LL..SS IIBBNN MMAANNDDHHOOUURR

(1)

1

EXERCICE 1 QCM : ( 2 points) :

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple ; pour chacune des quatre questions, une et une seule affirmation est exacte.

Indiquez sur votre copie le numéro de la question et recopiez l’affirmation exacte sans justifier votre choix.

1) La représentation graphique de la fonction logarithme népérien admet :

a) une asymptote verticale b) une asymptote horizontale c) une tangente horizontale

2) Soit a un nombre réel strictement positif. lim ln( 5)

x ax

   

a) −  b) 0 c) +  3) e ^ln ^x  x pour tout x appartenant à :

a) IR b) ]0 ; +  [ c) [0 ; +  [ 4) Soit un réel a. ln( e ^a )  2 e  ln(1) 

a) e ^a -2e+e b) e ^a -2e c) a – 2e

EXERCICE 2 (6 points) :

On considère la fonction définie sur ]0 ; +  [ par f (x) = x ² – 2 – 2 ln x et on note (C f ) sa courbe représentative.

1°) a) Déterminer

0 lim ( )

x



f x



b) Montrer que pour tout x de ]0 ; +  [, f (x) = ² (1 ² ₂ ^{2 ln} ₂ x )

x  x  x En déduire lim ( ) lim ^{( )}

x x

f x et f x

  x

c) Préciser les asymptotes et les branches éventuelles à (Cf ) ; 2°) Montrer que f ’(x) =

2 x 2 2 x

 et étudier son signe.

Dresser le tableau de variations de f.

3°) Montrer que l’équation f (x) = 0 admet exactement deux solutions α et β (α < β) dans l’intervalle ]0 ; +  [.

L. L . S S I IB BN N M MA AN ND DH HO OU UR R – – K KE EB BI IL LI I DU D UR RE EE E: : 2 2H H

D

DA AT TE E: : 0 08 8- -0 03 3- -2 20 01 12 2

SE S EC CT TI IO ON N : : 4 4e em me e E EC CO ON NO OM MI IE E ET E T G GE ES ST TI I ON O N DE D EV VO OI IR R D DU U S SY Y NT N TH HE ES SE E N N° °2 2

M

Mr r : : Z ZI IT TO OU UN NI I M MO OH HA AM ME ED D

(2)

2

4°) Déduire des questions 2°) et 3°) le signe de f (x) lorsque x  ]0 ; +  [ 5°) Tracer la courbe de f

Exercice 3( 4 points) :

Chaque mois, un institut de sondage donne la cote de popularité d'un même groupe politique dans l'opinion publique. Les personnes sondées sont, soit favorables, soit défavorables à ce groupe. Initialement, il y a autant de personnes favorables à ce groupe politique que de personnes qui lui sont défavorables. De chaque mois au mois suivant, on considère que :

 10 % des personnes qui étaient favorables à ce groupe politique ne le sont plus.

 15 % des personnes qui n'étaient pas favorables à ce groupe politique le deviennent.

On note, pour tout entier naturel n :

a n :la probabilité qu'une personne interrogée au hasard au bout de n mois soit favorable à ce groupe politique.

b n : la probabilité qu'une personne interrogée au hasard au bout de n mois ne soit pas favorable à ce groupe politique.

P n =(a n b n ) : la matrice traduisant l'état probabiliste au bout de n mois.

On note M la matrice de transition telle que, pour tout entier naturel n:

P n+1 = P n xM

1) Déterminer la matrice donnant l'état probabiliste initial P 0 2) Déterminer le graphe probabiliste correspondant à la situation.

3) Déterminer la matrice de transition M

4) Déterminer la matrice P ₁ en détaillant les calculs, (on donnera les coefficients sous formes décimale arrondie au centième)

Exercice 4 (4 points)

Soit le graphe G joint en annexe constitué des sommets A, B, C, D, E, F et G.

1) Quel est son ordre et le degré de chacun de ses sommets ?

2) a) Donner un sous-graphe complet d’ordre 3 de G.

(3)

3

Qu’en déduire pour le nombre chromatique de G ?

b) Proposer une coloration du graphe G et en déduire son nombre chromatique.

3) Donner la matrice M associée à G (vous numéroterez les lignes et les colonnes dans l’ordre alphabétique).

4) En utilisant la matrice M ² donnée en annexe 1., déduire le nombre de chaînes de longueur 2 partant de A sans y revenir.

Annexe 1

²

3 1 1 0 2 1 0

1 3 0 1 2 1 1

1 0 3 1 1 2 1

0 1 1 2 1 1 1

2 2 1 1 4 0 0

1 1 2 1 0 3 2

0 1 1 1 0 2 2

M

 

 

  

 

 

Exercice 5 (4 points)

On considère la suite (U _n ) définie par :

0

1

2 2 1

n 3 n

U

U _ U n IN

  

     



1) a) Montrer que pour tout n de IN on a U _n > 3 

a) Montrer que (U n ) est décroissante.

b) En déduire que (U n ) est convergente.

2) Soit la suite (V _n ) définie par : V _n = U _n +3

a) Montrer que (V n ) est une suite géométrique de raison ²

3 . b) Exprimer V n en fonction de n .

c) Montrer que ; ( ) ² 3 3

n

n IN U n

    .

d) Calculer lim _n

n U

 

LL..SS IIBBNN MMAANNDDHHOOUURR

1

EXERCICE 1 QCM : ( 2 points) :

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple ; pour chacune des quatre questions, une et une seule affirmation est exacte.

Indiquez sur votre copie le numéro de la question et recopiez l’affirmation exacte sans justifier votre choix.

1) La représentation graphique de la fonction logarithme népérien admet :

a) une asymptote verticale b) une asymptote horizontale c) une tangente horizontale

2) Soit a un nombre réel strictement positif. lim ln( 5)

x ax

   

a) −  b) 0 c) +  3) e ln x  x pour tout x appartenant à :

a) IR b) ]0 ; +  [ c) [0 ; +  [ 4) Soit un réel a. ln( e a )  2 e  ln(1) 

a) e a -2e+e b) e a -2e c) a – 2e

EXERCICE 2 (6 points) :

On considère la fonction définie sur ]0 ; +  [ par f (x) = x 2 – 2 – 2 ln x et on note (C f ) sa courbe représentative.

1°) a) Déterminer

0

lim ( )

x

f x



b) Montrer que pour tout x de ]0 ; +  [, f (x) = 2 (1 2 2 2 ln 2 x )

x  x  x En déduire lim ( ) lim ( )

x x

f x et f x

  x

c) Préciser les asymptotes et les branches éventuelles à (Cf ) ; 2°) Montrer que f ’(x) =

2 x 2 2 x

 et étudier son signe.

Dresser le tableau de variations de f.

3°) Montrer que l’équation f (x) = 0 admet exactement deux solutions α et β (α < β) dans l’intervalle ]0 ; +  [.

L. L . S S I IB BN N M MA AN ND DH HO OU UR R – – K KE EB BI IL LI I DU D UR RE EE E: : 2 2H H

D

DA AT TE E: : 0 08 8- -0 03 3- -2 20 01 12 2

SE S EC CT TI IO ON N : : 4 4e em me e E EC CO ON NO OM MI IE E ET E T G GE ES ST TI I ON O N DE D EV VO OI IR R D DU U S SY Y NT N TH HE ES SE E N N° °2 2

M

Mr r : : Z ZI IT TO OU UN NI I M MO OH HA AM ME ED D

2

4°) Déduire des questions 2°) et 3°) le signe de f (x) lorsque x  ]0 ; +  [ 5°) Tracer la courbe de f

Exercice 3( 4 points) :

 10 % des personnes qui étaient favorables à ce groupe politique ne le sont plus.

 15 % des personnes qui n'étaient pas favorables à ce groupe politique le deviennent.

On note, pour tout entier naturel n :

a n :la probabilité qu'une personne interrogée au hasard au bout de n mois soit favorable à ce groupe politique.

b n : la probabilité qu'une personne interrogée au hasard au bout de n mois ne soit pas favorable à ce groupe politique.

P n =(a n b n ) : la matrice traduisant l'état probabiliste au bout de n mois.

On note M la matrice de transition telle que, pour tout entier naturel n:

P n+1 = P n xM

1) Déterminer la matrice donnant l'état probabiliste initial P 0 2) Déterminer le graphe probabiliste correspondant à la situation.

3) Déterminer la matrice de transition M

4) Déterminer la matrice P 1 en détaillant les calculs, (on donnera les coefficients sous formes décimale arrondie au centième)

Exercice 4 (4 points)

Soit le graphe G joint en annexe constitué des sommets A, B, C, D, E, F et G.

1) Quel est son ordre et le degré de chacun de ses sommets ?

2) a) Donner un sous-graphe complet d’ordre 3 de G.

3

Qu’en déduire pour le nombre chromatique de G ?

b) Proposer une coloration du graphe G et en déduire son nombre chromatique.

3) Donner la matrice M associée à G (vous numéroterez les lignes et les colonnes dans l’ordre alphabétique).

4) En utilisant la matrice M 2 donnée en annexe 1., déduire le nombre de chaînes de longueur 2 partant de A sans y revenir.

Annexe 1

2

3 1 1 0 2 1 0

1 3 0 1 2 1 1

1 0 3 1 1 2 1

0 1 1 2 1 1 1

2 2 1 1 4 0 0

1 1 2 1 0 3 2

0 1 1 1 0 2 2

M

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

a) −  b) 0 c) +  3) e ^ln ^x  x pour tout x appartenant à :

a) IR b) ]0 ; +  [ c) [0 ; +  [ 4) Soit un réel a. ln( e ^a )  2 e  ln(1) 

a) e ^a -2e+e b) e ^a -2e c) a – 2e

On considère la fonction définie sur ]0 ; +  [ par f (x) = x ² – 2 – 2 ln x et on note (C f ) sa courbe représentative.

b) Montrer que pour tout x de ]0 ; +  [, f (x) = ² (1 ² ₂ ^{2 ln} ₂ x )

x  x  x En déduire lim ( ) lim ^{( )}

4) Déterminer la matrice P ₁ en détaillant les calculs, (on donnera les coefficients sous formes décimale arrondie au centième)

4) En utilisant la matrice M ² donnée en annexe 1., déduire le nombre de chaînes de longueur 2 partant de A sans y revenir.

²

On considère la suite (U _n ) définie par :

U _ U n IN

1) a) Montrer que pour tout n de IN on a U _n > 3 

2) Soit la suite (V _n ) définie par : V _n = U _n +3

a) Montrer que (V n ) est une suite géométrique de raison ²

c) Montrer que ; ( ) ² 3 3

d) Calculer lim _n