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Montrer que toute boule ouverte deX est ouverte

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Academic year: 2022

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3M260 – Topologie et calcul différentiel Université Pierre et MarieCurie

Mathématiques Année 2017/2018

Devoir no1

Contrôle continu du vendredi 13 octobre 2017 Durée : 1h

L’usage de tout document ou matériel électronique est strictement interdit.

La qualité de la rédaction et de la présentation, ainsi que la clarté et la précision des raisonnements, constitueront des éléments importants dans l’évaluation des copies. En particulier, les résultats de cours utilisés devront être mentionnés de façon claire, et les réponses non justifiées ne seront pas prises en compte.

Question de cours

Soit (X, d) un espace métrique. Montrer que toute boule ouverte deX est ouverte.

Exercice 1

Soient (X, d) un espace métrique, et A,B deux parties deX. 1) On supposeAB˚6=∅. Montrer qu’alors,AB6=∅. 2) À l’inverse, siAB6=∅, a-t-on nécessairementAB˚6=∅?

Exercice 2

SoientXun ensemble non vide,dune distance surX, etf :R+→R+une application vérifiant les hypothèses : (H1) Pour toutt∈R+, on a f(t) = 0 si et seulement sit= 0.

(H2) f est croissante surR+,i.e.pour touss, t∈R+, on a f(s)6f(t) dès que s6t.

(H3) f est sous-additive,i.e.pour touss, t∈R+, on af(s+t)6f(s) +f(t).

1) Montrer que si λ >0, alors λf vérifie aussi les hypothèses (H1), (H2) et (H3). Trouver une fonctionf qui n’est pas linéaire mais qui vérifie (H1), (H2) et (H3).

On poseD=fd.

2) Montrer que l’applicationD ainsi obtenue est une distance surX.

Dans la suite, étant donnésxX etr >0, nous noterons Bd(x, r) et BD(x, r) les boules ouvertes de centrex et de rayonrpour les distancesdetD respectivement.

3) Pour tousaX et ε >0, montrer que BD(a, f(ε))⊂Bd(a, ε).

Désormais, nous supposerons égalementf continue en 0.

4) Pour tousaX et ε >0, justifier l’existence deη >0 tel que Bd(a, η)⊂BD(a, ε).

5) Déduire des questions précédentes que les distancesdetD définissent les mêmes ouverts surX. 6) Le résultat de la question 5) reste-t-il vrai si l’on ne suppose plusf continue en 0 ?(Bonus)

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