1.1 Multiplication de deux fonctions de x

Rappel mathématique - Microéconomie 3-851-84

Benoit Dostie 20 août 2002

1 Quelques rappels sur les dérivés

Une bonne compréhension des dérivés et des différentielles est préalable à la résolution des problèmes d’optimisation que nous verrons dans le cadre de ce cours.

1.1 Multiplication de deux fonctions de x

d

dx(u·v) =udv dx+vdu

dx

Exemple 1 Calculez la dérivée de u·v siu=x² et v= 2x+y: d

dx(x²·(2x+y)) = x²· d

dx(2x+y) + (2x+y)· d dx(x²)

= x²·2 + (2x+y)·2x

= 6x²+ 2xy

Exemple 2 Calculez _dx^{d u}_v siu=x² et v= 2x+y : d

dx u

v = d

dx(u·v⁻¹)

= u·dv⁻¹

dx +v⁻¹·du dx

= x²·(−1)(2)(2x+y)⁻²+ (2x+y)⁻¹·(2x)

= −2x²

(2x+y)²+ 2x (2x+y)

= 2x²+ 2xy (2x+y)²

1.2 Règle de chaîne

d

dx[f(u)] = d

du[f(u)]·du dx

Exemple 3 Calculez _dx^df(u)sif(u) =u² et u= 2x+y δ

δx[(2x+y)²] = 2(2x+y)·2

= 4(2x+y)

La fonctionf(u)est dite composite car elle composée de deux fonctions (les fontionsf(u)etu(x)). Ces fonctions surviennent naturellement dans les modèles dynamiques. Par exemple, supposez que la demandexpour un bien dépend de son prixppar la fonction F : x= F(p)et que ce prix varie dans le temps, à cause de facteurs saisonniers par exemple, de la façon suivantep=p(t). Alors la demande variera aussi dans le temps par la fonction compositeF(p(t)).

2 Différentielle Totale

DéÞnition 4 Soity =f(x),alors dy=f⁰(x)dxou ^dy_dx =f⁰(x)est la différen- tielle totale.dy est une approximation au ’vrai’ changement de la variabley qui est égale àf(x+4x)−f(x).

Les économistes préfèrent utiliser la différentielle totale comme mesure du changement dans y car il est plus facile de travailler avec un terme (f⁰(x)) plutôt qu’une différence de termes (f(x+4x)−f(x)). On évite aussi d’avoir à prendre une décision quand à l’unité de mesure dex. Évidemment, plus la variationdx est petite, meilleur est l’approximationdy=4y.

Exemple 5 Supposez une fonction de production y = f(x) = ¹₂√

x où x est le nombre de travailleurs et y le nombre d’unités produites. Présentement, la Þrme emploi 100 personnes. Donc la production de la Þrme est de cinq unités (¹₂·10). Si laÞrme embauche un travailleur supplémentaire, alors sa production augmentera de 0.02494 = ¹₂√

101−5. Vous pouvez constater que même pour dx = 1, l’approximation qui nous est donnée par la différentielles totale de la fonction F(x) :

dy = 1

4·√ xdx

= 1

4·√ 100

= 0.025

est relativement bonne. Notez qu’ici, on peut interprétez f⁰(x) comme étant la productivité marginale du travail.

3 Fonctions concaves, quasi concaves, convexes

et quasi convexes

Les théories du consommateur et du producteur que nous allons étudier font références à des fonctions d’utilité et de production sur lesquelles certaines hypothèses sont faîtes. Ces hypothèses reposent, entre autres, sur les notions de concavité et de convexité des fonctions.

DéÞnition 6 Une fonctionf(x)est dite convexe sur un intervaleI si et seule- ment si

f(((1−λ)a+λb)≤(1−λ)f(a) +λf(b)

pour tout a, b ∈ I et tout t ∈ [0,1]. De façon similaire, une fonction est dite concave si et seulement si

f(((1−λ)a+λb)≥(1−λ)f(a) +λf(b)

pour touta, b∈I et tout t∈[0,1]. On parle de fonctions strictement concaves et strictement convexes lorsque les inégalités ci-dessus sont strictes.

DéÞnition 7 Une fonctionf(x)est dite quasiconvexe si, pour tous pointsx₁, x₂ de son domaine, on a

f(x1)≤f(x2)→f(λx1+ (1−λ)x2)≤f(x2)

Similairement, une fonctionf(x)est dite quasiconvave si, pour tous pointsx1, x2

de son domaine, on a

f(x1)≤f(x2)→f(λx1+ (1−λ)x2)≥f(x1)

Remarque 8 Une fonction concave (convexe) est aussi une fonction quasicon- cave (quasiconvexe) mais l’inverse n’est pas nécessairement vrai.

Remarque 9 Attention de ne pas confondre la notion de convexité d’une fonc- tion avec celle de la convexité d’un ensemble. Un ensembleU est dit convexe si pour chaquex1 et x2 inclut dansU, le segment reliantx1 à x2 :

l(x1, x2)≡{tx1+ (1−t)x2: 0≤t≤1} est aussi inclut dans l’ensembleU.

DéÞnition 10 Une fonction est dite quasiconcave si l’ensemble des points pour lesquels la fonction prend une valeur plus grande ou égale à une une valeur arbitraire constitue ensemble convexe.

4 Formes quadratiques

Il existe plusieurs raisons d’étudier les fonctions quadratiques. Les fonctions quadratiques sont les fonctions les plus simples après les fonctions linéaires.

Comme ces dernières, on peut aussi les écrire de façon matricielle. De plus, les

conditions de second ordre pour distinguer un maximum d’un minimum sont typiquement écrites sous formes quadratique. En effet, on peut déterminer si une fonction est convexe ou concave grâce au comportement de la forme quadratique associée à sa matrice hessienne ( i.e. la matrice des dérivées secondes de la fonc- tion). Finalement, plusieurs problèmes d’optimisation économique ont comme fonction objective une forme quadratique, tels les problèmes de minimisation de risque enÞnance, où le risque est mesuré par la variance (quadratique) des rendements.

DéÞnition 11 Une fonction f :R^k →R¹ est dîte monomiale si elle peut être écrite de la façon suivante :

f(x1, ..., xk) =cx^a₁¹x^a₂²· · ·x^a_k^k

oùc est un scalaire et les exposantsa₁,...,a_k sont des entiers non-négatifs. La somme des exposantsa₁+...+a_k est appellé le degré du monomial.

DéÞnition 12 Une forme quadratique est une fonction de nvariables qui peut être écrite

y=f(x) = Xn

i

Xn

i

aijxixj

où chaque terme est monomial d’order 2 et lesaij sont des constantes. En terme de matrices, la forme quadratique s’écrit :

y = [x1, ..., xi, ..., xn]A







 x1

...

xj

...

xn









= x⁰Ax

oùAest une matricesymmétriquen×n.

Exemple 13 Soitf(x1, x2, x3) =x²₁+x1x2+4x1x3+2x²₃, alors on peut écrire :

y=f(x₁, x₂, x₃) = [x₁, x₂, x₃]



 1 0.5 2 0.5 0 0

2 0 2







 x₁ x₂ x₃





DéÞnition 14 Une forme quadratiquex⁰Axest dite déÞnie positive six⁰Ax>

0,∀x6= 0.

DéÞnition 15 Une forme quadratique x⁰Ax est dite semi-déÞnie positive si x⁰Ax≥0,∀x6= 0

DéÞnition 16 Une forme quadratiquex⁰Axest dite déÞnie négative six⁰Ax<

0,∀x6= 0

DéÞnition 17 Une forme quadratique x⁰Ax est dite semi-déÞnie négative si x⁰Ax≤0,∀x6= 0

Remarque 18 Une matrice déÞnie positive (négative) est automatiquement semi-déÞnie positive (négative).

DéÞnition 19 Soit une matriceA n×n. La sous-matrice obtenue à partir de Aen enlevant n−k colonnes et lesmêmes n−k rangées de est appelée sous- matrice principale d’ordrek. Le déterminant de la sous-matrice principalek×k est appelé principal mineur deAd’ordre k.

Théorème 20 Une forme quadratiquex⁰Axest déÞnie positive si et seulement si tous les principaux mineurs successifs de la matriceAsont positifs.

Exemple 21 Soit la matriceA 3×3suivante



 a11 a12 a13

a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃





Les déterminants des principaux mineurs successifs de A sont

A₁=a₁₁, A₂=¯¯¯¯ a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂

¯¯¯

¯, A₃=

¯¯¯

¯¯

¯

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

¯¯¯

¯¯

¯

Donc la forme quadratiquex⁰Axest déÞnie positive si chacun de ces trois déter- minants est positifs.

Exemple 22 Soit la matriceA 3×3suivante



 2 1 2 1 3 0 2 0 5





Les déterminants des principaux mineurs successifs de A sont

2>0 ,

¯¯¯

¯ 2 1

1 3

¯¯¯

¯= 5>0,

¯¯

¯¯¯

¯

2 1 2 1 3 0 2 0 5

¯¯

¯¯¯

¯= 13>0 Donc la forme quadratiquex⁰Ax est déÞnie positive.

Cependant, pour déterminer si une forme quadratique est semi-déÞnie pos- itive, il ne suffit pas que les principaux mineurs successifs soient non négatifs (i.e. ≥ 0). Il faut que tous les mineurs principaux soient non-négatifs, ce qui implique le calcul de plusieurs déterminants.

Théorème 23 Une forme quadratiquex⁰Axest déÞnie négative si et seulement si tous les principaux mineurs successifs de la matrice A sont successivement négatifs et positifs de la façon suivante :

|A₁|<0, |A₂|>0, |A₃|<0, etc.

.

Théorème 24 Une fonctionf(x1, ..., xn)est convexe si et seulement si sa ma- trice hessienne H(x) (ou la forme quadratique associéex⁰Hx) est semi-déÞnie positive. Six⁰Hx est déÞnie positive,f(x1, ..., xn)est strictement convexe. De la même manière, six⁰Hxest semi-déÞnie négative, la fonctionf(x1, ..., xn)est concave (et strictement concave six⁰Hx est déÞnie négative).

Exemple 25 Soitf(x1, x2) =x²₁+ 2x1x2+ 3x²₂ , alors nous avons

δf(x1,x2)

δx1 = 2x1+ 2x2 δf(x1,x2)

δx2 = 2x1+ 6x2 δ²f(x1,x2)

δx²₁ = 2 ^δf(x_δx^1,x2)

1x2 = 2

δf(x1,x2)

δx2x1 = 2 ^δ2f(x_δx¹2^,x2) 2

= 6 donc

H(x) =

· 2 2

2 6

¸

or ¯¯¯¯ 2 2

2 6

¯¯¯

¯= 8>0et2>0

doncx⁰Hxest déÞnie positive etf(x₁, x₂)est une fonction strictement convexe.

5 Fonctions homogènes

Les fonctions homogènes apparaissent naturellement en économie. Les fonc- tion des proÞts et de coûts dérivées des fonctions de productions, et les fonctions de demande qui sont dérivées des fonctions d’utilité sont automatiquement ho- mogènes dans les modèles économique standards.

DéÞnition 26 Pour n’importe qu’elle scalairer, on dit que la fonctionf(x₁, ..., x_n) est homogène de degréksi et seulement si

f(rx1, ..., rxn) =r^kf(x1, ..., xn)

Exemple 27 La fonctionx²₁x2+ 3x1x²₂+x³₂ est homogène de degré 3 car x²₁x2+ 3x1x²₂+x³₂ = (tx1)²tx2+ 3tx1(tx2)²+ (tx2)³

= t²x²₁tx₂+ 3tx₁t²x²₂+t³x³₂

= t³(x²₁x2+ 3x1x²₂+x³₂)

Exemple 28 Supposez une fonction de production y=f(x₁, x₂) homogène de degré1ou

t·f(x₁, x₂) =f(tx₁, tx₂)

Pour t= 2, cela implique qu’en doublant la quantité utilisée des intrantsx₁ et x₂, on obtient le double de la production initiale. Similairement, en triplant la quantité d’intrants utilisée, on triple la production. Une fonction de production qui possède cette propriété est dite à rendements d’échelle constant.

Théorème 29 (Théorème d’Euler) Soitf(x) une fonction homogène de degré r. Alors, pour chaquex, on a que

x1

∂f δx1

(x) +...+xn

∂f δxn

(x)≡rf(x)