Mathématiques 2 1
Analyse, TP2
Introduction à la simulation.
Objectif
Tous les problèmes décrits dans ce TP seront traités à l’aide du logiciel COMSOL. Voir le TP1.
FIG. 1 – Ligne de courant dans un écoulement de Navier Stokes.
Écoulement simple
On étudie un écoulement stationnaire plan d’un fluide incompressible dans le domaine représenté par la figure 2 (longueur∼2). On supposera l’écoulement laminaire en entrée et en sortie. La vitesse du fluide en entrée est 0.01 m/s. On veut déterminer le champ de vitesseu= (u1, u2)tdu fluide.
Le modèle d’écoulement le plus approprié est fourni par les équations de Navier Stokes en régime permanent
ρ(∇u)u−η∆u+∇p= 0
∇. u= 0 (1)
où∇uest la matrice ∂x∂ui
j,pla pression etµla viscosité. Dans ce modèle il faut deux conditions en chaque point du bord pour déterminer complètement la solution.
ECP 2006-2007 Analyse
Mathématiques 2 2
Sous certaines hypothèses (glissement sur les parois, force de viscosité forces d’inertie) on peut supposer que
ω=rotu= ∂u1
∂x2
−∂u2
∂x1
= 0
Cela implique, quand le domaine est simplement connexe, l’existence d’une fonction potentielleΦ telle que
u=∇Φ Compte tenu de l’incompressibilité qui se traduit par
∇. u= 0 Φdoit vérifier
∆Φ = 0
•Définir un problème aux limites bien posé qui détermine le potentielΦ. Implanter ce problème dans COMSOL et exporter la géométrie.
•Calculer le maximum des vitesses et étudier l’influence du maillage. Représenter les variations de la vitesse sur des droites passant par le maximum. Conclure.
•Pour tester la validité des hypothèses, utiliser le modèle plus précis de Navier-Stokes avecρ= 1et η = 0.01, puis avecη = 0.001. Fixer la vitesse normale en entrée et la pression (à0) en sortie et la condition de glissement sans frottement sur les parois (“slip”). Conclure.
•Essayer des viscosités plus faibles.
FIG. 2 – Un réservoir avec une entrée à gauche et une sortie en bas à droite.
Un problème modèle en élasticité
On étudie une plaque encastrée soumise à un effort de flexion (Fig. 3). L’épaisseur est 101 de la longueur.
•Choisir dans l’option “mécanique des structures 3D” le modèle élastique linéaire statique.
•Dessiner la plaque dans le plan puis construire le volume par extrusion.
•Calculer une solution approchée en utilisant les paramètres par défaut et afficher les isovaleurs de la contrainte de Von Mises et deσxx(“sx normal stress”) sur le bord (Option “Sous-domaines” dans
ECP 2006-2007 Analyse
Mathématiques 2 3
les paramètres d’affichage). Noter que dans une plaque mince les composantes des contraintes varient linéairement dans l’épaisseur.
•Représenter la contraintes de Von Mises sur un l’axe de symétrie d’une face de la plaque ; que pen- ser du résultat ?
•Raffiner le maillage. Qu’observe-t-on ? Dans un problème d’élasticité linéaire peut-on systémati- quement utiliser l’option de raffinement automatique ?
•On multiplie par2,4,8,16...l’intensité de la force appliquée. Que va-t-il se produire ?
• Noter la valeur du maximum σM des contraintes de Von Mises pour une situation particulière.
Appliquer une force d’intensité double et déterminer le module de Young d’un matériau tel queσM retrouve la même valeur.
•Remarquer que, dans COMSOL, l’approximation par la méthode des éléments finis utilise par dé- faut des fonctions quadratiques. Modifier les éléments finis en choisissant une approximation linéaire (i.e. avec des fonctions continues affines par morceaux : éléments “Lagrange linéaires”), et appliquer successivement une force dans le plan de la plaque, parallèlement au support, puis un effort de flexion.
Qu’observe-t-on ? Explication ?
FIG. 3 – Une plaque encastrée à gauche, chargée à droite.
ECP 2006-2007 Analyse
