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Correction devoir maison n°15
Exercice 1
1) Pour le premier caractère, il y a 15 choix (car le 0 n’est pas possible) et pour le second caractère, il y a 16 choix. On a donc un total de 15 16 240 nombres possible. On suppose que ces nombres ont tous la même chance d’être choisi, donc qu’il y a équiprobabilité.
2)
a. Pour l’événement : si le nombre ne contient aucune lettre, c’est qu’il est écrit uniquement avec des chiffres de 0 à 9. Pour le premier caractère, on a donc 9 choix (les nombres de 1 à 9) et pour le second caractère, on a 10 choix. Ce qui fait donc
d’où :
.
b. Pour l’événement , le nombre commence par 1. Il ne reste plus qu’à choisir le second caractère et pour cela, nous avons 16 choix. D’où
et donc
.
c. Pour l’événement , le nombre est formé de deux caractères différents. On peut donc penser à utiliser le contraire de . On a alors l’événement : « les deux caractères sont les mêmes ».
Pour le premier caractère, on a 15 choix et le second caractère est alors choisi. On a donc
.
On calcule alors 1 1 d’où
.
On pouvait aussi dénombrer les résultats convenant pour : pour le 1er caractère, on a 15 choix possibles et il y a aussi 15 choix pour le 2ème caractère (les 16 moins celui déjà choisi). D’où :
. d. Pour l’événement : on commence par calculer .
L’événement correspond à « le nombre ne contient aucune lettre et commence par 1 ». Pour le premier caractère, on n’a pas le choix mais pour le second caractère, on a 10 choix. On a donc .
On en déduit : et en simplifiant, .
e. L’événement correspond à : « le nombre contient au moins une lettre ».
On a 1 1 d’où :
. Exercice 2
1) Pour la 1ère case, il y a 2 choix, tout comme pour la 2ème case, la 3ème case, … la 8ème case. Ceci nous donne donc 2 grilles possibles, soit 256 grilles différentes . On estime qu’il y a équiprobabilité.
2)
a. La grille ne comporte que des numéros identiques donc, soit tous les numéros sont des 0, soit tous les numéros sont des 1. Il y a donc deux grilles différentes possibles et
soit :
b. La somme des tous les chiffres est égale à 7, autrement dit il y a sept fois le chiffre 1 et une fois le chiffre 0. Il y a 8 positions possibles pour les 0 donc 8 grilles différentes possibles. On en déduit :
soit, en simplifiant :
c. Tous les chiffres d’une même ligne sont égaux. Donc, une fois que les chiffres de la 1ère colonne sont choisis, les autres sont choisis aussi. Pour la 1ère case, il y a deux choix et pour la case en dessous, il y a deux choix également, ce qui donne 2 4 grilles possibles. D’où
ou encore
d. Chaque colonne contient deux chiffres différents, donc une fois que la 1ère ligne est fixée, la second en découle. Pour la 1ère ligne, il y a 2 choix pour la 1ère case, 2 choix pour la 2ème case, 2 choix pour la 3ème case et 2
choix pour la 4ème case, ce qui fait un total de ,
3) , : les deux événements et
même ligne sont égaux et chaque colonne contient deux chiffres différents Autrement dit, soit la 1ère ligne ne contient que des
contient que des 1 et alors la seconde ne contient que des Ceci nous donne donc 2 grilles différentes possibles
4) - , ,
Exercice 3
1) Voici l’arbre pondéré de la situation :
2)
a. . peut prendre les valeurs 10 ; 8 ; 4 et 5.
A l’aide de l’arbre ci-contre : . 10 1
7 . 5 2
7 . 8 4
7 1 6 2
21 . 4 4
7 5 6 10
21
D’où, en regroupant les résultats dans un tableau :
01 10 8 4 5 . 01 1
7 2 21 10
21 2 7 On vérifie bien que
2 22 b. 3. 10 2 8
Pour calculer l’écart-type de ., on commence par calculer la variance 4. 101
7 8 2
21 4 246
7 64
49 1722 49 D’où 6. 7 √2 9 5,8.
3) Notons 0 la somme attribuée au joueur si la seconde boule est rouge. Le calcul d 3. 10 1
7 0 L’espérance est nulle si et seulement is 2 La boule rouge au second tirage doit rapporter
un total de 2 16 grilles différentes. On obtient alors
et , doivent se produire en même temps donc : sont égaux et chaque colonne contient deux chiffres différents ».
ligne ne contient que des 0 et alors la seconde ne contient que des et alors la seconde ne contient que des 0.
Ceci nous donne donc 2 grilles différentes possibles : , ou encore , , et en simplifiant
22 1
4 5 2;<< 2 , on commence par calculer la variance :
10
21 52
7 =8 7>
300 128 160 64 21
49 1658 49
la somme attribuée au joueur si la seconde boule est rouge. Le calcul d 2
21 4 10
21 5 2
7 30 20 40 30
21
20 40 0 ou encore si 0 20.
La boule rouge au second tirage doit rapporter 20 € pour que le jeu soit équitable.
grilles différentes. On obtient alors , ou encore
« tous les chiffres d’une et alors la seconde ne contient que des 1 ; soit la 1ère ligne ne
, .
: ,
160 150 64
49 738 21 64
49
la somme attribuée au joueur si la seconde boule est rouge. Le calcul de l’espérance donne : 20 40
21
