Annexe du chapitre 6: Fonctions trigonométriques

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FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES I

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Annexe du chapitre 6: Fonctions trigonométriques

A.1 Limites de fonctions trigonométriques

Théorème des deux gendarmes

Le théorème suivant implique 3 fonctions f, g et h dont l’une f est "prise en sandwich" entre les deux autres. Si g et h ont la même limite lorsque x tend vers a, alors f doit avoir cette même limite. Ainsi :

• soit l'intervalle ]b ; c[ contenant a;

• soit h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) pour tout x ∈ ]b ; c[ \ {a}.

Si lim

x→ag(x)=lim

x→ah(x)=L, alors lim

x→af(x)=L

On acceptera ce théorème sans preuve

Exercice A6.1 :

Soit f une fonction telle que pour tout x on ait x²+x−3≤ f(x)≤2x² −3x+1 . a) Déterminer lim

x→2 f(x)

b) Qu’en est-il si x²+x−3≤ f(x)≤2x²−3x+3

Remarque : Le théorème des deux gendarmes est un outil très souvent utilisé pour calculer des limites pour des fonctions trigonométriques. Observons ceci sur un exemple :

Exemple : À l’aide du théorème des deux gendarmes, montrer que lim

x→0 x⋅sin⎛ ¹_x

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ =0.

x y

y = f(x) y = g(x)

y = h(x)

a L

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II ANNEXE CHAPITRE 6 Exercice A6.2 :

Utiliser le théorème des deux gendarmes pour calculer lim

x→0 x²⋅sin ¹

x²

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Indications : -1 ≤ sin(angle) ≤ 1, puis constater que x²⋅sin 1 x²

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ est comprise entre deux paraboles.

Exercice A6.3 :

On considère le quart de cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.

• En comparant les aires des triangles OIM et OIT avec celle du secteur circulaire OIM, montrer que :

sin(x) ≤ x ≤ tan(x) si 0 < x < π/2

• En déduire que : cos(x) ≤ sin(x) x ≤ 1

• Puis montrer que lim

x→0⁺

sin(x) x

• Comment adapter cette preuve pour le calcul de lim

x→0⁻

sin(x) x ^? Exercice A6.3 bis :

Que devient le raisonnement précédent si l’angle x est en degré et alors que vaut lim

x→0°

sin(x) x ? Exercice A6.4 :

Sachant que lim

x→0

sin(x)

x =1, en déduire les limites suivantes :

a) lim

x→0

sin(2x)

x b) lim

x→0

sin(3x)

sin(2x) c) lim

x→0

tan(x)

x d) lim

x→a

2sin ^x⁻^a

2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ x−a

Exercice A6.5 :

Calculer, si elles existent, les limites suivantes : a) lim

x→0

cos(x)

x b) lim

x→0

1−cos²(x)

x⋅tan(x) c) lim

x→0

1−cos(x) sin(x)

( )

²

Exercice A6.6 :

En amplifiant les fractions par 1 + cos(x), montrer que a) lim

x→0

1−cos(x)

x =0 b) lim

x→0

1−cos(x) x² =1

2

Exercice A6.7 :

Utiliser le théorème des deux gendarmes pour calculer : a) lim

x→+∞

sin(x)

x b) lim

x→+∞e⁻^x⋅sin(x) c) lim

x→+∞

2x+cos(x) x+1

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FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES III

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A.2 Les preuves des règles de dérivation des fonctions trigonométriques

Les règles de dérivation des fonctions trigo :

8^ème règle : Si f(x)=sin(x) ⇒ ………..

9^ème règle : Si f(x)=cos(x) ⇒ ………..

10^ème règle : Si f(x)=tan(x) ⇒ ………..

ou ………..

Exercice A6.8: Voici la preuve de la 8^ème règle ci-dessus qu’il s’agit de compléter

•

f ′ (a) = lim

x→a

f (x) − ...

... − ... = lim

x→a

... − ...

Truc : on utilise la formule de soustraction d’angle (Formulaire page 31)

f ′ (a)

=

lim

x→a

2 ⋅ cos ...

...

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ⋅ sin ...

...

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ x − a

⁼

lim

x→a

cos ...

...

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2 ⋅ sin ...

...

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ x − a

=

lim

x→a

cos ...

...

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

sin ...

...

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ...

...

=

lim

x→a

cos ...

...

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ⋅ lim

x→a

sin ...

...

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ...

...

=

cos 2a 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟⋅ 1 = cos(a)

En changeant la variable de a en x, on obtient bien :

f ′ (x) = ...

Reprendre cette preuve en utilisant la définition équivalente de dérivée vue dans l'annexe du chapitre 4:

′

f (x)= lim

Δx→0

f(x+Δx)− f(x) Δx

Exercice A6.9: Démontrer les 2 dernières règles de dérivation.

(4)

IV ANNEXE CHAPITRE 6

A.3 Les fonctions trigonométriques réciproques

Introduction

(à compléter) Nous avons vu dans le chapitre 1 que pour définir la fonction réciproque

…… d’une fonction f, il faut que celle-ci soit ………, c’est-à-dire:

• que si a ≠ b dans l’ensemble de ………… de f, alors f(a)...f(b).

• tous les éléments de l'ensemble d'arrivée sont atteints.

On peut alors résumer ceci par :

y= f(x) ⇔ x = ………

On a les propriétés suivantes :

(1) l’ensemble de définition de ^rf = ………

(2) l’ensemble image de ^rf = ………

(3) f

(

^rf (x)

)

⁼... pour tout x ∈ ……

(4) ^rf f

(

(x)

)

⁼... pour tout x ∈ ……

(5) les graphes de ^rf et f sont ……… l’un de l’autre par rapport à la droite d’équation …………

• La fonction arcsinus, notée arcsin (ou sin^-1), est définie par :

[…… ; ……] → […… : ……]

x arcsin(x)

⇒

De même, on peut définir :

• La fonction arccosinus, notée arccos (ou cos^-1), est définie par :

[ -1 ; 1 ] → […… : ……]

x arccos(x)

⇒

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FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES V

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Introduction

(à compléter) • La fonction arctangente, notée arctan (ou tan^-1), est définie par :

IR → ]…… : ……[

x arctan(x)

Exemple : Déterminer : sin sin⁻¹ ¹

2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ , cos⁻¹ cos ^5π

( )

4

( )

^et^sin⁻¹^⎛⎝ ⎜ ^sin^⎛^⎝^⎜^2π³ ^⎞^⎠^⎟⎞

⎠ ⎟

Exercice A6.10 : Déterminer sans calculatrice : a) cos cos⁻¹ ¹

2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ b) sin⁻¹ sin ^4π

3

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ c) cos⁻¹ cos ^−5π

6

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ d) tan⁻¹ tan ^7π

4

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

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VI ANNEXE CHAPITRE 6

A.4 Les dérivées des fonctions réciproques

Exercice A6.11 : On considère la fonction f : IR + → IR + définie par f(x)=x²+3 et le point P(1 ; f(1)).

a) Déterminer ^rf .

b) Tracer simultanément le graphe de f, celui de ^rf ainsi que le point P.

c) Calculer la dérivée de f et celle de ^rf .

d) Calculer f ′ (1) et

( )

^rf ^′

⁽

^f⁽¹⁾

⁾

, puis représenter ces valeurs sur le graphique.

e) Que constatez-vous ?

f) Cette constatation reste-t-elle vraie pour la fonction f définie par:

f(x)= x+2

x−4 pour x∈[−2, 5 ; 2, 5] et le point P(2 ; f(2)) Dont on propose ci-dessous une représentation graphique :

g) En déduire

( )

^rf ^′^(0).

−2 −1 1 2 x

y

−2

−1 1 2

f

r

f

P

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FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES VII

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Théorème : Dérivée d’une fonction réciproque

Si f est dérivable sur un intervalle I et si f ′ ne s’annule pas sur I alors :

• fpossède une fonction inverse ^rf dérivable en tout point (f(x) ; x) où x ∈ I.

•

( )

^rf ^′⁽^x)⁼ ¹

f ′

(

^rf(x)

)

Justification :

(8)

VIII ANNEXE CHAPITRE 6

Exemple : Soit la fonction f définie sur IR+ par f(x)=x². Déterminer la dérivée de sa réciproque ^rf a) À l’aide de la formule ci-dessus.

b) À l’aide du calcul « traditionnel », comparer.

Exercice A6.12 : Effectuer la même démarche pour les fonctions f définies par : a) f(x)= x³

4 et ^rf(x) =³ 4x

b) f(x)=mx (m≠0) et ^rf(x) =...

Les règles de dérivation des fonctions trigo inverses:

15^ème règle : Si f(x)=sin⁻¹(x) ⇒ f ′ (x)= 1 1−x²

16^ème règle : Si f(x)=cos⁻¹(x) ⇒ f ′ (x)= −1 1−x²

17^ème règle : Si f(x)=tan⁻¹(x) ⇒ f ′ (x)= 1 1+x²

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FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES IX

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Exercice A6.13: Voici la preuve de la 15^ème règle ci-dessus qu’il s’agit de compléter : Posons f(x)=sin(x) et ainsi ^rf(x)=...

r

f

( ) ^′ ^(x)

⁼

... ¹ = 1

cos(...)

= 1

1−sin²(...) = 1 ...

Précisons qu'il s'agit de considérer f : […… ; ……] → [… : …]

Exercice A6.14: Démontrer la 16^ème règle ci-dessus:

Exercice A6.15: Dériver les fonctions f suivantes:

a) f(x)=sin⁻¹

(

2x+1

)

^b)^f^(x)⁼^cos⁻¹^⎛_⎝^⎜¹_x^⎞_⎠^⎟

avec x > 0

c) f(x)= 1 sin⁻¹

( )

x

Exercice A6.16: a) Déterminer l’équation de la tangente à la courbe d’équation

y =tan(x) au point P(π/4 ; 1).

b) Déterminer l’équation de la tangente à la courbe d’équation y =tan⁻¹(x) au point P’(1 ; π/4).

Exercice A6.17: Soit la fonction bijective f définie par f(x)=x⁵+2x³+x−1 a) Déterminer f(1) et f ′ (1).

b) Déterminer ^rf(3) et

( )

^rf ^′⁽³⁾^.

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X ANNEXE CHAPITRE 6