1 Produit tensoriel

Sorbonne Université M1 de Mathématiques

4M002 (Algèbre et théorie de Galois) Automne 2020

TD n

6.

1 Produit tensoriel

Exercice 1. Calculer les produits tensoriels suivants : a) Z/nZ⊗_ZZ/mZ,

b) Z/nZ⊗_ZQetZ/nZ⊗_Z(Q/Z) c) Q⊗_ZQ,

d) Z[X]⊗_ZZ[Y].

Solution. On rappelle les deux résultats suivants du cours (le ii) étant une conséquence du i)) :

i) siIest idéal d’un anneauAetM est unA-module, alors il existe un unique isomorphisme deA-modules (et même deA/I-modules)A/I⊗_AM ∼

−→M/IM qui envoie ¯1⊗msur ¯mpour toutm∈M. ii) siJ est un autre idéal, alors il y a un unique isomorphisme de A-algèbres A/I⊗AA/J ∼

−→A/(I+J) qui envoiea⊗bsur ¯a¯bpour touta∈A/I etb∈A/J.

a) D’après ii), on a doncZ/nZ⊗_ZZ/mZ'Z/(n, m)Z

b) Puisque Qet Q/Zsont n-divisibles (i.e.nQ=Qet n.(Q/Z) =Q/Z) i) nous dit que ces deux modules sont nuls.

c) Puisque la multiplicationQ×Q−→QestZ-bilinéaire, il y a un unique morphisme de groupes abéliens Q⊗_ZQ−→^µ Qqui envoiex⊗ysurxypour tousx, y∈Q. Dans l’autre sens, on a un morphisme de groupes abéliensQ−→^ε Q⊗_ZQdéfini parε(x) = 1⊗x. Montrons que ces deux morphismes sont inverses l’un de l’autre. On a manifestementµ◦ε(x) =xpour toutx∈Q. Réciproquement, on aε◦µ(x⊗y) = 1⊗(xy).

Comme les tenseurs élémentairesx⊗yengendrentQ⊗Q, il s’agit donc de montrer quex⊗y= 1⊗(xy) dansQ⊗_ZQ. Rappelons que, parZ-bilinéarité, on a (nx)⊗y=x⊗(ny) pour toutn∈Zet tousx, y∈Q. Mais puisque n est inversible dansQ, on a donc aussi ^x_n ⊗y =x⊗_n^y pour tout n, x, y. Écrivons donc x=^a_b, il s’ensuit quex⊗y=a⊗(¹_by) = 1⊗^a_by= 1⊗xy, comme voulu.

d) On va montrer que Z[X]⊗Z[Y] ' Z[X, Y] en construisant des morphismes dans les deux sens et en montrant qu’ils sont inverses l’un de l’autre. Par propriété universelle des polynômes, il y a un unique morphisme d’anneauxZ[X, Y]−→^ρ Z[X]⊗Z[Y] qui envoieX surX⊗1 etY sur 1⊗Y. Dans l’autre sens, puisque l’application Z[X]×Z[Y] −→Z[X, Y] qui envoie (f(X), g(Y)) surf(X)g(Y) est Z-bilinéaire, la propriété universelle des produits tensoriels nous dit qu’il existe un unique morphisme d’anneaux Z[X]⊗Z[Y] −→^ϕ Z[X, Y] qui envoie f ⊗g sur f g. On a alors ε(Xⁱ ⊗Y^j) = XⁱY^j et ρ(XⁱY^j) = (Xⁱ⊗1)(1⊗Y^j) =Xⁱ⊗Y^j. Comme lesXⁱY^jengendrentZ[X, Y] et lesXⁱ⊗Y^jengendrentZ[X]⊗Z[Y], les deux composées sont bien l’identité.

Exercice 2. Soitkun corps, etV et W deuxk-espaces vectoriels de dimension finie.

a) Montrer qu’il existe un unique isomorphisme dek-espaces vectorielsϕ: V^∗⊗W ∼

−→ Homk(V, W) qui envoieλ⊗wsur l’application linéairev7→λ(v)wpour toute forme linéaireλ∈V^∗ et toutw∈W. b) Montrer qu’il existe une unique applicationk-linéaireV^∗⊗V −→^ev kqui envoieλ⊗vsurλ(v) pour tout

λ∈V^∗ et toutv∈V.

c) Calculer la composée Endk(V) ∼

−→V^∗⊗V −→^ev k.

Solution. a) Pour l’existence du morphisme, il suffit de montrer que l’applicationV^∗×W −→Homk(V, W) qui envoie (λ, w) sur l’application linéairev7→λ(v)west bienk-bilinéaire, ce qui est clair. Montrons son injectivité en choisissant une basew₁,· · ·, w_m deW, en notantw^∗₁,· · · , w_m^∗ sa base duale dansW^∗. Un élément deV^∗⊗W s’écrit alors de manière uniquex=Pm

j=1λ_j⊗w_j. De plus, pour toutv∈V et tout i, on a (w^∗_i ◦ϕ(x))(v) =w^∗_i(P

jλ_j(v)w_j) =λ_i(v), c’est-à-direw_i^∗◦ϕ(x) =λ_i. Soncϕ(x) = 0⇒λ_i= 0.

Ceci étant vrai pour touti, on a bienϕ(x) = 0⇒x= 0. Finalement, on observe quel les deux côtés sont de dimension dim(V) dim(W), doncϕest un isomorphisme.

b) Il suffit de voir que l’application (λ, v)7→λ(v) est bilinéaire, ce qui est clair.

c) Soit e1,· · ·, en une base de V et e^∗₁,· · ·, e^∗_n sa base duale. Alors les e^∗_i ⊗ej sont une base de V^∗⊗V, et l’endomorphisme uij ∈Endk(V) correspondant a pour matrice Eij dans cette base. Maintenant on observe que ev(e^∗_i ⊗ej) =δij = tr(uij). On en déduit que la composée voulue est la trace.

Exercice 3. SoitAun anneau commutatif etM unA-module. On poseT⁰M :=A, puis TⁿM :=M ⊗AM ⊗A· · · ⊗AM

(nfacteurs) pourn>1, et enfinT M :=L

n∈NTⁿM.

a) Montrer qu’il existe une unique structure deA-algèbre (non commutative en général) surT M telle que pour toute paire de tenseurs élémentairesx1⊗ · · · ⊗xn∈TⁿM et y1⊗ · · · ⊗ym∈T^mM, on a

(x1⊗ · · · ⊗xn)(y1⊗ · · · ⊗ym) =x1⊗ · · · ⊗xn⊗y1⊗ · · · ⊗ym∈T^n+mM.

b) Montrer que pour toute A-algèbre B et tout morphisme de A-modules M −→^ϕ B, il existe un unique morphisme deA-algèbresT M −→^{T ϕ} B tel que T ϕ_|T¹M =ϕ.

c) SoitSM le quotient deT M par l’idéal bilatère engendré par les éléments de la formex1⊗x2−x2⊗x1∈ T²M, avecx₁, x₂ ∈M. Montrer que SM est une A-algèbre commutative qui a la propriété universelle suivante : pour toute A-algèbre commutative B et tout morphisme de A-modulesM −→^ϕ B, il existe un unique morphisme de A-algèbres SM −→^Sϕ B tel que Sϕ_|S1M =ϕ, où S¹M est l’image deT¹M et s’identifie àM.

d) Supposons M libre de base e1,· · · , en. Montrer qu’il existe un unique isomorphisme de A-algèbreψ : A[X1,· · · , Xn] ∼

−→SM tel que ψ(Xi) =ei∈S¹M pour touti.

Solution. a) Comme vu dans le cours, il y a un unique isomorphisme de A-modulesTⁿM ⊗AT^mM ∼

−→

T^n+mM donné sur les tenseurs élémentaires par la formule de l’énoncé. Passant à la somme directe, cela induit un morphisme T M⊗AT M −→^µ T M, i.e. une loiA-bilinéaire sur T M. Il reste à prouver qu’elle est associative, ce qui se vérifie sur les tenseurs élémentaires puisqu’ils sont générateurs, la vérification étant immédiate (concaténation).

b) Remarquons que, par construction, la A-algèbre est engendrée par T¹M (i.e. tout élément est somme de produits de T¹M). On en déduit l’unicité d’un éventuel T ϕ. Pour l’existence, on remarque que l’application (x₁,· · ·, x_n)7→ϕ(x₁)ϕ(x₂)· · ·ϕ(x_n) est n-A-linéaire, donc il existe un unique morphisme de A-modulesTⁿM −→^{T n ϕ} B qui envoie x1⊗ · · · ⊗xn sur ϕ(x1)ϕ(x2)· · ·ϕ(xn). On voit alors clairement queT ϕ=P

nTⁿϕest multiplicatif, donc est un morphisme de A-algèbres.

c) SoitIl’idéal en question. Pour la commutativité deSM, il suffit de montrer que x₁⊗ · · · ⊗x_n⊗y₁⊗ · · · ⊗y_m−y₁⊗ · · · ⊗y_m⊗x₁⊗ · · · ⊗x_n∈I

pour tousxi et yj dansM. Plus généralement, il suffit de montrer que pour tout n, toute permutation σ∈Sn, et toute famillex1,· · ·, xn ∈M, on a

x₁⊗ · · · ⊗x_n−x_σ(1)⊗ · · · ⊗x_σ(n)∈I.

On se souvient queσpeut s’écrire comme un produit demtranspositionssi:= (i, i+ 1). Par récurrence surm, il suffit de traiter le casσ=si. Or on a

x₁⊗ · · · ⊗x_i⊗x_i+1⊗ · · · ⊗x_n−x₁⊗ · · · ⊗x_i+1⊗x_i⊗ · · · ⊗x_n

= (x1⊗ · · ·x_i−1)(xi⊗xi+1−xi+1⊗xi)(xi+1⊗ · · · ⊗xn)∈I

Soit maintenant B une A-algèbre commutative. Par b), il existe un morphisme T ϕ de A-algèbre qui prolonge ϕ : M −→ B. Puisque B est commutative, T ϕ est nul sur I et se factorise donc par un morphismeSϕ :SM −→ B comme souhaité. L’unicité est encore conséquence du fait queS¹M =M engendreSM commeA-algèbre.

d) PuisqueSMest commutative, la pté universelle des polynômes assure l’existe ce deψ. Dans l’autre sens, il existe un unique morphisme deA-modulesM −→^ϕ A[X1,· · ·, Xn] qui envoie ei surXi (puisque lesei

forment une base de M). Par c), ce morphisme s’étend en un morphisme de A-algèbres Sϕ: SM −→

A[X1,· · · , Xn]. Par définition on aSϕ(ψ(Xi)) =Xi, ce qui implique queSϕ◦ψ= id. Réciproquement, on aψ(Sϕ(ei)) =ei, ce qui implique au moins queψ◦SϕenvoieS¹M dans lui-même et induit l’identité surS¹M. PuisqueS¹M engendreSM, on en déduit que ψ◦Sϕ= id.

Exercice 4. SoitA−→^ϕ B un morphisme d’anneaux.

a) Rappeler la structure deA-algèbre surB⊗ABet montrer que la multiplication deBinduit un morphisme deA-algèbres B⊗AB−→B.

b) SoitIle noyau de ce morphisme, qui est donc un idéal deB⊗AB, et posons Ω :=I/I². i) Montrer que l’idéalI deB⊗AB est engendré par les éléments de la forme (b⊗1−1⊗b).

ii) ToutB⊗AB-module peut être vu comme unB-module de deux manières : en faisant agirbcomme b⊗1 ou comme 1⊗b. Montrer que sur Ω, ces deux structures deB-modules coïncident.

iii) Montrer que l’application d : B −→ Ω, b 7→ db := b⊗1−1⊗b est A-linéaire et vérifie d(bb⁰) = bdb⁰+b⁰dbpour tousb, b⁰∈B.

iv) Dans le casB =A[X1,· · ·, Xn], montrer que le B-module Ω est engendré pardX1,· · · , dXn, et que pour tout polynôme f ∈B, on a df =Pn

i=1

∂f

∂X_i.dXi, où _∂X^∂f

i est le polynôme dérivé def “selon la variable” Xi.

c) Soit M un B-module. Une A-dérivation de B à valeurs dans M est un morphisme de A-modules ∂ : B−→M tel que∂(bb⁰) =b∂b⁰+b⁰∂b.

i) Vérifier que l’ensemble DerA(B, M) de toutes ces dérivations est naturellement unB-module.

ii) Montrer que l’applicationψ7→ψ◦dest une bijection HomB(Ω, M) ∼

−→DerA(B, M).

iii) Supposons B = A[X₁,· · ·, Xn] et M = B. Montrer que l’application ∂i : f 7→ _∂X^∂f

i est dans DerA(B, B). Notons encore ψi ∈ HomB(Ω, B) = Ω^∨ le morphisme de B-modules associé. Montrer que ψi(dXj) =δij. En déduire que Ω est libre sur B de basedX1,· · ·, dXn et que DerA(B, B) est libre sur B de base∂1,· · · , ∂n.

iv) LeB-module Ω est parfois appelé “module des différentielles de Kähler”, et aussi “fibré (ou module) cotangent”. Si vous avez fait un peu de géométrie différentielle, justifiez cette deuxième terminologie.

Solution. a) L’applicationB×B−→B, (b1, b2)7→b1b2estA-bilinéaire, donc il existe un unique morphisme de A-moduleB⊗_AB −→^∆ B qui envoie un tenseur élémentaire b₁⊗b₂ sur b₁b₂. De la même manière, on voit qu’il existe un unique morphisme de A-modules (B⊗_AB)×(B⊗_AB)−→B⊗_AB qui envoie (b₁⊗b₂, b⁰₁⊗b⁰₂) sur (b₁b⁰₁)⊗(b₂b⁰₂). On vérifie aisément que la multiplication ainsi définie est associative et définit une structure d’anneau, et même deA-algèbre surB⊗AB. L’application ∆ est alors clairement multiplicative, donc un morphisme deA-algèbres.

b) i) Remarquons déjà que pour b ∈ B, on a bien b⊗1−1⊗b ∈ I. Notons J l’idéal engendré par ces éléments. On a doncJ ⊂Iet on veut montrer queJ =I. On sait qu’un élémentxdeB⊗AB s’écrit sous la formex=Pn

i=1bi⊗b⁰_i (de manière non unique, en général). Un tel élément est dansI si et seulement si on aP

ibib⁰_i= 0 dansB. Or, l’égalité

bi⊗b⁰_i= 1⊗(bib⁰_i) + (1⊗b⁰_i)(bi⊗1−1⊗bi) montre que

X

i

b_i⊗b⁰_i≡ X

i

1⊗(b_ib⁰_i)

!

modJ.

Couplé à l’égalité P

i1⊗(bib⁰_i) = 1⊗(P

ibib⁰_i), on voit donc que si x∈I alors x≡0 mod J, i.e.

x∈J.

ii) Soitx∈Ietb∈B. Alors (b⊗1)x−(1⊗b)x= (b⊗1−1⊗b)x∈I²donc, dans Ω, on a (b⊗1)¯x= (1⊗b)¯x.

iii) De plus, on a dansI l’égalité

(bb⁰)⊗1−1⊗(bb⁰) = (bb⁰)⊗1−b⊗b⁰+b⊗b⁰−1⊗(bb⁰)

= (b⊗1)(b⁰⊗1−1⊗b⁰) + (1⊗b⁰)(b⊗1−1⊗b)

En passant dans Ω, on obtient l’identité voulue d(bb⁰) = bdb⁰+b⁰db grâce à ii). Par ailleurs, on a a⊗1 = 1⊗a dansB⊗_AB (par définition du produit tensoriel), doncda= 0, etd(ab) =adb pour tout b∈B.

iv) De manière générale, la question i) montre que leB-module Ω est engendré par les élémentsdb,b∈B.

Les relations d(bb⁰) =bdb⁰+b⁰dbetd(b+b⁰) =db+db⁰ montrent que siB est engendrée, en tant que A-algèbre, par un ensembleE ⊂B, alors Ω est engendré par les db, où b ∈E. En particulier dans l’exempleB=A[X1,· · ·, Xn], leB-module Ω est donc engendré par lesdXi. Pour justifier la formule pourdf, on remarque que sif =gh, alors les égalitésdf =gdh+hdget _∂X^∂f

i =g_∂X^∂h

i+h_∂X^∂g

i montrent que la formule pourdf est vraie dès qu’elle l’est pourdget dh. De même pourf de la formeg+h.

Il s’ensuit qu’il suffit de vérifier la formule pourf =X_j, j= 1,· · ·, n, où elle est immédiate.

c) i) immédiat.

ii) Vérifions que l’application est bien définie. Si ψ : Ω−→ M est un morphisme deB-modules, alors (ψ◦d)(bb⁰) =ψ(bdb⁰+b⁰db) =b(ψ◦d)(b⁰) +b⁰(ψ◦d)(b). Commeψ◦d(a) = 0 pour touta∈A, on en déduit que ψ◦dest bien uneA-dérivation deB à valeurs dansM.

D’après b)i), on sait que le B-module Ω est engendré par les éléments de la formedb, b∈B. On en déduit que l’application est injective (i.e. ψ◦d= 0⇒ψ= 0).

Pour la surjectivité, partons d’une dérivation∂∈Der_A(B, M). C’est donc en particulier un morphisme deA-modules. CommeM est unB-module, on a un unique morphisme deB-modules∂_B :B⊗_AB−→

M tel que ∂_B(b⊗b⁰) = b∂(b⁰). Ici, la structure de B-module sur B⊗_AB est celle où b agit par multiplication parb⊗1.

Restreignons∂_B àI⊂B⊗_AB et montrons que la restriction de∂_B àI²est nulle. Pour cela, d’après b)i), il suffit de montrer que pout tousb, b⁰∈B, on a∂_B((b⊗1−1⊗b)(b⁰⊗1−1⊗b⁰)) = 0.Or, on calcule

∂B((b⊗1−1⊗b)(b⁰⊗1−1⊗b⁰)) = ∂B((bb⁰)⊗1−b⁰⊗b−b⊗b⁰+ 1⊗(bb⁰))

= bb⁰∂(1)−b⁰∂(b)−b∂(b⁰) +∂(bb⁰) = 0

car∂(1) = 0 et∂(bb⁰) =b⁰∂(b)+b∂(b⁰). Il s’ensuit que∂_Bse factorise par un morphisme deB-modules ψ: Ω =I/I²−→M. De plus, on calcule que pour toutb∈B,

(ψ◦d)(b) =∂_B(b⊗1−1⊗b) =b∂(1) +∂(b) =∂(b).

Donc l’application de l’énoncé est surjective.

iii) Il est clair que∂i est uneA-dérivation de B dans elle-même. D’après le ii),ψi vérifieψi(df) =∂i(f) pour tout f ∈B. En particulier, si f =Xj, on a bienψi(dXj) = δij. On en déduit que la famille dX1,· · ·, dXn estB-libre dans Ω, puisque siP

ifidXi = 0, alors pour touti, on a ψi(P

jfjdXj) = P

jfjψi(Xj) = fi = 0. Comme on sait déjà qu’elle est génératrice, c’est donc une B-base de Ω.

Il s’ensuit aussi que les ψ_i sont la B-base duale de Ω^∨ et donc que les ∂_i forment une B-base de Der_A(B, B).

iv) FaisonsA=C. On a vu queBs’identifie à l’algèbre des fonctions polynômiales surCⁿ. En géométrie différentielle, on regarde plutôt les fonctionsC^∞surRⁿ, et on montre que les dérivations deC^∞(Rⁿ) s’identifient aux “champs de vecteurs” sur Rⁿ, c.a.d. aux “sections du fibré tangent”. L’analogue algébrique de l’e.v. des dérivations est le module DerA(B, B)'Ω^∨. Il est donc naturel de considérer Ω^∨ comme un analogue du fibré tangent (au moins de ses sections globales), et son dual Ω mérite donc le nom de “cotangent”.

Exercice 5 (Théorème de Cayley-Hamilton). Soit A un anneau commutatif, M un A-module de type fini.

L’ensemble End_A(M) des endomorphismes de M est alors une A-algèbre (pas commutative, en général) dont la multiplication est donnée par la composition. Pouru∈End_A(M), on veut montrer qu’il existe un polynôme unitairef ∈A[X] tel quef(u) = 0.

a) On suppose dans un premier temps que M est libre de base e1,· · · , en. On note U = (aij)16i,j6n la matrice deudans cette base, de sorte que u(ej) =P

iaijei pour toutj.

i) Montrer que le polynôme det(U−XIn) ne dépend pas de la base choisie. On le noteχu(X).

ii) SoitA−→^ϕ A⁰ un morphisme d’anneaux. PosonsM⁰:=A⁰⊗_AM etu⁰:= id⊗u. Montrer que χu(u) = 0⇒χu⁰(u⁰) = 0

χu⁰(u⁰) = 0⇒χu(u) = 0 lorsqueϕest injectif iii) Montrer que siA est un corps algébriquement clos, alorsχ_u(u) = 0.

iv) Montrer que siA est intègre, alorsχu(u) = 0. (On admettra que tout corps peut se plonger dans un corps algébriquement clos).

v) Montrerχu(u) = 0 dans le cas général, en s’aidant de l’unique morphisme d’anneauZ[Xij]16i,j6n−→

A qui envoieXij suraij.

b) Soit maintenant M de type fini quelconque. Montrer qu’il existe un entier n, un morphisme surjectif Aⁿ−→^π M et un endomorphisme ˜u∈EndA(Aⁿ) tels queu◦π=π◦u. En déduire que˜ χu˜(u) = 0.

Application : soit A −→^ϕ B un morphisme d’anneaux. On dit que b est entier sur A s’il est annulé par un polynôme unitaire à coefficients dansA.

c) Montrer l’équivalence entre les assertions suivantes : i) b est entier surA

ii) la sous-A-algèbreA[b] engendrée parAest unA-module de type fini

d) Montrer que l’ensemble des éléments deB entiers surAest un sous-anneau deB.

Solution. a) i) Si e⁰₁,· · ·, e⁰_n est une autre base, alors la matrice P = (b_ij)_i,j définie par e⁰_j = P

ib_ije_i est inversible dans Mn(A) et la matrice de u dans la base e⁰ est donnée par U⁰ = P⁻¹U P. Par ailleurs, l’application det : Mn(A)−→Aest multiplicative, donc on a det(U⁰−XIn) = detPdet(U− XIn) detP⁻¹= det(U −XIn).

ii) Notons aussiϕles morphismes d’anneauxA[X]−→A⁰[X] (envoyantX surX) et Mn(A)−→Mn(A⁰) induits par ϕ. On sait que la famille e⁰_i := 1⊗ei, i = 1,· · · , nest une base de M⁰. On a u⁰(e⁰_j) = (id⊗u)(1⊗ej) = 1⊗u(ej) = 1⊗(P

iaijei) =P

iϕ(aij)⊗ei. Donc la matriceU⁰ deu⁰ danse⁰ vérifie U⁰ =ϕ(U) dans Mn(A⁰). Remarquons maintenant que l’endomorphismeχu(u) est nul si et seulement si la matriceχu(U) est nulle, et idem pourχu⁰(u⁰) etχu⁰(U⁰). Or on aχu⁰(U⁰) =ϕ(χu(U)). Donc on a bienχu⁰(U⁰) = 0⇒χu(U) = 0, et la réciproque est vraie siϕest injective.

iii) Si A =: ¯k est un corps algébriquement clos, on sait qu’on peut choisir la base e telle que U soit diagonale par blocs, disons Uk ∈ Mn_k, avec chaque Uk triangulaire supérieur avec une seule valeur propre λk. Dans ce cas, un simple calcul montre queχu(X) =Q

k(X−λk)^nk et queχu(U) = 0.

iv) SiAest intègre, soitkson corps des fractions et ¯kune clôture algébrique dek. La composéeA−→¯k est injective donc ii) et iii) impliquent queχu(u) = 0.

v) Posons ˜A:=Z[Xij] et soitϕ: ˜A−→Ale morphisme d’anneaux défini parXij 7→aij. Notons ˜M le module libre ˜Aⁿ et ˜e1,· · ·˜ensa base canonique. Il existe un unique isomorphisme deA-modulesA⊗A˜

M˜ ∼

−→M qui envoie 1⊗e˜isurei. Via cet isomorphisme, on au= id⊗˜uen notant ˜ul’endomorphisme A-linéaire de ˜˜ M dont la matrice dans ˜eest (Xij)i,j. Puisque ˜Aest intègre, iii) nous dit queχu˜(˜u) = 0.

Mais alors ii) implique queχu(u) = 0, comme souhaité.

b) Soitm1,· · ·, mn une famille génératrice de M. Alors l’unique morphisme deA-modulesπ: Aⁿ −→M qui envoie ei sur mi est surjectif. Considérons la composée u◦π. Pour touti = 1,· · ·, n, choisissons fi∈Aⁿ tel queπ(fi) =u(π(ei)). Il existe un unique morphisme deA-modules ˜u:Aⁿ−→Aⁿ qui envoie e_isurf_i. On a alors bienu◦π=π◦u. Mais alors, on a aussi˜ u²◦π=u◦u◦π=u◦π˜u=π◦u◦˜ u˜=π◦u˜². De même, pour toutn, on suⁿ◦π=π◦uⁿ, et finalement, pour toutf ∈A[X], on af(u)◦π=π◦f(˜u).

En particulier, d’après a)iv), on aχ_u˜(u)◦π= 0. Orπ est surjective, doncχ_u˜(u) = 0.

c) On a déjà vu cela plusieurs fois. On sait queA[b] est leA-module engendré par les puissances deb. Sibest annulé parf unitaire de degrén, alorsA[b] est simplement engendré par 1, b,· · · , bⁿ⁻¹. Réciproquement, siA[b] est de type fini, alors il est engendré par un nombre fini de puissances deb, disons de degré< n.

En particulierbⁿ est combinaison linéaire desb^k,k < net on en déduit un polynôme unitaire annulant b.

d) Sib, b⁰sont deux éléments entiers surA, disons annulés par des polynômes unitaires de degrés respectifsn etn⁰, alorsA[b, b⁰] est engendré par lesbⁱb^0javeci < netj < n⁰. Considérons alors la multiplication par b+b⁰. Elle stabiliseA[b, b⁰]. Notons donc ub+b⁰ l’endomorphisme de A[b, b⁰] induit par la multiplication parb+b⁰. D’après b), il existef unitaire tel quef(ub+b⁰) = 0. Or,f(ub+b⁰) est l’endomorphisme induit par la multiplication parf(b+b⁰). En évaluant en 1, on obtient doncf(b+b⁰) = 0. On en déduit que b+b⁰ est entier, et de même pour bb⁰.

Exercice 6. On notef_α∈Q[X] le polynôme minimal unitaire d’un nombre algébriqueα∈C, etd_αson degré.

a) Soientαetβ ∈Cdeux nombres algébriques.

i) Construire un morphisme surjectif deQ-algèbres Q[α]⊗_QQ[β]−→Q[α, β]. Montrer sur un exemple que ce morphisme n’est pas toujours injectif.

ii) Montrer que Q[α]⊗Q[β] est un corps si et seulement si fα reste irréductible dans Q[β][X], si et seulement si dim_Q(Q[α, β]) =nαnβ.

b) Soit αun entier algébrique (donc fα ∈Z[X]), et pun nombre premier. Montrer que pest un élément premier deZ[α] si et seulement si ¯fα∈Fp[X] est irréductible.

Solution. a) i) On a par inclusion deux morphismes Q[α]−→Q[α, β] etQ[α]−→Q[α, β]. La propriété universelle des produits tensoriels d’algèbres (coproduits), nous fournit donc le morphisme voulu, qui n’a plus de raison d’être injectif. Par exemple, siα=β, alors la source est de dimensionn²_αet la cible est de dimensionn_α.

ii) On a un isomorphisme de Q-algèbres Q[X]/(f_α) ∼

−→ Q[α]. En utilisant les propriétés du produit tensoriel vues en cours, on en déduit queQ[α]⊗Q[β]'Q[β][X]/(f_α), qui est un corps si et seulement si f_α est irréductible dans Q[β][X]. De plus, si Q[α]⊗Q[β] est un corps, le morphisme du i) est injectif, donc bijectif et on a donc dim(Q[α, β]) = dim(Q[α]⊗Q[β]) =n_αn_β. Réciproquement, cette égalité implique que le morphisme du i) est un isomorphisme, et donc queQ[α]⊗Q[β] est un corps.

b) On écritZ[α]'Z[X]/(f_α), d’oùZ[α]/(p)'Z[X]/(p, f_α) =Fp[X]/( ¯f_α).

Exercice 7 (Bigèbres). Soit A un anneau commutatif et B une A-algèbre. On se donne un morphisme de A-algèbresB −→^∆ B⊗AB, qu’on appellecoproduit.Pour touteA-algèbreR, on poseG(R) := HomA−alg(B, R).

a) Étant donnés ψ1, ψ2 ∈G(R), rappeler pourquoi il existe un unique morphisme de A-algèbres ψ1·ψ2 : B⊗AB−→Rtel que (ψ1·ψ2)(b1⊗b2) =ψ1(b1)ψ2(b2) pour tousb1, b2∈B.

b) On munitG(R) de la loiG(R)×G(R)−→G(R) définie parψ1∗ψ2:= (ψ1·ψ2)◦∆. Montrer que tout morphisme deA-algèbresR−→R⁰ induit une applicationG(R)−→G(R⁰) compatible aux produits.

c) On dit que ∆ estcoassociatif si (∆⊗idB)◦∆ = (idB⊗∆)◦∆ (en tant que morphismesB−→B⊗AB⊗AB).

Montrer l’équivalence entre i) ∆ est coassociatif

ii) G(R) est un monoïde associatif pour toutR.

d) Montrer l’équivalence entre

i) Il existe un morphisme de A-algèbres ε : B −→ A tel que (id.ε)◦∆ = (ε.id)◦∆ = idB. Un tel morphismeεest appelécounité de ∆.

ii) Pour tout R, G(R) possède une unité εR telle que pour tout morphisme R −→ R⁰, l’application G(R)−→G(R⁰) envoieεR surεR⁰.

e) Montrer l’équivalence entre

i) Pour toutR,G(R) est un groupe.

ii) Il existe un morphisme de A-algèbres ι :B −→B tel que (ι·id_B)◦∆ = (id_B·ι)◦∆ =ε_B. Un tel morphisme est appelécoinverse de∆.

f) Exemples :

i) SoitB=A[X] et ∆ défini par ∆(X) =X⊗1 + 1⊗X. Montrer que ∆ est coassociatif, queG(R) est le groupe additifR pour toutR, et calculer la counité et la coinverse de ∆.

ii) SoitB=A[X, X⁻¹] et ∆ défini par ∆(X) =X⊗X. Montrer que ∆ est coassociatif, queG(R) =R^× (groupe multiplicatif) pour toutR, et calculer la counité et la coinverse de ∆.

iii) Soit B = A[X_ij][δ⁻¹], où 1 6 i, j 6 n et δ est le déterminant de la matrice (X_ij)_i,j. Trouver un coproduit ∆ sur B pour queG(R) = GL_n(R) pour touteA-algèbreR.

Solution. a) C’est du cours. Rappelons que l’existence de ψ₁·ψ₂ en tant que morphisme de A-modules provient de laA-bilinéarité de l’applicationB×B−→R, (b₁, b₂)7→ψ₁(b₁)ψ₂(b₂) (propriété universelle de ⊗A). Le fait que ce soit un morphisme de A-algèbres est immédiat, vu la définition du produit sur B⊗AB. Son unicité provient du fait que les tenseurs élémentaires b1⊗b2 engendrentB⊗AB comme A-module. Par ailleurs, profitons-en pour rappeler que cette application est l’inverse de la bijection

Hom_A−alg(B⊗AB, R) → Hom_A−alg(B, R)×Hom_A−alg(B, R) ϕ 7→ (ϕ◦(id⊗1), ϕ◦(1⊗id)) donnée par la propriété universelle des produits tensoriels deA-algèbres.

b) Concrètement, si b ∈ B et ∆(b) s’écrit Pn

i=1b1,i⊗b2,i, alors ψ1 ∗ψ2(b) = Pn

i=1ψ1(b1,i)ψ2(b2,i). Si maintenant on se donnef :R−→R⁰, alors cette formule montre quef◦[(ψ1·ψ2)◦∆] = ((f◦ψ1)·(f◦ ψ2))◦∆, donc l’applicationψ7→(f ◦ψ),G(R)−→G(R⁰) est compatible aux produits∗.

c) Supposons ∆ coassociatif, fixons uneA-algèbreRet des éléments ψ1, ψ2, ψ3∈G(R), et notons ψ1·ψ2·ψ3:B⊗AB⊗AB−→R

l’unique morphisme deA-algèbres qui envoie un tenseur élémentaireb1⊗b2⊗b3 surψ1(b1)ψ2(b2)ψ3(b3).

Alors par définition de la loi∗, on a

ψ₁∗(ψ₂∗ψ₃) = (ψ₁·(ψ₂∗ψ₃))◦∆ = (ψ₁·[(ψ₂·ψ₃)◦∆])◦∆

= (ψ1·ψ2·ψ3)◦(id⊗∆)◦∆ De même on a

(ψ₁∗ψ₂)∗ψ₃ = ((ψ₁∗ψ₂)·ψ₃)◦∆ = ([(ψ₁·ψ₂)◦∆]·ψ₃)◦∆

= (ψ1·ψ2·ψ3)◦(∆⊗id)◦∆

On voit donc que i)⇒ii). Réciproquement, supposons ii) et appliquons l’associativité dans le cas particu- lier suivant :R=B⊗AB⊗ABetψ1= id⊗1⊗1 (i.e.ψ1(b) =b⊗1⊗1),ψ2= 1⊗id⊗1 etψ3= 1⊗1⊗id.

On a alorsψ1·ψ2·ψ3= id⊗id⊗id = idB⊗B⊗B. L’égalitéψ1∗(ψ2∗ψ3) = (ψ1∗ψ2)∗ψ3et les formules ci-dessus nous donnent donc directement que (id⊗∆)◦∆ = (∆⊗id)◦∆.

d) Supposons i), et notonsεR la composée B −→^ε A−→ R, qui est donc un élément de G(R). Pour tout ψ∈G(R) et tout tenseur élémentaireb1⊗b2∈B⊗AB, on a

(εR·ψ)(b1⊗b2) =εR(b1)ψ(b2) =ε(b1)ψ(b2) =ψ(ε(b1)b2),

i.e.ε_R·ψ=ψ◦(ε.id). Il s’ensuit queε_R∗ψ=ψ◦(ε.id)◦∆ =ψpar hypothèse. De même on montre ψ∗ε_R=ψ.

Supposons i). Le cas particulierR=Anous donne donc un élémentεA∈G(A), c’est-à-dire un morphisme εA:B−→AdeA-algèbres. Par hypothèse, la compositionB−→A−→BestεB. Regardons maintenant le cas particulier R = B. Comme ci-dessus, pour tout ψ ∈ G(B), on a εB∗ψ = ψ◦(εA.id)◦∆. En particulier, siψ= idB, l’égalitéεB∗ψ=ψdevient (εA.id)◦∆ = idB. Idem pour l’autre égalité.

e) Supposons i). En particulier, pourR=B, l’élément id_B ∈G(B) admet un inverse dansG(B). Notonsι cet inverse. Par définition, on a donc, comme voulu,

(idB·ι)◦∆ = idB∗ι=εB =ι∗idB = (ι·idB)◦∆.

Réciproquement, supposons ii). Nous allons montrer que pour toute R et tout ψ ∈ G(R), l’élément ψ◦ι ∈ G(R) est inverse de ψ. Pour cela, on remarque d’abord que ψ·(ψ◦ι) = ψ◦(idB·ι) et donc que ψ∗(ψ◦ι) = ψ◦(idB◦ι)◦∆ = ψ◦εB. Or, on a ψ◦εB = εR puisque, pour tout b ∈ B, on a ψ(εB(b)) =ψ(ε(b)) =ε(b)ψ(1) =εR(b).

f) i) On calcule

(idB⊗∆)◦∆(X) = (idB⊗∆)(X⊗1 + 1⊗X) =X⊗∆(1) + 1⊗∆(X)

= X⊗1⊗1 + 1⊗X⊗1 + 1⊗1⊗X

De même, (∆⊗id_B)◦∆(X) =X⊗1⊗1 + 1⊗X⊗1 + 1⊗1⊗X. On en déduit que les deux morphismes (idB⊗∆)◦∆ et (∆⊗idB)◦∆ deB versB⊗AB⊗AB coïncident enX∈B, donc ils coïncident sur tout B puisqueX engendreB=A[X].

On se rappelle que l’applicationψ ∈G(R)7→ψ(X)∈R est une bijection (propriété universelle des polynômes). On calcule alors que (ψ1∗ψ2)(X) = (ψ1·ψ2)(X⊗1 + 1⊗X) =ψ1(X) +ψ2(X), donc G(R) est bien le groupe additif de R. On vérifie facilement que la counitéε:A[X]−→Aest définie parε(X) = 0 et la coinverseι:A[X]−→A[X] est définie par ι(X) =−X.

ii) On calcule que (∆⊗idB)◦∆(X) = (idB⊗∆)◦∆(X) =X⊗X⊗X, d’où l’associativité par le même argument qu’au i). On se rappelle que l’application ψ∈G(R)7→ψ(X)∈R^× est une bijection, et on calcule que ψ1∗ψ2(X) =ψ1(X)ψ2(X), doncG(R) est bien le groupe multiplicatif. Enfin, on vérifie queε(X) = 1 etι(X) =X⁻¹.

iii) On vérifie que la formule ∆(Xij) =Pn

k=1Xik⊗Xkjdéfinit un coproduit associatif et que l’application ψ 7→ (ψ(Xij))i,j identifieG(R) à GLn(R). La counité est définie par ε(Xij) = δij. La coinverse se déduit de la formule donnant l’inverse d’une matrice à partir de sa comatrice : si δij désigne le (i, j)-mineur de la matrice (Xij)i,j, alorsι(Xij) =δ⁻¹δji.