GROUPE DES PERMUTATIONS D'UN ENSEMBLE FINI APPLICATIONS

(1)

GROUPE DES PERMUTATIONS D'UN ENSEMBLE FINI APPLICATIONS

1) Permutations d'un ensemble fini, groupe symétrique

Soit E un ensemble fini, de cardinal n, n∈N^*.

définition (permutation, groupe symétrique d'ordre n)

Une bijection de E sur E est appelée permutation de E. On note S(E) l'ensemble des permutations de E. Si E=N_n, S(E) est appelé groupe symétrique d'ordre n.

théorème ) ), (

(S E o est un groupe d'ordre n! Pour n≥3, ce groupe n'est pas commutatif.

démonstration

1) )(S(E),o est un groupe : O

E

S( )≠ / car id_E appartient à cet ensemble. la composée de deux bijections est une bijection. id_E est l'élément neutre du groupe. La loi de composition des applications est associative. il est évident que si σ∈S(E), alors σ⁻¹∈S(E).

2) Le nombre de bijections d'un ensemble fini de cardinal n sur lui-même est n! donc (S(E),o) est un groupe d'ordre n!

3) Si n≥3 : E=

{

a₁,...,an

}

. Alors τ₁_,₂ τ₂_,₃ ≠τ₂_,₃ τ₁_,₂ où τ₁_,₂ est la permutation qui échange a₁et a2 et τ₂_,₃ est la permutation qui échange a₂ et a₃.

proposition

Soit f une bijection de E dans F (où E et F sont deux ensembles).

Alors Φ:S(E)→S(F) est un isomorphisme de groupes.

s f s f ⁻¹ démonstration

• ∀s,s'∈E,Φ(s s')= f (s s') f ⁻¹ =(f s f⁻¹) (f s' f ⁻¹)=Φ(s) Φ(s') donc Φ est un morphisme de groupes de S(E) dans S(F).

• Soit s'∈F . Soit s= f⁻¹ s' f . Φ(s)=s' donc Φ est surjective.

• Soit )s∈Ker(Φ . Alors idF

s = Φ( )

donc f s f⁻¹ =id_F donc s f⁻¹= f donc s=id_E

Φ est donc injective

Donc Φ est un isomorphisme de groupes donc S(E) et S(F) sont isomorphes.

(2)

conséquence : Si G=

{

a₁,...,an

}

, f :G→N_n a_i i

f est une bijection donc S(G) et S_n sont isomorphes.

théorème de Cayley

Tout groupe fini d'ordre n est isomorphe à un sous groupe de Sn. démonstration

Soit G un groupe d'ordre n, noté multiplicativement et d'élément neutre e.

Soit a∈G. Soit t_a:G→G x ax

ta est bijective car l'équation d'inconnue x ax=b admet une seule solution qui est a⁻¹b. L'application Φ:G→S(G) est un morphisme de groupes de G dans S(G).

a t_a (Φ(ab)=Φ(a) Φ(b))

e a id t id

a = _G ⇔ _a = _G ⇔ =

Φ( ) donc Ker(Φ)=

{ }

idG donc Φ est un morphisme injectif.

Il existe donc un morphisme injectif de G dans Sn. G est donc isomorphe à un sous groupe de Sn.

2) Cycles, transpositions

définition (orbite d'un élément)

Soit )s∈S(E . La relation R définie sur E par : ∀x,y∈E,xRy⇔∃k∈Z,y=s^k(x) est une relation d'équivalence. La classe d'équivalence d'un élément a de E est appelée orbite de a suivant s.

définition (cycle, transposition)

Une permutation σ est un cycle s'il existe un entier r≥2 et des entiers i₁,i₂,...i_rappartenant à N_n tels que σ(i₁)=i₂,...σ(i_r₋₁)=i_r,σ(i_r)=i₁ et σ(i)=i si i∉

{

i₁,...,i_r

}

. On note alors σ=(i₁i₂ ...i_r). r est appelé longueur du cycle σ.

{

i₁,...,ir

}

est appelé support du cycle σ. Un cycle de longueur 2 est appelé transposition.

théorème

Toute permutation non identique s d'un ensemble fini E se décompose de manière unique à l'ordre des facteurs près en produit de cycles dont les supports sont 2 à 2 disjoints.

démonstration

Soit s une permutation non identique de E. Il existe donc x∈E tel que s(x)≠x.L'orbite de x suivant s a au moins deux éléments. Soit (S_i)_i_∈_I la famille des orbites suivant s non réduites à un élément.

Pour i donné , il n'existe qu'un seul cycle de support S_i qui coïncide avec s sur S_i : c'est la permutation que l'on notera σ_i qui coïncide avec s sur S_i et avec id sur E−S_i.

Les σ_i sont deux à deux permutables :

(3)

Soient i,j∈I,i≠ j. montrons que σ_i σ_j =σ_j σ_i :

Soit x∈E−(S_i∪S_j). Alors σ_i(x)=σ_j(x)=x donc σ_i σ_j(x)=σ_j σ_i(x).

Soit x∈S_i. Alors σ_j(x)=x donc σ_i σ_j(x)=σ_i(x) et comme σ_i(x)∈S_i, σ_j σ_i(x)=σ_i(x) et on a )σ_i σ_j(x)=σ_j σ_i(x

Soit x∈S_j. Alors σ_i(x)=x donc σ_j σ_i(x)=σ_j(x) et comme σ_j(x)∈S_j, σ_i σ_j(x)=σ_j(x) on a )σ_i σ_j(x)=σ_j σ_i(x .

théorème

Toute permutation d'un ensemble fini de cardinal n≥2 se décompose en produit de transpositions.

démonstration

Supposons E de cardinal n≥2. Rappelons que id_E =ττ, quelle que soit la transposition τ. Une permutation se décompose en produit de cylces dont les supports sont deux à deux disjoints. Un

cycle est de la forme ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

=⎛

σ ⁻

1 2

1 1

...

a a a

p p

p .

p

p a

a a

a₁, ₂ τ ₂,₃ ... τ ₋₁,

τ

=

σ .

conséquence

Pour n≥2, le groupe symétrique d'ordre n est engendré par la famille de transpositions

1 1 1) ,

(τ_i τ_i₊ _≤_i_≤_n₋ . démonstration

Il suffit de montrer que toute permutation est un produit de transpositions τ_i_,_i₊₁. Soient p, q tels que 1≤ p<q≤n. Faisons la démonstration par récurrence sur q− p.

Notons P(q-p) la propriété suivante : "τ_p,_q se décompose à l'aide des transpositions (τ_i,τ_i₊₁)₁_≤_i_≤_n₋₁".

• Si q−p=1, τ_p_,_q =τ_p_,_p₊₁ et le résultat est immédiat ; P(1) est donc vraie

• Soit k vérifiant 1≤k≤n−2. Supposons P(k) vraie

Si 1q−p=k+ , τ_p_,_q =τ_q₋₁_,_p τ_p_,_q₋₁ τ_q₋₁_,_q. On applique alors l'hypothèse de récurrence aux transpositions τ_q₋₁_,_p, τ_p_,_q₋₁ et τ_q₋₁_,_q. Donc P(k+1) est vraie

• Donc P(k) est vraie pour tout k vérifiant 1≤k≤n−1.

3) Signature d'une permutation, groupe alterné E désigne toujours un ensemble fini de cardinal n.

définition (signature d'une permutation)

Soit )s∈S(E . On appelle signature de s noté ε(s) le nombre (−1)ⁿ⁻^m, où m est le nombre d'orbites suivant s.

(4)

théorème

Soient )s∈S(E et τ une transposition. Alors ε(sτ)=−ε(s). démonstration

Soit s∈S(E). On considère la transposition τ_a,_b (a≠b sinon ce n'est pas une transposition).

Soit s'=s τ_a_,_b.

• 1^er cas : a et b appartiennent à la même orbite

{

^, ⁽ ^),..., ⁽ ⁾

}

)

(a a s a s ¹ a

orb_s = ^p⁻ , )orb_s(a désignant l'orbite de a suivant s. Il existe un entier q, 1

1≤q≤ p− tel que b=s^q(a). Déterminons l'orbite de a suivant s' : a

) ( )

( ) ( )

(

' a s a s b s ¹ a

s = τ = = ^q+

………

) ( )

(

' ¹ a s ¹ a s ^p⁻^q⁻ = ^p⁻

a a s a

s'^p⁻^q( )= ^p( )=

donc orb_s'⁽a⁾=

{

a^,s^q⁺¹⁽a^),...,s^p⁻¹⁽a⁾

}

Déterminons l'orbite de b suivant s':

b

) ( ) ( )

(

' b s b s a

s = τ =

) ( ) (

'² b s² a

s =

………

b a s b

s'^q⁻¹( )= ^q( )=

donc orb_s'⁽b⁾=

{

b^,s⁽a^),s²⁽a^),...,s^q⁻¹⁽a⁾

}

Si )x∈E−orb_s(a , τ(x)=x donc s'(x)=s(x) et orb_s_'(x)=orb_s(x). Donc si m est le nombre d'orbites suivant s, m+1 est le nombre d'orbites suivant s'. Par conséquent,

) ( )

1 ( )

1 ( ) '

(s = − ⁿ ⁽^m¹⁾ = − ⁿ ^m¹=− − ⁿ ^m =−ε s

ε ⁻ ⁺ ⁻ ⁻ ⁻ .

• 2^ème cas : a et b n'appartiennent pas à la même orbite suivant s

{

^, ⁽ ^),..., ⁽ ⁾

}

)

(a a s a s ¹ a

orb_s = ^p⁻

{

^, ⁽ ^),..., ⁽ ⁾

}

)

(b b s b s ¹ b

orb_s = ^q⁻

Montrons que orb_s_'(a)=orb_s_'(b) a

) ( ) (

' a s b

s =

) ( ) (

'² a s² b

s =

………

) ( ) (

' ¹ a s ¹ b s^q⁻ = ^q⁻

b b s a

s'^q( )= ^q( )= ) ( ) (

' ¹ a s a s^q⁺ =

) ( ) (

' ² a s² a s^q⁺ =

………

) ( )

(

' ¹ a s ¹ a s^q⁺^p⁻ = ^p⁻

a a s a

s'^q⁺^p( )= ^p( )= Donc )orb_s_'(a)=orb_s_'(b

(5)

Si x∈E−

(

orb_s(a)∪orb_s(b)

)

, )orb_s_'(x)=orb_s(x . Si m est le nombre d'orbites suivant s, le nombre d'orbites suivant s' est m-1. Donc ε(s')=(−1)ⁿ⁻⁽^m⁻¹⁾ =(−1)ⁿ⁻^m⁺¹=−(−1)ⁿ⁻^m =−ε(s).

Corollaire 1

Soit )s∈S(E . Si s est le produit de r transpositions, alors ε(s)=(−1)^r. démonstration

Notons P(r) la propriété suivante : "si s∈S(E)est le produit de r transpositions, alors ε(s)=(−1)^r".

• r=1: si s est une transposition, alors ε(s)=−1 (n=2,m=1) donc P(1) est vraie.

• soit r∈N^*. Supposons P(r) vraie.

Soit )s∈S(E , s étant le produit de r+1 transpositions. s s'écrit :

1 1

1

+

= +

=

⎟⎟τ

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ τ

= τ

=

∏ ∏

^r ^r

k k r

k

s k .

D'après le théorème :

∏

=

τ ε

−

=

ε ^r

k

s k

1

) (

s) ( 1)r

( =− −

ε (hypothèse de récurrence) ) 1

1 ( )

( = − ⁺

ε s ^r

Donc P(r+1) est vraie

• Donc P(r) est vraie pour tout r≥1.

Corollaire 2

( ) { } ( )

) (

, 1 , 1 ),

( :

s s E S

ε

×

−

→

ε est un morphisme de groupes.

démonstration

• ^∀^s^∈^S⁽^E^),^ε⁽^s⁾^∈

{ }

⁻¹^,¹

• soient s et s' deux éléments de S(E).

s se décompose en produit de transpositions :

∏

=

τ

= ^p

k

s k 1

, ε(s)=(−1)^p.

s' se décompose en produit de transpositions :

∏

=

τ

= ^q

k

s k 1

'

' , ε(s')=(−1)^q.

Alors _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ τ

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ τ

=

∏ ∏

=

q

k k p

k

ss k

1 1

'

' .

Donc )ε(ss')=(−1)^p⁺^q =(−1)^p(−1)^q =ε(s)×ε(s' .

définition (groupe alterné, permutations paires et impaires)

Le noyau du morphisme ε est appelé groupe alterné de E et noté U(E). Ses éléments, qui sont des permutations de signature 1 sont appelées permutations paires. Les éléments de S(E)−U(E) sont appelées permutations impaires.

(6)

ANNEXE 1 : Rappels sur les cardinaux et le nombre de bijections d'un ensemble fini dans lui- même

ensemble fini

Un ensemble E est fini s'il existe un entier naturel n tel que N_n soit équipotent à E. (c'est-à-dire qu'il existe une bijection de N_n sur E).

definition des opérations dans N

Soient a,b∈N. On associe à a et b deux ensembles A et B arbitrairement choisis (avec A∩B=O/ dans le cas de la somme) tels que card(A)=a et card(B)=b.

On définit : a+b=card(A∪B) on appelle cette loi interne addition.

ab=card(A×B) on appelle cette loi interne multiplication.

De cette définition, il résulte que si (A_i)_i_∈_I est une famille finie d'ensembles finis deux à deux

disjoints, on a

∑

∈ ∈

=

I i

i I

i

i card A

A

card(

∪

) ( ). On peut faire la démonstration en prenant i=N_n, N*

n∈ , n≥2, par récurrence sur n.

lemme

Soient E et E' deux ensembles disjoints, F un ensemble quelconque. Les ensembles F^E^∪^E^'et

' E

E F

F × sont équipotents.

démonstration

Soit φ:FÊ^∪Ê^'→FÊ×FÊ^' f (f_E,f_E_')

φ est bijective : une application de E∪E' dans F est entièrement déterminée par les images des éléments de E et des éléments de E' (donc par les restrictions de f à E et E').

injectivité : φ(f)=φ(g)⇒ f_E =g_E et f_E_' =g_E_'⇒ f =g. surjectivité : soit (g,h)∈F^E×F^E^'.

Soit f :E∪E'→F

⎩⎨

⎧ ) (

) (

x h

x x g

si si

' E x

E x

∈

' E

FE

f ∈ ^∪ et φ(f)=g.

proposition

L'ensemble des applications d'un ensemble fini de cardinal n dans un ensemble fini de cardinal p est fini et a pour cardinal pⁿ.

démonstration

Soit F un ensemble fini de cardinal p. Faisons la démonstration par récurrence sur n. Notons P(n) la propriété suivante :

si E est un ensemble fini de cardinal n, alors F^E est fini et card(F^E)= pⁿ.

• P(0) est vraie : il existe une seule application de O/ dans F. Rappelons qu'une application de E dans F est une correspondance (Γ,E,F) telle que ∀x∈E,∃!y∈F,(x,y)∈Γ. si F est un

(7)

ensemble, toute application de O/ dans F a nécessairement O/ pour graphe. La correspondance est donc (O/,O/,F). Réciproquement, cette correspondance vérifie : ∀x∈O/,∃!y∈F,(x,y)∈O/ .

• P(1) est vraie.

• Soit n∈N^*. Supposons P(n) vraie. Soit E un ensemble fini, de cardinal n+1. Soit x∈E. On peut noter E=E'∪E", où E'=E−

{ }

x et E"=

{ }

x . D'après le lemme, FÊ et FÊ^'×FÊ^" sont équipotents donc card(FÊ)=card(FÊ^'×FÊ^")=card(FÊ^')×card(FÊ^")= pⁿ×p= pⁿ⁺¹ en utilisant successivement la formule sur les cardinaux et P(n) et P(1). Donc P(n+1) est vraie.

• Donc P(n) est vraie pour tout entier naturel n.

corollaire

L'ensemble des parties d'un ensemble E à n éléments est fini et a pour cardinal 2 . ⁿ démonstration

Soit E un ensemble fini à n éléments.

Soit φ:P(E)→

{ }

0,1^E

A 1_A (fonction indicatrice de A) φ est bijective

injectivité : φ(A)=φ(B)⇒1_A =1_B ⇒A=B

surjectivité : soit ^f ∈

{ }

⁰^,¹ ^E. Soit A= f ⁻¹⁽

{ }

¹⁾. Alors φ(A)= f .

Donc card(P(E))=card(

{ }

0,1^E =2ⁿ d'après la proposition précédente.

proposition

Soient A un ensemble fini, et (A_i)_i_∈_Iune famille de parties non vides de A, deux à deux disjointes, de réunion A. Alors I et les A_i sont des ensembles finis et on a

∑

∈

=

I i

Ai

card A

card( ) ( ).

démonstration

• ∀i∈I , A_i est un ensemble fini car c'est une partie d'un ensemble fini.

• Soit φ:I →P(A) i A_i

φ est injective : si i≠ j, )φ(i)≠φ(j car A_i et A_j sont disjoints donc distincts.φ est injective et P(A) est fini donc I est fini.

La formule sur les cardinaux découle de la définition des opérations dans N.

corollaire (principe des bergers)

Soient E et F des ensembles finis et f une application de E dans F surjective. Si les ensembles

{ }

⁾

1( y

f⁻ , y∈F, ont un cardinal commun k, alors card(E)=k×card(F). démonstration

Soit R la relation définie par : ∀x,y∈E,xRy⇔ f(x)= f(y). R est une relation d'équivalence. Les classes de R forment donc une partition de E. Si card(F)= p, il y a p classes et on peut noter cette

(8)

partition (A_i)₁_≤_i_≤_p et on a alors : ∀i,card(A_i)=k. D'après la proposition précédente, )

( )

(

1

F card k k p A card E

card

p

i

i = × = ×

=

∑

=

.

proposition

Soient p et n des entiers tels que 0≤ p≤n. Alors pour tout ensemble E de cardinal p et tout ensemble F de cardinal n, le nombre d'injections de E dans F est

)!

(

! p n

n

− , noté A_n^p. démonstration

On fixe n et F et on fait la démonstration par récurrence sur p. Notons P(p) la propriété : pour tout ensemble E de cardinal p, le nombre d'injections de E dans F est

)!

(

! p n

n

− .

• P(0) est vraie : Soit E un ensemble de cardinal 0, c'est-à-dire E=O/ . Il n'y a qu'une seule application de O/ dans F et elle est injective.

• Soit p un entier, 0≤ p≤n−1. Supposons P(p) vraie. Soit E un ensemble de cardinal p+1. Soit E

x∈ . Notons ^E^'⁼^E⁻

{ }

^x ^. ^E⁼^E^'^∪

{ }

^x et c'est une réunion disjointe. Soit I l'ensemble des injections de E dans F et I' l'ensemble des injections de E' dans F.

• Soit Φ:I →I' f f_E_'

Φ est clairement surjective. Soit g un élément de I'. g est une injection de E' dans F. Pour déterminer f telle que Φ(f)=g, il ne reste qu'à déterminer f(x). f(x) peut prendre n−p valeurs. Donc ∀g∈I', card(Φ⁻¹(

{ }

g ))=n−p. D'après le principe des bergers,

) ' ( )

( )

(I n p card I

card = − × . Or

)!

( ) ! '

( n p

I n

card = − d'après l'hypothèse de récurrence donc

))!

1 ( ( ) !

( = − +

p n I n

card donc P(p+1) est vraie.

• Donc P(p) est vraie pour tout p entier vérifiant 0≤ p≤n.

proposition

Si E est un ensemble fini, si f est une application de E dans E, alors f est injective si et seulement si f est bijective

démonstration

Soit E un ensemble fini de cardinal n.

• Si f est bijective, alors elle est injective.

• Supposons f injective.

) ( ) ( ,

,y E x y f x f y

x ∈ ≠ ⇒ ≠

∀ donc f(E) contient au moins n éléments. Or f(E)⊂E donc f(E) contient au moins n éléments donc f(E)=E donc f est surjective donc bijective.

Il résulte de ceci que si E est un ensemble fini à n éléments, il y a n! bijections de E dans E.