ÉLECTRONIQUE 2 / ÉLECTROMAGNÉTISME

TP DEUXIÈME SÉRIE

ÉLECTRONIQUE 2 /

ÉLECTROMAGNÉTISME

T.P 7

REDRESSEMENT / DÉTECTION

Capacités exigibles :

• Mettre en œuvre un redresseur double alternance.

• savoir quand, pourquoi et comment utiliser un transformateur d’isolement.

• savoir à quoi correspond une mesure au voltmètre numérique en mode AC et DC quand le signal étudié possède une valeur moyenne non nulle.

• savoir trouver les valeurs correctes de R et C pour obtenir un détecteur de crête satisfaisant.

• observer les limitations des montages passifs (tensions déchet,…) pour obtenir redressement et détection.

1. REDRESSEMENT PASSIF (AVEC DIODES SEULES)

Document 1 : Redressement de puissance

Les diodes de puissance sont des composants pouvant tolérer des courants de 1000 A. Elles sont utilisées par exemple pour redresser le signal alternatif E.D.F en un signal continu. Sur les photos ci-contre on peut observer une diode de puissance et un pont redresseur. Ces composants présentent une technologie bien différente des diodes utilisées dans ce T.P qui ne tolèrent que 200 mA. Le principe du redressement reste en revanche le même.

1.1 Redressement mono-alternance

1) Réaliser le montage suivant :

On prend R=10 kΩ. Le signal d’entrée V_e fourni par le G.B.F est sinusoïdal, de fréquence f =1 kHz, d’amplitude E=4V (8V crête-à-crête).

2) Observer V_e et V_s à l’oscilloscope en mode DC. Tracer l’allure de V t_e( ) et V t_s( ) sur le même graphe.

Q.1)

Comparer la tension de sortie observée avec celle que l’on obtient théoriquement pour une entrée sinusoïdale en prenant en compte la tension déchet V_d de la diode dans sa modélisation.

3) Déduire de l’écart entre V_e,max et V_s,max la valeur de la tension déchet : V_d = V 4) Observer l’influence de la fréquence en passant à 10 kHz, 100 kHz,…

5) Commuter en XY. Tracer l’allure de V_s = f(V_e) et commenter.

1.2 Redressement bi-alternance

1) Réaliser le montage suivant :

On prend R=10kΩ. Les diodes sont des 1N914. Le signal d’entrée V_e fourni par le G.B.F est sinusoïdal, de fréquence f =1 kHz , d’amplitude E=4V (8V crête-à- crête).

Q.2)

Faire l’étude théorique du montage en prenant en compte la tension déchet V_d de la diode dans sa modélisation.

Q.3)

Pourquoi le montage nécessite-t-il un transformateur d’isolement pour observer V_s à l’oscilloscope quand la tension d’entrée est variable ? (Le transformateur d’isolement permet d’avoir V_C−V_D=V_A−V_B sans contact électrique).

Les T.P de concours nécessitent régulièrement l’utilisation d’un transformateur d’isolement : il convient donc de comprendre les problèmes de masse qui peuvent exister sans sa présence, et en quoi il permet de régler (sous certaines conditions) ces problèmes.

2) Observer V_e et V_s. Commenter. Tracer l’allure de V t_e( ) et V t_s( ) sur le même graphe.

3) Commuter en XY. Tracer l’allure de V_s = f(V_e) et commenter.

2. REDRESSEMENT ACTIF (AVEC DIODES ET A.L.I)

Document 2 : Redressement actif

En électronique de puissance, la forme du signal importe peu. Seules importent sa présentation (alternative : la tension change de signal périodiquement, ou continue : elle fluctue autour d’une valeur moyenne sans changer de signe) et la puissance transférée.

En revanche, lors du traitement des signaux, la forme des signaux peut être très importante, et les défauts du redressement du 1.1 ou du 1.2 peuvent ne pas être acceptables. On cherche alors à améliorer la qualité des signaux pour réaliser les opérations non linéaires « partie positive » et « valeur absolue ».

2.1 Redressement mono-alternance (montage à conserver pour le 2.2)

1) Réaliser le montage suivant :

On prend R=10 kΩ. Le signal d’entrée V_e fourni par le G.B.F est sinusoïdal, de fréquence f =1 kHz , d’amplitude E=4V (8V crête- à-crête).

Q.4)

Faire l’étude théorique du montage en tenant compte de V_d. Montrer qu’il réalise bien l’opérateur « partie positive ».

2) Observer V_e et V_s à l’oscilloscope, puis la tension de sortie V de l’A.L.I : commenter. Tracer l’allure de V t_e( ) et V t_s( ) sur le même graphe.

3) Observer d’autres types de signaux.

4) Commuter en XY. Tracer l’allure de V_s = f(V_e). Commenter.

Conserver ce montage pour la partie 2.2

2.2 Redressement bi-alternance

1) Réaliser le montage ci-dessous. On prend R=10 kΩ. Le signal d’entrée V_e fourni par le G.B.F est sinusoïdal, de fréquence f =1 kHz , d’amplitude E=4V (8V crête-à-crête).

Q.5)

Montrer que le montage réalise bien l’opérateur « valeur absolue ».

2) Mesurer au voltmètre électronique en position DC les valeurs moyennes V_e et V_s de V_e et V_s ; commenter. Mesurer en position AC les valeurs efficaces de ~_{e e e}

V V

V = − et de ~_{s s s}

V V

V = − . Mesures : V_s = V à comparer à la valeur théorique 2 2,55V

π ≈

E ; ~ V

eff

s =

V à comparer à la valeur théorique V

23 , 1 1 8

2 1 ₂ ≈

−π E

On a en effet

[ ]

2 s ² s

2 s s 2 s

s 2

s s eff

s 2

~ V V V V V V V V

V = − = − + = − , or V_s=V_e V_s²=V_e² et donc

2

2 2 s

V = E , d’où _{2 2}

2 2 eff

s 1

8 2 1 4 2

~

−π π =

−

= E E E

V

3) Observer V_e et V_s à l’oscilloscope. Tracer l’allure de V t_e( ) et V t_s( ) sur le même graphe.

4) Commuter en XY. Tracer l’allure de V_s = f(V_e)^.

5) Rajouter comme indiqué sur le schéma en sortie du montage un filtre passe-bas RC avec R=10kΩ et C=1 Fµ ^. Observer la tension V_s′(t) à l’oscilloscope, la comparer à sa valeur théorique 2 2,55V

π ≈

E . Conclure sur l’intérêt du redressement et comparer les redressements mono et bi-alternance.

3 DÉTECTEUR DE CRÊTE

3.1 Signal d’entrée sinusoïdal

1) Réaliser le montage ci-contre :

La résistance R est réglable et on prend d’abord R=10kΩ et nF

=100

C .

Le signal d’entrée V_e fourni par le G.B.F Agilent est sinusoïdal, de fréquence 1 10kHz

=

=T

f d’amplitude crête-à-crête de 4V.

Lorsque la diode est passante, l’impédance d’entrée du montage est faible (une centaine d’ohms), et la résistance de sortie du G.B.F r=50Ω n’est alors pas négligeable, ce qui provoque une déformation du signal de sortie du G.B.F V_e(t)=e(t)−ri(t) par rapport au signal souhaité e(t)=Ecos(2πft). On peut donc utiliser un montage suiveur pour pallier à ce défaut (on a alors i(t)=0).

Q.6)

Justifier que pour R→∞, la tension de sortie est quasiment constante, égale, à la tension déchet de la diode près, à la valeur maximale de la tension d’entrée.

2) Observer V_e et V_s à l’oscilloscope. Observer l’influence de R sur V_s. Quel est l’intérêt du montage ?

3.2 Signal d’entrée modulé en amplitude

Pour les G.B.F les plus récents, la modulation s’effectue grâce à la touche « Mod » ou « Modulation » puis avec le menu qui apparaît à l’écran. Les indications qui suivent correspondent aux modèles plus anciens.

1) On envoie maintenant un signal modulé en amplitude : choisir la modulation d’amplitude (Shift AM). Régler la forme de la porteuse en sinusoïdal

~

, sa fréquence à f_p=10kHz et son amplitude crête-à-crête à 4V. Régler la fréquence de modulation (Shift Freq) à f_m =100Hz en sinusoïdal. Jouer sur le taux de modulation m exprimé en pourcentage (Shift Level) pour le régler à 50% (50% Depth).

2) Visualiser à l’oscilloscope le signal modulé et vérifier la valeur du taux de modulation. Le signal de sortie, modulé en amplitude, est de la forme : u⁽t⁾=U

[

¹+m^cos(ωmt⁾

]

^cos(ωpt⁾ avec 100Hz

2

m m =

π

=ω

f et 10kHz

2

p p =

π

= ω

f , m étant le taux de

modulation en amplitude.

3) L’étude théorique montre que le montage proposé ne fonctionne que si l’on a m<1 et la condition suivante respectée :

m 2

p 2

1 T

m RC m

T π

< −

= τ

<< , condition d’autant plus difficile à satisfaire que m est proche de 1.

On prend R=10kΩ. Vérifier qu’avec les valeurs numériques proposées, la détection d’enveloppe est correctement réalisée.

4) Prendre un taux de modulation plus proche de 1 et observer le signal de sortie. Que se passe-t-il dans le cas d’une surmodulation (m>1) ?

Matériel : 4 diodes 1N914 au silicium et une diode OA 90 au germanium 8 résistances de 10kΩ

2 A.L.I TL 081

capacités de 1µF et de 100nF

T.P 8

DÉTECTION SYNCHRONE /

MODULATION ET DÉMODULATION D’AMPLITUDE

Capacités exigibles :

• Mesurer une fréquence par une détection synchrone élémentaire à l’aide d’un multiplieur et d’un passe-bas simple adapté à la mesure.

• Élaborer un signal modulé en amplitude à l’aide d’un circuit multiplieur.

• Réaliser une démodulation synchrone.

Document 1 : Multiplieur

Un multiplieur est un composant actif, alimenté comme un A.L.I par un générateur de tension continue délivrant +V_cc =+15V et

−V_cc = −15 V. La référence de potentiel est le point milieu des deux alimentations.

Un multiplieur admet deux tensions d’entrée : x=X₁−X₂ et

2

1 Y

Y y= − .

Il fournit alors en sortie une tension s(t)=W−Z=k×x(t)×y(t) avec k=0,1V^-1. On connecte souvent Z à la masse du montage, mais on peut également y appliquer une tension de décalage.

Le multiplieur présente des défauts similaires à ceux de l’A.L.I.

i) une bande passante d’environ 1 MHz. Au-dessus de ces fréquences, un comportement passe-bas se fait sentir (si x est sinusoïdale et y continue, l’amplitude de la sortie s chute).

ii) les courants d’entrée sont non nuls. Sensiblement constants, ils restent très faibles (du nA au µA).

iii) il existe une tension de décalage sur chaque entrée, de l’ordre de mV, qui n’entraînent pas de déformation du signal de sortie si les entrées restent de l’ordre du volt.

iv) le multiplieur possède une résistance de sortie faible R_s≈50Ω, elle est négligeable devant les résistances de charge usuelles.

v) la tension s de sortie du multiplieur est bornée par des valeurs proches des tensions d’alimentation :

+

−≤ ≤ _sat

sat s V

V . La valeur de k est choisie pour ne pas avoir de saturation avec des entrées allant jusqu’à 10 V.

vi) le courant de sortie est limité : I_sat⁻ ≤i_s ≤I_sat⁺, courants de l’ordre de 25 mA. Il faut donc que le circuit de charge présente une résistance d’entrée suffisante pour que le multiplieur fonctionne convenablement.

vii) la pente du signal de sortie est également limitée : σ⁻≤ d ≤σ⁺ d

Vs

t (vitesse de balayage limite : slew-rate). La pente maximale est de l’ordre de 10mV⋅µs^-1.

1. DÉTECTION QUADRATIQUE

Document 2 : Valeur efficace d’un signal périodique quelconque

La valeur efficace (root mean square R.M.S) d’un signal périodique quelconque e(t) est définie par : E_eff = e²(t) . On a pour un signal de valeur extrémales E et −E :

eff 2

E = E si e(t) sinusoïdal sans décalage ;

eff 3

E = E si e(t) triangulaire

symétrique (pentes opposées) sans décalage ; Eeff = E si e(t) créneaux symétriques (rapport cyclique 2

=1

α ) sans décalage.

Pour déterminer E_eff, il suffit de placer à la sortie du multiplieur dont les deux entrées sont e(t) puis un filtre passe-bas de fréquence de coupure très inférieure à la fréquence du signal afin de ne conserver que la valeur moyenne de s(t) : on a alors

k t E s()

eff = .

1) On envoie le même signal périodique quelconque sans décalage (sinusoïdal, triangles ou créneaux) de fréquence 10 kHz et d’amplitude E=5V sur les deux entrées du multiplieur.

Placer en sortie du multiplieur un filtre passe-bas RC grâce à une boîte de capacité dont on règle la valeur C=1µF et d’une boîte de résistance dont on règle la valeur R de façon à mesurer E_eff à l’oscilloscope en sortie du filtre.

Hz

Ω^ _c=

= f

R

2) Observer à l’oscilloscope pour chacun des signaux la sortie s(t) du multiplieur et celle s(t) du passe-bas.

Mesures de

k t E s( )

eff = ^:

V

eff =

E pour l’entrée sinusoïdale, à comparer à la valeur théorique V

eff = E2 = E

V

eff =

E pour l’entrée en triangles, à comparer à la valeur théorique V

eff = E3 = E

V

eff =

E pour l’entrée en créneaux, à comparer à la valeur théorique E_eff =E= V

2. DÉTECTION SYNCHRONE

Document 3 : Principe de la détection synchrone

Si un signal est constitué d’une somme de sinusoïdes, comme c’est le cas pour un signal périodique, on peut détecter une de ses composantes en exploitant les formules de trigonométrie suivantes, prises en valeur moyenne :

[ ] [ ]







Ω

= Ω

Ω

≠ Ω

=













Ω + Ω + Ω

− Ω

= Ω Ω

1 2

1 2

0 2 1 2

1 2

1 si

2 1

si 0 )

( cos )

( 2 cos ) 1 cos(

)

cos( t t t 144424443t

[ ] [ ]







Ω

= Ω

Ω

≠ Ω

=













Ω + Ω

− Ω

− Ω

= Ω Ω

1 2

1 2

0 2 1 2

1 2

1 si

2 1

si 0 )

( cos )

( 2 cos ) 1 sin(

)

sin( t t t 144424443t

[ ] [ ]





Ω

= Ω

Ω

≠

= Ω













Ω + Ω + Ω

− Ω

= Ω Ω

1 2

1 2

0 2 1 2

1 2

1 0 si

si ) 0

( sin )

( 2 sin ) 1 cos(

)

sin( t t t 1442443t

Prenons l’exemple d’un signal u_e T-périodique qui peut être décomposée en série de Fourier :

[ ]



^+∞

=

Ω +

Ω +

=

1 0

e() cos( ) sin( )

n

n

n n t b n t

a c

t

u , en posant

T

= π Ω 2

. En faisant le produit de u_e par u₀(t)=U₀cos(n₀Ωt), avec

0∈

n ^ℕ*, puis en prenant la valeur moyenne à l’aide d’un filtre passe-bas de gain unité dans la bande passante, et de pulsation de coupure ω_c telle que ω_c<<Ω, on obtient un signal u_s constant proportionnel à a_n0 : _{s 0 0}

2 1

an

kU

u = . On obtient de même un signal de sortie _{s 0 0}

2 1

bn

kU

u = constant et proportionnel à b_n0 en faisant le produit de u_e par u₀(t)=U₀sin(n₀Ωt).

De façon générale, pour détecter une pulsation ω₀ présente dans un signal, on multiplie ce dernier par un signal sinusoïdal de pulsation ω=ω₀, et l’on prend la valeur moyenne du produit à l’aide d’un passe-bas de pulsation de coupure ω_c<<ω₀ afin d’obtenir un signal de sortie u_s constant.

Q.1)

À quelle condition sur ω−ω₀ observe-t-on un signal non-nul en sortie du filtre passe-bas ? Que devient ce signal au fur et à mesure que l’on se rapproche de ω=ω₀ ? En déduire un protocole pour déterminer expérimentalement la valeur d’une des pulsations ω₀ contenues dans un signal périodique.

Le but est de mesurer la fréquence f₀ d’un signal sinusoïdal. On prendra f₀ de l’ordre de quelques kHz. On utilise pour cela un deuxième G.B.F qui délivre un signal sinusoïdal de fréquence f.

1) En se basant sur la partie 1, déterminer et mettre en œuvre un protocole permettant de mesurer précisément f₀ en faisant varier f. Comparer f₀ affichée par le premier G.B.F à la valeur lue sur le second G.B.F après mise en œuvre du protocole.

Par exemple : f_0affichée=9520Hz f_0mesurée =( ± )Hz.

2) Recommencer avec un signal triangulaire de fréquence f₀. Déterminer expérimentalement la pulsation de son harmonique de rang 3.

3. MODULATION D’AMPLITUDE

Pour cette partie et la suivante, on utilise une boîte réalisant modulation et démodulation.

Document 4 : Modulation d’amplitude

Considérons d’abord un signal de modulation sinusoïdal : v_m(t)=V_mcos(ω_mt) modulant la porteuse v_p(t)=V_pcos(ω_pt) qui est la tension appliquée à l’antenne en l’absence de modulation. En pratique la porteuse est fournie par un oscillateur sinusoïdal haute fréquence dont la fréquence d’oscillation

π

=ω 2

p

fp , est très supérieure à la fréquence de modulation.

La modulation s’effectue à l’aide du circuit ci-dessus comportant un multiplieur de constante positive k =0,10V^-1 et un sommateur (alimentés tous deux en +15V, 0 V, −15V sur le même circuit).

Le signal modulé en sortie vaut v_sm(t)=kv_m(t)v_p(t)+v_p(t), soit, en posant m=kV_m : vsm⁽t⁾=Vp

[

¹+m^cos(ωmt⁾

]

^cos(ωpt⁾, où m est le taux de modulation en amplitude qui ne dépend que de V_m :

— si m<1 l’enveloppe du signal modulé représente le signal modulant.

— si m>1 l’enveloppe du signal modulé ne représente plus le signal modulant, on dit qu’il y a surmodulation.

1) Le G.B.F 1 est réglé pour délivrer le signal modulant v_m(t)=V_mcos(ω_mt) que l’on applique à l’entrée EM1 du multiplieur (1). Régler précisément la fréquence correspondante à 500Hz

2

m m =

π

= ω

f .

En choisissant précisément V_m =8V, le taux de modulation a pour valeur m=kV_m =0,8.

2) Le G.B.F 2 est réglé pour délivrer le signal porteur v_p(t)=V_pcos(ω_pt) que l’on applique à l’entrée EP1 du multiplieur (1). Régler précisément la fréquence correspondante à 10kHz

2

p

p =

π

= ω

f et son amplitude à V_p =4V.

Pour montage sommateur, on utilise un montage sommateur inverseur de tension à A.L.I suivi d’un montage inverseur, le tout réalisé dans un boîtier contenant le multiplieur, avec R=100kΩ.

La sortie du signal modulé est en SM. On a donc en sortie SM :

[

^{1 cos( )}

]

^{cos( )}

)

( _{p m p}

sm t V m t t

v = + ω ω , soit :

[

^t

]

^mV

[

^t

]

t mV V

t

v cos( )

) 2 (

2 cos ) cos(

)

( _{p p} ^p _{p m} ^p _{p m}

sm = ω + ω −ω + ω +ω

D’où le spectre ci-contre, au facteur V_p près :

Q.2)

Montrer que si V₁ et V₂ sont les tensions définies sur le graphe donnant v_sm(t) pour m<1 page précédente, on a

1 2

1 2

V V

V m V

+

= − .

3) Vérifier la valeur de m en visualisant v_sm(t) en mode balayage de l’oscilloscope :

2V₁= 2V₂ = m=

4) Effectuer l’analyse spectrale du signal v_sm(t) en utilisant LatisPro ou l’oscilloscope numérique Tektronix. Dans le spectre, on doit retrouver une raie à une fréquence f_p d’amplitude V_p et deux autres aux fréquences f_p + f_m et f_p −f_m d’amplitude

2 mVp

.

Valeurs théoriques attendues : kHz

5 ,

m 9

p− f =

f amplitude 1,6V

2

p =

mV

kHz

p=10

f amplitude V_p =4V

kHz 5 ,

m 10

p+ f =

f amplitude 1,6V

2

p =

mV

Valeurs mesurées à l’aide de l’analyseur :

composante de fréquence f_p− f_m = kHz amplitude = V composante de fréquence f_p = kHz amplitude = V composante de fréquence f_p+ f_m = kHz amplitude = V

5) Le G.B.F 1 est maintenant réglé pour délivrer le signal modulant v_m(t) rectangulaire ou triangulaire de fréquence Hz

m =500

f . Effectuer l’analyse spectrale du signal modulé v_sm(t). Représenter les signaux obtenus ainsi que leurs spectres et comparer aux résultats attendus.

4. DÉMODULATION D’AMPLITUDE PAR DÉTECTION SYNCHRONE

Document 5 : Démodulation d’amplitude

Nous supposons de nouveau que le signal modulant du montage précédent est sinusoïdal de fréquence f_m. L’antenne d’un récepteur capte le signal modulé qui est en pratique appliqué à l’entrée d’un amplificateur de commande automatique de gain.

L’amplificateur délivre une tension v⁽t⁾=Vp′

[

¹+m^cos(ωmt⁾

]

^cos(ωpt⁾ avec V_p′ constante grâce à la commande automatique de gain (le signal est d’autant plus amplifié que son amplitude au niveau de l’antenne est faible).

Pour notre étude nous supposerons que cet amplificateur délivre un signal égal à vsm⁽t⁾=Vp

[

¹+m^cos(ωmt⁾

]

^cos(ωpt⁾, tension de sortie du montage précédent. Ce signal est appliqué à l’entrée du démodulateur dont le rôle est de fournir un signal v_d(t) image du signal de modulation v_m(t)=V_mcos(ω_mt).

Le démodulateur utilisé ici comporte :

— un oscillateur local délivrant un signal v₀(t)=V₀cos(ω_pt) synchrone de la porteuse ;

— un multiplieur de constante multiplicative k=0,10V^-1 ;

— un filtre passe-bas F de fréquence de coupure ₁ f_h ≈ f_p et de coefficient d’amplification K₁=1 dans la bande passante ;

— un filtre passe-haut F de fréquence de coupure ₂

10

b m

f = f et de coefficient d’amplification K₂ =1 dans la bande passante.

1) Pour l’oscillateur local synchrone, on se contente de prélever la tension porteuse délivrée par le G.B.F 2 : v₀(t)=v_p(t) que l’on applique à l’entrée EP2 en branchant un fil entre EP1 et EP2 (sur le boîtier, SM est déjà relié à ED2 mais EP1 n’est pas relié à EP2 : il suffit donc de brancher un fil entre EP1 et EP2). La tension modulée v_sm(t) est directement appliquée à l’entrée ED2 du multiplieur (2). Visualiser la tension de sortie u(t) du multiplieur en SX2. En effectuer l’analyse de Fourier.

Q.3)

Montrer que l’on s’attend à observer le spectre ci-dessous, avec f_m =500Hz, au facteur 0,8V

2

1 2

p =

kV près. Expliquer à partir de ce spectre quel type de filtrage il faut réaliser afin d’obtenir un signal démodulé. Pourquoi parle-t-on ici de détection synchrone ?

2) Faire l’analyse spectrale de u(t) :

Valeurs d’amplitude mesurées Valeurs d’amplitude attendues

composante de fréquence f_{m 0,64 V}

composante de fréquence 2f_p− f_m 0,32 V

composante de fréquence 2f_p 0,8 V

composante de fréquence 2f_p+ f_m 0,32 V

Document 6 : Filtrage en deux étapes

Pour le filtre passe-bas F , on prend deux filtres de Sallen et Key passe-bas du second ordre identiques en cascade, ce qui ₁ correspond à un filtre du quatrième ordre de fréquence de coupure voisine de f_p, afin d’affaiblir le plus possible les composantes de fréquences supérieures à f_p (les valeurs des composants sont R=16kΩ et C=1nF). Pour le filtre passe-haut F , on prend ₂ un simple filtre R_′C_′ passe-haut de fréquence de coupure égale à

10 fm

(les valeurs des composants sont R′=33kΩ et nF

=100

′

C ).

Q.4)

Calculer la fonction de transfert d’un filtre de Sallen et Key et calculer numériquement son coefficient d’amplification K₁ dans la bande passante, son facteur de qualité et sa fréquence de coupure. Tracer le diagramme de Bode théorique de l’association

F de deux filtres de Sallen et Key. 1

3) Vérifier qu’à la sortie SF1 du filtre F les composantes de fréquences ₁ 2f_p− f_m, 2f_p et 2f_{p +}f_m sont affaiblies et qu’il ne reste pratiquement plus que la composante continue et la composante de fréquence f_m :

[

^{1 cos( )}

]

2 ) 1

(t kV_p² m _mt

u_{′ = + ω} .

4) Vérifier qu’à la sortie SF2 du filtre F passe-haut du premier ordre de fréquence de coupure ₂

10 2

1 _m

b

f C

f R _≈

′ π ′

= et de

coefficient d’amplification K₂ =1 dans la bande passante, seule la composante de fréquence f_m subsiste : )

2 cos(

) 1

( _p² _m

d t kV m t

v _{= ω} .

5) Observer la forme du signal de sortie v_d(t) quand le signal modulant est rectangulaire ou triangulaire de fréquence Hz

m =500

f et comparer sa forme à celle du signal modulant v_m(t). Conclure.

Matériel : boîtier multiplieur

boîtier modulation / démodulation d’amplitude.

T.P 9

FILTRAGE NUMÉRIQUE D’UN SIGNAL AUDIO

Capacités exigibles :

• Utiliser un convertisseur analogique - numérique et un convertisseur numérique - analogique.

• Réaliser le filtrage numérique passe-bas d’une acquisition, et mettre en évidence la limitation introduite par l’échantillonnage.

Dans un studio d’enregistrement, les signaux audios sont numérisés puis stockés. On peut alors leur faire subir de multiples opérations : filtrage, compression, effets divers... Lors de la restitution du son, le signal numérique est transformé en signal analogique avant d’être transmis, le plus souvent après amplification, vers des haut-parleurs. On peut résumer le procédé par le schéma suivant :

On se propose dans ce T.P est d’une part d’utiliser les conversions analogique - numérique (CAN) et numérique - analogique (CNA) que réalise le boîtier d’acquisition SYSAM-SP5 piloté par le logiciel LatisPro. Une fois numérisé, le signal sera filtré numériquement, et le résultat émis sous forme analogique par le boîtier.

Dans une première partie, on traite le même signal par un filtre passe-bas analogique et par son équivalent numérique. On compare les résultats en cherchant à mettre en évidence les limitations introduites par l’échantillonnage.

Dans une deuxième partie, on filtre numériquement une somme de deux signaux sinusoïdaux dont les fréquences se situent dans le spectre sonore, afin d’en isoler une seule (filtrage passe-bas ou passe-haut). Les tensions avant et après filtrage sont envoyées sur un haut-parleur afin d’entendre l’effet du filtrage.

1. FILTRAGE PASSE-BAS DU PREMIER ORDRE ANALOGIQUE ET NUMÉRIQUE

1.1 Gains des deux filtres

On cherche à réaliser un filtre passe-bas du premier ordre de gain statique H₀ =1 et de fréquence de coupure f_c=1600Hz. 1) Réaliser le filtre analogique à l’aide d’une boîte de capacité variable et d’une boîte de résistance variable. On règle

nF

=10

C . Ajuster la valeur de R pour avoir f_c de l’ordre de 1600 Hz. Mesurer le plus précisément possible (donner la méthode obtenue) cette fréquence de coupure : f_c=( ± )Hz.

2) Envoyer avec un G.B.F un signal sinusoïdal de 5 V d’amplitude, de fréquence f =200Hz. Faire l’acquisition avec le boîtier SYSAM-SP5 du signal du signal délivré par le G.B.F (voie EA0, que l’on renomme E) et de la réponse du filtre (voie EA1, que l’on renomme Sa). On choisira une période d’échantillonnage T_e=5µs et un grand nombre d’échantillons (20 000).

On a ainsi réalisé une conversion analogique – numérique.

Q.1)

Jusqu’à quelle fréquence le critère de Shannon est-il vérifié pour T_e=5µs ?

3) On réalise maintenant le filtrage numérique sur E à l’aide de la feuille de calcul en tapant le code suivant :

Te=5E-6 valeur de la période d’échantillonnage

fc=…. (mettre la valeur trouvée expérimentalement) valeur de la fréquence de coupure

tau=1/(2*Pi*fc) valeur de la constante de temps du filtre

S=table(0 ;20000)

crée une table S de 20 000 lignes, initialement remplie de 0 (pas indispensable, sans cette instruction, la première exécution ne fonctionne pas car la table n’est pas encore définie mais la seconde

fonctionne…)

S[n]=S[n-1]+Te/tau*(E[n-1]-S[n-1]) calcule les valeurs de la table

(avec cette instruction les valeurs initiales sont toujours nulles) On obtient ainsi une sortie S issue d’un filtrage numérique.

Q.2)

Justifier la relation de récurrence fournie.

4) Exécuter les calculs : une nouvelle « courbe » S est créée, que l’on peut tracer dans la même fenêtre que celle de E et Sa.

5) Mesurer pour plusieurs fréquences, à l’aide de l’outil réticule, le gain du filtre analogique

max ana Emax

=Sa

G et du filtre numérique

max num Emax

= S

G (effectuer des mesures crête à crête). Dresser le tableau suivant :

f (Hz) 200 1000 2000 4000 6000 8000 10000

Gana

Gnum

6) Tracer puis modéliser (outil Modélisation) les deux courbes de gain en fonction de la fréquence. Comparer les deux fréquences de coupure obtenues et conclure quant à une première limitation du filtrage numérique.

1.2 Conversion numérique -analogique

1) Faire l’acquisition d’un signal sinusoïdal de 5 V d’amplitude, de fréquence f =100Hz. On choisit maintenant T_e=40µs et toujours 20 000 points pour l’acquisition. Ne pas oublier de modifier T_e dans la feuille de calcul…

2) Le signal S calculé peut être émis par le boîtier SYSAM (sortie analogique SA1). Cliquer sur pour entrer dans le menu « paramètres d’émission ». Cocher sortie active, cliquer sur courbes et choisir S.

3) Observer les sorties des filtres analogique et numérique à l’oscilloscope.

Si l’une des deux courbes défile, utiliser la fonction Run / Stop de l’oscilloscope pour figer les signaux.

Représenter le signal filtré numériquement pour f =100Hz puis 2kHz.

Quelle autre limitation du filtrage numérique met-on ainsi en évidence ?

Que peut-on proposer pour repousser ces limites ? Quel inconvénient cela présente-t-il ?

2. FILTRAGE NUMÉRIQUE AUDIO

1) Le signal analogique d’entrée e(t) est obtenu à l’aide d’un sommateur (dispositif alimenté) qui permet d’ajouter un signal sinusoïdal de fréquence f₁=50Hz et d’amplitude 4 V délivré par un premier G.B.F à un deuxième signal sinusoïdal de fréquence f₂=880Hz et d’amplitude 400 mV délivré par un second G.B.F.

Un amplificateur de puissance est placé entre la sortie du système électronique et le haut-parleur. Écouter le son produit avec et sans l’amplificateur.

Q.3)

Prouver qu’en régime sinusoïdal forcé, la puissance moyenne reçue par un dipôle de résistance R de la part d’un générateur de Thévenin de résistance interne r est maximale pour une certaine valeur de R à déterminer. En déduire un des rôles de l’amplificateur.

Faire l’acquisition du signal e(t) sur une durée de 1 s suffisante pour pouvoir reconnaître les sons lors de l’émission par le boîtier.

Effectuer son analyse de Fourier.

2) Réaliser un filtrage numérique passe-bas de e(t) pour éliminer « f₂=880Hz » (indiquer la méthode et les réglages choisis). Effectuer son analyse de Fourier. Émettre le signal filtré, l’amplifier et l’écouter au haut-parleur.

Q.4)

En appliquant la méthode d’Euler pour résoudre l’équation différentielle correspondant à un filtrage passe-haut du premier ordre, donner la relation de récurrence entre S[n], S[n−1], E[n] et E[n−1].

3) Réaliser un filtrage numérique passe-haut de e(t) pour éliminer « ^f₁=50Hz » (indiquer la méthode et les réglages choisis). Effectuer son analyse de Fourier. Émettre le signal filtré, l’amplifier et l’écouter au haut-parleur.

Matériel : boîtier soustracteur

amplificateur G.B.F -> haut-parleur haut-parleur

T.P 10

PORTES LOGIQUES

Capacités exigibles :

• mettre en œuvre un A.L.I ou une porte logique pour réaliser un oscillateur.

• mettre en oeuvre des portes logiques, étudier les opérations logiques effectuées.

• savoir lire une data sheet.

1. PORTES LOGIQUES

Q.1)

Remplir la table de vérité de chacune des portes logiques suivantes à deux entrées : ET (AND), NON ET (NAND), OU (OR) et NON OU (NOR).

1.1 Réalisation à l’aide de diodes

1) Réaliser le montage suivant sur plaquette :

On prend R=1kΩ. D et ₁ D sont deux diodes au silicium identiques de tension de ₂ seuil V_d ≈0,6V.

V

=10

E est imposée à l’aide d’un premier G.B.F.

On règle séparément les tensions d’entrée V₁ et V₂ soit à la valeur V_DD=5V (valeur obtenue à l’aide d’un second G.B.F), soit à 0V (en reliant la diode donnée à la masse).

En électronique logique, on ne considère que deux valeurs « 0 » : FAUX et « 1 » : VRAI. Par exemple, pour une tension V comprise entre 0V et 5V, 0 correspond à

V 5 ,

<1

V et 1 à V >3,5V (les constructeurs de composants logiques s’astreignent à ce que les tensions délivrées basculent très rapidement de 0 à 1 et de 1 à 0).

2) En faisant des mesures de tension à l’oscilloscope, remplir le tableau suivant puis la table de vérité :

V1 (V) V₂ (V) V_s (V) V₁ V₂ V_s

0 0 0 0

5 0 1 0

0 5 0 1

5 5 1 1

Conclure sur le type de porte logique réalisé ainsi.

Q.2)

Faire l’étude théorique du montage et justifier ainsi les observations faites.

Q.3)

On impose maintenant E=−10V. Donner le sens des diodes D et ₁ D permettant de réaliser une porte OU. Faire l’étude ₂ théorique du montage pour le prouver.

3) Imposer E=−10V et réaliser le montage trouvé. Dresser la nouvelle table de vérité.

1.2 Table de vérité d’une porte Nand

On utilise maintenant une porte logique Nand. Le composant CD 4011 dont on donne le brochage ci-contre comporte 4 portes Nand.

On l’alimente en V_DD =+15V/ 0V.

1) Vérifier le bon comportement d’une porte Nand en remplissant sa table de vérité. Un seul G.B.F fournissant une tension continue allant jusqu’à 10 V suffira.

2) On connecte les deux entrées entre elles. Quelle relation entre la sortie et entrée (maintenant unique) a-t-on réalisé ? Mesurer les valeurs de l’entrée pour laquelle la sortie bascule de 0 à 1 puis de 1 à 0.

3) Relier alors sortie et entrée à l’aide d’une résistance de 1 MΩ. Que se passe-t- il ? Quelle grandeur peut-on ainsi évaluer ?

2. OSCILLATEUR À DEUX INVERSEURS / PRINCIPE DES MONTRES ÉLECTRONIQUES

2.1 Montage

Le montage est représenté ci-dessous.

Les 2 inverseurs utilisés sont obtenus à l’aide de deux des 4 portes NAND du CD 4011. La résistance R′=1MΩ est une résistance de protection. Les courants dans les entrées des portes Nand sont nuls.

On les alimente toujours en V_DD=+15V/ 0V.

La caractéristique statique de transfert entre la tension d’entrée et celle de sortie d’un inverseur est de la forme suivante :

Document 1 : Étude théorique de l’oscillateur à 2 inverseurs

On suppose qu’à t=0 la porte 1 vient de basculer à s₁=0 et la porte 2 à s₂ =V_DD. On pose τ=RC.

Q.4)

Établir l’équation différentielle reliant e₂ à s₁ et s₂.

Q.5)

Que vaut e₂(0⁺) ? En déduire











 −

= ^−τ

t

e V

t

e 2

1 3 )

( _DD

2 pour t>0, puis l’instant t₁ pour lequel les portes basculent.

Q.6)

Que vaut e₂(t₁⁺) ? En déduire ^τ

− −

=

1

DD

2 2

) 3 (

t t

e V t

e pour t>t₁, puis l’instant t₂ pour lequel les portes basculent de nouveau.

Q.7)

Exprimer la période T des oscillations en fonction de R et de C. Tracer les graphes de e₂, s₁ et s₂.

1) Commencer par vérifier le bon fonctionnement des deux portes Nand utilisées en inverseur et alimentées en +15V/ 0V : tracer la courbe donnant la sortie en fonction de l’entrée. Le G.B.F fournissant le signal d’entrée est réglé de manière à fournir un signal fluctuant légèrement autour de 7,5V

2

DD =

V .

2) Réaliser le montage complet sur plaquette. On prend C=100nF et R est obtenue à l’aide d’une boîte de résistances.

Régler R de façon à ce que la fréquence des oscillations soit la plus proche possible de ^f₀=4096Hz=2¹²Hz.

Noter sa valeur, fournie par l’oscilloscope : ^f₀= Hz. Constater que cette valeur fluctue et évaluer la fluctuation ∆f . 3) Relever la forme des signaux e₂, s₁ et s₂. Comparer à leur forme théorique.

2.2 Obtention de la fréquence 1 Hz

Document 2 : compteurs binaires / montres à quartz

Le composant est alimenté en ^V_DD=+15V / 0V (bornes 16 et 08). Le signal d’entrée est appliqué sur la borne 10 (Clock). Aucun signal de synchronisation n’est nécessaire ici : la borne 11 (Reset) est à la masse.

Soit Q0 le signal d’entrée. Les signaux Qi sont binaires (ils ne prennent que deux valeurs, « 0 », correspondant à une tension de 0V, et « 1 », correspondant à une tension V_DD. Qi+1 change de valeur seulement quand Qi bascule de 1 à 0.

Q.8)

Montrer à l’aide de graphes que la fréquence f_i du signal de la borne Qi vaut _i f_i

f 2

= 0 .

Les montres électroniques font en réalité intervenir un oscillateur à quartz qui permet (c’est dû à la résonance très aigue du quartz) d’obtenir une fréquence fondamentale des oscillations comprise dans un intervalle très petit (une cinquantaine de Hz) au voisinage de ^f₀=32768Hz=2¹⁵Hz, soit un 1

0

<<

∆ f

f .

Ainsi, après division de la fréquence par 2¹⁵, on obtient une fréquence d’oscillations très proche de 1 Hz. Dans la plupart des montres à quartz, on ajuste une des capacités du montage pour avoir 1 Hz à 10⁻⁵ près (dérive maximale de 30 s par mois). Cette fréquence est très stable mais elle dépend légèrement de la température. Pour des applications plus pointues, les quartz sont compensés en température : une capacité varie en fonction de la température afin de maintenir la fréquence des oscillations constante.

1) Réaliser à l’aide d’un composant CD 4040 la division par 2¹² de la fréquence fournie par l’oscillateur à 2 inverseurs.

Mesurer la fréquence obtenue à l’oscilloscope numérique.

2) Pour terminer la réalisation d’une montre électronique, il faudrait rajouter un afficheur numérique. On se contente ici de faire clignoter une LED.

Matériel : résistance 1kΩ, une boîte de résistances

2 diodes 1N914 au silicium 1 capacité de 100nF 1 résistance de 1 MΩ porte Nand CD 4011

1 compteurs binaires CD 4040 1 LED

T.P 11

OSCILLATEURS COUPLÉS

Capacités exigibles :

• Mettre en œuvre deux oscillateurs couplés. Déterminer les fréquences propres du système, le facteur de couplage, visualiser des battements lorsque le couplage est faible.

La théorie générale des oscillateurs couplés n’est pas au programme. Ce T.P est donc l’unique occasion de mettre en équations et de résoudre le problème dans un cas simple où les symétries permettent une résolution rapide. La technique utilisée est à connaître.

Dans une première partie, on étudie le couplage électromagnétique entre deux bobines, qui est à la base du transformateur. Dans une deuxième partie à préparer avant le T.P, on analyse un système mécanique analogue : deux pendules pesants couplés par torsion. Après avoir regardé une vidéo du phénomène, il est demandé de mettre en équation le système et d’exploiter les résultats fournis d’une acquisition des positions des pendules.

Document 1 : Étude théorique des oscillateurs harmoniques couplés

On considère un système de deux oscillateurs harmoniques identiques. En l’absence de couplage, chaque oscillateur possède un degré de liberté (x₁ ou x₂) régi par l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique 0

d

d ₂

2 0 2

= ω

+ i

i x

t

x ; i=1,2.

0 0 0

2 2

f = Tπ π

=

ω est la pulsation propre des oscillations non amorties.

En présence d’un couplage linéaire, les équations différentielles régissant x₁ et x₂ sont couplées (dans notre étude par des

termes proportionnels aux dérivées d’ordre 2) :











−

= ω +

−

= ω +

(2) 2 2 1 2 2

2 0 2 2

(1) 2 2 2 1

2 2 0 2 1

d d d

d

d d d

d

t k x x t

x

t k x x t

x

.

Q.1)

On pose S=x₁+x₂ et D=x₁−x₂. Montrer que l’on peut dans ce cas simple découpler le système, c’est-à-dire obtenir un système de 2 équations différentielles, l’une en S, l’autre en D.

On pose

+k

= ω ω₊

1

0 et

−k

= ω ω₋

1

0 : montrer que les solutions s’écrivent





ϕ + ω

− ϕ + ω

=

ϕ + ω +

ϕ + ω

=

−

−

− + + +

−

−

− + + +

) cos(

) cos(

) cos(

) cos(

2 1

t A

t A

x

t A

t A

x .

Les constantes d’intégration A₊,A₋,ϕ₊,ϕ₋ sont déterminées à partir des conditions initiales x₁(0),x&₁(0),x₂(0),x&₂(0). ω+ correspond au mode propre symétrique (A₋ =0) où les deux oscillateurs vibrent en phase avec la même amplitude (

t x

x₁= ₂∀ ). ω₋ correspond au mode propre antisymétrique (A₊ =0) où les deux oscillateurs vibrent en opposition de phase avec la même amplitude (x₁=−x₂∀t).

Avec des conditions initiales quelconques, les oscillations sont des combinaisons linéaires des deux modes propres. Les périodes T+ et T₋ des modes propres étant en général incommensurables, ces oscillations ne sont pas périodiques.

On note le résultat très général correspondant à deux oscillateurs linéaires identiques de fréquence propre f₀ en l’absence de couplage : on a deux fréquences propres lorsque les oscillateurs sont couplés : f₊ < f₀ < f₋. Pour la fréquence basse f₊ les oscillateurs sont en phase et pour la fréquence haute f₋ les oscillateurs sont en opposition de phase. Pour N oscillateurs linéaires couplés apparaissent N modes propres.

Q.2)

Lorsque le couplage est faible (k petit), les pulsations propres se rapprochent. Pour k<<1, on peut faire l’approximation 2ω ≈ω0

+ ω_{+ −}

; 1 2 2

2 1 2

1 2 2 1 2 2

0 0

0 0

0 ω

≈



 



 −

−ω



 



 +

≈ ω +

− ω

−

= ω ω

− ω_{− +}

k k k

k k

.

On suppose que les conditions initiales sont telles que A₊ =A₋ =A et ϕ₊ =ϕ₋ =0, montrer que l’on a alors :

( )



( )

















 ω

ω

=







 ω

ω

=

k t t A x

k t t A x

sin 2 sin

2

cos 2 cos

2

0 0 2

0 0

1

.

Comme ⁰ ₀ 2 <<ω ω

k , on est alors en présence de battements : les courbes représentatives des fonctions

















 ω

±

=







 ω

±

=

k t A X

k t A X

sin 2 2

cos 2 2

2 0 1 0

qui varient lentement par rapport à

( ) ( )



 ω

ω t

t

0 0

sin

cos sont des enveloppes respectivement pour les courbes représentatives de x₁(t) et

)

2(t

x . La période des battements est égale à la moitié de la période des enveloppes, soit

k T_bat =T⁰ .

Q.3)

Tracer l’une en dessous de l’autre les courbes x₁(t) et x₂(t). On y fera apparaître les enveloppes, la période T₀ ainsi que celle des battements T_bat.

1. CIRCUITS OSCILLANTS COUPLÉS PAR MUTUELLE INDUCTION

Document 2 : Inductance mutuelle

Soient deux bobines indéformables X et ₁ X parcourues respectivement ₂ par des courants I₁ et I₂. Le courant I₁ dans X crée en tout point N de ₁ l’espace un champ magnétique B₁(N)

r proportionnel à I₁. De même le courant I₂ dans X₂ crée en tout point N de l’espace un champ magnétique B₂(N)

r proportionnel à I₂. Soit alors φ₁ le flux magnétique à travers X₁, on peut toujours écrire :

2 1 1 1 =L I +MI

φ ^{avec Φ =}



^⋅

C1

1 ( ) d2S

r r

N

B et B(N) B₁(N) B₂(N) r r

r = + ^.

— L₁I₁ =φ₁₁ est le flux propre de B₁

r à travers X₁ ; L₁ est l’auto- inductance de X₁ ; c’est une constante positive.

— MI₂ =φ₁₂ est le flux « de mutuelle induction » de B₂

r à travers X₁ ; M est le coefficient de mutuelle induction entre X₁ et X₂.

À la différence de L₁, M n’est pas constante ; elle dépend de la position relative de X₂ par rapport à X₁, elle peut être positive, négative, voire même nulle.

De la même façon, on peut écrire le flux du champ magnétique à travers X2 : φ₂ =L₂I₂+MI₁, où M à la même valeur que précédemment.

On peut montrer que l’on a L₁L₂ ≥M². En cas d’égalité, on parle de couplage parfait. On définit de manière générale le facteur de couplage par

2 1L L

k= M : 0≤k≤1.

Si les courants dans les bobines varient, il apparaît des f.e.m d’induction dans chaque bobine. Dans X₁, il apparaît la f.e.m : t

M i t L i t t

e d

d d d d

) d

( ¹ ₁ ^{1 2}

1 φ =− −

−

= , et si sa résistance est r₁, il apparaît une tension u₁ à ses bornes :

On a en convention récepteur

t M i t L i i r t e t i r t

u d

d d ) d

( ) ( )

( _{11 1 11 1} ^{1 2}

1 = − = + + .

De même, il apparaît dans X₂ la f.e.m :

t M i t L i t t

e d

d d d d

) d

( ² ₂ ^{2 1}

2 φ =− −

−

= , et , toujours en convention récepteur, la tension à ses bornes

t M i t L i i r t e t i r t

u d

d d

) d ( ) ( )

( _{2 2 2 2 2 2} ^{2 1}

2 = − = + +