Chapitre 13
Arithmétique dans Z
I - Divisibilité
I.1 - Diviseurs, Multiples Définition 1 (Diviseur, Multiple).
Soient(a, b)∈Z2. L'entieraest un diviseur deb, notéa|b, s'il existe un entierktel queb=ka. L'entierb est alors un multiple de a.
Notation.
Pour tout entier naturela,D(a) désigne l'ensemble des diviseurs dea.
Pour tout entier naturela,M(a) =aZdésigne l'ensemble des multiples dea. Propriété 1.
Soit (a, b, u, v, d)∈Z5.
(i). (b|aeta|b) ⇔ (|a|=|b|). (ii). Si d|aetd|b, alors d|(au+bv).
Exercice 1.
1. La relation binaire|est-elle une relation d'ordre surZ? surN?
2. En utilisant les congruences, retrouver les critères de divisibilité par2,3,4,5,9,11. Définition 2 (pgcd, ppcm surN).
(i). Soit(a, b)∈N2\{(0,0)}. L'ensemble D(a)∩D(b) possède un plus grand élément, noté a∧b. Cet entier est le plus grand commun diviseur deaetb.
(ii). Soit(a, b)∈(N?)2. L'ensemble M(a)∩M(b)∩N? possède un plus petit élément, noté a∨b. Cet entier est le plus petit commun multiple deaetb.
Notations.
Par convention, on pose 0∧0 = 0 eta∨0 = 0. Propriétés 2.
Soit (a, b)∈N2\{(0,0)}. (i). a∧b=b∧a.
(ii). Si d=a∧b, alors d|aetd|b.
Soit(a, b)∈(N?)2. (i). a∨b=b∨a.
(ii). Sim=a∨b, alors a|metb|m. Définition 3 (Généralisation).
Soit (a, b)∈Z2.
(i). a∧b=|a| ∧ |b|. (ii). a∨b=|a| ∨ |b|. I.2 - Division euclidienne
Théorème 1 (Division euclidienne).
Soienta∈Zetb∈N?. Il existe un unique couple d'entiers relatifs(q, r)tels que a=bq+r et06r < b.
∗ q est appelé le quotient de la division euclidienne de aparb.
∗ r est appelé le reste de la division euclidienne dea parb.
Stanislas A. Camanes
Chapitre 13. Arithmétique dansZ MPSI 1
Exercice 2.Montrer que, siG est un sous-groupe de Z, alors il existe p∈Ntel que G=pZ.
Théorème 2 (Numération).
Soit bun entier naturel supérieur ou égal à2. Pour tout entier naturel x non nul, il existe un unique entier naturelpet(x0, . . . , xp)∈J0, b−1K
p+1tels quex=
p
P
k=0
xkbketxp 6= 0. L'écriture xp· · ·x0b est l'écriture de l'entier x en base m.
Exercice 3.
1. Déterminer l'écriture de364en base2. 2. Décrire l'algorithme d'exponentiation rapide.
II - Algorithme d'Euclide
II.1 - Plus grand diviseur commun et Plus petit commun multiple Théorème 3 (Algorithme d’Euclide).
Soient(a, b)∈Z×N? etr le reste de la division euclidienne dea parb. Alors, D(a)∩D(b) =D(b)∩D(r).
Exercice 4.Déterminer 519∧204. Propriétés 3.
Soient(a, b)∈Z2 etk∈N.
(i). D(a∧b) =D(a)∩D(b). (ii). (ka)∧(kb) =k(a∧b).
(iii). M(a∨b) =M(a)∩M(b). (iv). (ka)∨(kb) =k(a∨b).
Corollaire 4.
Soit (a, b)∈(Z?)2. Il existe (a0, b0)∈Z2 etk∈Ntels que a=ka0, b=kb0 eta0∧b0= 1.
Corollaire 5 (Fractions).
Soit r∈Q?. Il existe un unique couple(p, q)∈Z?×N? tel que r= pq etp∧q = 1. Ce couple est appelé le représentant irréductible der.
II.2 - Théorèmes de Bézout et Gauss Théorème 6.
Soient (a, b) ∈ (Z?)2 et d = a∧b. Il existe deux entiers u, v tels que d= au+bv. De plus, {am+bn, (m, n)∈Z2}=dZ.
Exercice 5.Déterminer deux entiersu etv tels que519u+ 204v= 3. Définition 4 (Premiers entre eux).
Soit (a, b)∈Z2. Les entiers aetbsont premiers entre eux sia∧b= 1. Théorème 7 (Bézout).
Soit (a, b)∈Z2.a∧b= 1si et seulement s'il existe m, n∈Ztels que1 =ma+nb.
Stanislas A. Camanes
Chapitre 13. Arithmétique dansZ MPSI 1
Exercice 6.Soitn∈N. Montrer que netn+ 1sont premiers entre eux.
Théorème 8 (Gauss).
Soit (a, b, c)∈Z3. Sia|bceta∧c= 1, alors a|b.
Exercice 7.Déterminer l'ensemble des entiers tels que519u+ 204v= 3. Théorème 9 (Lien pgcd et ppcm).
Soit (a, b)∈Z2.
(a∧b)·(a∨b) =|ab|.
II.3 - Plus grand commun diviseur de plusieurs entiers Notations.
ndésigne un entier naturel supérieur à 2.
a1, . . . , an désignent des entiers relatifs.
Propriétés 4 (Associativité). Soit (a, b, c)∈Z3.
(i). a∧(b∧c) = (a∧b)∧c. (ii). a∨(b∨c) = (a∨b)∨c.
Définition 5 (pgcd, ppcm d’une famille d’entiers).
(i). L'entiera1∧ · · · ∧an est le plus grand commun diviseur des entiersa1, . . . , an. (ii). L'entiera1∨ · · · ∨an est le plus petit commun multiple des entiersa1, . . . , an.
Exercice 8.Calculer le pgcd et le ppcm de la famille 6,10,15 puis le produit de ces entiers.
Propriété 5. Soit k∈N?.
(i). (ka1)∧ · · · ∧(kan) =k(a1∧ · · · ∧an). (ii). (ka1)∨ · · · ∨(kan) =k(a1∨ · · · ∨an). Théorème 10 (Relation de Bézout).
Sidest le pgcd dea1, . . . , an, alors il existe des entiers relatifs u1, . . . , untels que a1u1+· · ·+ anun=d.
Définition 6 (Entiers premiers entre eux dans leur ensemble).
Si le pgcd de a1, . . . , anvaut 1, alors ces entiers sont premiers entre eux dans leur ensemble.
Exercice 9.Montrer que 6,10,15 sont premiers entre eux dans leur ensemble.
Théorème 11 (Relation de Bézout).
a1, . . . , an sont premiers entre eux dans leur ensemble si et seulement s'il existe des entiers relatifs u1, . . . , un tels quea1u1+· · ·+anun= 1.
III - Nombres premiers III.1 - Dénition
Définition 7 (Nombres premiers).
Soit p∈Z\{0,1,−1}. L'entierp est premier si l'ensemble de ses diviseurs est {−p,−1,1, p}.
Stanislas A. Camanes
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Notation.
P désigne l'ensemble des nombres premiers, P+=P∩N.
Propriété 6.
Soientp∈P eta∈Z. Sip ne divise pas a, alors p est premier avec a.
Exercice 10.Soientp∈P+ et(a, b)∈Z2. 1. Montrer que, sip|ab, alors p|b oup|a.
2. Montrer que, pour toutk∈J1, p−1K,p est premier avec k. 3. En déduire que, pour toutk∈J1, p−1K,p| pk
. Théorème 12 (Petit théorème de Fermat).
Soit pun nombre premier. Pour tout entier naturel n,np ≡n[p]. Propriété 7.
Soientnun entier naturel non nul,a1, . . . , andes entiers etp∈P. Sip|a1· · ·an, alors il existe k∈J1, nKtel que p|ak.
III.2 - Ensemble des nombres premiers Lemme 1.
Tout entier naturel supérieur ou égal à 2admet un diviseur premier.
Théorème 13 (Infinité).
L'ensemble des nombres premiers est inni.
III.3 - Décomposition en produit de facteurs premiers Définition 8 (Valuationp-adique).
Soient a ∈ Z?, p ∈ P+. Il existe un unique entier naturel n tel que pn divise a et pn+1 ne divise pas a. L'entiernest appelé la valuation de pdansa et est notévp(a).
Exercice 11.Montrer que vp(n) = 0 si et seulement sip6 |n. Propriété 8.
Pour tous entiersm, n et tout nombre premierp,vp(mn) =vp(m) +vp(n). Théorème 14 (Décomposition en produit de facteurs premiers).
Soit a∈Z\{0} etε le signe de a. Alors, a=ε Q
p∈P+
pvp(a). Cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près. C'est la décomposition en produit de facteurs premiers de a.
Propriété 9.
Soit (a, b)∈(Z?)2.a|b si et seulement si∀p∈P+, vp(a)6vp(b). Propriété 10 (pgcd, ppcm).
Soit (a, b)∈(Z?)2. Alors,
a∧b= Y
p∈P+
pmin{vp(a),vp(b)}, a∨b= Y
p∈P+
pmax{vp(a),vp(b)}.
Stanislas A. Camanes
