Lycée Joubert/Ancenis 2016/2017

(1)

Fonctions Affines / Exercices d’entrainement Correction 1

FA1

Corrigé Entraînement n°1

1) f1 (x) = −3x² Non affine, à cause de la

présence d’un terme en x² g1 Affine h1 Affine linéaire i1 (x) = 3 + 1

7 x Affine

j1 (x) = 2x² – 7

Non affine, à cause de la présence d’un terme en x²

k1 (x) = −4 Affine constante

l1 (x) = −5×1

x Non affine, à cause de la présence d’un terme en 1

x

m1 (x) = x² +x −2

2) h2 (x) = 5x – 3 +6x = 11x − 3

i2 (x) = − 1 3 x

Fonction f2 g2 h2 i2 j2

Coefficient directeur −3 0 11 − 1

3 1

Ordonnée à l’origine 2 7 −3 0 5

Corrigé Entraînement n°2

1) f3 Affine

g3 (x) = 1 + 2×1

x Non affine, à cause de la présence d’un terme en 1

x

h3 Affine i3 (x) = x² −x – x² = −x Affine linéaire

j3 Affine constante k3 (x) = – 1 3 x + 1 Affine

l3 Non affine, à cause de la présence d’un terme en x²

m3 (x) = 6x²

2) h4 (x) = 3

11×x j4 (x) = 4x – 4 + 7x = 11x − 4

Coefficient directeur 7 1 3

11 0 11

Ordonnée à l’origine −3 2 0 −6 −4

Niveau : Seconde

Fonctions Affines / Entrainement

Lycée Joubert/Ancenis

2016/2017

(2)

Corrigé Entraînement n°3

1) f5 Affine g5 (x) = 2 + 1

11 x Affine h5 (x) = x² −2x² +3x + 1 = −x² +3x +1 Non affine

i5 Affine constante

j5 (x) = −21x² Non affine k5 (x) = 10× 1

x Non affine l5 Affine m5 Non affine

2) i6 (x) = 14 21 x + 3

21 x – 3 = 17

21 x − 3 j6 (x) = 3 11 x

Coefficient directeur 1 −2 0 17

21

3 11

Ordonnée à l’origine 7 5 sin(20°) −3 0

Corrigé Entraînement n°4

1)

Courbe C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8

Nature Non

affine Affine Affine Linéaire Constante

ce n’est pas une fonction

Linéaire Affine

2)

Courbe C9 C10 C11 C12 C13 C14 C15 C16

Nature Affine Constante Affine Non

affine Linéaire Affine

Ce n’est pas une fonction

Linéaire

3)

Courbe C17 C18 C19 C20 C21 C22 C23 C24

Nature Linéaire Affine Non

affine Affine Non affine

* Affine Constante

f(x) = 0 Linéaire

* à cause de l’interruption dans la droite, une fonction affine est définie sur l’ensemble de tous les réels ℝ

FA2

Corrigé Entraînement n°1

1) f1 : a = − 3

1 et g1 : a = 2

7 Le dessin n’est pas à l’échelle

(3)

Fonctions Affines / Exercices d’entrainement Correction 3

2) i1 : a = 10

1 = 50

5 par exemple (pour tracer de façon plus précise, avec une échelle en y qui va de 50 en 50) L’inclinaison de la droite Ci dépend des unités choisies : vérifie qu’elle passe par le point (5 ; 50)

Corrigé Entraînement n°2

1) f2 :a = 4

1 et g2 : a = −7 6 2) i2 : a = −1

3 L’inclinaison de Ci dépend des unités choisies… vérifiez qu’elle passe par le point (3 ; −1)

0 1

1

x y

C

f

C

g

 x = 7

 y = 2

 x = 1

 y = −3

0 1

50

x y

C

h

C

i

 y = 50

 x = 5

0 1

1

C

f

C

g

 y = −7

 y = 4  x = 1

 x = 6

0 ₁

1

C

i

C

h

0,2

 x = 3

 y = −1

(4)

Corrigé Entraînement n°3

1) f3 : a = −1 1 (= −5

5 par exemple) et g3(x) = 0,7 x + 3 : a = 0,7 1 = 7

10 2) i3 :a = −20

1 = −100

5 (Pour le repère gradué de 100 en 100, on a besoin d’un y multiple de 100) L’inclinaison de la droite Ci dépend des unités choisies : vérifie qu’elle passe par le point (5 ; −100)

FA3

Corrigé Entraînement n°1

1)

Fonction f g h i j

Coefficient

directeur − 1

3 2 − 3

2 0 −4

(unités) Ordonnée à

l’origine 1 −1 0 −3 4

Expression

littérale f(x) = − x

3 + 1 g(x) = 2x − 1 h(x) = − 3x

2 i(x) = −3 j(x) = −4x + 4

0 1

1

C

f

C

g

 y = −5

 x = 5

 x = 10

 y = 7

0 ₁

1 000

C

i

C

h

100

(5)

Fonctions Affines / Exercices d’entrainement Correction 5

Corrigé Entraînement n°2

1)

Coefficient directeur

1

2 −4 0 − 1

2 (unités) 8 (unités) Ordonnée à

l’origine 0 −3 27

(unités) 2,5 = 5

2 (unités) 16 (unités) Expression

littérale f(x) = x

2 g(x) = −4x −3 h(x) = 27 i(x) = − x

2 + 5

2 j(x) = 8x + 16

Corrigé Entraînement n°3

1)

Coefficient

directeur − 1

4 3 − 2

5 4 (unités) − 1

5 Ordonnée à

l’origine 5 6 (il faut

prolonger) 0 −5 (unités) 4

Expression

littérale f(x) = − x

4 + 5 g(x) = 3x + 6 h(x) = − 2x

5 i(x) = 4x − 5 j(x) = − x

5 + 4

FA4

Corrigé Entraînement n°1

1) f1 : a = −3 < 0

le coefficient directeur est négatif, la fonction est décroissante

g1 : a = 0

le coefficient directeur est nul, la fonction est constante

h1 : a = 1 > 0

le coefficient directeur est positif, la fonction est croissante

2) a = 2 donc croissante a = − 4

5 donc décroissante a = 0 donc constante

x −∞ ₊∞ _x ₋∞ ₊∞ _x ₋∞ ₊∞

i1 (x) k1 (x) l1 (x)

Corrigé Entraînement n°2

1) f2 : a = 7 > 0

g2 : a = 0

h2 : a = −10 < 0

– +

−²

3 −²

3

(6)

2) a = −8 donc décroissante a = 0 donc constante a = 2 donc croissante

x −∞ +∞ x −∞ +∞ x −∞ +∞

i1 (x) k1 (x) l1 (x)

Corrigé Entraînement n°3

1) f3 : a = −1 < 0

g3 : a = 6 > 0

h3 : a = 0

2) a = 0 donc constante a = − 1

6 donc décroissante a = 1 donc croissante

x −∞ +∞ x −∞ +∞ x −∞ +∞

i1 (x)

k1 (x) l1 (x)

FA5

Corrigé Entraînement n°1

a = 2 donc croissante −↗+ a = 0 donc constante a = 1 donc croissante −↗+ 2x − 20 = 0 ⇔ x = 20

2 = 10 du signe de b donc positif x + 3 = 0 ⇔ x = − 3

x −∞ ₁₀ ₊∞ _x ₋∞ ₊∞ _x ₋∞ ₋₃ ₊∞

f1 (x)

− 0 +

^g¹^(x)

+

^h¹^(x)

− 0 +

a = −8 donc décroissante +↘− a = −3 donc décroissante +↘− a = 1

7 donc croissante −↗+

−8x = 0 ⇔_{x = 0}⇒ Linéaire 5 −3x = 0 ⇔_{x =}⁻⁵

−3 = 5 3

x

7 = 0 ⇔ x = 0 ⇒ linéaire

x −∞ 0 +∞ x −∞ ⁵

3 +∞ x −∞ 0 +∞

j1 (x)

+ 0 −

^k¹^(x)

+ 0 −

^l¹^(x)

− 0 +

–

– –

–

+ +

2 + √3 _{2 + √3}

–1 –1

(7)

Fonctions Affines / Exercices d’entrainement Correction 7

Corrigé Entraînement n°2

a = −1 donc décroissante +↘− a = 7 donc croissante −↗+ a = −3 donc décroissante +↘−

−x + 3 = 0 ⇔ x = 3 7x + 21 = 0 ⇔ x = −21

7 = −3 −1 −3x = 0 ⇔ x = 1

−3

x −∞ ₃ ₊∞ _x ₋∞ ₋₃ ₊∞ _x ₋∞ ₋¹

3 +∞

f1 (x)

+ 0 −

^g¹^(x)

− 0 +

^h¹^(x)

+ 0 −

a = 0 donc constante a = 120 donc croissante −↗+ a = 4

9 donc croissante −↗+ du signe de b donc négatif 120x = 0 ⇔ x = 0 ⇒ Linéaire 4

9 x = 0 ⇔ x = 0 ⇒ Linéaire

x −∞ +∞ x −∞ 0 +∞ x −∞ 0 +∞

j1 (x)

−

^k¹^(x)

− 0 +

^l¹^(x)

− 0 +

Corrigé Entraînement n°3

a = 0 donc constante a = 1 donc croissante −↗+ a = −9 donc décroissante +↘ di signe de b donc négatif 3 + x = 0 ⇔ x = − 3 −9x = 0 ⇔ x = 0 ⇒ Linéaire

x −∞ +∞ x −∞ _{− 3} +∞ x −∞ 0 +∞

f1 (x)

−

^g¹^(x)

− 0 +

^h¹^(x)

+ 0 −

a = 1

6 donc croissante −↗+ a = −2 donc décroissante +↘ a = 5 donc croissante −↗+ x

6 = 0 ⇔ x = 0 ⇒ Linéaire – 2x = 0 ⇔ x = −

−2 = 

2 5x − 10 = 0 ⇔ x = 10 5 = 2

x −∞ ₀ ₊∞ _x ₋∞ ^

2 +∞ _x ₋∞ ₂ ₊∞

j1 (x)

− 0 +

^k¹^(x)

+ 0 −

^l¹^(x)

− 0 +

(8)

FA6

Corrigé Entraînement n°1

1) a) 𝑎 =  y

 x = 11 – (−7) −2 − 4 = 18

−6 = −3 ⇒ On a pour l’instant f(x) = −3x + b b) On a

𝑏 = 𝑦₁− 𝑎𝑥₁

= −7 + 12 = 5

c) On a finalement f(x) = −3x + 5

2) g(−3) = 8 et g(−3) = a×(−3) On en déduit l’équation −3a = 8 ⇔ a = − 8 3 Donc on a g(x) = − 8x

3 Corrigé Entraînement n°2

1) a) 𝑎 =  y

 x = −5 −1

−6 −3 = −6

−9 = 2

3 ⇒ On a pour l’instant h(x) = 2 3 x + b

b) On a aussi

𝑏 = 𝑦₁− 𝑎𝑥₁

= 1 − 2 = −1 c) On a finalement h(x) = 2

3 x − 1

2) i(4) = −52 et i(4) = a×4 On en déduit l’équation 4a = −52 ⇔ a = − 52

4 = −13 Donc on a i(x) = −13x

Corrigé Entraînement n°3

1) a) 𝑎 =  y

 x = 10 – (−5) −8 − 4 = 15

−12 = − 5

4 ⇒ On a pour l’instant k(x) = − 5 4 x + b

b) On a aussi

𝑏 = 𝑦₁− 𝑎𝑥₁

= −5 + 5 = 0 c) On a finalement k(x) = − 5

4 x ⇒ C’est une fonction linéaire ! 2) A : m(−1) = 8 et B : m(2) = 5 ⇒ 𝑎 =  y

 x = 8 – 5

−1 −2 = 3

−3 = − 1 ⇒ m(x) = − x + b

Avec b = 5 + 2 = 7 ⇒ Donc on a m(x) = − x + 7

(9)

Fonctions Affines / Exercices d’entrainement Correction 9

FA7

Corrigé Entraînement n°1

a) Fonction f :

 𝑥 = 0 ⇒ 𝑓(0) = 𝑏 = −7 Donc le point d’intersection avec l’axe des ordonnées est M1(0 ; −7)

 𝑦 = 0 ⇒ 𝑓(𝑥) = 0 ⇒ 3𝑥 − 7 = 0 ⇒ 𝑥 =⁷

3

Donc le point d’intersection avec l’axe des abscisses est M2 (7 3 ; 0) Fonction g :

 𝑥 = 0 ⇒ 𝑔(0) = 3  point d’intersection avec l’axe des ordonnées N1(0 ; 3)

 𝑦 = 0 ⇒ x

5 + 3 = 0 ⇔ x

5 = −3 ⇔ x = −3×5 = −15

⇒ point d’intersection avec l’axe des abscisses N2 (−15 ; 0)

b) f(x) = g(x) ⇔ 3x – 7 = x

5 + 3 ⇔ 3x − x

5 = 3 + 7 ⇔ 15x 5 − x

5 = 10 ⇔ 14x

5 = 10 ⇔ x = 50 14 = 25

7 On calcule pour l’une des deux fonctions (la plus simple) l’image de 25

7 : f ( 25

7 ) = 3× 25

7 − 7 = 75 7 − 49

7 = 26 7

⇒ Le point d’intersection des deux droites représentant les fonctions f et g a pour coordonnées A (25 7 ; 26

7 )

Corrigé Entraînement n°2

a) h : 𝑥 = 0 ⇒ ℎ(0) = 11 point d’intersection avec l’axe des ordonnées M1(0 ; 11) 𝑦 = 0 ⇒ 11 −4x = 0 ⇔_{x =}¹¹

4 ⇒ point d’intersection avec l’axe des abscisses M2 (11 4 ; 0)

i : 𝑥 = 0 ⇒ 𝑖(0) =¹⁰₃ point d’intersection avec l’axe des ordonnées N1 (0 ; 10 3) 𝑦 = 0 ⇒ 10 + 2x

3 = 0 ⇔ 10 + 2x = 0 ⇔ x = − 10

2 = − 5

⇒ point d’intersection avec l’axe des abscisses N2 (− 5 ; 0)

(10)

b) h(x) = i(x) ⇔ 11 – 4x = 10 + 2x

3 ⇔ 33 – 12x = 10 + 2x ⇔ − 14x = −23 ⇔ x = 23 14 On calcule pour l’une des deux fonctions (la plus simple) l’image de 23

14 : h ( 23

14 ) = 11 – 4×23 14 = 154

14 – 92 14 = 62

14 = 31 7

⇒ Le point d’intersection des deux droites représentant les fonctions h et i a pour coordonnées C (23 14 ; 31

7 )

Corrigé Entraînement n°3

a) k : 𝑥 = 0 ⇒ 𝑘(0) = 6 point d’intersection avec l’axe des ordonnées M1(0 ; 6)

𝑦 = 0 ⇒ −x + 6 = 0 ⇔ x = 6 ⇒ point d’intersection avec l’axe des abscisses M2 (6 ; 0)

m : 𝑥 = 0 ⇒ 𝑚(0) = −2 point d’intersection avec l’axe des ordonnées N1(0 ; −2) 𝑦 = 0 ⇒ 5

3 x −2 = 0 ⇔ x = 2 ÷ 5 3 = 2 × 3

5 ⇔ x = 6 5

⇒ point d’intersection avec l’axe des abscisses N2 (6 5 ; 0)

b) k(x) = m(x) ⇔ −x + 6 = 5

3 x −2 ⇔ − 3x 3 −5x

3 = −2 −6 ⇔ − 8x

3 = −8 ⇔ x = 3 On calcule pour l’une des deux fonctions (la plus simple) l’image de 3 :

k ( 3 ) = −(3) + 6 = 3

⇒ Le point d’intersection des deux droites représentant les fonctions k et m a pour coordonnées B (3 ; 3 )

FA8

Corrigé Entraînement n°1

a) Le bénéfice se calcule en enlevant le prix de revient des ingrédients (12€) à la recette :

Pour 25 crêpes vendues : 0,70  25 – 12 = 5,50€ (le bénéfice est positif car Sophie gagne de l’agent !) Pour 5 crêpes vendues : 0,70  5 – 12 = -8,50€ (le bénéfice est négatif car Sophie perd de l’agent !) b) En appelant x le nombre de crêpes vendues et f(x) le bénéfice on a :

f(x) = 0,70  x – 12 soit f(x) = 0,7x – 12

f est une fonction affine avec a = 0,7 et b = -12

(11)

Fonctions Affines / Exercices d’entrainement Correction 11

c) pour tracer la représentation de f, il est judicieux de calculer les images pour les 2 valeurs extrêmes 0 et 50.

Les échelles peuvent alors être choisies en fonction des résultats trouvés.

f(0) = 0,70  0 – 12 = -12 et f(50) =0,70  50 – 12 = 23

d) Pour x  17 on a f(x) = 0. On a alors le tableau de signe :

x 0 17 50

f(x)

− 0 +

Ce tableau de signe donne les informations suivantes à Sophie :

Elle réalisera un bénéfice si elle vend plus de 17 crêpes. Elle perdra de l’argent dans le cas contraire.

Remarque : on peut retrouver une valeur plus précise de l’antécédent de 0 en résolvant l’équation f(x) = 0 f(x) = 0  0,7X – 12 = 0

f(x) = 0  0,7X = 12 f(x) = 0  x = ¹²

0,7  17, 1

Comme x doit être un entier, Sophie réalisera donc un bénéfice si et seulement si elle vend plus de 17 crêpes.

Corrigé Entraînement n°2

Utilise des notations : Par exemple Soit x le nombre de km parcouru.

f(x) le prix à payer avec la formule A et g(x) le prix à payer avec la formule B.

Met le problème en équation : On veut que l’agence B soit la plus avantageuse que l’agence A. Cela se traduit par une inéquation : g(x) < f(x) (le prix à payer avec la formule B est plus petit que le prix à payer avec la formule A) Avec f(x) = 100 + 0,2x et g(x) = 150 + 0,15x on a alors : 150 + 0,15x < 100 + 0,15x

0 5

2

y = f(x) = 0,7x - 12

(12)

Résoudre l’inéquation : Donc 150 + 0,15x < 100 + 0,15x  0,15x – 0,20x < 100 – 150 150 + 0,15x < 100 + 0,15x  -0,05x < -50

150 + 0,15x < 100 + 0,15x  x > ⁻⁵⁰

−0,05 150 + 0,15x < 100 + 0,15x  x > 1000

Rédige une conclusion : La formule B est plus avantageuse pour des distances supérieures à 1000 km.