V. Bases orthogonales, bases orthonormales

(1)

V. Bases orthogonales, bases orthonormales

Théorème 17

Il existe toujours une base orthonormale pour(E,h·,·i).

Preuve : A partir d’une base{v₁, . . . ,v_n}deE, on peut construire une base orthonormale à l’aide du

procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.

Conséquence

Sidim(E) =n,(E,h·,·i)peut être “identifié” à(Rⁿ,h·,·ican).

(2)

V. Bases orthogonales, bases orthonormales

Théorème 17

Il existe toujours une base orthonormale pour(E,h·,·i).

Preuve : A partir d’une base{v₁, . . . ,v_n}deE, on peut construire une base orthonormale à l’aide du

procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.

Conséquence

Sidim(E) =n,(E,h·,·i)peut être “identifié” à(Rⁿ,h·,·ican).

(3)

VI. Représentation matricielle du produit scalaire

SoientB={e₁, . . . ,en}une base (quelconque) deE etv,w 2E.

Notons X :=MatB(v)etY :=MatB(w).

Définition 18

On appelle matrice représentative du p.s.h·,·idans la baseBla matrice Mat^ps_B (h·,·i) := (hei,eji)_1i,jn

Si on noteAcette matrice, on a alorshv,wi=^tXAY.

Remarque 19

B est orthonormale par rapport àh·,·issiMat^ps_B (h·,·i) =In. La matriceMat^ps_B (h·,·i)est symétrique et inversible.

Attention à ne pas confondre avec la matrice représentative d’une application linéaire !

(4)

VI. Représentation matricielle du produit scalaire

SoientB={e₁, . . . ,en}une base (quelconque) deE etv,w 2E. Notons X :=MatB(v)etY :=MatB(w).

Définition 18

Remarque 19

(5)

VI. Représentation matricielle du produit scalaire

Définition 18

Remarque 19

(6)

VI. Représentation matricielle du produit scalaire

Définition 18

Remarque 19

(7)

VI. Représentation matricielle du produit scalaire

Définition 18

Remarque 19

B est orthonormale par rapport àh·,·issiMat^ps_B (h·,·i) =In.

La matriceMat^ps_B (h·,·i)est symétrique et inversible.

(8)

VI. Représentation matricielle du produit scalaire

Définition 18

Remarque 19

(9)

VI. Représentation matricielle du produit scalaire

Définition 18

Remarque 19

(10)

VI. Représentation matricielle du produit scalaire

SoitB⁰ une autre base deE.

Proposition 20 (changement de base pour le produit scalaire) Mat^ps_B0(h·,·i) =^tP_B!B0Mat^ps_B (h·,·i)P_B!B0

Remarque

Attention à ne pas confondre avec le changement de base pour une application linéaire !

(11)

VI. Représentation matricielle du produit scalaire

Remarque

(12)

VI. Représentation matricielle du produit scalaire

Remarque

(13)

VII. Endomorphisme adjoint

Soitf un endomorphisme deE.

Proposition 21

Il existe un unique endomorphismef^⇤ deE tel que 8v,w 2E,hf(v),wi=hv,f^⇤(w)i. f^⇤ est appelé endomorphisme adjoint def.

Proposition 22

Soientg 2L(E), , µ2R. (IdE)^⇤=IdE

( f +µg)^⇤= f^⇤+µg^⇤ (g f)^⇤=f^⇤ g^⇤

f bijective)f^⇤ bijective et(f^⇤) ¹= f ¹ ^⇤ (f^⇤)^⇤=f

(14)

VII. Endomorphisme adjoint

Proposition 21

Il existe un unique endomorphismef^⇤ deE tel que 8v,w 2E,hf(v),wi=hv,f^⇤(w)i.

f^⇤ est appelé endomorphisme adjoint def.

Proposition 22

( f +µg)^⇤= f^⇤+µg^⇤ (g f)^⇤=f^⇤ g^⇤

(15)

VII. Endomorphisme adjoint

Proposition 21

Proposition 22

( f +µg)^⇤= f^⇤+µg^⇤ (g f)^⇤=f^⇤ g^⇤

(16)

VII. Endomorphisme adjoint

Proposition 21

Proposition 22

Soientg 2L(E), , µ2R.

(IdE)^⇤=IdE

( f +µg)^⇤= f^⇤+µg^⇤ (g f)^⇤=f^⇤ g^⇤

(17)

VII. Endomorphisme adjoint

Proposition 21

Proposition 22

( f +µg)^⇤= f^⇤+µg^⇤ (g f)^⇤=f^⇤ g^⇤

(18)

VII. Endomorphisme adjoint

Proposition 21

Proposition 22

( f +µg)^⇤= f^⇤+µg^⇤

(g f)^⇤=f^⇤ g^⇤

(19)

VII. Endomorphisme adjoint

Proposition 21

Proposition 22

( f +µg)^⇤= f^⇤+µg^⇤ (g f)^⇤=f^⇤ g^⇤

(20)

VII. Endomorphisme adjoint

Proposition 21

Proposition 22

( f +µg)^⇤= f^⇤+µg^⇤ (g f)^⇤=f^⇤ g^⇤

(f^⇤)^⇤=f

(21)

VII. Endomorphisme adjoint

Proposition 21

Proposition 22

( f +µg)^⇤= f^⇤+µg^⇤ (g f)^⇤=f^⇤ g^⇤

(22)

VII. Endomorphisme adjoint

Proposition 23

SoitBune base orthonormale deE. Alors MatB(f^⇤) =^tMatB(f).

Corollaire 24

rg(f^⇤) =rg(f) et det(f^⇤) =det(f).

(23)

VII. Endomorphisme adjoint

Proposition 23

SoitBune base orthonormale deE. Alors MatB(f^⇤) =^tMatB(f).

Corollaire 24

rg(f^⇤) =rg(f) et det(f^⇤) =det(f).

(24)

VIII. Matrices et endomorphismes orthogonaux

Définition 25

On dit quef est un endomorphisme orthogonal sif^⇤ f =IdE.

Exemple 26

IdE est un endomorphisme orthogonal.

Remarque 27

Sif est orthogonal alorsf est inversible etf ¹=f^⇤.

Proposition 28

f est orthogonal ssi8v,w 2E, hf(v),f(w)i=hv,wissi8v 2E, kf(v)k=kvk ssif est une isométrie.

(25)

VIII. Matrices et endomorphismes orthogonaux

Définition 25

Exemple 26

Remarque 27

Proposition 28

(26)

VIII. Matrices et endomorphismes orthogonaux

Définition 25

Exemple 26

Remarque 27

Proposition 28

(27)

VIII. Matrices et endomorphismes orthogonaux

Définition 25

Exemple 26

Remarque 27

Proposition 28

(28)

VIII. Matrices et endomorphismes orthogonaux

Définition 25

Exemple 26

Remarque 27

Proposition 28 est orthogonal

ssi8v,w 2E, hf(v),f(w)i=hv,wissi8v 2E, kf(v)k=kvk ssif est une isométrie.

(29)

VIII. Matrices et endomorphismes orthogonaux

Définition 25

Exemple 26

Remarque 27

Proposition 28

f est orthogonal ssi8v,w 2E, hf(v),f(w)i=hv,wi

ssi8v 2E, kf(v)k=kvk ssif est une isométrie.

(30)

VIII. Matrices et endomorphismes orthogonaux

Définition 25

Exemple 26

Remarque 27

Proposition 28

est orthogonal ssi E, ssi E,

ssif est une isométrie.

(31)

VIII. Matrices et endomorphismes orthogonaux

Définition 25

Exemple 26

Remarque 27

Proposition 28