e E
[0, 27r].
Nous recouvrons cesegment
2ik7r
par des
onglets
de sommets lestk =
2ikir
avec 0 kaB
et dedemi-angle
au sommet Si ledemi-angle
d’ouverture desonglets
est assezgrand,
précisément
siun L
adéquat
est lepremier
entier tel queIl vérifie d’ailleurs
avec 0 b 1.
L’intégrale
éclate en N =aBL
intégrales
et nous avons
l’égalité
où la somme
porte
sur les w racinesaBL-ièmes
de l’unité.L’étude de
ICA)
est différente suivant que w estmajeure
ou mineure. Dans lepremier
cas, nous utilisons la méthode ducol;
dans lesecond,
un traitement
plus grossier
sufht. Il sera commode de direqu’une
fonctionest
exponentiellement petite
ouexponentiellement
négligeable (sous-entendu
dans l’échelle du
problème)
si elle estnégligeable
devant leproduit
deexp(log2
n/2log B)
par unequelconque
puissance
négative
delog n.
PROPOSITION 3.1. So2ent w une racine
aBL-ième
de l’unité et a la racinea-ième de
l’unité,
qui lui
est associée. Si ú) estmajeure, I,,
admet ledévelop-pement
asymptotique complet,
Dans cette
expression,
lesc2k,, (v)
sont desfonctions analytiques
et1-périodiques,
la variable v vautDe
plus le
premier
terme de la série est donné parSi úJ est
mineure,
If.t)
est un 0 deet la constante
impliquée
par le
0 nedépend
que de a.Rappelons
queP~,(v)
est défini par(9), (10)
avec m =a/d
et(11).
Le
remplacement
def (we-Pe"0)
par sondéveloppement,
suivi duchange-ment de variables e = pu, donne
Nous introduisons El et E2 satisfaisant
l’équivalence
Le choix de E1 et ~2 sera
précisé
un peuplus
loin. La contribution essentiellede
l’intégrale
provient
deNous notons
est
analytique
dans ledisque unité,
lui
1. Deplus
comme fonction de v elle admet lapériode
1.L’égalité
définit u comme fonction
analytique
de w auvoisinage
de0,
une fois levéel’ambiguïté
de la racine carrée :Ceci est valable dans un
disque
centré en u = 0 etpour n suffisamment
grand
tout lesegment
d’intégration
est dans cedisque.
Nousprocédons
auchangement
de variablesqui
fait passer de u à w et nousdéveloppons
l’intégrande
en sérieentière,
cequi
donneLes cn,W sont
périodiques
depériode
1. Deplus -y
est l’arcimage
dusegment
[2013~i, f2]
dans lechangement
de variables. TI esttangent
à l’axe réel en 0 et d’allure ordinaire. Si -i7j et 1]2 sont ses deuxextrémités,
nous choisissonsE1 et E2 pour que
Comme
l’intégrande
estanalytique,
nousremplaçons l’arc 1
par les troissegments
[-1]l,-f],
[-E, E], [f,1]2].
L’application
de la méthode deLaplace
à
l’intégrale
sur[2013e,c]
fournit ledéveloppement asymptotique
et en
particulier l’équivalent
Les
intégrales
sont des et sontexponentiel-lement
négligeables.
111 reste les queues Nousmajorons
et ceci est
exponentiellement petit.
Il faut encore
justifier
le fait d’avoir évacuer leQIA)8
Cette fonctionQIA)
estanalytique
auvoisinage
del’origine
et nulle en 0. Ceci permet demajorer
le module de
QfÑ(p -
par une constante fois p et d’encadrerl’expression
par un
(1
+0(p))
fois la mêmeexpression
débarrassée deQ~.
Commep est
exponentiellement
petit,
nous pouvonsnégliger
cette correction. Finalement nous avonsobtenu,
si úJ estmajeure,
Il reste les racines mineures. Par les mêmes
changements
de variables que dans le casprécédent,
nous arrivons àl’égalité
Comme l’intervalle
d’intégration
est borné et les fonctions sont bornées surcette
intervalle,
la dernièreintégrale
est borné par une constantequi
nedépend
que de a.4. Récolte
Nous avons obtenu pour chacune des racines
aBj-ième
del’unité,
cv, undéveloppement
asymptotique
deIW.
Il faut maintenant sommer cesdifférentes contributions. Les
plus
importantes
sont cellesqui proviennent
des racinesprimitives
a-ièmes de l’unité.L’apport
d’une telle racine n est évalué par lepremier
terme dudéveloppement asymptotique
(12),
Notre
joker
consiste àadapter
l’angle
d’ouvertureeo
desonglets,
que nous avons utilisé dans la méthode ducol,
auxpropriétés arithmétiques
de a et B. Cetteadaptation
n’est pas unesimple
astuce decalcul,
comme onpeut
s’en rendrecompte
encontemplant
lafigure
1. Les cols lesplus
élevésrecouvrir le contour par des
onglets
danslesquels
lesdéveloppements
locauxsont
utilisables,
nous avons dû considérer les racinesaBl-ième
avec un 1qui
va
jusqu’à
uneprofondeur
L de l’ordre delog
n. Ce faisant nous utilisonsaussi des cols
qui
sont sur les flancs desgrands
cols et presque à la même hauteur que ceux-ci siôo
esttrop
petit.
La solution consiste àprendre
~o
assez
proche
de7r/2
pour laisser sufhsamment de düférence entre lesgrands
cols et lesautres,
cequi
revient à diminuer la valeur de L.Venons en à une
justification
plus technique.
Pour comparer les différents7~
il faut évaluer d’abord les sommes, cachées dans lesL’approximation
utilise les sommesoù w est une racine lV-ième de l’unité
et 0
esttoujours
la dérivéelogarithmi-que de r. n est bien connu
[22,
p.240]
queet nous obtenons un résultat similaire pour
les w *
1 en utilisant[22,
p.241]
grâce
à une sommation parparties
pour les termesqui proviennent
du1/ z
et la formule d’Euler-Maclaurin pour cequi
correspond
auanalytique
à droite de -1. Si ú) = est une racine N-ième de l’unité
différente de
1,
alors nous avonset la constante
impliquée
par le 0 estindépendante
de v.Armé de ce résultat nous pouvons étudier
E",
par l’intermédiaire de lafonction
avec t =
1rl/ / aBl .
LEMME 4.1. une racine
aBl-ième
del’unité,
alors lapartie
réelle deest
comprzse
entre un Deplus
les constantesqui
interviennent dans les 0 sont
indépendantes
de w.PROPOSITION 4.1. A un terme
exponentiellement petit près,
lecoefficient
de zn dans
est la somme des
In,
où Q décrit l’ensemble des racinesprimitives
a-ièmesde l’unité.
Si cv est une racine
majeure
qui
n’est pas une racineprimitive
a-ième del’unité,
nous comparonsICA)
etIa
où,
commed’habitude,
a =WBI
estprimitive
a-ième. Lerapport
vauten not ant Comme
P~, (v)
est bornéeindépendamment de l,
. 1 1-on
peut
négliger
les P. D’autrepart
la différenceAeü - Aa
vautDans le cas le
pire,
nous avonsEloi
=0 (1)
et le nombre de racines2
à
prendre
encompte
est moindre queBl.
En faisant preuve d’unpessimisme
excessif,
le terme dansl’exponentielle
est donc un binôme du seconddegré,
Il faut étudier ce binôme sur l’intervalle
[l, L~.
En1,
il vaut environlog p.
Ensuite sa
partie
réelle décroit et atteint son minimumvers - log
p/2,
puis
croît
jusqu’à
L,
où elle vautavec
toujours
Nous prenons
~o
suffisammentproche
de7r/2
pour assurer que le termecompris
dans laparenthèse
a unepartie
réelle strictementnégative
et cecigarantit
que notre binôme tend vers -oopour 1
= L et a ,fortiori
pour tous les 1 de l’intervalle
[1,
L~ .
si w est une racine
mineure,
nous comparonsICI)
avec où Q est uneracine
primitive
d’ordre a. Lerapport
estLe
A~,
comporte
un terme dupremier
degré
en 1 et~(û qui
est aupire
unIl
log
B/2,
d’où unquotient qui
s’écritÀ
nouveau si nous choisissonseo
sufhsammentproche
de~r/2,
cettequantité
a une
partie
réelle strictementnégative
qui
tend vers -oo.La
proposition
précédente
donne le théorème annoncé. En effet les seuls termes utiles sont lesIn
avec 0 racineprimitive
d’ordre a,puisqu’un
termeexponentiellement petit
estnégligeable
devant tous les termes desFIG. 4
-La
périodicité
modulo 3 de la suite des coefhcients def 3,2 (z
est évidente. Lapériodicité supplémentaire
en1092 n
peut
être mise en évidence par des méthodes de différences finies
conjuguées
avec des calculs enmultiprécision.
avec v
regroupant
les contributions des différents0,
cecia
s’écrit encoreavec en
particulier
C’est cette dernière formule que nous avons utilisée pour donner un
équiva-lent dans le cas a =
3,
B = 2.5. Conclusion
La méthode
développée
ici entre dans lacatégorie
des méthodesasympto-tiques
à deux niveauxpuisqu’elle
combine méthode de col pour l’extractioncorrespondante.
En ce sens elle serapproche
de la méthode de Meinardus[3,
chap.
6]
qui
permet
parexemple
l’évaluation du nombre departitions
en sommants du
type kr
(pour
r > 1fixé)
etqui
conduit à des formesasymptotiques
en Elle se trouve encoreplus proche
de laméthode de De
Bruijn qui
fournit une estimation enexp(log2
n)
pour lenombre de
partitions
en sommants de la formeBk.
Elle sedémarque
parcontre de cette dernière à cause de la nécessaire
prise
encompte
d’uneinfinité de cols sur le contour
d’intégration,
sans que soitdisponible
l’analo-gue des transformations modulaires de la fonctionr~ (z),
comme dans le casdes
partitions
ordinaires.Cet article s’inscrit dans un
projet plus
général
d’étude des suitesmahlé-riennes et de leur
comportement
asymptotique
[9].
Ce domaine n’est pasencore totalement défriché et notre
approche
repose sur une classificationque nous allons décrire.
Les suites
B-regulières
d’Allouche et Shallit[2]
constituent uneimportante
classe de suites mahlériennes. La
façon
laplus rapide
de les définir est d’en donner unereprésentation
linéaire,
c’est-à-dire uneséquence
de Bmatrices carrées
Ao, ... ,
une matriceligne À
et une matrice colonne-y, toutes de tailles
compatibles ;
le termeln
de la suiteB-régulière
associée est alorsAA,, ...
si l’entier n estreprésenté
par le mot E~ ... 60 dans la numération en base B.Par des
arguments
élémentaires[9],
onpeut
montrer que toute série mahlérienne s’écritf’VB
g(z)
étant une sérieB-régulière
etp(z)
unpolynôme
tel quep(0)
= 1. Ce résultatdivise,
dans unpremier
temps, l’étude
du comportementasympto-tique
des suites mahlériennes en deuxsous-problèmes plus simples.
Lepremier
est l’étude des suitesB-régulières,
pourlequel
de nombreuxexem-ples
sont connus et des méthodes sont maintenantdégagées
[10, 12].
Le second est l’étude desproduits
infinis mahlériens.À
nouveau ilappara,ît
une classification naturelle selon la
position
des zéros dupolynôme
p(z)
parrapport
au cercle unité. Le cas interne où certains zéros sont à l’intérieur du cercle unité estsimple
carl’équation
n’est alors
qu’une
perturbation
del’équation
Si les zéros du
polynôme
co (z)
sont les1/(
de modules strictementplus
asymptoti-que dont les termes sont de la forme où les
Àk(n)
sont des suitesde
période
B ~ .
Parexemple,
Ce cas
simple
excepté,
il reste donc essentiellement trois cas :- les zéros de
p (z)
sont des racines del’unité;
-
les zéros sont de module 1 mais leurs
arguments
ne sont pascommen-surables à 7r;
-
les zéros ont un module strictement
plus
grand
que 1.Cet article nous a
permis
d’illustrer lepremier
cas, le cascyctotomique.
Lesecond cas nous
paraît
actuellement hors d’atteinte car intimement lié auxpropriétés
desarguments
des racines.Quant
au dernier cas, le casexterne,
unemajoration
élémentaire nous montre que le n-ième coefhcient def (z)
est alors un
1/(1-p)+d-1)
sip(z)
est dedegré
d et si toutes ses racinesont un module
supérieur
à1/p
avec p1;
il est ainsiplutôt
du ressort de la théorieanalytique
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