Table des matières
14 Régime stationnaire : champ électrostatique 2
14.1Exercices d’application 2
14.1.1 Champ généré par deux sources ponctuelles. . . 2
14.1.2 Distributions de charge. . . 2
14.1.3 Théorème de Gausset charges ponctuelles. . . 3
14.1.4 Utilisation du théorème deGauss. . . 3
14.1.5 Calcul du potentiel V à partir du champ électrostatique. . . 4
14.1.6 Calcul du champ de potentiel V à partir de l’équation de Poisson. . . 4
14.2Problèmes 4 14.2.1 Théorème de Gausset charges ponctuelles. . . 4
14.2.2 Armature épaisse. . . 5
14.2.3 Paratonnerre. . . 6
14.2.4 Résistance d’un conducteur cylindrique creux. . . 6
14.3Oral Banque PT 7 14.3.1 Jonction P-N . . . 7
14.3.2 Étude de l’atmosphère des Sélénites. . . 7
14.3.3 Floculation d’une suspension colloïdale. . . 8
14.4Annales 8 14.4.1 Étude et application d’une diode au silicium. . . 8
14.4.2 « Mesure du vide » : les jauges de pression UHV . . . 9
14 Régime stationnaire : champ électrostatique
14.1 Exercices d’application
14.1.1 Champ généré par deux sources ponctuelles
On raisonne dans un espace à deux dimensions, muni de la base de projection cartésienne (O,e#”x,e#”y).
On place deux charges de même valeurq en M1(−3,0) etM2(3,0).
1. Donner l’expression du champ #”
E enP(0,4).
2. Montrer alors que∀P ∈Π+, #”
E(P)kΠ+ où Π+ est le plan défini par x= 0.
On place cette fois deux charges de valeurs opposées +q en M1(−3,0) et−q en M2(3,0).
3. Donner l’expression du champ #”
E enP(0,4).
4. Montrer alors que∀P ∈Π−, #”
E(P)⊥Π− où Π− est le plan défini par x= 0.
14.1.2 Distributions de charge
On donne les lignes de champ électrostatique générées par une distribution de charges ponctuelles dans les figures 14.1 et14.2. Dans la figure 14.1, les charges sont numérotées de 0 à 4, en partant de la charge de gauche. Dans la figure 14.2, les charges sont numérotées de 0 à 3, en partant de la charge de gauche et en tournant dans le sens des aiguilles d’une montre.
Fig. 14.1 – Distribution de charges ponctuelles et lignes de courant
Fig. 14.2 – Distribution de charges ponctuelles et lignes de courant
1. On s’intéresse à la distribution de charges de la figure14.1, (a) Donner le signe de chacune des charges.
(b) Existe-t-il des plans de symétrie dans cette distribution de charges ponctuelles ? (c) Existe-t-il des plans d’anti-symétrie dans cette distribution de charges ponctuelles ? 2. On s’intéresse à la distribution de charges de la figure14.2,
(a) Donner le signe de chacune des charges.
(b) Existe-t-il des plans de symétrie dans cette distribution de charges ponctuelles ? (c) Existe-t-il des plans d’anti-symétrie dans cette distribution de charges ponctuelles ?
14. Régime stationnaire : champ électrostatique 14.1. Exercices d’application
14.1.3 Théorème de Gauss et charges ponctuelles
On donne les lignes de champ électrostatique de la figure14.3générées par une distribution de charges ponctuelles. Le contourS, ainsi que les pointsA,B,CetDont été rajoutés sur le schéma afin de discuter du champ #”
E.
A•
• C
D• • B
S
Fig. 14.3 – Lignes de champ. Les charges sont numérotées de0 à4 en partant de la gauche 1. Donner le signe de chacune des charges.
2. Existe-t-il des plans de symétrie du champ #”
E? En déduire éventuellement une relation entre les chargesqi.
3. Existe-t-il des plans d’anti-symétrie du champ #”
E? En déduire éventuellement une relation entre les chargesqi.
4. En trois dimensions, le contour S est une surface fermée reliant l’ensemble des points de champ identique. Que peut-on dire de la valeur de #”
E en A,B,C etD? Justifier.
5. Quelle relation peut-on écrire entre les chargesq1 etq2? 14.1.4 Utilisation du théorème de Gauss
1. Calculer le champ électrostatique en tout pointM de l’espace, généré par les distributions de charge suivantes :
(a) sphère de rayonR chargée en surface avec la densité surfacique de charge +σ,
(b) cylindre infini d’axeOz, de rayonR chargé en surface avec la densité surfacique de charge +σ, (c) fil infini d’axe Oz, chargé avec la densité linéique de charge +λ.
14. Régime stationnaire : champ électrostatique 14.2. Problèmes
14.1.5 Calcul du potentiel V à partir du champ électrostatique
1. Calculer le potentiel électrostatique V, associé à la distribution de charge sphérique, donnant le champ suivant :
( #”
E(r > R) = 4πrQ2ε0
e#”r
E#”(r < R) = 4πεQ
0
r R3e#”r On fixera le potentielV(r=R) = 0.
2. Faire de même pour la distribution de charge cartésienne, donnant le champ suivant ( #”
E(z >0) = 2σε0
0
e#”z
E#”(z <0) =−2σε0
0
e#”z
On fixera le potentielV(z= 0) = 0.
Données :
- Coordonnées sphériques : # ”
gradA= ∂ A∂ru#”r+1 r
∂ A
∂θu# ”θ+ 1 rsinθ
∂ A
∂ϕu# ”ϕ. - Coordonnées cylindriques : # ”
gradA= ∂ A∂ru#”r+1 r
∂ A
∂θu# ”θ+∂ A∂zu# ”z.
14.1.6 Calcul du champ de potentiel V à partir de l’équation de Poisson
On considère l’espace inter-armatures d’un condensateur plan. On le modélise par deux armatures planes de dimensions supposées infini selon les axes Ox et Oy, placée aux côtes z = ±a. L’armature placée en z=aest portée au potentielV+ et l’armature placée en z=−a est portée au potentielV−.
1. Quelle est la base de projection la plus adaptée à ce problème ?
2. À partir d’une étude des invariances des charges, déterminer les variables spatiales dont dépend le potentielV(M).
3. Utiliser la loi de Poisson pour exprimer le potentiel V(z) entre les deux armatures. En déduire l’expression de #”
E entre les deux armatures.
14.2 Problèmes
14.2.1 Théorème de Gauss et charges ponctuelles
On donne les lignes de champ électrostatique ci-dessous générées par une distribution de charges ponctuelles. Le contour S, ainsi que les points A, B, C et D ont été rajoutés sur le schéma afin de discuter du champ #”
E. Les charges sont numérotées de 0 à 4 en partant de la gauche.
4/11
14. Régime stationnaire : champ électrostatique 14.2. Problèmes
A•
• C
D• • B
S
1. Donner le signe de chacune des charges.
2. Existe-t-il des plans de symétrie dans cette distribution de charges ponctuelles ? En déduire éven- tuellement une relation entre les chargesqi.
3. Existe-t-il des plans d’anti-symétrie dans cette distribution de charges ponctuelles ? En déduire éventuellement une relation entre les chargesqi.
4. En trois dimensions, le contour S est une surface fermée reliant l’ensemble des points de champ identique. Que peut-on dire de la valeur de #”
E en A,B,C etD? Justifier.
5. Quelle relation peut-on écrire entre les chargesq1 etq2? 14.2.2 Armature épaisse
On considère une distribution de charge volumique, uniformément répartie entre deux plans infinis orthogonaux à un axe Oz de l’espace, de côtes respectives z = +a et z=−a. La densité volumique de charge est notéeρ0.
1. Quelles sont les symétries et invariances de cette distribution volumique ? En déduire une expression simplifiée du champ #”
E.
2. En exploitant au mieux les symétries de la source, trouver une surface de Gauss permettant de déduire le champ #”
E en tout point de l’espace.
3. En déduire le potentielV en tout point de l’espace, en choisissantV(M =O) = 0.
On place une armature identique de densité volumique de charge opposée−ρ0 à une distanceede la première.
4. En déduire le champ électrostatique en tout point de l’espace ainsi que la différence de potentiel entre les surfaces isopotentiellesz= 0 etz= +e.
5. En déduire l’expression de la capacitéC de ce condensateur. Commenter le résultat obtenu.
14. Régime stationnaire : champ électrostatique 14.2. Problèmes
14.2.3 Paratonnerre
Une prise de terre (figure14.4) est constituée d’un cylindre métal- lique de rayon Ra dont l’extrémité est formée d’une demi-sphère de centre O. On note γm la conductivité électrique du métal qui la constitue. Cette prise est enfoncée dans le sol, assimilé au demi-espacez <0 et de conductivité électrique γs.
La prise de terre se décompose ainsi en deux résistances hémi- sphériques Rm et Rs, l’une en métal de rayon Ra, l’autre associée au sol de rayon intérieur Rb et de rayon extérieur infini. Elle est destinée à recevoir un courant I provenant d’un paratonnerre. Il sera supposé indépendant du temps et descendant. On suppose que le courant, lorsqu’il traverse la partie hémisphérique de la prise de terre, est radial. Sa densité volumique est alors de la forme
#”j =j(r)e#”r en coordonnées sphériques. Fig. 14.4
1. Donner l’expression de la densité de courant j(r) en fonction de I et de r.
2. En déduire l’expression du champ #”
E régnant dans le sol, puis celle du potentiel électrique V(r) régnant dans le sol, en fonction deI,r etγs. On supposera que V = 0 loin du pointO.
On appelle Rh la résistance du corps humain mesurée entre ses deux pieds supposés distants de a.
Pour ne pas être électrocuté (c’est-à-dire pour que son corps ne soit pas traversé par un courant supérieur à une valeur seuil notée Imax), un homme doit rester éloigné d’une distance au moins égale à D de la prise de terre.
3. Trouver une relation entreD,a,Rh,I,Imax etγs.
4. En supposantDa, exprimer Den fonction de a,Rh,I,Imax etγs. On cherche enfin à établir la résistance du sol de conductivitéγs.
5. Exprimer la résistance élémentaire dRcd’une coque élémentaire comprise entre les rayonsretr+dr en fonction deγs,r et dr, .
6. En déduire la résistance globale, notéeRsol du sol en fonction deγs, etRa. 7. Comment peut-on abaisser la valeur de cette résistance ?
14.2.4 Résistance d’un conducteur cylindrique creux
On considère un matériau conducteur de conductivité électrique γ, de forme cylindrique, d’axe Oz, de longueur L, de rayon extérieur a et de rayon intérieur b tels que a, b L. On se place en régime stationnaire et on cherche à exprimer sa résistanceR dans diverses configurations.
On applique une différence de potentielU =V1−V2 dans le sens de la longueur du conducteur.
1. En admettant que #”j =j(z)u# ”z, montrer que #”
E =E0u# ”z où E0 est une constante.
2. En déduire alors l’expression de la résistanceR.
On applique cette fois la même différence de potentiel mais entre les rayons aetb.
3. En admettant que #”
j =j(r)u#”r, exprimer l’intensité I en fonction de j(r),l etr.
6/11
14. Régime stationnaire : champ électrostatique 14.3. Oral Banque PT
4. Exprimer égalementU en fonction de I,γ,L,aetb.
5. En déduire queR= 2πγL1 ln ab.
14.3 Oral Banque PT
14.3.1 Jonction P-N
On considère la distribution volumique de chargesρ(M) =ρ(x) suivante, oùe1 = 1 mm,e2 = 0,5 mm etρ1 = 1×10−6C·m−3. Le champ électrique est supposé nul à l’extérieur des plaques, et la distribution, supposée infinie dans toutes les directions excepté selonx.
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1
·10−3
−2
−1 0 1
−e1
e2
(0,0) ρ1
ρ2
x
ρ(x)
1. Trouver l’expression deρ2 permettant d’assurer la neutralité électrique de l’ensemble.
2. Déterminer #”
E à l’intérieur de la distribution de charge.
3. En déduire le champ de potentiel V, en prenant pour convention V(x = −e1) = 0. Tracer les fonctionsf(x) =#”
E etg(x) =V(x).
14.3.2 Étude de l’atmosphère des Sélénites Les sélénites est le nom donné aux habitants (imaginaires) de la Lune, leur existence a été présumée à plusieurs reprises à travers les âges.
D’après le roman de H.G. Wells « First men in the Moon » ils vivraient dans une grotte creusée au fond d’un puits.
On supposera que la lune est sphérique de rayon R0, a une masse volumique constante µL et que tout gaz présent sur cet astre peut être considéré comme parfait.
1. Établir l’expression de la masse de la Lune MLen fonction des données fournies.
Les sélénites sont présentés par H.G. Wellscomme des êtres semblables à des insectes vivants dans des grottes contenant de l’air placées à une profondeurrG de la Lune. On supposera que cette cavité ne modifie en rien le champ de gravitation calculé précédemment.
2. Calculer alors l’expression du champ gravitationnel #”g en tout point extérieur puis intérieur de la Lune en fonction deML,R0,r et la constante gravitationnelleG. On prendra soin de bien détailler chaque simplification éventuelle permettant le calcul du champ #”g.
14. Régime stationnaire : champ électrostatique 14.4. Annales
3. En déduire l’expression de la force de pesanteur exercée sur tout corps de massemà l’intérieur de la Lune.
4. Établir l’expression de la pression p(rG) qui règne dans la grotte des sélénites en notant PL la pression qui règne en surface de la Lune.
Données :
En coordonnées sphériques : # ”
gradM = ∂ M∂r u#”r+1r∂ M∂θ u# ”θ+rsin1 θ∂ M∂φu# ”φ
14.3.3 Floculation d’une suspension colloïdale
On s’intéresse aux mécanismes de traitement des eaux usées, et plus particulièrement à la floculation des particules colloïdales, d’un rayon de l’ordre de 100 nm, en solution aqueuse.
On souhaite étudier l’effet de l’ajout de sels ioniques à la suspension. On raisonne sur une particule colloï- dale sphérique, de centreO, de rayonRet de chargeQ <0. Les densités volumiques des ions sontN+(r) = N0e−zeV(r)/kBT pour les cations (charge +ze, z = 2 ou 3 en pratique) etN−(r) = N0e+zeV(r)/kBT pour les anions (charge−ze), avecN0une constante,V le potentiel électrostatique,kBla constante deBoltz- mannet T la température. On suppose |zeV(r)| kBT.
1. Pourquoi peut-on considérer les ions comme ponctuels ?
2. Déterminer la densité volumique de chargeρ(r) autour du colloïde étudié.
3. Déterminer une expression du potentiel électrostatiqueV.
4. Montrer que le champ électrique est de la forme E(r) = Kr2 1 +rδe−r/δ. Déterminer K en appli- quant le théorème deGaussà une surface bien choisie.
5. Décrire l’effet des ions sur le champ électrique entre deux particules colloïdales. Conclure.
Données :
– Laplacien d’une fonctionV(r) à symétrie sphérique : ∆V = 1rd2d(rrV2 ); – Gradient d’une fonction V(r) à symétrie sphérique : # ”
gradV = ddVre#”r.
14.4 Annales
14.4.1 Étude et application d’une diode au silicium [2017 CCS TSI]
Une diode au silicium est en fait constituée d’une jonction de deux semi-conducteurs dopés, l’un de type « P » et l’autre de type « N ». Dans ces deux zones, on ajoute, en quantité limitée, des impuretés dans le silicium de telle façon que la zone « N » contient une majorité d’électrons et une minorité de trous « + » (d’où sa charge négative) alors que la zone « P » contient une majorité de trous « + » et une minorité d’électrons (d’où sa charge positive) comme illustré en figure 14.5 où seuls les porteurs majoritaires ont été représentés.
Fig. 14.5
8/11
14. Régime stationnaire : champ électrostatique 14.4. Annales
La proximité de ces deux zones va entraîner une migration des trous vers la zone « N » ainsi que des électrons vers la zone « P ». Lorsqu’un électron migre vers la zone « P », il va se recombiner avec un trou et cela entraîne l’apparition d’un trou dans la zone « N » ; un raisonnement analogue peut être tenu en ce qui concerne la migration d’un trou « P » vers la zone « N ». Tout ceci entraîne une zone appelée zone de charge d’espace, notée ZCE, dans laquelle la zone « N » se trouve localement chargée positivement et la zone « P » chargée négativement comme illustré figure14.6.
Fig. 14.6
1. Préciser pourquoi la ZCE est nécessairement limitée dans l’espace.
2. On se propose d’étudier le vecteur champ électrostatique dans la ZCE. La ZCE est modélisée par deux distributions uniformes, l’une de densité volumiqueρ1 >0 entre les plans d’équations x= 0 etx=a, l’autre de densité volumiqueρ2 <0 située entre les plans d’équationsx=−betx= 0.
Fig. 14.7
(a) La ZCE étant globalement neutre, déterminer la relation entrea,b,ρ1 etρ2.
(b) On considère le cas d’une distribution uniforme de densité volumique ρ0 comprise entre les plans d’équationsx=−d2 etx= d2 oùdest une largeur.
i. Démontrer soigneusement que le vecteur champ électrostatique créé par cette distribution en tout pointM est de la forme #”
E(M) =E(x)u# ”x.
ii. À l’aide du théorème de Gauss, déterminer soigneusement l’expression de E(x) en tout point de l’espace. On montrera en particulier que E(x) = ρε0x
0 si|x|< d2.
(c) À l’aide du principe de superposition, déterminer le vecteur champ électrostatique en tout pointM de la ZCE précédemment décrite. On exprimera E(x) en fonction dex,ρ1,aetb.
(d) Représenter les variations deE(x) pour xvariant de −b àa.
(e) À l’aide de l’étude précédente, indiquer la valeur minimale de la tension U = VP −VN à appliquer afin qu’un courant circule dans la diode.
14.4.2 « Mesure du vide » : les jauges de pression UHV [2016 PT]
Pour limiter les chocs et les impuretés, on doit imposer une pression dans l’enceinte très faible de l’ordre de 1×10−8Pa. On se propose d’étudier ici un appareil de mesure des faibles pressions : la jauge de Bayard - Alpert.
14. Régime stationnaire : champ électrostatique 14.4. Annales
Document 1 - Principe de la jauge de Bayard - Alpert :
Une jauge deBayard - Alpertest dite de type « ionique ». Son principe est basé sur l’accélération d’électron émis par un filament (K) au moyen d’une grille (A) plongée dans le gaz à analyser. Les électrons accélérés, en heurtant les molécules du gaz les ionisent. Les ions ainsi formés sont récoltés par un collecteur (C) situé au centre de la grille. Le nombre d’ions collectés et donc le courant généré dans le collecteur est proportionnel au nombre d’électrons émis et au nombre de particules du gaz, donc indirec- tement à la pression. Pour maximiser le nombre de particules heurtées par les électrons, on construit la grille de manière à confiner les électrons dans un mouvement oscillant au sein du gaz : ils sont ainsi certains de finir par heurter une particule de gaz. On se propose d’étudier le champ électrique de confinement ainsi créé.
Modèle pour le calcul du camp électrique intérieur à la grille :
La géométrie étant relativement complexe, on utilisera le modèle simplifié suivant :
– la grille (A) et un cylindre de longueur infinie, d’épaisseur négligeable et de rayon Rg. Elle est portée au potentielVg= +180 V uniforme.
– le collecteur (C) est un cylindre infini plein de rayon Rc porté au potentielVc= 0 V uniforme.
– une enceinte métallique extérieure (E), cylindrique de rayon R2 est maintenue au potentielVext= 0 V uniforme.
– l’ensemble (A), (C), et (E) formé de cylindres coaxiaux, possède une symétrie cylindrique.
– un filament rectiligne (K) est positionné parallèlement à l’axee#”z des cylindres, à la distanceRK du centre. On admet que sa présence conserve à l’ensemble {A, C, E, K} la symétrie cylindrique.
– à l’intérieur se trouve un gaz raréfié : le milieu est assimilable au vide.
Fig. 14.8
On noteraOz l’axe de symétrie des cylindres (orienté pare#”z).
1. On s’intéresse au champ électrique #”
E(M) et au potentiel V(M) en un point M repéré par ses coordonnées cylindriques (r, θ, z).
(a) Faire apparaître sur un schéma les vecteurs unitaires (e#”r,e#”θ,e#”z) de la base cylindrique.
(b) Expliquer, par des arguments qualitatifs précis, pourquoi on aV(M) =V(r) et #”
E =E(r)e#”r. 2. On cherche à déterminer les grandeurs électrostatiques entre C et A.
(a) Donner l’équation deMaxwell-Gauss.
(b) En déduire l’équation différentielle que vérifie le potentiel V(r) dans cette zone. (On pourra faire intervenir l’expression du laplacien fournie en fin d’énoncé).
10/11
14. Régime stationnaire : champ électrostatique 14.4. Annales
(c) Exprimer V(r) en fonction der,Rg,Rc etVg.
3. Déduire de la question précédente l’expression du champ #”
E(M) entre A et C.
Fig. 14.9 – Potentiel Vsim(r)(r est en mm)
4. L’allure du champ électrique en tout point intérieur de la jauge est donné sur la figure 14.9repré- sentantVsim(M) =Vsym(r) en fonction de r.
(a) A partir de ce graphique, donner une estimation deRc etRg. (b) Donner l’expression littérale du potentielV(r) entre G et E.
(c) En déduire l’expression littérale du champ électrique #”
E entre G et E.
(d) Reproduire la figure14.8et représenter les lignes de champ électrique en précisant leur orien- tation.
