Q Q q4 q4 u dSr E dS d E Ω ρ dS d τ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫ V 4 ε πε πε πε € € € € € € € € €

1. Flux électrostatique ; théorème de Gauss

• Les propriétés des charges sont liées au flux Φ du champ électrostatique.

Pour une charge ponctuelle : dΦ =

€

E•dS =

€

q 4πε₀

€

u_r •dS r^{2 =}

€

q

4πε₀ dΩ où dΩ est “l’angle solide” sous lequel on “voit” dS à partir de la position de q :

En particulier, pour une surface S fermée, le flux sortant est (par additivité) : Φ =

€

E•dS

∫∫

S ⁼

€

Q_int 4πε₀

€

dΩ

∫∫

⁼

€

Q_int

ε₀ (théorème de Gauss).

• L’avantage de ce théorème est que, si les symétries permettent un calcul littéral de Φ en fonction du champ, alors on peut déduire ce champ de la charge intérieure : Q_int =

€

V ρdτ

∫∫∫

^où

^V

est le volume délimité par S.

& exercices n° I, II et III.

2

2. Sphère uniformément chargée en volume

• Pour une sphère de rayon R, chargée d’une densité volumique ρ uniforme (et donc de charge totale Q = 4

3^πR

3 ρ) :

◊ par symétrie, le champ est radial :

€

E(r,θ,φ) = E_r(r, θ, φ)

€

u_r ;

◊ par “symétrie”, la composante radiale ne dépend que de r : E_r(r, θ, φ) = E_r(r) ;

◊ le flux sortant d’une “sphère de Gauss”

concentrique de rayon r est : Φ(r) = 4πr² E_r(r) ;

◊ pour r ≤ R : Q_int(r) = Q

€

r³ R^{3 ;} E_r(r) = Q

4πε₀

€

r R^{3 ;}

◊ pour r ≥ R : Q_int(r) = Q ; E_r(r) =

€

Q 4πε₀r^{2 .}

☞

remarque : pour une distribution à symétrie sphérique, le champ extérieur est le même que si toute la charge était au centre.

• On peut ensuite en déduire le potentiel :

◊ pour r ≥ R : V(r) =

€

Q

4πε₀r (en choisissant V_∞ = 0) ;

◊ pour r ≤ R : V(r) =

€

Q 4πε₀

€

3R² −r²

2R³ (par continuité V(R) =

€

Q 4πε₀R ^).

& exercice n° IV.

3. Sphère uniformément chargée en surface

• La situation est analogue pour une sphère de rayon R, chargée d’une densi- té surfacique σ uniforme (et donc de charge totale Q = 4πR² σ) :

La différence est pour r < R : Q_int(r) = 0 et E_r(r) = 0.

Donc le potentiel pour r ≤ R est uniforme : V(r) =

€

Q

4πε₀R (par continuité).

4

☞

remarque : de manière générale, une distribution surfacique des charges donne un champ électrostatique discontinu, mais un potentiel continu.

4. Plan “infini” uniformément chargé

• Pour un plan “infini”, avec une densité surfacique σ uniforme :

◊ par symétrie, le champ est

“normal” :

€

E(x, y, z) = E_x(x, y, z)

€

u_x ;

◊ par “symétrie”, la coordonnée du champ ne dépend que de x : E_x(x, y, z) = E_x(x) ;

◊ par “symétrie”, elle est “im- paire” : E_x(-x) = -E_x(x) ;

◊ pour un “parallélépipède de Gauss” symétrique, le flux sortant est celui à travers les faces parallèles au plan yOz ;

◊ le flux sortant est donc :

Φ(│^x│^{) = 2ab E}x(│^x│^{) ;}

◊ pour x > 0 : Q_int(│^x│) = ab σ et E_x(x) =

€

σ

2ε₀ (indépendant de x) ;

◊ pour x < 0 : E_x(x) = -E_x(│^x│^{) = -}

€

σ

2ε₀ (seul change le signe).

• On peut ensuite en déduire le potentiel :

◊ pour x > 0 : V(x) = - σ

2ε₀ x (ici V_∞ ≠ 0 car il y a des charges à l’infini... il faut alors choisir une abscisse de référence arbitraire) ;

◊ pour x < 0 : V(x) = σ

2ε₀ ^{x = -} σ

2ε₀ │^x│ (par continuité).

& exercices n° V, VI, VII, VIII, IX, X et XI.

5. Analogie électromécanique ; champ de gravitation

• L'analogie entre le champ coulombien

€

E =

€

1 4πε₀

€

q r²

€

u_r pour une charge ponctuelle et le champ newtonien

€

g = -

G

€

m r²

€

u_r pour une masse ponctuelle montre que le théorème de Gauss se transpose au calcul du flux gravitation- nel en fonction de la répartition de la masse (par exemple selon une masse volumique µ) : Φ’ =

€

g•dS

∫∫

S ^{= -4π}

^G

^{Mint = -4π}

^G

€

µdτ

∫∫∫

V ^.