Références
Soutenance de thèse
Approximation numérique de lois de conservation
hyperboliques stochastiques scalaires
Sylvain Dotti
Université d’Aix-Marseille
4 Décembre 2017
Lois de conservation scalaires
La loi de conservation étudiée dans cette thèse s’écrit sous la forme d’un équation aux dérivées partielles d’ordre 1 :
∂tu (x , t)+divx(A(x , t, u(x , t))) = G (x , t, u (x , t)) , t ∈ [0, +∞), x ∈ Rd.
u : Rd× R+→ R est l’inconnue, appelée quantité.
A : Rd× R+× R → Rd est appelée fonction flux.
G : Rd× R+
× R → R est appelée terme source.
L’équation est à mettre en relation avec la loi de conservation parabolique ∂tu (x , t) + divx(A(x , t, u(x , t)) − ε∇u(x , t)) = G (x , t, u (x , t)) ,
t ∈ [0, +∞), x ∈ Rd, ε ∈ R+∗
où un terme de diffusion est ajouté.
Ecrites telles quelles, la quantité u et le terme source G ne dépendent pas du hasard, les lois de conservation sont dites déterministes.
Solution au sens faible
La notion de solution faible fut introduite par Jean Leray dans son article [Ler33] de 1933. On dira que u ∈ L1
loc R
d× R+ est solution faible du
problème de Cauchy ∂tu (x , t) + divx(A (x , t, u (x , t))) = G (x , t, u (x , t)) , ∀ (x , t) ∈ Rd× R+∗ u (x , 0) = u0(x ) , ∀x ∈ Rd si ∀ϕ ∈ Cc∞ Rd× R+, Z Rd×R+ (u (x , t) ∂tϕ (x , t) + A (x , t, u (x , t)) .Oϕ (x , t)) dxdt + Z Rd u0(x ) ϕ (x , 0) dx = − Z Rd×R+ G (x , t, u (x , t)) ϕ (x , t) dx
avec A, G telles que (x , t) 7→ A (x , t, u (x , t)) ∈ L1
loc R d
× R+
; Rd et (x , t) 7→ G (x , t, u (x , t)) ∈ L1loc Rd× R+.
Solution faible entropique
L’unicité d’une solution faible au problème de Cauchy
∂tu (x , t) + divx(A (x , t, u (x , t))) = G (x , t, u (x , t)) , ∀ (x , t) ∈ Rd× R+∗
u (x , 0) = u0(x ) , ∀x ∈ Rd
est résolue par Kruzhkov (1970) grâce à l’introduction d’une condition supplémentaire d’entropie. Dans le cas où A(x , t, ξ) = A(ξ), une fonction u ∈ L∞ Rd× R+; R est dite solution faible entropique si pour toute fonction convexe η ∈ C1 (R), ∀ϕ ∈ Cc∞ Rd× R+; R+ Z Rd×R+ η (u(x , t)) ∂tϕ (x , t) + Z u(x ,t) 0 η0(r ) A0(r ) dr .Oϕ (x , t) ! dxdt + Z Rd η (u0(x )) ϕ (x , 0) dx − Z Rd×R+ η0(u (x , t)) G (x , t, u (x , t)) ϕ (x , t) dx ≥ 0.
Théorème de Kruzkhov
L’existence et l’unicité d’une solution faible entropique u ∈ C R+; L1
loc Rd au problème de Cauchy sont démontrées sous les
hypothèses I u0∈ L∞ Rd I A ∈ C1 Rξ; Rd I G ∈ C1 Rd× R+× Rξ ∩ L∞ Rd× R+× Rξ I ∂ξG ∈ L∞ Rd× R+× Rξ
La formulation entropique avec condition initiale n’est pas celle de [Kru70], mais est tirée de l’article de Gallouët et Herbin [GH94].
Formulation cinétique
Lions, Perthame et Tadmor [LPT94] introduisent une variable
supplémentaire ξ ∈ R dite cinétique, et une mesure m positive et finie sur Rd× R+× Rξ, B Rd× R+× Rξ vérifiant
m ∈ C0 Rξ; w − M+b(R d
× R+), afin d’écrire l’inégalité entropique
sous la forme d’une égalité. Dans le cas où A(x , t, ξ) = A(ξ) et G ≡ 0, elle s’écrit (au sens faible) :
∂tf (x , t, ξ) + A 0 (ξ) .Oxf (x , t, ξ) = ∂ξm (x , t, ξ) où f (x , t, ξ) = χ (ξ, u (x , t)) avec χ (ξ, u) = +1 si 0 < ξ < u −1 si u < ξ < 0 0 sinon
L’inégalité entropique peut s’écrire de manière formelle grâce à cette mesure m :
−m(η00(ξ)) ≤ 0
où η ∈ C2(R) est la fonction convexe appelée entropie. Cette mesure s’appelle mesure de défaut d’entropie.
Loi de conservation avec terme source stochastique
Dans notre article, elle s’écrit
d (u (x , t, ω)) + divx(A (u (x , t, ω))) dt = Φ (x , u (x , t, ω)) dW (t, ω) où ω est la variable qui représente le hasard. Elle appartient à l’espace probabiliséΩ, F , P, (Ft)t∈[0,T ]
pour lequel la filtration (Ft)t∈[0,T ] de F est continue à droite et complète.
I W (t, ω) =P∞
k=1βk(t, ω) ek est un (Ft)t∈[0,T ]-processus de Wiener cylindrique, (ek)k∈N∗ est une base de l’espace de Hilbert H, les (βk)k∈N∗ sont des mouvements Browniens réels indépendants.
I Φ : (x , ξ) ∈ Td× R 7→ Φ (x, ξ) ∈ L2(H, R) est continue, Td étant
le tore de dimension d , L2(H, R) l’ensemble des opérateurs de
Hilbert-Schmidt.
I A ∈ C2
Une solution entropique dans le cas où H = R I
Dans leur article [BVW12], Bauzet, Vallet et Wittbold prouvent que sous les hypothèses
I Φ : R → R lipschitzienne telle que Φ (0) = 0
I u0∈ L2 Rd
I A : R → Rd lipschitzienne telle que A (0) = 0,
il existe une unique solution entropique au problème de Cauchy, à savoir le processus prévisible u : [0, T ] × Ω → L2 Rd vérifiant I u ∈ L∞ 0, T ; L2 Ω × Rd I ERT 0 R Rd(u (x , t, ω)) 2 dxdt < +∞
Une solution entropique dans le cas où H = R II
I ∀ϕ ∈ C∞ c [0, T ) × R d x; R +, ∀η ∈ C2(R) convexe, telle que η0 et η00 soient bornées, on a Z Rd×[0,T ) η (u (x , t, ω)) ∂tϕ (x , t) + Ox(ϕ (x , t)) . Z u(x ,t,ω) 0 η0(r ) A0(r ) dr ! dxdt + Z T 0 Z Rd η0(u (x , t, ω)) Φ (u (x , t, ω)) ϕ (x , t) dxdW (t) + Z Rd η (u0(x )) ϕ (x , 0) dx +1 2 Z Rd×[0,T ) η00(u (x , t, ω)) |Φ (u (x , t, ω)) |2ϕ (x , t) dxdt ≥ 0 p.s.
Définition de solution cinétique I
Sous les hypothèses vraies ∀x , y ∈ Td
, ξ, ζ ∈ R I kΦ (x , ξ) k2 L2(H,R)≤ D0 1 + |ξ| 2 I kΦ (x , ξ) − Φ (y , ζ) k2 L2(H,R)≤ D1 |x − y | 2+ |ξ − ζ|h (|ξ − ζ|) I u0∈ L∞(Td)
où D0, D1∈ R+et h : R+→ R+continue, croissante, majorée par 1
vérifie h(0) = 0,
un processus prévisible u : [0, T ] × Ω → L1 Td vérifiant
I ER0TR Td|u (x , t, ω)| dxdt < +∞ I ∀ϕ ∈ C1 c Td× Rξ, presque sûrement, t 7→R Td×Rξϕ (x , ξ) 1u(x ,t,ω)>ξdxd ξ est càdlàg I ∀p ∈ [1, +∞), ∃Cp∈ R+tel que E sup t∈[0,T ] ku(t, ω)kpLp(Td) ≤ Cp
Définition de solution cinétique II
I Il existe une mesure aléatoire m : Ω → M+b Td× [0, T ] × R telle que Emω Td× [0, T ] × R < +∞, qui vérifie
∀ϕ ∈ C1 c Td× Rξ , ∀t ∈ [0; T ], presque sûrement, Z Td×Rξ ϕ (x , ξ) 1u(x ,t)>ξdxd ξ − Z Td×Rξ ϕ (x , ξ) 1u0(x )>ξdxd ξ = Z t 0 Z Td×Rξ A0(ξ) .Ox(ϕ (x , ξ)) 1u(x ,t)>ξ dxd ξdr + Z t 0 Z Td×Rξ ϕ (x , ξ) Φ (x , ξ) δu(x ,r )(d ξ) dxdW (r ) +1 2 Z t 0 Z Td×Rξ ∂ξϕ (x , ξ) kΦ (x , ξ) k2L2(H,R)δu(x ,r )(d ξ) dxdr − m (∂ξϕ (x , ξ)) [0, t] est une solution cinétique au problème de Cauchy ayant pour donnée initiale u0.
Solution cinétique généralisée
Suivant Perthame [Per02], nous définissons une solution cinétique généralisée f (x , t, ξ, ω) pour laquelle l’unicité sera prouvée :
I f : Ω × [0, T ] → L∞ Td× R; [0, 1] prévisible
I ∀R > 0, f ∈ L1
Td× [0, T ] × [−R, R] × Ω
I ∀t ∈ [0, T ], p.s., ∃ une mesure de Young νt,ω
sur Td× R telle que pour presque tout x∈ Td, f (x , t, ξ, ω) = νxt,ω(ξ, +∞)
I ∀ϕ ∈ C1 c Td× Rξ, presque sûrement, t 7→R Td×Rξf (x , t, ξ, ω) ϕ (x , ξ) dxd ξ est càdlàg I ∀p ∈ [1, +∞), ∃Cp∈ R+: E sup t∈[0,T ] Z Td Z R |ξ|pνt,ω x (d ξ)dx ≤ Cp
I on a le dernier item de la solution cinétique en remplaçant 1u(x ,t)>ξ par f (x , t, ξ, ω), δu(x ,r )(d ξ) par νxt,ω(d ξ), la donnée initiale 1u0(x )>ξ par f (x , 0, ξ) = ν0
Unicité de la solution cinétique
Grâce à une technique de dédoublement des variables inventée par Kruzkhov [Kru70] et utilisée par Debussche et Vovelle [DV10] pour les solutions cinétiques généralisées, nous obtenons :
I Si f est une solution cinétique généralisée de condition initiale 1u0>ξ avec u0∈ L∞(Td), alors il existe une solution cinétique u de
condition initiale u0telle que f (x , t, ξ) = 1u(x ,t)>ξ presque sûrement et pour presque tout (x , t, ξ) ∈ Td× [0, T ] × R.
Sous les hypothèses de la définition de solution cinétique,
I Si u1, u2 sont deux solutions cinétiques, de conditions initiales
u1,0, u2,0∈ L∞(Td), alors ∀t ∈ [0, T ],
Eku1(t) − u2(t) kL1(Td)≤ ku1,0− u2,0kL1(Td),
I Il existe au plus une solution cinétique u. Si elle existe, presque sûrement u ∈ C [0, T ]; L1
Td
I Si pour presque tout x ∈ Td, u
1,0(x ) ≤ u2,0(x ), alors presque
sûrement et pour presque tout x ∈ Td, u
Une suite de solutions généralisées approchées
a ses termes (fn)
n∈N qui ne diffèrent d’une solution cinétique généralisée que par l’égalité du sixième item auquel il faut ajouter un terme d’erreur εn ϕ: [0, T ] × Ω → R dépendant de ϕ ∈ Cc∞(Td× R) : Z Td×Rξ fn(x , t, ξ, ω) × ϕ (x , ξ) dxd ξ − Z Td×Rξ fn(x , 0, ξ) × ϕ (x , ξ) dxd ξ = Z t 0 Z Td×Rξ A0(ξ) .Ox(ϕ (x , ξ)) fn(x , t, ξ, ω)dxd ξdr + Z t 0 Z Td×Rξ ϕ (x , ξ) Φ (x , ξ) νx ,t,ωn (d ξ)dxdW (r ) +1 2 Z t 0 Z Td×Rξ ∂ξϕ (x , ξ) kΦ (x , ξ) k2L2(H,R)ν n x ,t,ω(d ξ)dxdr − mn ω(∂ξϕ (x , ξ)) [0, t] + εnϕ(t, ω) où εn
ϕest un processus adapté, presque sûrement continu vérifiant lim
n→+∞t∈[0,T ]sup
εnϕ(t, ω)
Conditions d’existence d’une solution cinétique généralisée
faible au sens des probabilistes I
Soit (fn) une suite de solutions cinétiques approchées telles que
I lim n→+∞f n(x , 0, ξ) = 1 u0(x )>ξ dans L ∞ Td× R faible-∗,
I ∀p ∈ [1; +∞), ∃Cp> 0 indépendante de n telle que
E sup t∈[0,T ] Z Td Z R |ξ|pd νn ω,x ,t(ξ) dx ! ≤ Cp
I E mn Td× [0, T ] × R ≤ M où M > 0 est indépendante de n, I lim
R→+∞E m
n
Td× [0, T ] ×] − R; R[c = 0 uniformément en n, alors il existe
Conditions d’existence d’une solution cinétique généralisée
faible au sens des probabilistes II
I une base stochastique ˜Ω, ˜F , ˜P, F˜t
t∈[0,T ], ˜W
i.e. le processus de Wiener cylindrique ˜W est adapté à la filtration F˜t
t∈[0,T ], les vecteurs aléatoires ˜W (t) − ˜W (s) sont indépendants de ˜Fs quels que soient T ≥ t ≥ s ≥ 0,
I des mesures aléatoires ˜mn, ˜m : ˜Ω → M+
b T
d× [0, T ] × R,
I des mesures de Young aléatoires ˜νn, ˜ν : ˜Ω → Y1
Td× [0, T ] × R, telles que
I ( ˜mn, ˜νn) a la même loi de probabilité que (mn, νn) , ∀n ∈ N∗,
I P-presque sûrement, il existe une sous-suite de ( ˜˜ mn, ˜νn) qui converge vers ( ˜m, ˜ν) dans M+b Td× [0, T ] × R × Y1 Td× [0, T ] × R,
I ˜f définie par ˜f (x , t, ξ, ˜ω) = ˜νx ,t, ˜ω(ξ, +∞) est une solution cinétique généralisée de condition initiale 1u0(x )>ξ.
Conditions d’existence d’une solution cinétique forte au
sens des probabilistes
L’existence d’une suite (fn) de solutions cinétiques approchées vérifiant les quatre hypothèses précédentes, permet d’obtenir grâce à la méthode de Gyöngy et Krylov [GK96] :
I L’existence d’une solution cinétique u de condition initiale u0
I La convergence ∀p ∈ [1; +∞) de la suite de terme général
un(x , t, ω) = Z R ξνx ,t,ωn (d ξ) = Z R (fn(x , t, ξ, ω) − 1ξ>0) d ξ
vers la solution cinétique u dans Lp
(Td× [0, T ] × Ω)
I La convergence ∀p ∈ [1; +∞) d’une sous-suite (unk(., t, ω))
k∈N∗ vers u(., t, ω) dans Lp(Td), ∀t ∈ [0, T ], presque sûrement.
Changement d’hypothèses en vue d’obtenir la convergence
d’un schéma Volumes Finis explicite en temps
La loi de conservation hyperbolique avec terme source stochastique d (u (x , t, ω)) + divx(A (u (x , t, ω))) dt = Φ (x , u (x , t, ω)) dW (t, ω) sera étudiée avec l’hypothèse plus restrictive Φ : Td× R → L
2(H, R) à
support compact. Par commodité, nous supposerons que la condition initiale u0∈ L∞(Td) est telle que u0(x ) ∈ [−1, 1] presque partout, et
∀x ∈ Td
, ∀ξ ∈ R\] − 1, 1[, Φ (x , ξ) ≡ 0 ∈ L2(H, R) .
Ainsi, les fonctions constantes u ≡ 1 et u ≡ −1 sont des solutions cinétiques de conditions initiales respectives u0≡ 1 et u0≡ −1. Cela
implique les propriétés suivantes
I ∀x ∈ Td, ξ ∈ R, kΦ (x , ξ) k2L
2(H,R)≤ 2D0
I Presque sûrement, ∀t ∈ [0, T ], u(x , t, ω) ∈ [−1, 1] pp en x ∈ Td
Le maillage espace/temps
I Le maillage Th de Td de taille h ∈ R+∗ est constitué de poly`dres K
ouverts disjoints dont la réunion des adhérences est égale à Td.
I De plus, ∀K ∈ Th,
1. diam(K ) ≤ h,
2. ∃αd∈ R+∗ telle que αdhd≤ |K | et |∂K | ≤ α1dhd −1
I Si K , L ∈ Th sont tels que Hd −1 K ∩ ¯¯ L > 0, on note nK ,L le vecteur unitaire normal à ¯K ∩ ¯L dirigé de K vers L.
I Le maillage ∆t de [0, T ] est constitué de NT intervalles [tn, tn+1[ de
longueurs ∆tn vérifiant sup
0≤n≤NT−1
∆tn≤ 1
I La première condition CFL sera
∆tn|∂K ||K |LA ≤ 1, ∀K ∈ Th, ∀n ∈ {0, ..., NT− 1}
Le schéma numérique des Volumes Finis
Pour obtenir le schéma, on écrit la différentielle stochastique d (u (x , t)) + divx(A (u (x , t))) dt = Φ (x , u (x , t)) dW (t) sous sa forme intégrale pour t ∈ [tn, tn+1), on intègre l’équation sur la cellule K , on approche la solution sur [tn, tn+1) × K par la constante uKn :
Z K u(x , tn+1) − u(x , tn)dx + Z tn+1 tn Z K divx(A (u(x , t))) dx = |K | uKn+1− un K + Z tn+1 tn Z ∂K A (u(x , t)) .nKd Hd −1 ≈ |K | un+1 K − u n K + ∆tn X L∈N (K ) AK →L(uKn, u n L) . On obtient donc |K | uKn+1− un K+∆tn X L∈N (K ) AK →L(unK, unL) = Z tn+1 tn Z K Φ (x , uKn) dxdW (s)
La solution approchée donnée par le schéma
La famille de flux numériquesAK →L, K ∈ Th, L ∈ N (K ) sera
I Monotone : (u, v ) ∈ R27→ A
K →L(u, v ) ∈ R est croissante en u, décroissante en v
I Lipschitzienne : ∃LA∈ R+∗ telle que ∀u, v , w , z ∈ R :
|AK →L(u, w ) − AK →L(v , z)| ≤ ¯K ∩ ¯L LAmax (|u − v |, |w − z|) I Consistante : ∀v ∈ R, AK →L(v , v ) = Z ¯ K ∩¯L A(v ).nK ,LHd −1(dx )
I Conservative : ∀u, v ∈ R, AL→K(u, v ) = −AK →L(v , u). Avec la donnée initiale u0K =|K |1
Z
K
u0(x )dx , ∀K ∈ Th, la solution approchée uh,∆t est définie pour presque tout x ∈ Td par :
La formulation cinétique du schéma Volumes Finis
En séparant artificiellement l’équation numérique en deux étapes :
|K |un+ 1 2 K − u n K + ∆tn X L∈N (K ) AK →L(uKn, u n L) = 0; uKn+1= un+12 K + 1 |K | Z tn+1 tn Z K Φ (x , uKn) dxdW (s) on peut utiliser la formulation cinétique d’un schéma VF en déterministe
1 un+ 12 K >ξ − 1un K>ξ+ ∆t |K | X L∈N (K ) aK →L(ξ, uKn, u n L) = ∆t∂ξmKn (ξ)
avec la fonction absolument continue, à support compact −mn
K(ξ) = 1 ∆tn un+ 1 2 K − ξ + − (un K− ξ) + + 1 |K | X L∈N (K ) Z +∞ ξ aK →L(ζ, unK, u n L) d ζ
La famille de flux cinétiques discrets
Les flux cinétiques discrets aK →L(ξ, u, v ) ont été définis dans l’article de
Makridakis et Perthame [MP03] en dimension 1 d’espace, dans le cadre
de flux discrets entropiques. Dans le cas de flux monotones, ils s’écrivent aK →L(ξ, v , w ) = ∂2AK →L(v , ξ) 1v ≤ξ≤w + ∂1AK →L(ξ, w ) 1w ≤ξ≤v + 1ξ<(w ∧v ) Z ¯ K ∩¯L A0(ξ).nK ,LHd −1(dx ), ∀ξ, v , w ∈ R et sont consistants avec les flux discrets AK →L dans le sens où ils vérifient ∀v , w ∈ R Z R aK →L(ξ, v , w ) − 10>ξ Z ¯ K ∩¯L A0(ξ).nK ,LHd −1(dx ) ! d ξ = AK →L(v , w ) et aK →L(ξ, v , v ) = 1ξ<v Z ¯ K ∩¯L A0(ξ).nK ,LHd −1(dx ), ∀v ∈ R, pp en ξ.
La suite de solutions cinétiques approchées du schéma
Volumes Finis
En utilisant la solution approchée uh,∆t donnée par le schéma, et une solution approchée intermédaire vh,∆t, définie ∀K , ∀n par
vh,∆t(x , t) = u n+1 2 K + 1 |K | Z t tn Z K Φ (x , uKn) dxdW (s) , ∀x ∈ K , ∀t ∈ [tn, tn+1), on définit ∀t ∈ [tn, tn+1), x ∈ Td, ξ ∈ R une solution cinétique approchée
fh,∆t(x , t, ξ) = t − tn ∆tn 1vh,∆t(x ,t)>ξ+ tn+1− t ∆tn 1uh,∆t(x ,t)>ξ
presque sûrement continue en temps car fh,∆t(x , tn, ξ) = 1uh,∆t(x ,tn)>ξ et t→tlim
n+1
t<tn+1
fh,∆t(x , t, ξ) = 1uh,∆t(x ,tn+1)>ξ
Elle satisfait une équation cinétique discrète à t fixé ∈ [tn, tn+1) dont chaque terme est proche de l’équation cinétique en continu. L’erreur εh,∆t vérifie ∀t ∈ [0, T ], ∀ϕ ∈ Cc∞(T d × R), E sup t∈[0,T ] |εh,∆t(t, ϕ)| 2 ≤ Cste(ϕ)(h + |∆t|)12
Propriétés de la suite de solutions cinétiques approchées,
existence d’une solution cinétique
Sous la condition CFL renforcée ∆tn≤ (1 − θ)
α2
d
2LAh, où θ ∈ (0, 1),
la suite de mesures de Young νx ,th,∆t(ξ) associées à fh,∆t(x , t, ξ) vérifie
E sup t∈[0,T ] Z TN Z R (1 + |ξ|p) d νx ,th,∆t(ξ) dx ! ≤ Cp, ∀p ∈ [1 ; +∞),
la suite de mesures de défaut d’entropie
dmh,∆t(x , t, ξ) = X K ∈Th NT−1 X n=0 1K(x ) 1[tn,tn+1)(t) m n K(ξ)dxdtd ξ vérifie E Z TN×[0,T )×R (1 + |ξ|p) dmh,∆t(x , t, ξ) 2 ≤ Cp, ∀p ∈ [1 ; +∞). Avec lim h+|∆t|→0fh,∆t(x , 0, ξ) = 1u0(x )>ξ dans L ∞ Td× R faible-∗, nous obtenons l’existence d’une solution cinétique.
La convergence de la solution du schéma Volumes Finis
vers la solution cinétique
Sous les nombreuses hypothèses précédentes, la solution uh,∆t du schéma
Volumes Finis explicite en temps converge vers la solution cinétique u de la loi de conservation hyperbolique avec terme source stochastique de la manière suivante :
lim
h+|∆t|→0Ekuh,∆t− uk p
Les perspectives à court terme
I Réécrire la convergence d’une solution approchée donnée par
l’équation parabolique vers la solution cinétique.
I Réécrire l’équivalence solution cinétique/solution entropique.
I Prouver la convergence du schéma Volumes Finis explicite en temps
avec kΦ(x , ξ)k2L
2(H,R)≤ D0au lieu de Φ à support compact, avec une CFL du type ∆t ≤ Cste|ln h|h p, p ∈ [1, +∞).
I Prouver la convergence du schéma Volumes Finis implicite en temps
I Réécrire la définition de solution cinétique d’un problème de Dirichlet faite par Kobayasi et Noboriguchi [KN16], en lui demandant d’être càdlàg ou continue en temps, prouver l’unicité afin d’étudier la convergence du schéma Volumes Finis explicite en temps et peut-être améliorer le récent résultat de [BCG17].
Les perspectives à plus long terme
I Etudier la loi de conservation hyperbolique scalaire avec terme source, mais cette fois avec un flux stochastique
I Etudier la loi de conservation hyperbolique scalaire avec terme source, et une condition initiale, un terme source ou un flux perturbés par un bruit de Lévy
I Etudier un système de lois de conservation avec termes sources
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