4 Bonne fondation
4.1 Relations d’ordre
Définition 4.1 (Relation) Étant donné un ensemble E, on appelle relation R sur E toute partie de E2, c’est-à-dire tout ensemble de couples (x, y)∈E.
Étant donné une relation R sur un ensemble E et x et y deux éléments de E, on dit que x est en relation avec y par R et on note xRy pour exprimer (x, y) ∈R et x �Ry pour exprimer (x, y)∈/ R.
Exemple : la relation≤surNest l’ensemble{(0,0),(0,1), . . . ,(1,1),(1,2), . . . ,(2,2),(2,3), . . . , . . .}.
Définition 4.2 On dit qu’une relationR sur un ensembleE est Réflexive si∀x∈E xRx
Irréflexive si∀x∈E x�Rx
Antisymétrique si∀(x, y)∈E2 (xRy et yRx)⇒x=y Transitive si∀(x, y, z)∈E3 (x,Ry et yRz)⇒xRz
Un ordre (ou une relation d’ordre) si elle est à la fois réflexive, antisymétrique et tran- sitive.
Un ordre strict si elle est transitive et irréflexive.
Exemple :
1. La relationRsur Zdéfinie parxRy si et seulement six+y >0n’est ni réflexive (−1 n’est pas en relation avec lui-même), ni irréflexive (1 est en relation avec lui- même).
2. La relation de congruence modulo 17 sur Z est réflexive et transitive mais non antisymétrique. Ce n’est donc pas une relation d’ordre ni une relation d’ordre strict.
3. La relation ≤ sur R est une relation d’ordre (de même pour ≤ restreinte à toute partie de R).
4. La relation < sur R est une relation d’ordre strict (de même pour < restreinte à toute partie deR).
4.1.1 Quelques remarques très élémentaires
On présente ici quelques résultats quasiment évidents sur les ordres.
Remarque 4.1 Soit (E,≤) un ensemble ordonné. Alors pour tout (x, y, z) ∈ E3, si x≤y ≤z, on a x=y=z ou x�=z.
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Définition 4.3 (Ordre strict associé à un ordre) Soit E un ensemble muni d’un ordre≤. Alors la relation notée <et définie par
∀(x, y)∈E2 x < y ⇐⇒ (x≤y etx�=y) (4.1) est appelée ordre strict associé à l’ordre ≤.
Proposition 4.1 Il s’agit d’un ordre strict.
Définition 4.4 (Ordre strict associé à un ordre) Soit E un ensemble muni d’un ordre strict<. Alors la relation notée≤ et définie par
∀(x, y)∈E2 x≤y ⇐⇒ (x < y ou x=y) (4.2) est appelée ordre associé à l’ordre strict ≤.
Proposition 4.2 Il s’agit d’un ordre.
Proposition 4.3 SoitE un ensemble. Alors pour toute relation d’ordre≤ et toute rela- tion d’ordre strict <,≤ est associée à <si et seulement si < est associée à≤.
4.1.2 L’ordre lexicographique
Définition 4.5 (Ordre lexicographique) Soit(E1,≤1)et(E2,≤2)deux ordres. Alors on définit l’ordre lexicographique ≤lex sur E1×E2 par
∀(x1, y1)∈E12∀(x2, y2)∈E22 (x1, x2)≤lex (y1, y2) ⇐⇒
� x1 =y1 et x2 ≤2 y2 ou x1<1 y1
(4.7) où<1 est l’ordre strict associé à ≤1.
Remarque 4.2 Pour tout (x1, y1) ∈ E12 et tout (x2, y2) ∈ E22 vérifiant (x1, x2) ≤lex
(y1, y2), on a x1 ≤1x2.
Proposition 4.4 La relation ainsi construite est bien un ordre.
4.1.3 Suites décroissantes
Définition 4.6 (Suites décroissantes) Étant donné un ensemble ordonné (E,≤), on dit qu’une suite u à valeurs dans E est décroissante pour cet ordre si pour tout n∈ N, on a
∀n∈N un+1 ≤un (4.8)
On dit qu’elle est strictement décroissante si cette inégalité est stricte.
Définition 4.7 (Suites stationnaires) On rappelle qu’on dit qu’une suite u est sta- tionnairesi et seulement si elle est constante à partir d’un certain rang, c’est-à-dire si et seulement si
∃N ∈N∀n≥N un=uN (4.9)
Remarque 4.3 Soit u et v deux suites stationnaires respectivement à valeurs dans des ensemblesE1 et E2. Alors la suite((un, vn))n∈N est stationnaire.
Judicaël Courant - 3 mars 2017 30
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4.2 Ordres bien fondés
4.2.1 Définition
Définition 4.8 (Ordre bien fondé) On dit qu’un ordre est bien fondé si toute suite u décroissante est stationnaire.
Remarque 4.4 Soit (E,≤) un ensemble bien fondé et u une suite décroissante à partir d’un certain rang. Alors u est stationnaire.
4.2.2 Propriétés
Proposition 4.5 Un ordre est bien fondé si et seulement s’il n’existe pas de suite stric- tement décroissante à valeurs dans E.
Proposition 4.6 Soit (E1,≤1) et(E2,≤2) deux ensembles bien fondés. Alors le produit lexicographique de ≤1 et ≤2 est un ordre bien fondé surE1×E2.
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