Chapitre 6 : Formulation locale des lois de l électrostatique

Chapitre 6 : Formulation locale des lois de l’électrostatique

I. Rappels

1. Loi de Coulomb

La force électrostatique exercée par une charge ponctuelle q₁ située en P₁ sur une autre charge ponctuelleq2 située enP2 est :

F~_1→2= q1q2

4πε0

−−−→P1P2

P1P₂³

ε₀= 8,84.10⁻¹²F.m⁻¹ est la permittivité diélectrique du vide.

• Si q₁ etq₂sont de même signe alorsF~_1→2est répulsive.

• Si q₁ etq₂sont de signes différents alorsF~_1→2 est attractive.

Application 1 :

Calculer la force électrique s’exerçant sur une charge électriqueqsituée à l’origineOd’un axe Ox, par une distribution linéaire de charges de densité linéaire uniforme λ, répartie entre les abscissesa >0et a+L(figure 1).

• a a+L x

O q

Figure 1

2. Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle

Soit une charge ponctuelleqsituée au pointO. Cette charge crée en un pointM de l’espace le champ électrostatique :

E(M~ ) = q 4πε0

−−→OM OM³

3. Champ électrostatique créé par une distribution discrète de charges ponc- tuelles

Soit une distribution discrète de charges ponctuelles qi situées aux points Pi. Le champ totalE(M~ ) créé en un pointM est :

E(M~ ) =X

i

E~_i(M) =X

i

q_i 4πε0

−−→P_iM PiM³

4. Champ électrostatique créé par une distribution continue de charges

Soit Dune distribution continue de charges. Un élément de chargedq deDcentré sur un pointP se comporte comme une charge ponctuelle et crée en un pointM le champ élémentaire :

d ~E(M) = dq 4πε0

−−→P M P M³

dq =ρdV oudq=σdS oudq=λdlselon que la distribution soit volumique ou surfacique ou linéique.

Le champ totalE(M~ )est :

E(M~ ) = Z

D

d ~E(M) = Z

D

dq 4πε0

−−→P M P M³

5. Symétrie, antisymétrie et invariances du champ électrostatique

a) Symétrie

Πest un plan de symétrie d’une distribution de chargeDsi et seulement si :

• Πest un plan de symétrie géométrique deD.

• Pour deux points P et P⁰ appartenant à D et symétriques par rapport à Π alors ρ(P⁰) = ρ(P) (ou σ(P⁰) =σ(P)ouλ(P⁰) =λ(P)).

Conséquences :

• Soit M et M⁰ deux points symétriques par rapport àΠ. Alors E(M~ ⁰)et E(M~ )sont symétriques par rapport àΠ.

• Si M ∈Π, alorsE(M~ )∈Π.

b) antisymétrie

Π⁰ est un plan d’antisymétrie d’une distribution de chargeDsi et seulement si :

• Π⁰ est un plan de symétrie géométrique deD.

• Pour deux points P et P⁰ appartenant àD et symétriques par rapport àΠ⁰ alorsρ(P⁰) =−ρ(P)(ou σ(P⁰) =−σ(P)ouλ(P⁰) =−λ(P)).

Conséquences :

• Soit M etM⁰ deux points symétriques par rapport àΠ⁰. AlorsE(M~ ⁰)etE(M~ )sont antisymétriques par rapport àΠ⁰.

• Si M ∈Π⁰, alors E(M~ )⊥Π⁰.

Ainsi, pour déterminer la direction du champ électrostatique créé par une distributionDen un point M, il suffit de chercher un seul plan d’antisymétrie ou, au moins, deux plans de symétrie de cette distribution passant parM.

c) Invariances

• Si la distribution de charge est invariante par translation le long d’un axe, alors le champ créé par cette distribution ne dépend pas de la variable qui définit cette translation.

• Si la distribution de charge est invariante par rotation autour d’un axe, alors le champ créé par cette distribution ne dépend pas de l’angle qui définit cette rotation.

6. Lignes de champ - Tube de champ

Une ligne de champ est une courbe tangente en chaque point au vecteur champ électrostatique défini en ce point.

Pour trouver l’équation des lignes de champ il faut résoudre l’équation E~ ∧d~l=~0. L’ensemble des lignes de champ constitue un tube de champ.

7. Flux du champ électrostatique : Théorème de Gauss

Le flux du champ électrostatique à travers une surface fermée quelconque S est égal à la charge intérieure à cette surface divisée parε0 :

Z

⊂⊃

Z

S

E.d ~~ S= Qint

ε0

Application 2 :

Soit un fil rectiligne infiniment long portant la densité linéique de chargesλconstante.

1. Déterminer la forme du champ électrostatique créé en un pointM de l’espace.

2. Déterminer le module du champ électrostatique créé enM : 2.1. Directement sans utiliser le théorème de Gauss.

2.2. En utilisant le théorème de Gauss.

3. Préciser alors la forme des lignes de champ.

8. Potentiel électrostatique

a) Définition

Le potentiel électrostatiqueV est défini par : E~ =−−−→

gradV . V s’exprime en Volt (V) etEenV /m.

Exemple : Potentiel créé par une charge ponctuelleq On a :

E(M~ ) = q

4πε₀r²~er=−−−→

gradV =−dV(r) dr ~er

Donc :

V(r) = q

4πε0r+cte S’il n’y a pas de charges à l’infini alorsV(∞) = 0etcte= 0. Donc :

V(r) = q 4πε0r

Remarque :

Le potentiel électrostatique est continue à la traversée d’une distribution volumique ou surfacique mais il est discontinu à la traversée d’une distribution linéique.

Application 3 :

Calculer le potentiel créé en un pointM par une ligne infinie portant la densité linéique de chargesλ constante. On prendraV(r=r0) = 0.

b) Circulation du champ électrostatique

La circulation du champ électrostatique le long d’une courbe (AB) est : Z B

A

E.d~l~ =− Z B

A

−−→gradV.d~l=− Z B

A

dV =V(A)−V(B)

La circulation du champE~ ne dépend pas du chemin suivi. On dit que le champ électrostatique est à circulation conservative.

Le long d’une courbe ferméeC on a : I

C

E.d~l~ = 0

c) Surfaces équipotentielles

C’est l’ensemble des pointsM pour lesquelsV(M) =cte.

Les surfaces équipotentielles sont perpendiculaires aux lignes de champ en leurs points d’intersec- tion. En effet, siM etM⁰ appartiennent à une surface équipotentielle tels que−−−→

M M⁰=d~lalors : E.~ −−−→

M M⁰=E.d~l~ =−dV =V M)−V(M⁰) = 0 puisqueV(M) =V(M⁰)⇒E⊥~ −−−→

M M⁰

Dans le cas d’une charge ponctuelleq, les surfaces équipotentielles sont définies parr=cte, ce sont des sphères centres sur la chargeq.

Application 4 :

Déterminer les surfaces équipotentielles dans le cas d’une ligne infinie portant la densité linéique de chargesλconstante.

9. Dipôle électrostatique

a) Définition

C’est l’ensemble de deux charges ponctuelles opposées situées à une distance l’une de l’autre très petite devant la distance à laquelle on étudie les effets (champ et potentiel).

b) Moment dipolaire

Soit un dipôle électrostatique constitué de charges −qet +qsituées en N et P. Le moment dipolaire est par définition : ~p=q−−→

N P .

ps’exprime enC.mou en Debye (D) avec1D= 1

3.10⁻²⁹ C.m.

Application 5 :

Un dipôle électrostatique est constitué de deux charges ponctuelles −qet +qplacées sur l’axeOz. La charge−qest située enN(z=−a/2)et l’autre charge+qest placée enP(z= +a/2),a >0 (figure 2).

1. Donner l’expression du moment dipolaire électrique

~

pde la distribution décrite ci-dessus en fonction des données.

2. Justifier clairement que le champ électrostatique créé par les deux charges au pointM s’écrit sous la forme E(M~ ) =Er(r, θ)~er+Eθ(r, θ)~eθet queV(M) =V(r, θ).

3. En fixant, par convention, le potentiel à l’infini égal à 0, donner l’expression du potentiel électrostatique V(M)créé par le deux charges en un point M de l’es- pace tel quer=OM >> a.

4. En déduire les composantes du champ électrosta- tique créé au pointM par le dipôle loin de celui-ci.

5. Établir l’équation des lignes de champ loin du dipôle en coordonnées sphériques et les représenter dans le planϕ= cteen n’oubliant pas de les orienter.

•

•

•

• z

O P

N

M

+q

−q θ

r

Figure 2

II. Équations locales de l’électrostatique

1. Équation de Maxwell-Faraday (M.F)

On a : I

C

E.d~l~ = 0.

Le théorème de Stokes implique : I

C

E.d~l~ = Z Z

S/C

−→rot ~E.d ~S

Donc : Z Z

S/C

−→rot ~E.d ~S= 0 ∀S/C

On en déduit l’équation de M.F :

−→rot ~E(M) =~0

2. Équation de Maxwell-Gauss (M.G)

Le théorème de Gauss s’écrit : Z

⊂⊃

Z

S

E.d ~~ S= Qint

ε₀ avec :

Q_int= Z Z Z

V /S

ρdτ et Z

⊂⊃

Z

S

E.d ~~ S = Z Z Z

V /S

div ~Edτ (th´eor`eme d⁰Ostrogradski)

Donc : Z Z Z

V /S

div ~Edτ = 1 ε0

Z Z Z

V /S

ρdτ ∀V /S

On en déduit l’équation de M.G :

div ~E(M) = ρ(M) ε0

Application 6 :

Soit une sphère de rayonR, uniformément chargée en volume avec une densitéρ0.

Déterminer le champ électrostatique créé par cette distribution en tout point M de l’espace en utili- sant les équations locales de l’électrostatique.

On donne l’expression générale de la divergence d’un champ de vecteurA~ en coordonnées sphériques (r, θ, ϕ):

div ~A= 1 r²

∂(r²Ar)

∂r + 1 rsinθ

∂(Aθsinθ)

∂θ + 1

rsinθ

∂Aϕ

∂ϕ

3. Équation de Poisson

On adiv ~E= ρ

ε₀ etE~ =−−−→

gradV. Donc :div(−−−→

gradV) =−∆V = ρ ε₀.

∆ étant l’opérateur Laplacien.

On en déduit l’équation de Poisson :

∆V(M) =−ρ(M) ε0

Dans une région vide de charge (ρ= 0), On a ∆V = 0 : c’est l’équation de Laplace.

4. Résolution de l’équation de Poisson

Soit Dune distribution de charges à extension finie etdτ un élément de volume entourant un point P de (D). Le potentielV(M), solution de l’équation de Poisson, en un pointM est :

V(M) = 1 4πε0

Z Z Z

D

ρ(P) P Mdτ

Le champ électrostatique au point M est donc : E(M~ ) =−−−→

gradV(M) =− 1 4πε0

Z Z Z

D

ρ(P)−−→

grad_M( 1 P M)dτ

Or :−−→

grad_M( 1 P M) =−

−−→P M

P M³ Donc :

E(M~ ) = 1 4πε0

Z Z Z

D

−−→P M P M³ρ(P)dτ

III. Relation de passage du champ électrostatique à la traversée d’une surface chargée

Le champ électrostatique est continue à la traversée d’une distribution volumique mais il est discon- tinu à la traversée d’une distribution surfacique. Le but est de déterminer la relation de discontuité, dite relation de passage, à la traversée d’une surface (Σ) chargée avec la densité σet séparant deux milieux (1) et (2) (figure 3).

Σ

(1) (2)

E~1

E~2

~n1→2

S2

S₁ h

Figure 3

On note~n_1→2 le vecteur unitaire normal à (Σ) dirigé du milieu (1) vers le milieu (2).

Appliquons le théorème de Gauss sur une surface cylindrique dont la hauteur hest très petite par rapport aux dimensions des deux bases. On néglige donc le flux de E~ à travers la surface latérale. Il

vient : Z

⊂⊃

Z

S

E.d ~~ S=E~2. ~S2+E~1. ~S1 avec S~2=−S~1=S~n_1→2

Par suite : Z

⊂⊃

Z

S

E.d ~~ S= (E~₂−E~₁)S~n_1→2

D’autre partQint=σS. On en déduit :

E~2−E~1= σ ε₀~n_1→2

Cette relation montre que la composante tangentielle du champ électrique est continue, tandis que la composante normale subit une discontinuité de σ

ε0

:

E1t=E2t et E2n−E1n = σ ε0

IV. Énergie électrostatique

1. Cas d’une charge ponctuelle q placée dans un potentiel V

Dans un potentielV, une chargeqest soumise à la force :F~ =q ~E=−q−−→

gradV Le travail élémentaire de cette force est :

δW =F .d~l~ =−q−−→

gradV.d~l=−qdV =−d(qV +cte) =−dUe

F~ dérive de l’énergie potentielle électrostatiqueU_e=qV +cte. S’il n’y a pas de charges à l’infiniV(∞) = 0;Ue(∞) = 0etcte= 0. Donc :

Ue=qV

Application 7 :

Déterminer l’énergie électrostatique d’un dipôle de moment dipolaire~pplacé dans un champ extérieur E.~

2. Cas d’un système discret de charges

a) Cas d’un système de deux charges ponctuelles

Soit un système de deux charges ponctuelles q1 situé au point P1 et q2 situé au point P2. On note

~

r=−−−→

P₁P₂.

La chargeq₁exerce sur la chargeq₂la force électrostatique :

F~_1→2= q₁q₂ 4πε0

−−−→P₁P₂

P1P₂³ = q₁q₂ 4πε0

~r r³

La chargeq2exerce sur la chargeq1la force électrostatique :

F~_2→1= q1q2

4πε₀

−−−→P2P1

P₁P₂³ =−q1q2

4πε₀

~r

r³ =−F~_1→2

Le travail élémentaire des deux forces est : δW =δW1+δW2=F~1→2.d−−→

OP2+F~2→1.d−−→

OP1=F~1→2(d−−→

OP2−d−−→

OP1) =F~1→2.d−−−→

P1P2

Donc :

δW = q1q2

4πε0r³~r.d~r= q1q2

4πε0r³d(1

2~r²) q1q2

4πε0r³rdr= q1q2

4πε0r²dr Soit encore :

δW =−d( q₁q₂

4πε0r+cte)

L’énergie potentielle électrostatique des deux charge est donc : Ue= q1q2

4πε₀r+cte

S’il n’y a pas de charges à l’infiniV(∞) = 0;Ue(∞) = 0etcte= 0. Donc :

Ue= q1q2

4πε₀r

On peut écrire cette énergie sous la forme :

Ue= 1 2(q1

q2

4πε₀r+q2

q1

4πε₀r)

D’où :

Ue=1

2(q1V1+q2V2) avec :

V1= q2

4πε0r est le potentiel électrostatique créé parq2enP1 où se trouveq1; V₂= q₁

4πε0r est le potentiel électrostatique créé parq₁enP₂ où se trouveq₂.

b) Généralisation

L’énergie électrostatique d’un ensemble isolé de charges ponctuelles qi situées aux pointsPi est :

Ue= 1 2

X

i

qiVi

oùVi =X

j6=i

qj

4πε₀r_ij (avecrij =PiPj) est le potentiel créé au niveau de la chargeqi par les autres charges q_j.

3. Cas d’un système continue de charges

L’énergie électrostatique d’une distribution continue de charges volumique, surfacique ou linéique s’écrit respectivement :

Ue= 1 2

Z Z Z

ρV dτ ou Ue= 1 2

Z Z

σV dS ou Ue= 1 2

Z λV dl

Pour une distribution quelconque on montre que :

U_e= Z Z Z

espace

ε₀E² 2 dτ

ε0E²

2 est la densité volumique de l’énergie électrostatique.

Application 8 :

Déterminer l’énergie électrostatique d’une sphère de rayon R chargée en volume avec la densité ρ0

constante.