Lycée secondaire Ghzala

QCM : (5 points) :

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple ; pour chacune des cinq questions, une et une seule affirmation est exacte.

Indiquez sur votre copie le numéro de la question et recopiez l’affirmation exacte sans justifier votre choix .

1) La représentation graphique de la fonction logarithme népérien admet :

a) une asymptote verticale b) une asymptote horizontale c) une tangente horizontale 2) Soit a un nombre réel strictement positif. lim ln( 5)

x ax

   

a) − b) 0 c) +

3) e ^{ln x}  x pour tout x appartenant à :

a) IR b) ]0 ; +[ c) [0 ; +[

4) Soit un réel a. ^ln   ^{e a  2 e  ln(1) }

a) e ^a  2 e e  b) e ^a  2 e c) a – 2 ^e 5) Soient a et b des réels strictement positifs.

a) −ab b) a − b c) ^{ab 1} b



EXERCICE1 :

On considère la fonction définie sur ]0 ; +[ par f (x) = x ² – 2 – 2 ln x et on note (C _f )sa courbe représentative.

1°) a) Déterminer lim

x  0

f (x) ;

b) Montrer que pour tout x de ]0 ; +[, f (x) = x ²

 

  1 – 2

x ² – 2 ln x x ² En déduire lim

x  + f (x) ;

c) Préciser les éventuelles asymptotes à (C f ) ; 2°) Calculer f ’(x) et étudier son signe.

Dresser le tableau de variations de f ;

Lycée secondaire Ghzala

Devoir de synthése n°2 4EG

 MATHEMATIQUES 

M ^r :WALID Jebali Durée  :2heures

ln a ln b

e  e ^ 

3°) Montrer que l’équation f (x) = 0 admet exactement deux solutions dans l’intervalle ]0 ; +[.

Donner un encadrement d’amplitude 1

100 ème de ces solutions que l’on nommera  et .

4°) Déduire des questions 2°) et 3°) le signe de f (x) lorsque x  ]0 ; +[ ; 5°) Tracer la courbe de f

Exercice 2

5 points - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Chaque mois, un institut de sondage donne la cote de popularité d'un même groupe politique dans l'opinion publique. Les personnes sondées sont, soit favorables, soit défavorables à ce groupe.

Initialement, il y a autant de personnes favorables à ce groupe politique que de personnes qui lui sont défavorables. De chaque mois au mois suivant, on considère que :

. 10 % des personnes qui étaient favorables à ce groupe politique ne le sont plus.

. 15 % des personnes qui n'étaient pas favorables à ce groupe politique le deviennent.

On note, pour tout entier naturel n;

. ^a

, la probabilité qu'une personne interrogée au hasard au bout de n mois soit favorable à ce groupe politique.

. ^b

, la probabilité qu'une personne interrogée au hasard au bout de n mois ne soit pas favorable à ce groupe politique.

. P

  a

b

 , la matrice traduisant l'état probabiliste au bout de n mois.

On note M la matrice de transition telle que, pour tout entier naturel n: ^P

  ^P

^M .

Première partie

1. Déterminer la matrice P

donnant l'état probabiliste initial.

2. Déterminer le graphe probabiliste correspondant à la situation.

3. On admet que 0,9 0,1 0,15 0,85

M  

  

  .

Déterminer la matrice P

en détaillant les calculs, (on donnera les coefficients sous forme décimale arrondie au centième).

4. Déterminer l'état stable et interpréter ce résultat.

Deuxième partie

1. Montrer que a

 0,75 a

 0,15 pour tout entier naturel n.

2. On considère la suite   u

telle que u

 a

 0,6 pour tout entier naturel n.

3. Démontrer que la suite   u

est géométrique de raison 0,75.

4. En déduire que a

  ^0,1   ^{0, 75} 

 ^{0, 6} pour tout entier naturel .

5. Calculer la limite de a

quand n tend vers  . Comment peut-on interpréter cette limite ? En quoi ce résultat est-il cohérent avec celui demandé à la question 4. de la première partie.

Exercice 2 (5 points)

Soit le graphe G joint en annexe constitué des sommets A, B, C, D, E, F et G.

1. Quel est son ordre et le degré de chacun de ses sommets ?

2. Reproduire sur la copie et compléter le tableau des distances entre deux sommets de G :

Distance A B C D E F G

A B C D E F G

En déduire le diamètre de ce graphe.

3. a) Donner un sous-graphe complet d’ordre 3 de G.

Qu’en déduire pour le nombre chromatique de G ?

b) Proposer une coloration du graphe G et en déduire son nombre chromatique.

4. Donner la matrice M associée à G (vous numéroterez les lignes et les colonnes dans l’ordre alphabétique).

5. En utilisant la matrice M ² donnée en annexe 1., déduire le nombre de chaînes de longueur 2 partant de A sans y revenir.

Annexe 1

M ² =

3110210 1301211 1031121 0112111 2211400 1121032

0111022

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 