Universit´e de Marseille
Licence de Math´ematiques, analyse num´erique Travaux Pratiques 1, en python
Exercice 1 (R´esolution num´erique de −u00=f)
Pour f ∈C([0,1],IR) donn´e, on cherche `a calculer de mani`ere approch´ee, par un sch´ema aux Diff´erences Finies, la solution, not´eeu, du probl`eme suivant :
−u00(x) =f(x) pourx∈]0,1[, u(0) =u(1) = 0.
On note hle pas du maillage, h= 1/(n+ 1), n∈IN?. le probl`eme discr´etis´e est donc de la formeAhuh =fh, o`u est une matrice carr´e de taillen etuh,fh
sont des vecteurs de taillen(voir le cours pour plus de pr´ecisions). L’erreur de discr´etisation est donn´ee par la norme infinie du vecteur (ua−ue) o`u ue est le vecteur form´e par la solution exacte prise aux points du maillage.
On choisit pour second membre la fonctionf d´efinie parf(x) =π2sin(πx).
1. Pourn∈IN?,
(a) Ecrire un programme construisant la matriceAh.
[Pour ´ecrire un programme efficace pour de tr`es grandes valeurs de n, les courageux pourront construire Ah sous forme d’une matrice creuse, par exemple avec la structurescipy.sparse.lil matrix.]
(b) Contruire le vecteur fh.
(c) Calculer le vecteuruhen utilisant une r´esolution directe.
[Dans le cas de l’utilisation d’une matrice creuse, on pourra mettre la matriceAhsous la formecsravec l’instructionyy=xx.tocsr()et utiliser le solveurscipy.sparse.linalg.spsolve.]
2. V´erifier que la m´ethode est bien convergente d’ordre 2.
[En prenant, par exemple, n+ 1 = 100 et n+ 1 = 200, l’erreur de discr´etisation est essentiellement divis´ee par 4.]
Exercice 2 (D´ecomposition LU et Cholesky)
On poseA=
2 −1 0 0 0
−1 2 −1 0 0
0 −1 2 −1 0
0 0 −1 2 −1
0 0 0 −1 2
etB=
1 0 0 0 1
−1 1 0 0 1
−1 −1 1 0 1
−1 −1 −1 1 1
−1 −1 −1 −1 1
.
1. Calculer la d´ecomposition de Cholesky de la matrice A et constater la conservation du profil. [On pourra utiliserlinalg.cholesky.]
2. Calculer les mineurs principaux de la matriceB et en d´eduire qu’on peut utiliser, pour cette matrice, la d´ecomposition LU. [On pourra utiliser linalg.det.]
3. Calculer la d´ecompositionLU de la matriceBet constater la conservation du profil. [On pourra utiliserscipy.linalg.lu.]
1
Exercice 3 (Nombre de solutions pour un syst`eme lin´eaire)
Pour une matriceA ∈ Mn,p(IR) et un vecteur b ∈IRn donn´es, ´ecrire un pro- gramme d’´echelonnement du syst`eme lin´eaireAx=bdonnant les deux r´esultats suivants :
1. La dimension du noyau deA,
2. une solution du syst`eme si il en existe (sinon le programme affiche “pas de solution”).
Tester le programme sur les cas suivants ;
1. Aest la matrice donn´ee `a l’exercice 1 avech= 1/(n+ 1) (c’est-`a-dire que A∈ Mn(IR)) etn= 10 etbi= 1 pour touti.
2. A=
1 1 3 1 2 5 1 3 7
, b=
1 1 1
et b=
1 1 0
.
3. A=
5 6 0 0 −3
5 6 0 −2 0
1 1 −1 0 0
0 0 1 −1 1
,b=
0 0 0 2
.
Donner la solution correspondant `ax5= 60. (Cette solution est form´ee de nombres entiers positifs. Elle correspond au probl`eme d’un ballon form´ee de faces de formes pentagonales ou hexagonales. x1est le nombre de faces pentagonales de ce ballon,x2le nombre de faces hexagonales,x3le nombre total de faces,x4le nombre d’arˆetes et x5 le nombre de sommets.) On rappelle le principe de l’´echelonnement :
(li−1 est i-ieme ligne deAet bi−1la i-ieme composante deb) i= 0
tant quei < n
pourj de 0 `a p−1 :
choisir, si c’est possible,kentreiet n−1 tel queak,j6= 0.
´echangerli etlk
´echangerbi etbk
avecc=ai,j, remplacerli parli/c remplacerbi parbi/c
Pour mdei+ 1 `an−1 : avecc=am,j,
remplacerlmparlm−c li, remplacerbmparbm−c bi
i=i+ 1
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