Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités, cas d’un univers fini.

Chapitre 1:

Introduction au calcul des probabilités, cas d’un univers fini.

∗

1 Introduction

Des actions comme lancer un dé, tirer une carte d’un jeu, obser- ver la durée de vie d’une ampoule électrique, etc...sont des expériences aléatoires. Leur résultat n’est connu que lorsque l’expérience aléatoire a pris fin. On peut cependant envisagera priorides éventualités (des ré- sultats possibles) mais seule la fin de l’expérience nous permet de savoir si telle éventualité est réalisée ou non. Un événement est un ensemble d’éventualités qui est réalisé si l’une de ces éventualités est réalisée.

Dans une expérience aléatoire certains événements sont plus probables que d’autres ; d’où l’idée de chiffrer les chances qu’a un événement de se produire. Cette idée trouve une justification expérimentale connue sous le nom de loi empirique des grands nombres :

Soit Aun événement relatif à une certaine expérience aléatoire (par exemple A="sortir pile" quand on joue à pile ou face). Répétons N fois (dans les mêmes conditions expérimentales) l’expérience aléatoire et soit NA le nombre de fois où A s’est réalisé au cours des N essais.

On constate que le rapport f_A = ^N_N^A appelé fréquence de l’événement A, reste pratiquement constant pour N assez grand, de sorte qu’on peut considérer ce nombre comme une caractéristique intrinsèque de l’événement A. Dans le cas de l’exemple, pour une pièce correcte, on constate que f_A ∼= 0,5 dès que N est assez grand. C’est cette valeur limite qu’on appelera la probabilité de l’événementA.

2 Expérience aléatoire et événements

2.1 Définitions

Il est naturel de représenter une expérience aléatoire par l’ensemble de toutes ses éventualités (qu’on suppose pour l’instant en nombre fini).

Par exemple lancer un dé peut se représenter par l’ensemble

(1) Ω ={1,2,3,4,5,6}.

∗Notes du cours de Probabilités de M1 de M. L. Gallardo, Université de Tours, année 2009-2010. Les démonstrations sont détaillées dans le cours oral.

Un événement est un ensemble d’éventualités ; par exemple "il sort un nombre pair" est représenté par le sous-ensemble A={2,4,6}.

L’ensemble des éventualités autres que celles deAest un événement appelé contraire de A; il est noté A. Toujours avec le même exemple,¯ A¯={1,3,5}.

Deux événementsAetB peuvent avoir des éventualités en commun.

L’ensemble des éventualités communes àAetB constitue un événement notéA∩B et appeléconjonctiondes événementsAetB. Avec l’exemple ci-dessus, si A ="il sort un nombre pair"= {2,4,6} et B ="il sort un nombre supérieur ou égal à 4"={4,5,6}, on a A∩B ={4,6}.

Si on réunit les éventualités de deux événementsA etB, on obtient un événement appelé événement A ouB¹et noté A∪B. Toujours avec l’exemple précédent, on a A∪B ={2,4,5,6}.

2.2 Réalisation d’un événement

On dit que l’événement A s’est réalisé si et seulement si l’une des éventualités constituantA s’est réalisée. Ainsi on a :

A réalisé ⇐⇒ A¯non réalisé

A∩B réalisé ⇐⇒ A réalisé et B réalisé A∪B réalisé ⇐⇒ A réalisé ou B réalisé

3 Expérience aléatoire probabilisée

Définition 3.1 : Si une expérience aléatoire est schématisée par un ensemble fini Ω appelé univers des possibles, alors :

• les éléments de Ω sont appelés éventualités.

• les éléments de l’ensemble P(Ω) des parties de Ω sont appelés évé- nements.

Remarque 3.2 : Désormais on considérera un événement comme un sous-ensemble de Ω sans faire référence à sa réalisation ou sa non- réalisation. Les opérations ensemblistes ∩, ∪ et¯trouvent alors une interprétation en termes d’événements. On utilisera le vocabulaire sui- vant :

écriture ensembliste formulation probabiliste

Ω événement certain

∅ événement impossible

A(∈P(Ω)) événement A

A¯ événement nonA

A∩B événement A et B

A∪B événement A ouB

A∩B =∅ A etB sont incompatibles

A⊂B A impliqueB

1attention, il s’agit du «ou» mathématique, c’est à dire le «ou» non exclusif.

Remarque 3.3 : Soit N > 0 un entier fixé. Notons f_A la fréquence de l’événement A au cours de N répétitions successives de l’expérience aléatoire (voir le §1). On voit immédiatement que l’applicationA7→f_A possède les deux propriétés suivantes :

1)f_Ω = 1

2)A∩B =∅=⇒fA∪B=f_A+f_B.

Les axiomes des probabilités sont calqués sur ces propriétés de la fré- quence.

Définition 3.4 : L’univers finiΩest probabilisé si à chaque événement A ∈ P(Ω) est associé un nombre P(A) ≥ 0, appelé probabilité de A de telle sorte que pour A, B ∈ P(Ω) les deux propriétés suivantes soient satisfaites :

1) P(Ω) = 1

2) A∩B =∅=⇒P(A∪B) =P(A) +P(B).

Le couple (Ω,P) où l’application P définie sur P(Ω) vérifie les condi- tions ci-dessus, est appelé espace probabilisé.

Les propriétés immédiates de la probabilité sont les suivantes :

Proposition 3.5 : Si (Ω,P) est un espace probabilisé fini, pour tous A, B ∈P(Ω), on a

1) 0≤P(A)≤1.

2) P( ¯A) = 1−P(A).

3) P(∅) = 0.

4) P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B).

De plus si A₁. . . , A_n sont des événements deux à deux incompatibles,

P(∪ⁿ_i=1A_i) =

n

X

i=1

P(A_i).

Définition 3.6 : Soit Ω = {ω₁, . . . , ω_n} un espace probabilisé fini et soient p₁ = P(ω₁), . . . , p_n = P(ω_n) les probabilités des éventualités de Ω. La suite des nombres p_i, i = 1, . . . , n s’appelle la distribution de probabilité sur Ω.

Ces nombres p_i vérifient les propriétés suivantes : 1)0≤p_i ≤1 pour touti∈ {1, . . . , n}.

2)Pn

i=1pi = 1.

3) si A=∪i∈J{ω_i} alors P(A) = P

i∈Jp_i.

Définition 3.7 : Etant donné un universΩ, on appellesystème com- plet d’événements toute partition (Ai)i∈I de l’ensemble Ω. Autrement dit les A_i sont des événements deux à deux incompatibles et de réunion égale à Ω.

Souvent on attache plus d’importance à un système complet d’événe- ments(A_i)i∈I et aux événements obtenus comme réunion de certainsA_i qu’aux éventualités (i.e. les éléments de Ω). Dans ce cas, on considère lesAi (i∈I) comme de nouvelles éventualités et on n’utilise alors que la distribution de probabilité associée aux A_i.

Exemple 3.8 : Si on joue avec deux dés, un blanc et un rouge, l’expé- rience aléatoire peut être modélisée par l’ensemble Ωdes couples (a, b) oùa est le numéro obtenu avec le dé blanc etb le numéro obtenu avec le dé rouge. Autrement dit Ωest le produit cartésien

Ω ={1, . . . ,6} × {1, . . . ,6}.

Considérons les événementsA_i, 2≤i≤12définis par : Ai = ”la somme des points marqués égale i”

Les A_i (2 ≤ i ≤ 12) forment un système complet d’événements. Si on ne s’intéresse qu’à la somme des points marqués, il est plus commode d’introduire un nouvel espaceΩ⁰ ={A2, A3, . . . , A12}dont les nouvelles éventualités sont lesA_i et la distribution de probabilité sur Ω⁰ est don- née par :

P(A2) = ₃₆¹, P(A3) = ₃₆² , P(A4) = ₃₆³, P(A5) = ₃₆⁴, P(A6) = ₃₆⁵, P(A₇) = ₃₆⁶ , P(A₈) = ₃₆⁵, P(A₉) = ₃₆⁴, P(A₁₀) = ₃₆³ , P(A₁₁) = ₃₆², P(A₁₂) = ₃₆¹.

Soit A l’événement "la somme des points marqués est supérieure ou égale à 10". On a

P(A) = P(A₁₀) +P(A₁₁) +P(A₁₂) = 3 36+ 2

36+ 1 36 = 1

6.

4 Probabilité équidistribuée

4.1 Généralités

Soit Ω = {ω1, . . . , ωn} un ensemble fini, P une probabilité sur Ω, et p₁ =P(ω₁), . . . , p_n=P(ω_n) la distribution de probabilité correspon- dante sur Ω.

Définition 4.1 : On dit que la probabilité est équidistribuée (ou uniforme) sur Ω si p₁ =p₂ =. . .=p_n= ¹_n.

Proposition 4.2 : Si la probabilité est équidistribuée sur Ω, pour tout événement A, on a P(A) = ^card_card ^A_Ω.

(en d’autres termes plutôt anciens, P(A) = nombre de cas favorables à A nombre total de cas possibles).

Exemple 4.3 : La plupart des exemples élémentaires de probabilité équidistribuée ont trait aux jeux de hasard :

1) Quand on lance un dé, quelle est la probabilité d’obtenir un nombre supérieur à 4 (événement A) ? L’expérience aléatoire se modélise par l’ensembleΩ ={1, . . . ,6}. Si le dé n’est pas truqué, il est naturel d’ad- mettre qu’aucune face n’est privilégiée donc que la probabilité est équi- distribuée. On a donc P(A) =p₅+p₆ = ²₆ = ¹₃.

2) En tirant une carte d’un jeu de 32 cartes, quelle est la probabilité d’obtenir un as (événement A) ? L’expérience a ici32éventualités cha- cune équiprobable. Donc P(A) = ₃₂⁴ = ¹₈.

3) Si on tire successivement3cartes d’un jeu de 32 cartes (sans remise)

quelle est la probabilité d’obtenir3as (événementA) ? Ici la réponse dé- pend d’une modélisation convenable de l’expérience aléatoire consistant à tirer3 cartes sans remise. Sa solution est étudiée dans le paragraphe suivant.

4.2 Tirages sans remise

Les tirages sans remise interviennent si souvent dans les modèles probabilistes qu’il convient que le débutant ait des idées claires sur cette question. Soit E un ensemble de N objets (par exemple des cartes ou d’autres choses).

Par définition «tirer un objet au hasard dans E» est une expérience aléatoire probabilisée qu’on modélise par l’espace Ω =E (car les éven- tualités sont les divers objets qu’on peut «tirer» de l’ensembleE qu’on assimile à un sac dans lequel on va plonger le main pour en tirer un objet) et on suppose que la probabilité est équidistribuée sur Ω (c’est ce qui justifie le terme tirer au hasard, ce qui suppose que les objets ont été bien mélangés et que chaque objet a la même probabilité d’être choisi).

Supposons qu’il y ait dans E un nombre N_C d’objets possédant une certaine caractéristiqueC alors la probabilité de tirer un objet de type C est égale à ^N_N^C c’est à dire c’est la proportion d’objets de type C dans E.

Si maintenant on tire au hasard successivement robjets sans remise dans E (1 < r ≤ N) (i.e. on tire un objet dans E puis un deuxième dansE, etc... mais à chaque fois sans remettre les différents objets déjà tirés). Comment modéliser cette expérience aléatoire ? :

On convient de ne s’intéresser qu’auxrobjets tirés et non à l’ordre dans lequel ils ont été tirés (autrement dit tout se passe comme si on avait tiré les r objets d’un seul coup dans E). Tout sous ensemble deE à r éléments est une éventualité. On modélise donc l’expérience aléatoire

«tirer r objets dans E sans remise» par l’espace Ω ={F ∈P(E); cardF =r}

de toutes les parties de E ayant r éléments. On sait depuis le lycée que cardΩ =C_n^r = _r!(n−r)!^n! . Par définition (de "au hasard") on suppose que la probabilité est équidistribuée sur Ω, c’est à dire que chaque éventualité a pour probabilité _C¹r

n.

Ainsi si on tire au hasard 3 cartes (sans remise) d’un jeu de 32 la probabilité d’obtenir 3as (événement A) est égale à

P(A) = cardA C₃₂³ = C₄³

C₃₂³ = 4

4960 = 1 1240

∼= 0,0008.

La probabilité d’obtenir au moins un valet (événement B) (en tirant toujours 3cartes), vaut

P(B) = 1−P( ¯B) = 1− C₂₈³

C₃₂³ = 1− 819

1240 = 421 1240.

4.3 Tirages avec remise

Les tirages avec remise donnent lieu à une toute autre une modé- lisation. Faire n tirages au hasard avec remise dans un ensemble E, c’est tirer un objet dans E, noter le résultat observé, remettre l’objet dans E, mélanger les objets puis réeffectuer encore n−1 fois la même opération. Le résultat observé est un n-uplet (x₁, . . . , x_n)où pour tout 1≤i≤n, x_i ∈E. L’expérience aléatoire «tirern objet au hasard avec remise dans E» est donc représentée par l’univers

(2) Ω = E× · · · ×E =Eⁿ

et il est naturel de supposer que les éventualités sont toutes équipro- bables, c’est à dire

(3) ∀ω∈Ω, P(ω) = 1

(cardE)ⁿ

Par exemple si on tire trois cartes au hasard et avec remise dans un jeu de 32 cartes, l’événement A = «obtenir trois as» est composé de 4×4×4 = 64 éventualités différentes. On a donc

(4) P(A) = 64

32³ = 1

512 = 0,00195· · ·

Remarque 4.4 : La notion de tirage avec remise est liée à la notion de répétition d’expériences aléatoires indépendantes que nous modéli- serons dans le chapitre suivant. Nous reviendrons donc bientôt sur cette question avec un autre point de vue.

5 Rappels d’analyse combinatoire

Dans le cas où la probabilité est équidistribuée dans un univers fini, les questions de probabilité se reduisent, comme on vient de le voir, à des questions de dénombrement. Il n’est donc peut être pas inutile de rappeler succintement quelques résultats bien connus d’analyse combi- natoire.

5.1 Applications

Soient E un ensemble à n éléments et F un ensemble à péléments.

Une application (quelconque) f : E → F de E dans F peut se re- présenter par le n-uplet (i.e. suite finie) (f₁, f₂, . . . , f_n) des images des différents éléments de E. Comme il y a p choix possibles pour chaque coordonnée f_i (i = 1, . . . , n), il y a donc au total p×p× · · · ×p= pⁿ applications de E dans F.

5.2 Permutations

SoitE un ensemble denobjets. On appelle permutation deE toute manière (b1, b2, . . . , bn) de disposer les éléments de E dans un certain

ordre. Mathématiquement une permutation est donc une application bijective

(5) b:{1, . . . , n} →E

de l’ensemble {1, . . . , n} sur E. Comme il y a n choix possibles pour l’objet b₁,n−1 choix possibles pour b₂, n−2choix possibles pour b₃, etc..., le nombre total de permutations deEest égal àn(n−1)· · ·2.1 = n!

5.3 Arrangements

Soient E un ensemble à n éléments et 0≤p≤n un entier fixé. On appelle arrangement de pobjets de E tout p-uplet (i1, . . . , ip) d’objets deE tous différents. Mathématiquement un arrangement est donc une application injective

(6) i:{1,2, . . . , p} →E

de l’ensemble {1,2, . . . , p} dans E. Il y a donc n choix possibles pour l’objet i₁, n−1 choix possibles pour i₂, etc... et n−p+ 1 choix pour i_p. Le nombre total d’arrangements de p objets de E est donc

(7) A^p_n =n(n−1)· · ·(n−p+ 1) = n!

(n−p)!

5.4 Combinaisons

SoientEun ensemble ànéléments et0≤p≤nun entier fixé. Toute partie F ⊂ E à p élément est appelée combinaison de p éléments de E (on dit aussi combinaison dep éléments parmin). Comme F est un sous-ensemble, on ne tient compte que despéléments qui le composent qui sont évidemment tous différents mais il n’y a pas d’ordre entre les éléments. On note C_n^p (où (ⁿ_p)) le nombre total de combinaisons de p objets. Comme à une combinaison de p objets on peut clairement associerp!arrangements différents, il y ap!fois plus d’arrangements de p objets que de combinaisons dep objets et donc :

(8) C_n^p = A^p_n

p! = n!

p!(n−p)!

5.5 Combinaisons avec répétition

Soient E un ensemble à n éléments et 1 ≤ p un entier fixé (on ne suppose pas que p ≤ n). Une combinaison avec répétitions de p objets de E est une «pseudo sous-ensemble» de E à p éléments mais où un même élément peut être répété plusieurs fois. Par exemple si E ={1,2,3,4}, etp= 5,{1,1,1,1,1},{1,2,2,3,4}et{2,2,3,3,4}sont des combinaisons avec répétitions de5éléments deE. Pour donner une description mathématique rigoureuse considérons queE ={1,2, . . . , n}

est l’ensemble des entiers de 1àn. Une combinaison avec répétition de pobjets de E est parfaitement déterminée si pour tout i= 1, . . . , n, on

précise le nombre k_i de répétitions de l’élément i dans la combinaison.

Le nombre total de combinaisons avec répétitions de pobjets de E est donc égal au nombre de solutions en nombres entiers k_i (i = 1, . . . , n) de l’équation

(9) k₁+k₂+· · ·+k_n=p.

On montre que ce nombre est égal àC_n+p−1ⁿ⁻¹ (voir les exercices).