Correction TD 1
1) Log-vraisemblance :
( ,... , ) 1 1 ln ( , ) 1 (1 ) ln ( , )
n n
l o n o n θ
=K
+i
∑δ i f x i θ
+i
∑ −δ i F x i θ
= =
2) Voir cours :
1/ˆ ˆ
ˆ 1
n n
n i n i
x r
β β
α
=⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
=
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
etˆ 1 { } ˆ
1
ˆ / ˆ ln ln 0
n
i i n
n
i i
n i i n
n t c
i i
r x x
r x
x
β
β
β β
=
<
=
+ −
∑
=∑ ∑
, où r est le
nombre de sujets non censurés.
3) Solution 1 :
t=rweibull(100,2,2) #syntaxe : rweibull(n, shape, scale) avec shape=β et scale=α.
Solution 2 : ( , ) ( ) 1 1( )
(
ln(1 ))
1/t
T W F t e F u u
β
α β
β α α
⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎝ ⎠ −
⇔ = − ⇔ = − −
:
u=runif(100)
t=2*sqrt(-‐log(1-‐u,base=exp(1)))
Solution 3 : T W( , ) H t( ) t H 1( ln )u
(
lnu)
1/β
β α α
βα
⎛ ⎞ −
⇔ =⎜ ⎟ ⇔ − = −
⎝ ⎠
:
u=runif(100)
t=2*sqrt(-‐log(u,base=exp(1)))
4)
/ 1 ( ) (1 ( )) 1 ( )
1/( ,
1/)
p c
c p p
C G G c F c G c e e C W p
β β
α β β
α −
β α
⎛ ⎞
⎛ ⎞ −⎜ ⎟
−⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ −
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−
=− ⇔ −
= =⇔
⎜ ⎟
⎝ ⎠
: :
a) Calcul de p :
( )
( )
0 0 0
25% ( ) ( / ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( )
1
CP P T C P C t T t f t dt P C t f t dt F t
pf t dt p
p
∞ ∞ ∞
= = > = ≤ = = ≤ = − −
= +
∫ ∫ ∫
Ici, p=1/3, donc C W: (2, 2 3) b) Echantillon des censures c=rweibull(100, 2, 2*sqrt(3))
c) Echantillon observé
o100=cbind(x=pmin(t,c), d=(t<=c)) d) …..
e) On doit constater que la valeur simulée de CP converge vers 25% lorsque n augmente.
CP=(100-‐sum(o100[,2]))/100 [1] 27
t=rweibull(1000,2,2)
c=rweibull(1000, 2, 2*sqrt(3)) o1000=cbind(x=pmin(t,c), d=(t<=c)) CP=(1000-‐sum(o1000[,2]))/1000
> CP
> CP=1000-‐sum(o1000[,2]) [1] 23.9
5) Calcul de la log-‐vraisemblance observée
lv=function(par){-‐sum(o[,2]*(log(par[1])-‐ log(par[2])+( par[1]-‐1)*( log(o[,1])-‐ log(par[2])))-‐
(o[,1]/par[2])^ par[1])}
o=o1000 nlm(lv,c(2,2))
$minimum [1] 1065.250
$estimate
[1] 2.020181 2.031250
$gradient
[1] 2.374829e-05 -2.328306e-05
$code [1] 1
$iterations [1] 5
Autres solutions :
optim(c(2,2),lv,method="BFGS") install.package(“maxLik”)
maxNR(-lv, start=c(2,2), print.level=2) maxLik(-lv, start=c(2,2))
