Théorèmes sur les équations algébriques

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

S ONDAT

Théorèmes sur les équations algébriques

Nouvelles annales de mathématiques 3

^e

série, tome 16 (1897), p. 169-171

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(2)

[A3a]

THÉORÈMES SUR LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES;

PAR M. SONDAT.

Si l'équation

(0 _{- cx}

n~2... — nkx -4- / = o,

(3)

de degré pair et à coefficients binomiaux, a — h i ra- cines égales, l'une des conditions de multiplicité est

A étant une fonction homogène et du second degré des coefficients a, b, c, . . . , #, /, obtenue en remplaçant dans <p les puissances décroissantes d e x par /, A, h, ...,

&, a, c'est-à-dire en écrivant

(i) A = a/ — nbk -+- n(/ l~ ~I> c£ _ . . . _ nhk -4- a/.

Posons, en effet,

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cpt = axn~l — (71 — \)bxn-'i-^-... — k, cp2 = axn~-i— (;i — Î ) ^ ^ ^ -3^ - . . .-\- k,

rt_! =z ax —

(fi, (f2 étant les dérivées successives de <p, divisées res- pectivement par 7i> 7i(n — i), . . . .

Dans l'expression (2) de A, remplaçons a, è, c, . . . , A, / par a, <p,*_i, <p^w_², . . . , cp,, cp et soit A' le résultat de la substitution.

Nous aurons

y ^{= a} -n _, , +^±"^{( / t}~⁰- - - ( ^^{+ 1}) - , Or

1 . 2 . . . -

•2

car, en formant la dérivée, on obtient, d'après (3), des termes qui s'entre-détruisent deux à deux. Donc A7 est

(4)

( ' 7 ' ) indépendant de x. De plus, (4) A'=A,

puisque, si l'on fait x = o, les ternies de A' deviennent ceux de A.

Cela posé, si l'équation (i) a — h i racines égales à p, en attribuant à x cette valeur p, on annule cp, <p<, <p2j •••) on. Les termes de A' sont donc tous nuls, et par

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