Modélisation d’une installation à plasma inductif basse fréquence 37
Méthode des volumes finis en 3d
III.1 Introduction
Dans le domaine de l'électromagnétisme, de la mécanique des fluides et de la thermique, les phénomènes physiques sont souvent décrient par des équations aux dérivées partielles (EDP) parfois non linéaires et complexe à résoudre. Sous certaines hypothèses simplificatrices, elles peuvent se transformer en équations différentielles ordinaires. Une solution analytique peut être alors utilisée. Mais, pour des problèmes plus réalistes (conditions aux limites et géométries complexe), on ne peut pas résoudre analytiquement ces EDP.
On emploi alors des méthodes d'approximation numérique pour transformer ces EDP en systèmes d'équations algébriques qui peuvent être alors résolus par l'ordinateur. On peut citer comme méthodes connues : la méthode des différences finies, la méthode des éléments finis, la méthode des circuits couplés et la méthode des volumes finis.
III.2 Méthodes de discrétisation
III.2.1 Méthode des différences finis (MDF)
C'est la méthode la plus ancienne, connue depuis Gauss. Le principe fondamental de cette méthode consiste à appliquer au domaine d'étude un maillage en nœuds dont la finesse permet de donner une bonne approximation des contours du domaine. Ensuite, en appliquant le développement limité en série de Taylor de la fonction à déterminer dans chaque nœud du maillage, ce qui permet d'obtenir un nombre d'équations algébriques égales au nombre des valeurs d'inconnues des grandeurs étudiées.
La solution par une des méthodes connues permet la connaissance, en chaque maille du domaine, la valeur de la variable étudiée.
Ce pendant, les méthodes utilisées dans la résolution des systèmes d'équation issue de la méthode des différences finies ne s'adaptent pas très bien à la modélisation de système de forme complexe et sont toujours obérées par la nécessité de prendre en compte les conditions d'interfaces. Elle est petit à petit supplantée par la méthode d'éléments finis.
Modélisation d’une installation à plasma inductif basse fréquence 38
III.2.2 Méthode des éléments finis (MEF)
Cette méthodes, a été utilisée depuis longtemps en mécanique. Elle à été introduit en électromagnétisme par P.Silvester et M.V.K.chari en 1970 [29].
Elle a connue, depuis, un développement considérable dans ce domaine, grâce aux rapports successifs des équipes universitaires de Mc Gill au Canada, Rutherford en Grande- Bretagne et Grenoble en France et par quelques grands laboratoires industriels de recherches.
Le principe fondamental de cette méthode consiste à subdiviser le domaine d'étude en région élémentaire (élément finis) et à représenter l'inconnue par une approximation qui doit être minimisée.
La MEF est actuellement utilisée avec succès pour les problèmes en magnétostatique et en magnétodynamique parce qu'elle est une méthode très puissante et s'adapte mieux aux géométries complexes. Par contre sa mise en œuvre est assez compliquée et demande une place mémoire assez importante.
III.2.3 Méthode des circuits couplés (MCC)
La méthode des circuits couplés permet de fournir la solution d'une EDP par une expression intégrale du type loi de BIOT et SAVARD.
Dans ce cas, on associe à la forme intégrale de la solution, une subdivision de l'inducteur en spires élémentaires.
En appliquant les lois de KIRCHOFF à ces circuits élémentaires, on aboutit à un système d'équations algébriques dont la solution conduit à la distribution des densités du courant.
III.2.4 Méthode des volumes finis (MVF)
La méthode des volumes finis est une méthode de discrétisation. Elle est utilisée, en particulier en mécanique de fluide ou elle est apparue il y a une vingtaine d'années [23]. Depuis, la méthode des volumes finis a connu un essor considérable non seulement pour la modélisation en mécanique des fluide, mais aussi pour la modélisation d'autre branche de l'ingénierie scientifique : la thermique, l'électromagnétisme [24], [26], [27], [28].
L'analyse mathématique de la méthode des volumes finis a permis de développer récemment les principes fondamentaux qui en font une méthode de discrétisation performante.
L'idée de base de la formulation en volumes finis est facile à comprendre et permet de donner l'interprétation physique des phénomènes. Elle consiste à subdiviser le domaine d'étude en un
Modélisation d’une installation à plasma inductif basse fréquence 39
nombre de volumes finis. Le point principale P est entouré par six nœuds voisins qui sont E, W, N, S, T, B, (Fig III.1)
E : nœud est. e : interface est.
W : nœud west. w : interface west.
N : nœud nord. n : interface nord.
S : nœud sud. s : interface sud.
T : nœud top. t : interface top.
B : nœud bottom. B : interface bottom.
∆X : est le pas de discrétisation suivant la direction X.
∆Y : est le pas de discrétisation suivant la direction Y.
∆Z : est le pas de discrétisation suivant la direction Z.
xe
∆ : est le pas de discrétisation suivant la direction X entre le noud P et E.
xw
∆ : est le pas de discrétisation suivant la direction X entre le noud P et W.
yn
∆ : est le pas de discrétisation suivant la direction Y entre le noud P et N.
ys
∆ : est le pas de discrétisation suivant la direction Y entre le noud P et S.
Interface est N
T
Interface west (w)
W E
S
B P
∆Z
∆X
∆Y
Fig.III.1 Description d’un volume élémentaire de base xw
∆ ∆xe
yn
∆
ys
∆
zt
∆
zb
∆
Modélisation d’une installation à plasma inductif basse fréquence 40
zt
∆ : est le pas de discrétisation suivant la direction Z entre le noud P et T.
zb
∆ : est le pas de discrétisation suivant la direction Z entre le noud P et B.
La méthode des volumes finis intègre, sur chaque volume elémentaire les équations des problèmes à résoudre. Elle fournit ainsi d’une manière naturelle des formulations discrètes [23].
III.2.5 Equation algébrique à l'intérieur du domaine d'étude
Les équations algébriques à l'intérieur du domaine sont déduites par intégration des équations de la thermique ou électromagnétique sur chaque volume fini en utilisant une fonction de projection βj égale à l'unité (βj = 1 dans le volume fini et nulle ailleur).
III.3 Formulation tridimensionnelle de l’equation electromagnetique par la M.V.F
Rappelons la formulation tridimensionnelle des équations éléctromagnetiques en (A,V) du système ( II-35) :
( ) ( ) ( )( )
( )( )
[ ]
= +
ωε + σ ω
= +
ωε + σ ω + ν
− ν
0 v j
j div
v j
j
pdiv grad A
J grad A A
grad rotA
rot s
(III-1)
Le nœud principal P est entouré par les nœuds de base : W,E,N,S,T,B et les nœuds supplémentaires : TW,TE,TS,TN,BW,BE,BS,BN,NE,NW,SE et SW .(fig III.2)
X NE
SE NW
SW
E
S N
W
Y
n w e s
Fig. III.2.1 Vue dans le plan (X-Y)
Z
TN
BN TS
BS
N
B T
S Y
t s e b
Fig .III.2.2 Vue dans le plan (Y-Z)
Modélisation d’une installation à plasma inductif basse fréquence 41
On projette le système (III.1) sur une fonction de projection βj égale à l’unité, Puis on l’intègre dans chaque volume fini (dτ = dx.dy.dz) correspondant au nœud principal on aura :
[ ]
[ ]
= τ +
ωε + σ ω β
τ β
= τ +
ωε + σ ω + ν
ν β
∫∫∫
∫∫ ∫ ∫∫∫
e w n s t b
j e w n s
e w
n s t b
j t
b
P j
0 d ) v )(
j j div
d d
) v )(
j j div ( - ) (
grad A (
J grad
A (
A) grad
A rot
rot s
(III-2)
Pour notre cas, la fonction de projection appropriée βj est prise égale à l’unité, le système à résoudre devient :
[ ]
[ ]
= +
+
= +
+
−
∫∫∫
∫∫ ∫ ∫∫∫
e
w n
s t
b e
w n
s
e
w n
s t
b s t
b
grad A (
J grad
A (
A) grad
A rot rot
0 v
v
τ ωε
σ ω
τ τ
ωε σ ω ν
ν
d ) )(
j j div
d d
)) )(
j j div ( - )
( P
(III.3) TE
BE TW
BW
E
B T
W X
Z
Fig .III.2.3 Vue dans le plan (X-Z) t
w e b
Modélisation d’une installation à plasma inductif basse fréquence 42
Pour calculer l’intégrale du système (III-3), on procède de la façon suivante :
• On considère que la variation du potentiel scalaire électrique réduit et le potentiel vecteur magnétique comme linéaire entre deux nœuds consécutifs.
• On projète chaque équation du système sur les trois axes et on discrétise l’équation projetée sur un volume élémentaire.
III.3.1 Discrétisation de la partie en rotationnelle
I4
e w
n s t b I3
e w
n s t b I2
e w
n s t b
P I1
e w n s t b
τ d τ
d ) v (
) jω (σ jω τ d ) div (ν τ
d )
(ν
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
∫∫∫
rot rot A − grad A − + ε A+grad = Js (III-4)k j
i ) A
rot )
y A x
( A x )
A z
( A z
A y
( AZ Y X Z Y X
∂
−∂
∂ + ∂
∂
−∂
∂ + ∂
∂
−∂
∂
= ∂ (III-5)
∂
−∂
∂
= ∂
′
∂
−∂
∂
= ∂
′
∂
−∂
∂
= ∂
′
y Ax x
A A
x A z A Ax
z A y A A
Z Y Y Z
Y X Z
(III-6)
k ) j
) i
) rotA)
rot y
A x
( A x
A z
( A z
A y ( A
( Z Y X Z Y X
∂
∂ ′
∂ −
∂ ′ ν
∂ +
∂ ′
∂ −
∂ ′ ν
∂ +
∂ ′
∂ −
∂ ′ ν
=
ν (III-7)
Remplaçons l’expression (III-6) dans (III-7), nous aboutissons au vecteur suivant :
∂
∂
∂ + ∂
∂
∂
∂
− ∂
∂
∂
∂
− ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ + ∂
∂
∂
∂
− ∂
∂
∂
∂
− ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ + ∂
∂
∂
∂
− ∂
∂
∂
∂
− ∂
∂
∂
∂
∂
= ν
z ) (ν A ) y
y (ν A ) y
x (ν A ) x
z (ν A x
y ) (ν A ) x
x (ν A ) x
z (ν A ) z y (ν A z
x ) (ν A ) z
z (ν A ) z
y (ν A ) y
x (ν A y ) (
Y Z
Z X
X Y
Y Z
Z X
X Y
rotA
rot (III-8)
Modélisation d’une installation à plasma inductif basse fréquence 43
z A y
A x
div AX Y Z
∂ +∂
∂ +∂
∂
=∂
A (III-9)
∂
∂
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂
∂
∂
∂
= ν
z ) (ν A ) z
y (ν A ) z
x (ν A z
z ) (ν A ) y
y (ν A ) y
x (ν A y
z ) (ν A ) x
y (ν A ) x
x (ν A x div
(
P Z P Y
P x
P Z P Y
P x
P Z P Y
P x
P A)
grad (III-10)
La projection de l’expression (III-4) suivant les trois directions x, y et z donne :
=
−
−
=
−
−
=
−
−
(c) I
I I I
(b) I
I I I
(a) I
I I I
4z 3z 2z 1z
4y 3y 2y 1y
4x 3x 2x 1x
(III-11)
Suivant la direction X :
∫∫∫
∂∂ ∂∂ −∂∂ ∂∂ −∂∂ ∂∂ +∂∂ ∂∂ τ= e
w n s t b
Z X
X x Y
1 ) d
x (ν A ) z
z (ν A ) z y (ν A ) y
x (ν A
I y (III-12)
x ∆x∆z ν A
x ν A
∆x.∆z x
ν A x d
(ν A I y
s s Y
n n Y
n s e Y
w n s t b x Y
11
∂
− ∂
∂
= ∂
∂
= ∂
∂ τ
∂
∂
=
∫∫∫
∂ )∆x∆z
∆x A ν A
∆x A ν A
s Ysw s Yse
n Ynw
n Yne
−
−
−
=
) A A
A x (A
4
∆z
∆x ) ν
A A
A x (A
4
∆z
∆x
ν yE yW ySE ySW
s yNW s
yNE yW
n yE
n − + −
− ∆
− +
∆ −
=
) . (III13 x A
4
∆x∆z A ν
x 4
∆x∆z ν
x A 4
∆x∆z A ν
x 4
∆x∆z A ν
4
∆x∆z ν x 4
∆x∆z A ν
x 4
∆x∆z ν x 4
∆x∆z ν
s ySE ySW s
s s
n yNW yNE n
n yW n
s s n yE n
s s n n
− ∆ + ∆
− ∆ + ∆
− ∆
− ∆
− ∆
= ∆
Modélisation d’une installation à plasma inductif basse fréquence 44
y ∆x∆z ν A
y ν A
∆x.∆z y
ν A dτ y ) (ν A I y
s s X
n n X
n s e X
w n s t b 12x X
∂
− ∂
∂
= ∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
=
∫∫∫
∂∆y ∆x∆z A ν A
∆y A ν A
s XS s XP
n XP n XN
−
−
−
=
s xS xP s
s xP s
n xN n
n
n A
∆y
∆x∆z A ν
∆y
∆x∆z A ν
∆y
∆x∆z A ν
∆y
∆x∆z
ν − − +
= (III-14)
z ∆x∆y ν A
z ν A
∆x.∆y z
ν A dτ z ) (ν A I z
b b X
t t X
t b e X
w n s t b 13x X
∂
− ∂
∂
= ∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
=
∫∫∫
∂∆z ∆x∆y A ν A
∆z A ν A
b XB b XP
t XP t XT
−
−
−
=
b xb xP b
b xP b
t xT t
t
t A
∆z
∆x∆y A ν
∆z
∆x∆y A ν
∆z
∆x∆y A ν
∆z
∆x∆y
ν − − +
= (III-15)
x ∆x∆y ν A
x ν A x ∆x∆y
ν A dτ x ) (ν A I z
b b Z
t t Z
t b e Z
w n s t b 14x Z
∂
− ∂
∂
= ∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
=
∫∫∫
∂∆x ∆x∆y A ν A
∆x A ν A
b Zbw b Zbe
t Ztw
t Zte
−
−
−
=
) A A
A x (A
4
∆y
∆x ) ν
A A
A x (A
4
∆y
∆x
I ν zE zW zEB zWB
b zTW b
zTE zW
t zE
14x t − + −
− ∆
− +
∆ −
=
16) - (III x A
4
∆x∆y A ν
x 4
∆x∆y ν
x A 4
∆x∆y A ν
x 4
∆x∆y A ν
x 4
∆x∆y ν x 4
∆x∆y A ν
x 4
∆x∆y ν x 4
∆x∆y ν
b zBE zBW b
b b
t zTW zTE t
t zW t
b b t zE t
b b t t
− ∆ + ∆
− ∆ + ∆
− ∆
− ∆
− ∆
= ∆
∫∫∫
∂∂ ∂∂ +∂∂ ∂∂ +∂∂ ∂∂ τ= e
w n s t b
P Z P Y
P X x
2 ) d
z (ν A ) x y (ν A ) x x (ν A
I x (III-17)
Modélisation d’une installation à plasma inductif basse fréquence 45
x ∆y∆z ν A
x ν A
∆y.∆z x
ν A d x ) (ν A I x
w Pw X
e Pe X
e w P X
e w n s t b
P X x
21
∂
− ∂
∂
= ∂
∂
= ∂
∂ τ
∂
∂
=
∫∫∫
∂∆y∆z
∆x A ν A
∆x A ν A
w XW Pw XP
e XP Pe XE
−
−
−
=
xW
w xP Pw
w xP Pw
e xE Pe
e
Pe A
∆x
∆y∆z A ν
∆x
∆y∆z A ν
∆x
∆y∆z A ν
∆x
∆y∆z
ν − − +
= (III-18)
x ∆y∆z ν A
x ν A
∆y.∆z y
ν A dτ y ) (ν A I x
w Pw X
e Pe X
e w P Y
e w n s t b
P Y x
22
∂
− ∂
∂
= ∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
=
∫∫∫
∂∆y ∆y∆z A ν A
∆y A ν A
w Ysw Pw Ynw
e Yes Pe Yen
−
−
−
=
) A A
A y (A
4
∆z
∆y ) ν
A A
A y (A
4
∆z
∆y
ν yN yS yNW ySW
w ySE Pw
yNE yS
e yN
Pe − + −
− ∆
− +
∆ −
=
19) - (III y A
4
∆y∆z A ν
y 4
∆y∆z ν
y A 4
∆y∆z A ν
y 4
∆y∆z A ν
y 4
∆y∆z ν
y 4
∆y∆z A ν
y 4
∆y∆z ν
y 4
∆y∆z ν
e ySE ySW Pe
w Pw
w yNW yNE Pw
e yS Pe
w Pw e
yN Pe w
Pw e
Pe
− ∆ + ∆
− ∆ + ∆
− ∆
− ∆
− ∆
= ∆
z ∆y∆z ν A
z ν A
∆y.∆z z
ν A dτ z ) (ν A I x
w Pw Z
e Pe Z
e w P Z
e w n s t b
P Z x
23
∂
− ∂
∂
= ∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
=
∫∫∫
∂∆z ∆y∆z A ν A
∆z A ν A
I
w Zwb Pw Zwt
e Zeb Pe Zet
x
23
−
−
−
=
(A A A A )
z 4∆
∆z
∆y ) ν
A A
A z (A
4∆
∆z
∆y
ν zT zB zTW zBW
w zBE Pw
zTE zB
e zT
Pe − + − − − + −
=
20) - (III z A
4
∆y∆z A ν
z 4
∆y∆z ν
z A 4
∆y∆z A ν
z 4
∆y∆z A ν
z 4
∆y∆z ν
z 4
∆y∆z A ν
z 4
∆y∆z ν
z 4
∆y∆z ν
e zBE zBW Pe
w Pw
w zTW zTE Pw
e zB Pe
w Pw e
zT Pe w
Pw e
Pe
− ∆ + ∆
− ∆ + ∆
− ∆
− ∆
− ∆
= ∆
Modélisation d’une installation à plasma inductif basse fréquence 46
(
ω ε jω)
A vx dτI
e w n s t b
x x x 2
3 =
∫∫∫
− σ +∂∂ (III-21)On pose : α=
(
ω2ε− jωσ)
(III-22) L’expression (III-21) devient :∫∫∫
e α +∂∂ w n s t b
x x dτ
x
A v (III-23)
∫∫∫
α == e
w n s
xP P t
b x x
31 A dτ α A ∆x∆y∆z
I (III-24)
∫∫∫
α∂∂ = ∂∂ ∆ ∆ ∆ = ∆ +−∆ ∆ ∆ ∆= e
w n
s e w
w P E
P P x t
b x x
32 x y z
x x
v α v
z y x x
α v x dτ
I v (III-25)
∫∫∫
== e
w n s
SxP t
b
x sx x
4 J A dτ J ∆x∆y∆z
I (III-26)
Calculons les termes de l’expression (III-11-(a)) :
+
=
+ +
=
+
−
−
=
x 32 x 31 x 3
x 23 x 22 x 21 x 2
x 14 x 13 x 12 x 11 x 1
I I I
I I I I
I I I I I
(III-27)
Modélisation d’une installation à plasma inductif basse fréquence 47
Enfin la projection de l’équation (III-4) suivant la direction x, nous amène à écrire la relation suivante :
xP b P
b t
t s s n
n w
Pw e
Pe α ∆x∆y∆zA
∆z
∆x∆y ν
∆z
∆x∆y ν
∆y
∆x∆z ν
∆y
∆x∆z ν
∆x
∆y∆z ν
∆x
∆y∆z
ν
+ + + + + −
28a) (III
∆x∆y∆z J
∆x v
∆x
∆x∆y∆z v α
∆x
∆x
∆x∆y∆z )A α
4∆∆
∆x∆y ν
4∆∆
∆y∆z (ν
4∆∆ )A
∆y∆z ν
4∆∆
∆x∆y (ν
4∆∆ )A
∆y∆z ν
4∆∆
∆x∆y (ν
4∆∆ )A
∆x∆y ν 4∆∆
∆y∆z (ν
4∆∆ )A
∆y∆z ν
4∆∆
∆y∆z (ν
4∆∆ )A
∆y∆z ν
4∆∆
∆y∆z (ν
4∆∆ )A
∆x∆y ν
4∆∆
∆x∆y (ν
4∆∆ )A
∆x∆y ν 4∆∆
∆x∆y (ν
4∆∆ )A
∆x∆z ν 4∆∆
∆y∆z (ν
4∆∆ )A
∆y∆z ν
4∆∆
∆x∆z (ν
4∆∆ )A
∆y∆z ν
4∆∆
∆x∆z (ν
4∆∆ )A
∆x∆z ν
4∆∆
∆y∆z (ν
4∆∆ )A
∆y∆z ν
4∆∆
∆y∆z (ν
4∆∆ )A
∆y∆z ν
4∆∆
∆y∆z (ν
4∆∆ )A
∆x∆z ν 4∆∆
∆x∆z (ν
4∆∆ )A
∆x∆z ν
4∆∆
∆x∆z (ν
∆z A
∆x∆y A ν
∆z
∆x∆y ν
∆y A
∆x∆z A ν
∆y
∆x∆z A ν
∆x
∆y∆z Α ν
∆x
∆y∆z ν
SxP
w W e
E P w e
zBW P b
b w
Pw
e zBE Pe b
zTW b w
Pw t
t
t zTE t e
zB Pe e
Pe w
Pw
w zT Pw e
zW Pe b
b t t
t zE t b ySW b
s s w
Pw
e ySE Pe s
yNW s w
Pw n
n
n yNE n e
yS Pe e
Pe w
Pw
w yN pw e
yW Pe s
s n n
n yE n s xB s
b xT b
t t
s xS xN s
n xW n
w xΕ Pw
e Pe
− +
− + + +
−
+
− +
−
+
− +
−
+
− +
−
+
− +
−
+
− +
−
+
− +
−
+
− +
−
+
− +
+
+ +
+ +
=
Modélisation d’une installation à plasma inductif basse fréquence 48
La projection de l’équation (III-1) suivant l’axe des Y, aboutit à l’expression (III-11-(b)) et on procède de la même manière que pour l’axe des X, ça résulte :
yP b P
b t
t w w e
e s
Ps n
Pn α ∆x∆y∆zA
∆z
∆x∆y ν
∆z
∆x∆y ν
∆x
∆y∆z ν
∆x
∆y∆z ν
∆y
∆x∆z ν
∆y
∆x∆z
ν
+ + + + + −
28b) (III
∆x∆y∆z J
∆y v
∆y
∆x∆y∆z v α
∆y
∆y
∆x∆y∆z )A α
4∆∆
∆x∆z ν
4∆∆
∆x∆y (ν
4∆∆ )A
∆x∆y ν 4∆∆
∆x∆z (ν
4∆∆ )A
∆x∆y ν
4∆∆
∆x∆z (ν
4∆∆ )A
∆x∆z ν
4∆∆
∆x∆y (ν
4∆∆ )A
∆y∆z ν
4∆∆
∆x∆z (ν
4∆∆ )A
∆x∆z ν
4∆∆
∆y∆z (ν
4∆∆ )A
∆x∆z ν
4∆∆
∆y∆z (ν
4∆∆ )A
∆y∆z ν 4∆∆
∆x∆z (ν
4∆∆ )A
∆x∆z ν
4∆∆
∆x∆z (ν
4∆∆ )A
∆x∆z ν
4∆∆
∆x∆z (ν
4∆∆ )A
∆x∆y ν
4∆∆
∆x∆y (ν
4∆∆ )A
∆x∆y ν 4∆∆
∆x∆y (ν
4∆∆ )A
∆y∆z ν
4∆∆
∆y∆z (ν
4∆∆ )A
∆y∆z ν 4∆∆
∆y∆z (ν
4∆∆ )A
∆x∆z ν
4∆∆
∆x∆z (ν
4∆∆ )A
∆x∆z ν
4∆∆
∆x∆z (ν
∆z A
∆x∆y A ν
∆z
∆x∆y ν
∆x A
∆y∆z A ν
∆x
∆y∆z A ν
∆y
∆y∆z Α ν
∆y
∆x∆z ν
SyP
s S n N P
s n zBN P
n Pn b
b
t zNT t
n zSB Pn
b b s
Ps
s zTS Ps t
xSW t w
w s
Ps
s xSE Ps e
xNW e n
Pn w
w
e xNE e n
zB Pn n
Pn s
Ps
s zT Ps n
zS Pn b
b t t
t zN t b xS b
w w e
e
e xN e w xW w
n Pn s
Ps
s xE Ps n
yB Pn b
yT b t
t
w yW yE w
e yS e
s yN Ps
n Pn
− +
− + + +
−
+
− +
−
+
− +
−
+
− +
−
+
− +
−
+
− +
−
+
− +
−
+
− +
−
+
− +
+
+ +
+ +
=
Modélisation d’une installation à plasma inductif basse fréquence 49
On fait la même chose que pour l’axe des Z et la projection suivant cet axe donne l’équation ci-dessous :
zP b P
Pb t
Pt s
s n
n w
w e
e α ∆x∆y∆zA
∆z
∆x∆y ν
∆z
∆x∆y ν
∆y
∆x∆z ν
∆y
∆x∆z ν
∆x
∆y∆z ν
∆x
∆y∆z
ν
+ + + + + −
c) 28 (III
∆x∆y∆z J
∆z v
∆z
∆x∆y∆z v α
∆z
∆z
∆x∆y∆z A α
∆z ) 4
∆x∆z ν
∆y 4
∆x∆y (ν
A
∆y ) 4
∆x∆y ν
∆z 4
∆x∆z (ν
A
∆y ) 4
∆x∆y ν
∆z 4
∆x∆z (ν
A
∆z ) 4
∆x∆z ν
∆y 4
∆x∆y (ν
A
∆z ) 4
∆y∆z ν
∆z 4
∆x∆y (ν
A
∆x ) 4
∆x∆y ν
∆z 4
∆y∆z (ν
A
∆x ) 4
∆x∆y ν
∆z 4
∆y∆z (ν
A
∆z ) 4
∆y∆z ν
∆x 4
∆x∆y (ν
A
∆z ) 4
∆x∆z ν
∆z 4
∆x∆z (ν
A
∆z ) 4
∆x∆z ν
∆z 4
∆x∆z (ν
A
∆y ) 4
∆x∆y ν
∆y 4
∆x∆y (ν
A
∆y ) 4
∆x∆y ν
∆y 4
∆x∆y (ν
A
∆z ) 4
∆y∆z ν
∆z 4
∆y∆z (ν
A
∆z ) 4
∆y∆z ν
∆z 4
∆y∆z (ν
A
∆x ) 4
∆x∆y ν
∆x 4
∆x∆y (ν
A
∆x ) 4
∆x∆y ν
∆x 4
∆x∆y (ν
∆z A
∆x∆y A ν
∆z
∆x∆y ν
∆y A
∆x∆z A ν
∆y
∆x∆z A ν
∆x
∆y∆z Α ν
∆x
∆y∆z ν
SzP
b B t T P b t yBS P s
s b Pb
b yBN Pb n
yST n t
Pt s
s
n yNT n
t xBW Pt
w w b
Pb
t xTW Pt
w xBE w
b Pb e
e
e xTE e t
yB Pt s
s n n
n yT n s yS s
t Pt b
Pb
b yN Pb t
xB Pt w
w e
e
e xT e w xW w
t Pt b
Pb
b xE Pb t
zB Pt b
zT Pb t
Pt
s zS zN s
n zW n
w zΕ w
e e
− +
− + + +
−
+
− +
−
+
− +
−
+
− +
−
+
− +
−
+
− +
−
+
− +
−
+
− +
−
+
− +
+
+ +
+ +
=
III.3.2 Discrétisation de la partie en divergence :
( ) ( )
[
ω ε jωω v]
0div
Iv e
w n s t b
2 − + =
∫∫∫
grad
A (III-29)
Modélisation d’une installation à plasma inductif basse fréquence 50
D’après la définition mathématique du gradient et de la divergence :
( )( )
[ ] [ ]
30) (IΙI z
A v z y
A v y x
A v x
) v (
div v
j div
z y
x −
∂ +∂
∂ α + ∂
∂ +∂
∂ α + ∂
∂ +∂
∂ α
= ∂
+ α
= +
ωε
−
σ A grad A grad
31) (III x v
v ∆y∆z x
A ∆y∆z 2
A ∆y∆z 2
∆y∆z
x v v ∆y∆z x
A ∆y∆z 2
A ∆y∆z 2
∆y∆z
x ∆y∆z v v 2
A - A
x ∆y∆z v v 2
A A
x ∆y∆z A v
- x ∆y∆z A v
x ∆y∆z A v
x dτ A v
I x
w W w w P
w xP w
xW w
e P e e E
e xP e
xE e
w W w P
xP w xW
e P e E
xP e xE
w w xw e w
e xe e e w n s
e w x
t b
x VX
∆ − α
∆ + α
− α
− α
−
α ∆
∆ − α + α
+ α
=
∆ α − + +
α
∆ α − + +
α
=
∂ α ∂ +
α
∂ α ∂ + α
=
∂ +∂ α
=
∂ +∂
∂ α
=
∫∫∫
∂IVY est déduite comme suit :
w S s s P
s yS s
yP s
n P n n N
n yP n
yN n
s S s P
yS s yP
n P n N
yP n yN
s s ys s n
n yn n e w n s
n s y
t b
y VY
∆y v α ∆x∆z
∆y v α ∆x∆z 2 A
α ∆x∆z 2 A
α ∆x∆z
∆y v α ∆x∆z
∆y v α ∆x∆z 2 A
α ∆x∆z 2 A
α ∆x∆z
∆y ∆x∆z v α v
2 A α A
-
∆y ∆x∆z v α v
2 A α A
y ∆x∆z α v
A α - y ∆x∆z α v
A α
y ∆x∆z A v
α y dτ
A v y α I
+
−
−
−
− +
+
=
+ + −
+ + −
=
∂ + ∂
∂ + ∂
=
∂ +∂
=
∂ +∂
∂
=
∫∫∫
∂(III-32)
Modélisation d’une installation à plasma inductif basse fréquence 51
On calcule IVZ :
B b b P b b zB b
zP b
P t t T t t zP t
zT t
b B P b zB zP b t
P T t zP zT t
b b zb b t
t zt t e w n s
t
b z
t b
z
∆z v α ∆x∆y
∆z v α ∆x∆y 2 A
α ∆x∆y 2 A
α ∆x∆y
∆z v α ∆x∆y
∆z v α ∆x∆y 2 A
α ∆x∆y 2 A
α ∆x∆y
∆z ∆x∆y v α v 2
A α A
-
∆z ∆x∆y v α v 2
A α A
z ∆x∆y α v
A α - z ∆x∆y α v
A α
z ∆x∆y A v
α z dτ
A v z α
+
−
−
−
− +
+
=
+ + −
+ + −
=
∂ + ∂
∂ + ∂
=
∂ +∂
=
∂ +∂
∂
=
∫∫∫
∂ IVZ(III-33)
Donc finalement :
0 I I
IVX + VY + VZ = (III-34)
Remplaçons les relations (III-33), (III-34) et (III-35) dans l’équation (III-34), on trouve la partie en divergence comme suit :
35) (III 2 A
∆x∆y α
2
∆x∆y A α
2
∆x∆y A α
2
∆x∆y α
2 A
∆x∆z α 2
∆x∆z A α
2
∆x∆z A α
2
∆x∆z α
2 A
∆y∆z α
2
∆y∆z A α
2
∆y∆z A α
2
∆y∆z α
∆z v
∆x∆y v α
∆z
∆x∆y v α
∆y
∆x∆z v α
∆y
∆x∆z v α
∆x
∆y∆z v α
∆x
∆y∆z α
∆z v
∆x∆y α
∆z
∆x∆y α
∆y
∆x∆z α
∆y
∆x∆z α
∆x
∆y∆z α
∆x
∆y∆z α
b ZP ZB t
ZT b t
s YP YS n
YN s n
w XP XW e
XE w e
b B T b
t S t
s N s
n W n
w E w
e e
b P b t
t s
s n
n w
w e
e
−
−
+
− +
−
+
− +
−
+
− +
+ +
+ +
+
=
+ + + + +
Modélisation d’une installation à plasma inductif basse fréquence 52
Les trois premières équations du système (III-28) exposent les trois composantes du potentiel A au nœud principal P en fonction des potentiels A et v aux nœuds voisins.
La quatrième équation algébrique (III-35), expose le potentiel électrique v au nœud principal P en fonction des potentiels A et v aux nœuds voisins.
Ces quatre équations sont définies pour les nœuds situés à l’intérieur du domaine d’étude, c’est à dire pour les volumes intérieurs. Afin de compléter la formulation, il faudrait y également réécrire ces équations pour les différentes limites du domaine d’étude à partir des conditions aux limites appropriées.
III.3.3 Equations algébriques aux limites
La discrétisation du système (III-1) dans un volume élémentaire aboutit à un système des équations algébriques (III-28) et à l’équation (III-35). Mais il faut tenir compte des volumes élémentaires de limites en arrivant à un changement des coefficients relatifs aux équations algébriques citées ci-dessus et en fonction des conditions aux limites.
Deux types de condition aux limites peuvent être envisagés :
Type Dirichlet :
La formulation avec ce type de condition, ne pose pas de difficulté, car les potentiels (A,v) sont connus aux limites. Les équations algébriques correspondantes aux nœuds sur ces limites seront éliminées du système algébrique (III-28) et de l’équation (III-35).
Cela se traduit par :
=
=
=
=
0 v
0 A
0 A
0 A
Z Y X
(III-36)
Type Newman :
La formulation, en fixant les dérivées des potentiels (A,v) par rapport à la normale sur les frontières du domaine d’étude, conduit à réécrire les équations algébriques pour ces frontières .
Modélisation d’une installation à plasma inductif basse fréquence 53
III.3.4 Résolution des équations algébriques par la méthode itérative
La méthode de résolution utilisée est une méthode itérative. La méthode directe nécessite beaucoup de place en mémoire.
Le système d’équations algébriques pour les inconnues Ax, Ay, Az et v est le suivant :
) 37 (III )
S .v a .v a
.A a .A
a .A
a .A
a
.A a .A
a .A
a .A
a .A a .A a
.A a .A a .A a .A a .A a .A a
.A a .A a .A a .A a A a A a a
A 1
x W vx E vx
zBW bwx zBE
bex zTW twx zTE tex
ySW swx ySE sex yNW nwx
yNE enx zB ztx zT ztx
zW zex zE zex yS ynx yN ynx yW yex yE yex
xB b xT t xS s xN n xW Pw xE Px Pe
XP
− +
−
+ +
+ +
+ +
+ +
+
−
+
− +
− +
−
+ +
+ +
+ +
= ( . .
) 38 (III )
S .v a .v a
.A a .A
a .A
a .A
a
.A a .A
a .A
a .A
a .A a .A a
.A a .A a .A
a .A a .A a .A a
.A a .A a .A a .A a .A a .A a (a
A 1
y S vy N vy
xSW swy xNW
nwy xSE
sey xNE ney
zSB sby zTS tsy zNB nby zNT
nty zB zty zT zty
zS zny zN zny xW
xey xE
xey xS
xny xN
xny
yB b yT t yS Ps yN Pn yW w yE Py e
YP
− +
−
+ +
+ +
+ +
+ +
+
−
+
− +
− +
−
+ +
+ +
+ +
=
39) (III )
S .v a .v a
.A a .A
a .A
a .A
a
.A a .A
a .A
a .A
a .A a .A a
.A a .A a .A a .A a .A
a .A a
.A a .A a .A a .A a .A a .A a (a
A 1
z B vz T vz
yBS bsz yBN bnz yST
stz yNT ntz
xBW bwz
xTW twz
xBE bez xTE tez yB ytz yT ytz
yS ynz yN ynz xB
xtz xT xtz xW xez xE xez
zB Pb zT Pt zS s zN n zW w zE Pz e
ZP
− +
−
+ +
+ +
+
+ +
+ +
−
+
− +
− +
−
+ +
+ +
+ +
=
) 40 (III ) .A b .A b .A b .A b .A b .A b .A b
.A b .A b .v b .v b .v b .v b .v b .v b (b v 1
z Pz y Py x Px zB bz zT tz yS sy yN ny
xW wx xE ex B b T t S s N n W w E P e
P
− +
+ +
− +
−
+
− +
+ +
+ +
+
=
