Intégrales et primitives - Cours 3 PDF

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Primitives et int´ egrales

On désigne par I un intervalle deRnon vide et non réduit à un point.

1. Primitives d’une fonction

Définition 37.1. On dit qu’une fonction f : I → R possde une primitive sur I, ou est primitivable sur I, s’il existe une fonction F : I → R dérivable sur I et telle que, pour tout x ∈ I, F⁰(x) = f(x). Toute fonction F dérivable sur I et telle que F⁰ = f est appele une primitive de f sur I.

On d´esignera parfois par PR(I) l’ensemble des applications de I dansRprimitivables.

Proposition 37.1. Soit f une fonction primitivable sur I.

(1) Si F est une primitive de f sur I alors la fonction G :I → R est une primitve de f sur I si et seulement si G−F est constante surI.

(2) Pour chaque x0 ∈ I et chaque c ∈ R il existe une unique primitive F de f telle que F(x₀) =c.

Preuve. 1) Si G−F est constante sur I alors la relationG= (G−F) +F entraine que G est d´erivable sur I et pour tout x∈I,

G⁰(x) =F⁰(x) + (G−F)⁰(x) =F⁰(x) =f(x).

La fonctionGest donc bien une primitive de f sur I.

R´eciproquement, si Gest une primitive def sur I alors, pour tout x∈I, (G−F)⁰(x) =G⁰(x)−F⁰(x) =f(x)−f(x) = 0 et, I ´etant un intervalle,G−F est constante surI.

2) Soit F une primitive de f sur I. Pour toute primitive G de f il existe λ ∈ R tel que G=F+λet

G(x0) =c⇔F(x0) +λ=c⇔λ=c−F(x0)

ce qui montre que G:I → Rd´efinie parG(x) = F(x)−F(x0) +c est l’unique primitive de f prenant la valeurc en x₀.

Remarque. 1). SiI n’est pas un intervalle les affirmations 1.et 2.de la proposition précédente peuvent être fausses. Par exemple, les fonctionsF etGdeR^∗ dansRdéfinies parF(x) = ln|x|, G(x) = ln|2x| si x < 0 et G(x) = F(x) si x > 0 sont dérivables sur R^∗ et, pour tout x 6= 0, F⁰(x) = G⁰(x) = 1

x. Les fonctions F et G sont donc des primitives sur R^∗ de x → 1

x mais la fonctionG−F n’est pas constante surR^∗ etF(1) =G(1) = 0.

2) Toute fonction définie surI n’est pas primitivable. En effet, les fonctions dérives vérifient le théorème des valeurs intermédiaires (voir le document 26). La satisfaction de ce théorème est donc une condition nécessaire pour posséder une primitive et sif(I) n’est pas un intervalle alors

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on est certain quef n’a pas de primitive surI. Par exemple, la fonction partie enti`ere n’est pas primitivable sur R.

Il existe des fonctions vérifiant le théorème des valeurs intermédiaires et qui ne sont pas des fonctions dérivées. Dans le document 27, on construit une fonction définie sur [0,1], satisfaisnt ce théorème et continue en aucun point. Cette fonction n’est pas une dérivée car si une dérivée est définie sur un intervalle alors l’ensemble des points où elle est continue est dense dans son intervalle de définition (Document 26).

3) Il existe des fonctions primitivables non continues et même non bornées au voisinage d’un point. Par exemple, soit f :R→R définie par

F(x) =x²sin 1

x² six6= 0 etF(0) = 0.

Cette fonction est d´erivable sur R et F⁰(x) = 2xsin 1

x² − 2 xcos 1

x² six6= 0 etF⁰(0) = 0.

La fonctionf =F⁰ est primitivable surR et n’est born´ee sur aucun voisinage de 0.

4) On d´esigne par Z

f(x)dxl’ensemble des primitives de f mais ce symbole désigne parfois une primitive de f d’où une certaine ambiguité de cette notation.

Proposition 37.2. Pour tout intervalleI, PR(I) est un espace vectoriel sur R. Preuve ´evidente.

Ce résultat permet de trouver des primitives par combinaison linéaire de fonctions élémentaires primitivables. On obtient ces dernières fonctions en lisant de droite à gauche un tableau donnant les dérivées usuelles. Par exemple une primitive sur R^∗ de x → 2 sinx + 31

x + 4 est x→ −2 cosx+ 3 ln|x|+ 4x et toute fonction polynˆome est primitivable.

Remarque. Si PR(I) est bien un sous espace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions définies sur I, en revanche ce n’est pas une sous algèbre. En d’autres termes, un produit de fonctions dérivées n’est pas nécessairement une fonction dérivée.

Exemple. Soitf et gde R dansRd´efinies par f(0) =g(0) = 0 et, pour x6= 0,f(x) =x²sin1 x, g(x) = x²cos 1

x. Les fonctions f et g sont d´erivables sur R avec f⁰(0) = g⁰(0) = 0 et, pour x 6= 0, f⁰(x) = 2xsin1

x + cos1

x, g⁰(x) = 2xcos1

x −sin1

x. Si h : R → R est définie par h(x) =f⁰(x)²+g⁰(x)²−4x² alorsh(0) = 0 eth(x) = 1 pourx6= 0. Cette fonctionh n’est donc pas primitivable et donc au moins l’une des fonctions (sans doute les deux) (f⁰)² ou (g⁰)² n’est pas une fonction dérivée.

2. Primitives et int´egrale d’une fonction continue

2.1. Définition et propriétés. Nous avons vu que toute fonction admettant une primitive sur un intervalle vérifie le théorème des valeurs intermédiaires et l’on sait que ce théorème est satisfait par les fonctions continues. Nous admettrons le théorème suivant dont différentes preuves seront vues dans la partie ”Compléments ” de ce document.

Th´eor`eme 37.1. Toute fonction continue sur un intervalle I possde des primitives surI.

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2. PRIMITIVES ET INT ´EGRALE D’UNE FONCTION CONTINUE 403

Lemme37.1. Soitf une fonction primitivable surI etaetbdeux ´el´ements de cet intervalle.

Le nombre rel F(b)−F(a) est indépendant de la primitive F def. Preuve. C’est une conséquence immédiate de la proposition 37.1

Définition 37.2. Soit f une fonction ayant une primitive F sur I et a, b∈I. Le nombre réel F(b)−F(a) est appelé intégrale entre aet b de f et on note

F(b)−F(a) = Z b

a

f(x)dx.

Remarques. 1) Dans la notation Z b

a

f(x)dx la variable x est muette et peut ˆetre remplac´ee par toute autre variable sans occurrence dans f. On a par exemple

Z b a

f(x)dx = Z b

a

f(t)dt = Z b

a

f(u)du.

2) Il résulte immédiatement de la définition que Z a

a

f(x)dx= 0 et Z b

a

f(x)dx=− Z a

b

f(x)dx.

Proposition 37.3. Soit f une fonction ayant une primitive F sur I et a∈I. La fonction G deI dansR d´efinie par

G(x) = Z x

a

f(t)dt

est d´erivable sur I et est la primitive def prenant la valeur 0 au point a.

Preuve. On aG(x) =F(x)−F(a) d’où la dérivabilité deGsurI avecG⁰(x) =F⁰(x) =f(x).

De plus G(a) =F(a)−F(a) = 0.

Remarque. Si on remplace la notion d’intégrale introduite ici par celle d’intégrale de Riemann alors on est certain queGest dérivable en x0 ∈I seulement sif est continue enx0 et on a alors G⁰(x₀) =f(x₀). Par exemple la fonction partie entière de x est intégrable au sens de Riemann sur R mais x →

Z x 0

E(t)dt est seulement d´erivable sur R−Z et cette fonction n’est donc pas une primitive de la fonction partie enti`ere (qui n’est pas primitivable sur R).

Dans la suite, nous allons étudier les propriétés de l’intégrale d’une fonction con- tinuemais de nombreux résultats s’étendent facilement au cas des fonctions primitivables. On désignera parC⁰(I,R) l’espace vectoriel réel des fonctions continues surI.

Proposition 37.4. (La relation de Chasles) Soit a, b et c trois ´el´ements de I et f une fonction continue sur I. On a

Z b a

f(x)dx= Z c

a

f(x)dx+ Z b

c

f(x)dx.

Preuve. Soit F une primitive de f sur I. L’égalité cherchée est une autre fa¸con d’écrire F(b)−F(a) =F(b)−F(c) +F(c)−F(a).

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Proposition 37.5. (Linéarité de l’intégrale) Soit f et g deux fonctions continues sur I.

Pour tout (λ, µ)∈R² et tout (a, b)∈I² Z b

a

(λf(x) +µg(x))dx=λ Z b

a

f(x)dx+µ Z b

a

g(x)dx.

Preuve. On utilise la d´efinition de l’int´egrale et le fait que siF etG sont des primitives de f etg sur I alorsλF +µGest une primitive de λf+µg.

Proposition 37.6. (Positivit´e de l’int´egrale) Soit f une fonction continue et positive sur I = [a, b]. Si a < b alors

Z b a

f(x)dx≥0et Z b

a

f(x)dx= 0si et seulement sifest identiquement nulle sur [a, b].

Preuve. SoitF une primitive def surI. Comme la fonctionf est positive,F est croissante eta < b implique F(a)≤F(b) d’o`u

Z _b

a

f(x)dx≥0.

Si Z b

a

f(x)dx= 0 alorsF(a) =F(b) et la fonctionF étant croissante, elle est constante sur [a, b] et sa dérivéef est identiquement nulle. La réciproque est évidente.

Remarques. 1) La proposition est encore vraie si f n’est pas continue. Si on considère l’intégrale au sens de Riemann, la première affirmation de la proposition est toujours vraie mais la seconde peut être fausse sif n’est pas continue. Par exemple,

Z 1 0

E(x)dx= 0 et la fonction partie entière n’est pas identiquement nulle sur [0,1]. Cependant, si on considére l’intégrale de Riemann d’une fonction ayant une primitive alors on peut faire la même démonstration qu’ici et le résultat est donc vrai.

2) On peut résumer les deux propositions précédentes en disant quef → Z b

a

f(x)dxest une forme lin´eaire positive surC⁰(I,R).

Corollaire37.1. Soitf etgdeux fonctions continues surI = [a, b]. Si pour toutx∈[a, b], f(x)≤g(x) alors

Z b a

f(x)dx≤ Z b

a

g(x)dx,

l’in´egalit´e stricte ayant lieu si et seulement si il existe x₀ ∈[a, b] tel que f(x₀)< g(x₀).

Preuve. Il suffit d’appliquer la proposition 37.6 `a la fonction continue et positiveh=g−f. Corollaire 37.2. L’application

(f, g)∈ C⁰(I,R)²→ hf|gi= Z b

a

f(x)g(x)dx

est un produit scalaire sur C⁰(I,R).

Peuve. En utilisant la proposition 37.5 on voit que (f, g) → hf|gi est une forme bilinéaire qui est évidemment symétrique. La proposition 37.6 entraine qu’elle est de plus définie positive.

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Remarque. On peut déduire du corollaire précédent l’inégalité de Cauchy-Schwarz qui est vérifiée par toute forme bilinéaire symétrique et positive :

Sif etg sont continue sur [a, b] alors

| Z b

a

f(x)g(x)dx| ≤( Z b

a

f(x)²dx)¹²( Z b

a

g(x)²dx)¹², l’´egalit´e ayant lieu si et seulement si il existe λ∈R tel quef =λg.

On d´eduit de ce r´esultat un cas particulier (p=q= 1

2) de l’in´egalit´e de Minkowski (

Z b a

(f(x) +g(x))²dx)¹² ≤( Z b

a

f(x)²dx)¹² + ( Z b

a

g(x)²dx)¹². (Pour la preuve, partir de (f +g)²=f²+g²+ 2f g.)

Une preuve directe de l’inégalité de Cauchy-Schwarz se trouve dans le document du fascicule 1 consacré au trinôme du second degré.

Corollaire 37.3. (L’inégalité des accroissements finis) Soit f une fonction dérivable sur [a, b] avec a < b. S’il existe (m, M)∈R² tel que

m≤f⁰(x)≤M alors

m(b−a)≤f(b)−f(a)≤M(b−a).

Preuve. Il suffit d’appliquer le corollaire 37.1.

Exercice. Etudier la suite (In) d´efinie pour n >0 par I_n=

Z ^π

2

0

(sinx)ⁿ¹dx.

Six∈[0,π

2] alors 0≤sinx≤1 et 0≤(sinx)ⁿ¹ ≤(sinx)ⁿ⁺¹¹ ≤1. Le corollaire 37.1 entraine que 0≤I_n≤I_n+1≤ π

2. La suite croissante et major´eeI_n est donc convergente.

On a 2

πx≤sinx (voir Document 33) d’o`u (2

πx)ⁿ¹ ≤(sinx)ⁿ¹ et donc Z ^π

2

0

(2

πx)ⁿ¹dx≤I_n. Une primitive sur [0,π

2] de x→(2

πx)ⁿ¹ est (2 π)ⁿ¹ n

n+ 1xⁿ⁺¹ⁿ et Z ^π

2

0

(2

πx)ⁿ¹dx= (2 π)¹ⁿ n

n+ 1(π

2)ⁿ⁺¹ⁿ = n n+ 1

π 2 d’o`u n

n+ 1 π

2 ≤In≤ π

2 et lim

n→∞In= π 2.

Remarques. 1). Attention ! La preuve de la proposition 37.6 utilise le fait qu’une fonction ayant une dérivée positive sur un intervalle est croissante sur cet intervalle. La preuve très

´

elémentaire de l’inégalité des accroissements finis donnée ici suppose donc aussi ce résultat alors que souvent il est démontré en utilisant l’égalité ou l’inégalité des accroissements finis. On peut

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aussi remarquer que l’égalité des accroissements finis a aussi été utilisée pour montrer que deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante.

Si on utilise l’intégration au sens de Riemann alors la preuve de la proposition 37.6 est très simple et n’utilise pas l’inégalité des accroissements finis mais toutes les fonctions dérivées ne sont pas intégrables au sens de Riemann.

2). Comme pour la proposition 37.6 on ne peut pas supprimer l’hypothèse de continuité dans le corollaire 37.1 si l’on veut que la seconde affirmation soit toujours vraie avec l’intégrale au sens de Riemann.

Corollaire 37.4. Soit f une fonction continue sur I = [a, b]. On a

| Z b

a

f(x)dx| ≤ Z b

a

|f(x)|dx.

Preuve. Si f est continue sur [a, b] alors |f|l’est aussi et, pour tout x ∈ (a, b], −|f(x)| ≤ f(x)≤ |f(x)|. Le corollaire 37.1 termine la preuve.

Proposition37.7. (Inégalité et égalité de la moyenne) Soitf etgdeux fonctions continues sur I = [a, b], la fonction f étant positive. Si m= infx∈Ig(x) et M = sup_x∈Ig(x) alors

(1)

m Z b

a

f(x)dx≤ Z b

a

f(x)g(x)dx≤M Z b

a

f(x)dx et

(2) il existe c∈[a, b]tel que Z b

a

f(x)g(x)dx=g(c) Z b

a

f(x)dx.

Preuve. 1). On a pour tout x ∈I, m≤g(x) ≤M d’où, la fonctionf étant positive sur I, m f(x) ≤ f(x)g(x) ≤ M f(x). L’ application du corollaire 37.1 achève la preuve de la double inégalité.

2). Le r´esultat est ´evident si f est identiquement nulle surI. Sinon Z b

a

f(x)dx >0 et donc m≤

Z b a

f(x)g(x)dx / Z b

a

f(x)dx≤M.

Le théorème des valeurs intermédiaires entraine l’existence d’un c∈[a, b] tel que g(c) =

Z b a

f(x)g(x)dx/

Z b a

f(x)dx.

Remarques. 1). La double inégalité de la proposition précédente reste vraie si m est un minorant et M un majorant def sur I.

2). Sif est négative alors l’application à−f de la première partie de la proposition conduit

` a :

M Z b

a

f(x)dx≤ Z b

a

f(x)g(x)dx≤m Z b

a

f(x)dx et l’´egalit´e de la moyenne est encore vraie.

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En prenant dans la proposition précédente, f égale à la fonction constante de valeur 1, on obtient le corollaire suivant dont on pourra donner une interprétation géométrique après avoir interprété l’intégrale en terme d’aire.

Corollaire 37.5. Soit g une fonction continue surI = [a, b],a < b. Sim= infx∈Ig(x) et M = sup_x∈Ig(x) alors

(1)

m(b−a)≤ Z b

a

g(x)dx≤M(b−a) et

(2) il existe c∈[a, b]tel que Z b

a

g(x)dx= (b−a)g(c).

Remarques. 1) Si on explicite Z b

a

g(x)dxà l’aide d’une primitive deg, on voit que l’affirmation 1. n’est rien d’autre que l’inégalité des accroissements finis.

2) L’égalité de la moyenne et le corollaire précédent ont des interprétations graphiques bien connues. Il est difficile de les placer ici car on n’a pas encore donné l’interprétation géométrique de l’intégrale.

2.2. Int´egration par parties.

Proposition 37.8. Soit u et v deux fonctions ayant des d´eriv´ees continues sur I = [a, b].

On a :

Z b a

u⁰(x)v(x)dx= [u(x)v(x)]^b_a− Z b

a

u(x)v⁰(x)dx.

(en d´esignant par[u(x)v(x)]^b_a la quantit´eu(b)v(b)−u(a)v(a).

Preuve. La fonction produit uv est dérivable sur I et (uv)⁰ = u⁰v+u v⁰, ce qui entraine en particulier la continuité de la fonction (uv)⁰ sur I. Les trois fonctions, (uv)⁰, u⁰v et u v⁰, sont donc continues surI et la proposition 37.5 entraine qu’une primitive deu⁰v est obtenue en faisant la différence entre une primitive deuv et une primitive de u v⁰ . On peut donc écrire :

Z b a

u⁰(x)v(x)dx = Z b

a

([u(x)v(x)]⁰−u(x)v⁰(x))dx

= Z b

a

([u(x)v(x)]⁰dx− Z b

a

u(x)v⁰(x))dx

= [u(x)v(x)]^b_a− Z b

a

u(x)v⁰(x)dx Remarque. En général, on utilise la proposition précédente pour calculer

Z b a

u⁰(x)v(x)dx et il est parfois int´eressant de prendre pour fonction u la primitive de u⁰ nulle en a ou enb. Par exemple :

Z b a

(x−a)(x−b)dx= [(x−a)²

2 (x−b)]^b_a− Z b

a

(x−a)²

2 dx= (a−b)³ 6

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si on prend u(x) = (x−a)²

2 et non pasu(x) = x² 2 −ax.

Exercice (Second théorème de la moyenne) Soit f une fonction continue sur [a, b], g une fonction de classe C¹ sur [a, b], décroissante et positive. Montrer qu’il existec∈[a, b] tel que

Z _b

a

f(x)g(x)dx=g(a) Z _c

a

f(x)dx+g(b) Z _b

c

f(x)dx.

Solution. SoitF la primitive def sur [a, b] telle queF(a) = 0. Par int´egration par parties on a :

Z b a

F(x)g⁰(x)dx= [F(x)g(x)]^b_a− Z b

a

f(x)g(x)dx=F(b)g(b)− Z b

a

f(x)g(x)dx, d’o`u

Z b a

f(x)g(x)dx = F(b)g(b)− Z b

a

F(x)g⁰(x)dx

= F(b)g(b)−F(c) Z b

a

g⁰(x)dx=F(b)g(b)−F(c)(g(b)−g(a))

avec c ∈ [a, b] par application de l’égalité de la moyenne car g⁰ est négative sur [a, b]. En remarquant que

F(b)g(b)−F(c)(g(b)−g(a)) = F(b)g(b)−F(a)g(a)−F(c)(g(b)−g(a))

= g(a) Z c

a

f(x)dx+g(b) Z b

c

f(x)dx on obtient le r´esultat cherch´e.

Question. Avec des hypoth`eses plus faibles, on peut montrer dans le cas de l’int´egration au sens de Riemann qu’il existe d∈[a, b] tel que

Z b a

f(x)g(x)dx=g(a) Z d

a

f(x)dx.

Existe-t-il une démonstration simple de ce résultat avec les hypothèses ci-dessus ? 2.3. Changement de variables.

Proposition37.9. Soitϕune fonction de classeC¹sur un intervalle[a, b],f une application continue sur ϕ([a, b]). On a

Z _b

a

f(ϕ(x))ϕ⁰(x)dx= Z _ϕ(b)

ϕ(a)

f(x)dx

Preuve. Soit F une primitive de f sur ϕ([a, b]). La fonction compos´ee F ◦ϕ est d´erivable sur [a, b] et (F ◦ϕ)⁰ = ϕ⁰(f ◦ϕ). La fonction F ◦ϕ est donc une primitive de l’application g= (f◦ϕ).ϕ⁰ continue sur [a, b]. On a

Z b a

g(x)dx= Z b

a

f(ϕ(x))ϕ⁰(x)dx= [F ◦ϕ]^b_a=F(ϕ(b))−F(ϕ(a)) = Z ϕ(b)

ϕ(a)

f(x)dx

carf est continue sur [ϕ(a), ϕ(b)]⊂ϕ([a, b]).

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En général, on applique la proposition précédente sous la forme suivante.

Corollaire37.6. Soitf une fonction continue sur[a, b]et ϕune fonction de classeC¹ sur un intervalle[α, β]tel que ϕ(α) =a, ϕ(β) =bet ϕ([α, β]) = [a, b]. On a :

Z β α

f(ϕ(x))ϕ⁰(x)dx= Z b

a

f(x)dx.

L’hypothèse ϕ([α, β]) = [a, b] n’est pas à négliger comme le montre l’exemple suivant.

Soit `a calculer I = Z

√ 2 2

0

dx

p1−x² (qui vaut arcsin

√ 2 2 = π

4). Si l’on prend ϕ d´efinie par ϕ(t) = sint alors on `a bien I =

Z ^π

4

0

cost

costdt mais pas I = Z ^9π

4

0

cost

|cost|dt car la fonction t→ cost

|cost| n’est pas d´efinie sur [0,^9π₄ ].

En pratique, ce probl`eme se pose rarement car l’application ϕ est le plus souvent bijective et on utilise alors le r´esultat suivant.

Corollaire37.7. Soit f une fonction continue sur[a, b]et ϕune bijection de classeC¹ sur le segment de bornes ϕ⁻¹(a) et ϕ⁻¹(b). On a :

Z ϕ⁻¹(b) ϕ⁻¹(a)

f(ϕ(x))ϕ⁰(x)dx= Z b

a

f(x)dx.

Le changement de variables permet de donner une propriété des intégrales des fonctions paires ou impaires ainsi que des fonctions périodiques.

Corollaire 37.8. (1) Soit f une fonction continue sur R. Si f poss`ede une p´eriode T alors pour tout x0 ∈R,

Z x0+T x0

f(x)dx= Z T

0

f(x)dx.

(2) Soit g une fonction continue surI = [−a, a], a >0. Si g est paire alors Z a

−a

g(x)dx= 2 Z a

0

g(x)dx

et si g est impaire

Z a

−a

g(x)dx= 0.

Preuve. Pour 1. utiliser la relation de Chasles et le changement de variables d´efinie par ϕ(x) =x+T. Pour 2. on a par la relation de Chasles

Z a

−a

g(x)dx= Z 0

−a

g(x)dx+ Z a

0

g(x)dxet le changement de variables ϕ(x) =−x ach`eve la preuve.

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3. Applications 1) D´efinition de nouvelles fonctions.

La fonction logarithme népérien peut être définie surR^∗+ comme la primitive de la fonction continuet→ 1

t nulle au point 1 :

lnx= Z x

1

dt t .

On peut aussi d´efinir la fonction arctan sur Rcomme primitive deT → 1

1 +t² nulle en 0 : arctanx=

Z x 0

dt 1 +t². La fonction ainsi obtenue est une bijection de R sur ]− π

2,π

2[ ce qui permet, en utilisant la th´eorie des fonctions r´eciproques d’avoir la fonction tangente sur ]−π

2,π

2[. Voir le document 28 pour plus de d´etails.

Il faut remarquer que ces définitions utilisent un résultat non trivial : toute fonction continue sur un intervalle possède une primitive.

2) Calcul d’aires et de volume.

Ce point est abord´e dans la partie Compl´ements

4. Calcul pratique d’int´egrales et de primitives

Le calcul pratique des intégrales et des primitives utilise essentiellement des intégrations par parties et des changements de variables. Souvent on se ramène au calcul d’une primitive d’une fraction rationnelle et on verra dans la partie compléments comment déterminer ce type de primitive.

Remarquons l’emploi un peu abusif du mot calcul car si f est une fonction continue sur [a, b], x ∈ [a, b] →

Z _x

a

f(t)dt est une fonction bien d´efinie et Z _b

a

f(x)dx un nombre réel bien déterminé. Le problème précis est plutôt de donner une expression dex ∈[a, b]→

Z _x

a

f(t)dt à l’aide des fonctions élémentaires et d’écrire

Z b a

f(x)dx en base 10 ou en utilisant des fractions, des radicaux,e,π,... On pourra aussi réfléchir à la signification du ”calcul”

Z −10

−6

dx

x+ 2 = ln 2 sachant que ln 2 est d´efinie par

Z 2 1

dx x .

4.1. Utilisation de l’intégration par parties. Si, surI = [a, b],u⁰ est la dérivée continue d’une fonction u et siv a une dérivée continue alors

Z b a

u⁰(x)v(x)dx= [u(x)v(x)]^b_a− Z b

a

u(x)v⁰(x)dx.

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4. CALCUL PRATIQUE D’INT´eGRALES ET DE PRIMITIVES 411

On a aussi

Z

u⁰(x)v(x)dx=u(x)v(x)− Z

u(x)v⁰(x)dx,

ce qui signifie que les primitives surI dex→u⁰(x)v(x) sont obtenues en ajoutant `ax→u(x)v(x) une primitive quelconque dex→ −u(x)v⁰(x)

On utilise en particulier l’intégration par parties lorsque la fonction f se présente sous la forme f(x) = g(x)h(x), la fonction g étant la dérivée continue d’une fonction u connue et la fonctionh ayant une dérivée continue h⁰ ”plus simple” queh.

Exemple 1. Calculer Z

x²sinxdx.

Avecu⁰(x) = sinxet v(x) =x² on obtient : Z

x²sinxdx=−x²cosx+ Z

2xcosxdx.

et une seconde int´egration par parties donne : Z

x²sinxdx=−x²cosx+ 2xsinx−2 Z

sinxdx=−x²cosx+ 2xsinx+ 2 cosx.

Par une m´ethode semblable, on peut calculer Z

P(x) cosxdx, Z

P(x) sinxdx, Z

P(x)e^xdx, o`u P est une fonction polynˆome.

Par exemple, si P est un polynˆome de degr´ep etm∈R^∗ alors Z

P(x)e^mxdx=e^mx[1

mP(x)− 1

m²P⁰(x) +. . .+ (−1)^p 1

m^p+1P^(p)(x)].

Exemple 2.

Si f possède sur I une dérive continue alors l’intégration par parties avec u⁰(x) = 1 et v(x) =f(x) donne

Z

f(x)dx=xf(x)− Z

xf⁰(x)dx

ce qui peut ˆetre int´eressant si l’on sait calculer une primitive dex→xf⁰(x).

Par exemple, sur I =R^∗+, Z

lnxdx=xlnx− Z

dx=xlnx−x.

On explicite de la mˆeme fa¸con Z p

1 +ax²dx, Z

arccosxdx, Z

arctanxdx,... avec chaque fois un intervalle I `a pr´eciser.

Exemple 3.

L’intégration par parties permet parfois d’obtenir une relation de récurrence pour le calcul du terme général d’une suite d’intégrales. On trouve dans tout livre pour le DEUG ou les Classes Préparatoires le calcul des intégrales de Wallis

I_n= Z ^π

2

0

cosⁿxdx= Z ^π

2

0

sinⁿxdx.

(Faire le changement de variablet= π

2 −x pour constater l’égalité des deux intégrales.)

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(12)

Consid´erons ici, pour n >0,

u_n= 1 n!

Z 1 0

(1−x)ⁿe^xdx.

On a facilement u₁ = e−2 et par une int´egration par parties, avec u⁰(x) = 1

n!(1−x)ⁿ et v(x) =e^x,

un= [−(1−x)ⁿ⁺¹ (n+ 1)! e^x]¹₀+

Z 1 0

(1−x)ⁿ⁺¹

(n+ 1)! e^xdx= 1

(n+ 1)! +un+1. Par une r´ecurrence imm´ediate,un+1 =e−1−

n+1

X

p=1

1 p!.

Déduisons une conséquence intéressante de cette relation. Sur [0,1], 0≤ 1

n!(1−x)ⁿe^x≤ 1 n!e^x d’o`u

0≤un≤ 1 n!

Z 1 0

e^xdx= e−1 n! ≤ e

n!

et donc

e= lim

n→∞

n

X

p=0

1 p!.

Exemple 4.

Pour le calcul des primitives des fractions rationnelles, il est utile de connaitre pourn >0, In=

Z dx (1 +x²)ⁿ. On a I₁ = arctanx et une int´egration par parties conduit `a

In= x

(1 +x²)ⁿ + 2n

Z x²

(1 +x²)ⁿ⁺¹dx d’o`u

2nI_n+1 = x

(1 +x²)ⁿ + (2n−1)I_n si on remarque que

x²

(1 +x²)ⁿ⁺¹ = 1

(1 +x²)ⁿ − 1 (1 +x²)ⁿ⁺¹. Si maintenant on consid`ere

Jn=

Z dx (1−x²)ⁿ

sur un intervalle I ⊂]−1,1[ alors on peut montrer que cette suite vérifie la même relation de récurrence que (I_n) (maisI₁ 6=J₁!).

Exemple 5. Intégration par parties itérée.

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(13)

Siu etv sont de classeCⁿ,n≥1, sur I alors on a Z

u⁽ⁿ⁾(x)v(x)dx=

n−1

X

k=0

(−1)^ku^(n−k−1)(x)v^(k)(x) + (−1)ⁿ Z

u(x)v⁽ⁿ⁾(x)dx.

Pour la preuve, on écrit leskégalités, 0≤k≤n−1, Z

u^(n−k)(x)v^(k)(x) =u^(n−k−1)(x)v^(k)(x)− Z

u^(n−k−1)(x)v^(k+1)(x)dx.

Ensuite on calcule

n−1

X

k=0

Z

u^(n−k)(x)v^(k)(x)dxet apr`es un changement d’indice et une simplifica- tion on obtient la formule cherch´ee.

Exemple 6. La formule de Taylor avec reste int´egral.

C’est une application classique de l’int´egration par parties, voir l’expos´e concernant les formules de Taylor.

Une autre application est la majoration de l’erreur dans le calcul approché de l’intégrale d’une fonction de classe C² par la méthode des trapèzes. On utilise une double intégration par parties qui montre que pour une fonction h de classeC² sur [a, b]

Z b a

(x−a)(x−b)h⁰⁰(x)dx= 2 Z b

a

h(x)dx.

4.2. Utilisation du changement de variables. Rappelons le r´esultat th´eorique justifiant le changement de variables.

Soit ϕ une fonction de classe C¹ sur un intervalle [a, b], f une application continue sur ϕ([a, b]). On a

Z b a

f(ϕ(x))ϕ⁰(x)dx= Z ϕ(b)

ϕ(a)

f(x)dx.

Cette égalité permet de calculer l’une des intégrale connaissant l’autre et en pratique on rencontre donc deux cas.

Cas 1. On veut calculer Z b

a

g(x)dx ou une primitive de la fonction g sur I = [a, b] et on remarque que pour une fonction ϕ de classeC¹ sur I on peut ´ecrire g(x) =f(ϕ(x))ϕ⁰(x) avec une fonctionf continue sur ϕ(I). SiF est une primitive de f surϕ(I), on a donc

Z b a

g(x)dx= Z b

a

f(ϕ(x))ϕ⁰(x)dx= Z ϕ(b)

ϕ(a)

f(x)dx=F(ϕ(b))−F(ϕ(a)).

Pour toutx∈I, on peut aussi ´ecrire : Z x

a

g(t)dt= Z x

a

f(ϕ(t))ϕ⁰(t)dt= Z ϕ(x)

ϕ(a)

f(t)dt=F(ϕ(x))−F(ϕ(a)).

Une primitive de g surI est donc F◦ϕ.

Illustrons cela par un exemple simple en utilisant les notations usuelles. Soit `a calculer Z ^π

2

0

cos³xdx.

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(14)

On a cos³x= (1−sin²x) cosx d’o`u Z ^π

2

0

cos³xdx= Z ^π

2

0

(1−sin²x) cosxdx= Z 1

0

(1−u²)du= [u−u³ 3 ]¹₀ = 2

3

en ayant pos´e u = sinx et remplac´e cosxdx par du. On peut aussi dire que sur tout intervalle de R, une primitive dex→cos³x est la fonction x→sinx−sin³x

3 . Cas 2. On veut calculer

Z b a

g(x)dx ou une primitive de la fonction g sur I = [a, b] et on remarque qu’il existe une fonctionϕayant les deux propri´et´es

(1) ϕ est de classeC¹ sur [α, β] (ou [β, α]) , avecϕ(α) =aetϕ(β) =b; (2) on connait explicitement une primitive Γ de x→g(ϕ(x))ϕ⁰(x) sur [α, β].

On a

Z b a

g(x)dx= Z β

α

g(ϕ(x))ϕ⁰(x)dx= Γ(β)−Γ(α).

Si l’on veut une primitive degalors il est utile de supposer queϕest une bijection de [α, β] (ou de [β, α]) sur [a, b] et on a alors pourx∈[a, b] :

Z _x

a

g(t)dt=

Z _ϕ⁻¹_(x)

ϕ⁻¹(a)

g(ϕ(t))ϕ⁰(t)dt= Γ(ϕ⁻¹(x))−Γ(ϕ⁻¹(a))

et une primitive dex→g(x) est doncx→Γ(ϕ⁻¹(x)).Donnons un exemple de ce cas d’utilisation du changement de variables en utilisant les notations usuelles.

Soit `a calculer

Z ₁

−1

p1−x²dx.

Posons x = sint, t ∈ [−π 2,π

2], et rempla¸cons dx par costdt. La fonction sinus r´ealise une bijection de classeC¹ entre [−π

2,π

2] et [−1,1] et on a : Z ₁

−1

p1−x²dx = Z ^π

2

−^π

2

p1−sin²tcostdt= Z ^π

2

−^π

2

cos²tdt

= Z ^π₂

−^π

2

cos 2t+ 1

2 dt= [sin 2t 4 + t

2]

π 2

−^π

2

= π 2. (Cette int´egrale se calcule aussi par int´egration par parties avec u=√

1−x²) Si maintenant on veut expliciter une primitive de x→p

1−x² sur [−1,1] alors on ´ecrit : Z p

1−x²dx = Z p

1−sin²tcostdt= Z

cos²tdt

=

Z cos 2t+ 1

2 dt= sin 2t 4 + t

2 = sin(2 arcsinx)

4 +arcsinx 2

= sin(arcsinx) cos(arcsinx)

2 +arcsinx

2 = x√

1−x²

2 +arcsinx

2 .

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(15)

Remarques. 1). Par un changement de variable analogue on peut calculer une int´egrale du type

Z b a

pc²−x²dx si |a| ≤ |c| et|b| ≤ |c|. Pour le calcul de Z b

a

px²−c²dx sur un intervalle [a, b] contenu dans ]− ∞,−|c|] ou [|c|,+∞[ on peut poser u = coshx

c. Les int´egrales du type Z b

a

pαx²+βx+γdx avec a et b convenables et ∆ = β²−4αγ > 0 peuvent se ramener aux types précédents après un changement de variables affine.

2). Aucune des deux fonctions x → arcsinx et x → x√ 1−x²

2 n’est d´erivable aux points

−1 et 1. En revanche, leur somme l’est car c’est une primitive de x → p

1−x² sur [−1,1].

Cet exemple illustre le caractère seulement suffisant de la proposition usuelle donnant la dérivée d’une somme.

La m´ethode du changement de variables est encore illustr´ee par les exemples suivants.

Exemple 7. D´etermination des primitives sur Rde g:x→sinⁿxcos^px, l’un des entiers nou p´etant impair.

Supposons par exemplep= 2q+ 1. On peut écrireg(x) = sinⁿx(1−sin^qx) cosxet siF est une primitive de la fonction polynôme f :x→xⁿ(1−x^q) alors une primitive Gde g sur Rest définie par G(x) =F(sinx).

Sinetpsont tous les deux pairs on ne peut plus utiliser la mthode précédente et, en général, on linéarise gà l’aide des formules d’Euler.

Exemple 8. Primitives dex→tanx.

La fonction tangente est d´efinie et continue sur tout intervalle de la forme ]−π

2+kπ,π 2+kπ[, k∈Z. Le probl`eme pr´ecis est donc de trouver une primitive de la fonction tangente sur l’un de ces intervalles, par exemple sur ]−π

2,π

2[. Remarquons que siF est une primitive de la fonction tangente sur cet intervalle alors x ∈]− π

2 +kπ,π

2 +kπ[→ F(x−kπ) est une primitive de la fonction tangente sur ]−π

2 +kπ,π

2 +kπ[.

Pour x ∈]−π 2,π

2[, on a tanx = −−sinx

cosx ce qui montre que sur cet intervalle la fonction tangente est la d´eriv´ee de la fonction x→ −ln|cosx|=−ln cosx = ln 1

cosx.Une primitive de la fonction tangente sur ]−π

2,π

2[ est donc x→ 1 cosx.

Question : trouver une primitive de la fonction tangente sur ]−π

2 + 5π,π 2 + 5π[.

Exemple 9. Changement de variables affine.

C’est le cas lorsqueϕ(x) =αx+β,α6= 0, et on a alors sur un intervalle `a pr´eciser, Z b

a

f(αx+β)dx= 1 α

Z αb+β αa+β

f(x)dx et Z

f(αx+β)dx= 1 α

Z

f(x)dx.

Par exemple : (1)

Z ^π

4

0

sin 2xdx= 1 2

Z ^π

2

0

sinxdx= 1

2[−cosx]

π 2

0 = 1 2;

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(16)

(2) Z a

0

dx a²+x² =

Z a 0

dx a²(1 + (x

a)²)

= 1 a²

Z a 0

dx 1 + (x

a)²

= 1 a

Z 1 0

dx 1 +x² = 1

a[arctan]¹₀ = π 4a. (3) Sur tout intervalle ne contenant pasaet tout n∈N^∗,

Z 1

(x−a)ⁿdx = ln|x−a| si n= 1

= −1

n−1 1

(x−a)ⁿ⁻¹ si n >1.

Exemple 10. Fractions rationelles en cosinus et sinus ; r`egles de Bioche.

SoitF(x, y) une fraction rationnelle à deux indéterminées et à coefficients dansR. L’application Fe:x→F(cosx,sinx), définie sur une réunion d’intervalles, est appelée une fraction rationnnelle en cosinus et sinus. Les règles suivantes, dites règles de Bioche, permettent de ramener le calcul d’une primitive de Fe sur un intervalle de son ensemble de définition à celui d’une primitive d’une fraction rationnelle. On en trouve une preuve dans tout bon ouvrage pour les classes préparatoires (Ramis, Deschamps, Odoux : page 246, Arnaudiès, Fraysse : page 390)

(1) Si F(−x) =e −F(x), on posee ϕ(x) = cosx;

(2) Si F(πe −x) =−Fe(x), on poseϕ(x) = sinx;

(3) Si F(xe +π) =Fe(x), on poseϕ(x) = tanx.

Dans les trois cas,Fe(x) =g(ϕ(x))ϕ⁰(x) avecgqui est une fraction rationnelle à une indéterminée.

SiG est une primitive deg alors x:→G(ϕ(x)) est une primitive deFe(x). Il faut dans chacun des cas, et surtout dans le troisième, bien préciser les ensembles de définition des fonctions considérées.

Maintenant, si l’on est dans aucun des trois cas pr´ec´edents alorsϕ(x) = tanx

2 ram`ene encore le calcul d’une primitive de Fe(x) `a celui d’une primitive d’une fraction rationnelle. Rappelons les formules donnant les fonctions circulaires dex en fonction de t= tanx

2 : cosx= 1−t²

1 +t², sinx= 2t

1 +t², tanx= 1 +t²

1−t², (tanx

2)⁰= 2 1 +t². Exemples 11. a). Calculer

Z dx

sinx+ sin 2x.Il faut d’abord pr´eciser les intervalles sur lesquels la fonctionf :x→ 1

sinx+ sin 2x est d´efinie et continue. On a 0 = sinx+ sin 2x= sinx(1 + 2 cosx)⇔x∈πZoux∈(2π

3 + 2πZ)∪(4π

3 + 2πZ).

Si l’on poseX =πZ∪2π 3 Z∪4π

3 Zalorsf est d´efinie et continue surR−X et on en cherche une primitive sur un intervalle I tel que I∩X =∅. Si le probl`eme est de calculer

Z b a

f(x)dx alors on doit avoir [a, b]∩X=∅.

On remarque que f(−x) =−f(x) d’o`u le changement de variableu= cosx. On peut ´ecrire

Z dx

sinx+ sin 2x =

Z sinxdx

sin²x+ 2 sin²xcosx =

Z −du

(1−u²)(2u+ 1).

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(17)

On a −1

(1−u²)(2u+ 1) = A

2u+ 1+ B

1−u + C 1 +u et

A= [ −1

1−u²]_u=−1 2 =−4

3, B= [ −1

(2u+ 1)(1 +u)]_u=1=−1

6, C= [ −1

(2u+ 1)(1−u)]u=−1 = 1 2, d’o`u

−1

(1−u²)(2u+ 1) =−4 3

1 2u+ 1+1

6 1 u−1 +1

2 1 u+ 1. Finalement,

Z −du

(1−u²)(2u+ 1) = 1

6ln|u−1|+1

2ln|1 +u| − 2

3ln|2u+ 1|

d’o`u, sur un intervalleI convenable et compte tenu de|cosx−1|= 1−cosx,

Z dx

sinx+ sin 2x = 1

6ln(1−cosx) +1

2ln(1 + cosx)−2

3ln|2 cosx+ 1|.

b). Calculer une primitive de g:x→ cos³x sin⁵x.

La fonctiongétant définie surD_g =R−πZ, le problème précis est de calculer une primitive de la restriction deg à un intervalleI disjoint deπZ. On remarque que g(π−x) =−g(x) d’où le changement de variable u= sinx. On écrit :

Z cos³x sin⁵xdx =

Z (1−sin²x) cosx sin⁵x dx=

Z 1−u²

u⁵ du=− 1 4u⁴ + 1

2u²

= −1 4

1 sin⁴x +1

2 1

sin²x =−1

4(1 + cotan²x)²+1

2(1 + cotan²x)

= −1

4cotan⁴x+1 4.

c). Calculer

Z dx 2 + sinx. La fonction h :x → 1

2 + sinx est définie sur R et les régles de Bioche conduisent à poser u= tanx

2 en supposant par exemplex∈]−π, π[. On a 2 + sinx = 2 + 2u

1 +u² = 2 + 2u+ 2u² 1 +u² etdu= 2dx

1 +u² d’o`u

Z 1

2 + sinx =

Z 1

1 +u+u²du= 2

√ 3

Z du

[√²

3(u+1 2)]²+ 1

= 2

√

3arctan 2

√

3(u+1 2)

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(18)

La fonction G : x → 2

√

3arctan 2

√

3(tanx 2 + 1

2) est donc une primitive de g sur ]−π, π[.

Cette fonction g étant continue sur R, elle possède aussi des primitives sur R et nous allons donner l’idée permettant d’en obtenir une. On a

x→π−lim

√2

3arctan 2

√

3(tanx 2 +1

2) = π

√

3 et lim

x→π+

√2

3arctan 2

√

3(tanx 2 +1

2) =− π

√ 3. Si on d´efinie une fonction encore not´eeG sur ]−π,3π[ par

G(x) =











√2

3arctan 2

√

3(tanx 2 +1

2) si x∈]−π;π[

√2

3arctan 2

√

3(tanx 2 +1

2) + 2π

√

3) si x∈]π; 3π[

√π

3 si x=π

alors G est une primitive de g sur ]−π,3π[ et par généralisation de cette méthode on peut expliciter une primitive deg surR.

Remarque. Le calcul de

Z 1

1 +u+u²dudonne un exemple de primitive du type Z dx

ax²+bx+c

avec ∆ = b²−4ac < 0. Par un changement de variable affine on ram`ene ce calcul `a celui de Z du

1 +u² = arctanu.

Exemple 12. Autres changements de variables classiques.

1). Calcul de Z

F(x,(ax+b cx+d)

1

n)dxo`un∈N^∗,F(X, Y) est une fraction rationnelle etad−bc6=

0.

On d´etermine d’abord les intervalles sur lesquels la fonction x→ F(x,(ax+b cx+d)

1

n) est continue et on pose u = (ax+b

cx+d) 1

n. On obtient x = duⁿ−b

a−cuⁿ et dx doit ˆetre remplac´e par nuⁿ⁻¹ ad−bc

(a−cuⁿ)²du. On est donc ramen´e au calcul d’une primitive de la fraction rationnelle F(duⁿ−b

a−cuⁿ, u)nuⁿ⁻¹ ad−bc

(a−cuⁿ)². Ce calcul est souvent long, le lecteur pourra en faire l’exp´erience avec

Z

(x+ 1)

rx−1

x dx= x(3x+ 2) 4

rx−1 x −5

8ln| 1 +

qx−1 x

1−q

x−1 x

|

surI =]− ∞,0[ ou I =]1,+∞[.

2). Calcul de Z

F(x,p

ax²+bx+c)dxo`uF(X, Y) est une fraction rationnelle.

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(19)

5. COMPL´eMENTS 419

On d´etermine d’abord les intervalles sur lesquels la fonction x → F(x,p

ax²+bx+c) est continue. On fait un changement de variables à l’aide des fonctions circulaires ou des fonctions hyperboliques, le choix étant dicté par les signes de a et de ∆ = b²−4ac. Ce changement de variables ramène le calcul à celui d’une primitive d’une fraction rationnelle. Lorsque a >0 on peut aussi poserp

ax²+bx+c=x√

a+ud’o`u x= u²−c

b−2u√

a et dx= 2bu−2u²√

a−2c√ a (b−2u√

a)² du,

ce qui montre que l’on est encore une fois ramen´e au calcul d’une primitive d’une fraction rationelle.

5. Compl´ements

5.1. Toute fonction continue possède une primitive. Nous allons discuter dans cette partie différentes preuves du théorème suivant, admis dans la première partie de ce document.

Théorème 37.2. Toute fonction continue sur un intervalle possède une primitive.

D´emontrons d’abord un lemme qui permet de se restreindre `a un segment.

Lemme 37.2. Si une fonction f d´efinie sur un intervalle I poss`ede une primitive sur tout segment inclus dans I alors f a une primitive sur I.

Preuve . Il suffit de consid´erer le cas o`uI n’est pas un segment.

Tout intervalle est une r´eunion d´enombrable d’une suite croissante de segments; par exemple, R= [

n∈N

[−n, n], ]a, b[= [

n∈N^∗

[a+ 1 n, b− 1

n].

SoitJnune suite croissante de segments non r´eduits `a un point et telle queI =S

Jn,x0 ∈J0

et F_n la primitive de f sur J_n telle que F_n(x₀) = 0. Si n ≥ m alors F_m est la restriction de Fn à Jm (Proposition37.1). On peut donc définir une fonction F :I →R parF(x) =Fn(x) si x∈J_n. La fonction F prolonge toutes les fonctions F_n et c’est la primitive def surI telle que F(x0) = 0. En effet six∈I il existen0 telle quex∈Jn0. Six n’est pas une borne deI, on peut supposer quex n’est pas une borne deJn0. Les fonctions F etFn0 co¨ıncidant sur l’intérieur de J_n₀, F est dérivable en x et F⁰(x) =F_n⁰₀(x) = f(x). Maintenant si x est une borne de I, par exemple sa borne inférieure a, alorsJn0 contient un intervalle du type [a, y[ qui est ouvert dans I. On en déduit comme précédemment queF⁰(a) =F_n⁰₀(a) =f(a).

5.1.1. Preuves sans théorie de l’intégration. L’idée générale de la méthode est la suivante. Il existe des familles de fonctions primitivables sur tout intervalle deR, par exemple les fonctions affines par morceaux ou les fonctions polynômes. Si une fonction f est une limite d’une suite de fonctions primitivablesfnalors on peut espérer que la limite d’une suite de primitives desfn

soit une primitive de f. Pr´ecisons ce dernier point.

Proposition 37.10. Soit I un segment et fn une suite de fonctions continues sur I qui converge uniformément vers une fonctionf. Si chaque fonction f_n posséde une primitive sur I alors f posséde une primitive sur I.

Preuve. Soit x0 ∈I etFn la primitive de fn surI telle que Fn(x0) = 0. La suiteFn(x0) est trivialement convergente et le théorème usuel sur la dérivation des suite de fonctions entraine que la suite Fn est uniformément convergente vers une fonctionF :I →Ravec F⁰(x) =f(x).

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(20)

Remarque. Ce résultat signifie que l’ensemble des fonctions continues primitivables sur I est fermé dans l’ensemble des fonctions définies sur I muni de la topologie de la convergence uniforme. On ne peut pas remplacer la convergence uniforme par la convergence simple. Par exemple, sur I = [0,1], la suite de fonctions primitivablesx →xⁿ converge simplement vers la fonctionf définie parf(x) = 0 six∈[0,1[ et f(1) = 1. Cette fonction n’est pas primitivable.

Maintenant si on connait la conséquence suivante du théorème de Stone-Weierstrass : Toute fonction continue sur un segment est limite uniforme d’une suite de fonctions polynômes, alors il suffit de dire que toute fonction polynôme possède une primitive sur tout intervalle et appliquer la proposition 37.10 pour obtenir une preuve du théorème 37.2. Sinon, on remplace les fonctions polynômes par des fonctions plus simples, les fonctions affines par morceaux.

D´efinition37.3. Une fonctionf est dite affine par morceaux surI = [a, b]sif est continue sur I et s’il existe une subdivision a =a0 < a1 < . . . < ai < . . . an =b, 0 ≤i≤n, telle que f soit affine sur[a_i, a_i+1], 0≤i≤n−1. Un point a_i de la subdivision avec1≤i≤n−1 sera dit anguleux sif n’est pas affine sur [ai−1, ai+1].

Lemme 37.3. Toute fonction affine par morceaux sur I = [a, b] poss`ede une primitive sur [a, b].

Preuve. Par r´ecurrence sur le nombrek de points anguleux def. Sik= 0 alorsf est affine et poss`ede donc une primitive.

Supposons le résultat vrai pour toute fonction affine par morceaux définie sur un segment et ayant k−1 point anguleux. Soitf, affine par morceaux, aveck points anguleux a₁ < . . . < a_k. Posonsa0=a,a_k+1 =b. SoitFla primitive defsur [a0, a_k] telle queF(a_k) = 0 etGla primitive de f sur [a_k, a_k+1] vérifiant G(a_k) = 0. Désignons par H la fonction affine par morceaux de [a, b] dans Rqui prolongeF etG. Il est clair que six∈[a, b]− {a_k}alorsH est dérivable enx et H⁰(x) =f(x). Au point a_k,H possède une dérivée à gauche égale à F⁰(a_k) =f(a_k) et une dérivée à droite qui vaut G⁰(ak) = f(ak). La fonction H est donc dérivable en ak et est une primitive de f sur [a, b].

Lemme 37.4. Toute fonction continue sur I = [a, b] est limite uniforme d’une suite de fonctions affines par morceaux.

Preuve. Soitε >0. La fonctionf ´etant uniform´ement continue sur [a, b], il existe η >0 tel que (x, y)∈I² et|x−y|< η impliquent |f(x)−f(y)|< ε/2. Soitpun entier tel que b−a

p ≤η, (ai) la subdivision de [a, b] d´efinie par ai = a+ib−a

p , 0 ≤ i ≤ p. Consid´erons l’application affine par morceaux g qui co¨ıncide avec f aux points ai, 0≤i≤p, et qui est affine sur chaque segment [a_i, a_i+1], 0≤i≤p−1.

Soitx∈[a, b]. Il existe un entieri∈[0, p−1] etλ∈[0,1] tel quex=λai+ (1−λ)ai+1. En utilisant le caract`ere affine de g, on a

|f(x)−g(x)| = |λf(x) + (1−λ)f(x)−λg(a_i)−(1−λ)g(a_i+1)|

≤ λ|f(x)−g(a_i)|+ (1−λ)|f(x)−g(a_i+1)|

≤ λε/2 + (1−λ)ε/2 =ε.

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5. COMPL´eMENTS 421

Maintenant appelons gn une application affine par morceaux sur I telle que, pour tout x ∈I,

|f(x)−gn(x)|< 1

n. Pour toutε >0 il existe un entier n0 tel que 1

n₀ ≤ε. Sin≥ n0 et x ∈I alors

|f(x)−gn(x)|< 1 n ≤ 1

n₀ ≤ε d’o`u la convergence uniforme de (g_n) vers f.

A l’aide des deux lemmes précédents et de la proposition 37.10 on obtient facilement une autre preuve du théoréme 37.2.

5.1.2. Preuves à l’aide de l’intégration. Il existe de nombreuses théories de l’intégration, l’intégration des fonctions réglées, l’intégration au sens de Riemann et l’intégration au sens de Lebesgue étant les plus connues. Ces théories et des théories voisines seront qualifiées d’usuelles dans la suite.

En général, on considère un segment [a, b] et chaque théorie de l’intégration associe à certaines fonctions f, définies sur [a, b] et dites intégrables sur [a, b], un nombre réel appelé l’intégrale de la fonctionf sur [a, b] et noté

Z b a

f(x)dx.

On démontre ensuite des résultats analogues à ceux énoncés dans les propositions 37.4, 37.5 et 37.6 du début de ce document. On montre aussi que si f est continue sur [a, b] alors f est intégrable sur [a, b] et la valeur de son intégrale est la même pour toute les théories usuelles de l’intégration.

Le résultat suivant, vrai dans toute théorie usuelle de l’intégration, conduit immédiatement

`

a une nouvelle preuve du th´eor`eme 37.2.

Proposition 37.11. Soit f une fonction int´egrable sur [a, b]. Pour tout x ∈ [a, b], f est int´egrable sur [a, x] et si f est continue au point x0 alors F : x →

Z x a

f(t)dt est d´erivable au point x0 et F⁰(x0) = f(x0). En particulier, si f est continue sur I alors F est d´erivable sur I et F⁰=f.

Remarques. 1) Si dans la proposition précédente, f n’est pas continue au point x₀, alors F peut être non dérivable en x0 (Exemple : x →

Z x 0

E(x)dx etx0 ∈ Z) ou d´erivable en x0 avec F⁰(x0)6=f(x0) (Exemplex→

Z x 0

f(t)dt avec f(t) = 0 sit6= 0 etf(0) = 0 au point 0).

2) Si f⁰ est int´egrable sur [a, b] alors Z b

a

f⁰(x)dx=f(b)−f(a) dans toute théorie usuelle de l’intégration mais les fonctions dérivées ne sont pas toujours intégrables au sens de Riemann.

C’est par exemple le cas de la fonction f : R → R définie par f(0) = 0 et f(x) = x²sin 1 x² si x 6= 0 qui est dérivable sur R mais qui n’est intégrable sur aucun segment contenant 0 car sa fonction dérivée n’est pas bornée au voisinage de 0. Il existe même des fonctions ayant une dérivée bornée non intégrable au sens de Riemann, par exemple la fonction de Volterra ¹. Si l’on considère l’intégrale de Lebesgue et sa généralisation par Denjoy ou si on utilise la méthode de ce document avec les primitives alors toute fonction dérivée est intégrable.

1Voir l’ouvrage de Chambadal et Ovaert, Cours de Math´ematiques Sp´eciales, exercices

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5.2. Int´egrales et aires. Dans cette partie, nous ne consid`ererons (sauf mention du con- traire) que des fonctions positives sur I. Si f est une telle fonction

{(x, y)∈R²|x∈I,0≤y ≤f(x)}

sera appelé la surface située sous le graphe def. L’objet de cette partie est d’établir des liens entre

Z b a

f(x)dx et l’aire de la surface située sous le graphe de f, la fonction f étant supposée continue.

Sans connaissance précise de la notion d’aire d’une surface on ne peut évidemment pas démontrer que

Z b a

f(x)dx est l’aire de la surface située sous le graphe de f, mais seulement donner quelques arguments justifiant cette interprétation géométrique de l’intégrale. Nous allons en donner trois. Si le premier et le second sont destinés des élèves de classes terminales ou de L₁, le troisième est beaucoup plus convaincant.

Argument 1

Si f est affine sur I = [a, b] alors la surface située sous le graphe de f est un trapèze et on peut vérifier que l’aire de ce trapéze calculé à l’aide de la longueur de ses cotés co¨ıncide avec

Z b a

f(x)dx. On peut généralisé cela au cas d’une fonction affine par morceaux et par une méthode semblable retrouver l’aire d’un triangle à l’aide du calcul intégral.

On peut aussi consid´erer la fonction f : [0, R]→R,R >0, d´efinie par f(x) =p

R²−x² et constater que

Z R 0

f(x)dxest bien ´egal `a l’aire habituelle d’un quart de disque de rayonR.

Argument 2

Ici nous supposons avoir une idée intuitive de l’aire d’une surface qui est un élément deR⁺. En particulier on admet que pour le rectangle cette aire est égale à son aire usuelle et que si S1 ⊂S2 alors l’aire deS1 est inférieure à l’aire deS2.

Pour tout x ∈ [a, b], désignons par A(x) l’aire de la surface située sous le graphe de la restriction de f à [a, x]. Soit x₀ ∈ [a, b[, h > 0 tel que x+h ≤ b, m = inf_x∈[x₀_,x₀_+h]f(x) et M = sup_x∈[x₀_,x₀_+h]f(x). En utilisant les propriétés admises de l’aire on a

mh≤A(x₀+h)−A(x₀)≤M h d’o`u

m≤ A(x₀+h)−A(x₀)

h ≤M.

La fonction f ´etant continue en x₀, sih tend vers 0, les deux fonctions deh, m et M tendent vers f(x0) (pourquoi ?). On peut faire un raisonnement analogue avec h <0 et la fonction F est donc d´erivable enx₀ avec F⁰(x₀) =f(x₀).CommeA(a) = 0 on a

A(x) = Z x

a

f(x)dx et en particulierA(b) = Z b

a

f(x)dx.

En supposant de plus la fonction monotone sur [a, b], la preuve pr´ec´edente est plus simple.

Argument 3