Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Programme de colle de la semaine n˚25
Questions de cours
Question n˚ 1 : D´efinition d’un nombre premier ; toutn∈N≥2 poss`ede un diviseur premier (preuve) ; il existe une infinit´e de premiers (preuve) ; d´ecomposition en produit de facteurs premiers de 594 et 495, puis cal- cul de PGCD(594,495) et PPCM(594,495).
Question n˚ 2 : Th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique (deux formulations) ; d´efinition de la valuationp-adique d’un entier naturel non nul ; crit`ere d’´egalit´e via les valuations p-adiques (´enonc´e) ; le nombre√
37 est irrationnel (preuve).
Question n˚ 3 : Produit scalaire (synth`ese) ; un RON ´etant fix´e, comparaison des droitesD1d’´equation 4x+ 5y−11 = 0 etD2de repr´esentation param´etrique
x = −1 + 5t y = 3 − 4t.
Question n˚ 4 :Produit mixte (synth`ese) ; un RON
´etant fix´e, ´etude de l’intersection des droites (AB) o`u A(−2,4),B(5,1) etDde repr´esentation param´etrique
x = 1 + t
y = −1 + t.
Question n˚ 5 : Vect(−→u) o`u −→u 6= −→0 (d´efinition,
´enonc´es et preuves de toutes les propri´et´es du cours) ; un RON ´etant fix´e, donner une repr´esentation pa- ram´etrique et une ´equation cart´esienne de la droite (AB) o`uA(−3,1), B(3,4).
Chap. 10 − Arithm´ etique dans N
• D´efinition d’un nombre premier.
• Toutn∈N≥2 admet un diviseur premier.
• Il existe une infinit´e de nombres premiers.
• Th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique.
• D´efinition de la notationY
p∈P
pαpo`u (αp)p∈Pest une famille presque nulle de nombres entiers na- turels indic´eeP.
• Reformulation du th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique `a l’aide de la notation pr´ec´edente.
• D´efinition de la valuation p-adique d’un entier naturel non nul (p∈ P).
• Crit`ere d’´egalit´e (resp. de divisibilit´e) via les va- luationsp-adiques.
• PGCD et PPCM de deux entiers naturels non nuls via leurs d´ecompositions en produits de fac- teurs premiers.
• PGCD, PPCM et produit de deux entiers na- turels non nuls.
Chap. 11 − G´ eom´ etrie dans le plan
• Rappels sur les vecteurs du plan.
• Base, BO, BON, existence et unicit´e des coor- donn´ees d’un vecteur dans une base, matrice des coordonn´ees d’un vecteur dans une base.
• Op´erations sur les vecteurs vs. op´erations sur les matrices de coordonn´ees.
• Norme d’un vecteur en fonction de ses coor- donn´ees dans une BON.
• Rep`ere, RO, RON, existence et unicit´e des co- ordonn´ees d’un point dans un rep`ere, d´efinition de la matrice des coordonn´ees d’un point dans un rep`ere.
• Coordonn´ees de−−→
AB vs. coordonn´ees deAetB.
• Coordonn´ees polaires d’un vecteur non nul.
• Coordonn´ees polaires vs. coordonn´ees cart´esiennes pour un vecteur non nul.
• Coordonn´ees polaires d’un point distinct de l’origine (du rep`ere fix´e).
• Coordonn´ees polaires vs. coordonn´ees cart´esiennes pour un point distinct de l’origine.
• Produit scalaire : d´efinition g´eom´etrique, in- terpr´etation en termes de projection orthogo- nale, expression via des coordonn´ees dans une BON, crit`ere d’orthogonalit´e, si−→u est un vec- teur alors ||−→u||2 =−→u .−→u, in´egalit´e de Cauchy- Schwarz et cas d’´egalit´e, sym´etrie, bilin´earit´e, positivit´e, s´eparation, th´eor`eme de Pythagore.
• Produit mixte : d´efinition g´eom´etrique, lien avec une aire de parall´elogramme, expression via des coordonn´ees dans une BON orient´ee, crit`ere de colin´earit´e, antisym´etrie, bilin´earit´e.
• Vect(−→u), o`u −→u 6= −→0 : d´efinition, stabilit´e par combinaison lin´eaire, crit`ere d’´egalit´e, une inclusion entre deux tels ensembles implique l’´egalit´e.
• A+ Vect(−→u), o`u A est un point et −→u 6= −→0 : d´efinition, crit`ere d’´egalit´e, une inclusion entre deux tels ensembles implique l’´egalit´e.
• D´efinition d’une droite.
• Vecteurs directeurs d’une droite : d´efinition, existence et d´efaut d’unicit´e, propri´et´e de co- lin´earit´e.
• Vecteurs normaux d’une droite : d´efinition, existence et d´efaut d’unicit´e, propri´et´e de co- lin´earit´e.
• Positions relatives de deux droites, vecteurs di- recteurs et vecteurs normaux.
• Trois modes de d´efinition d’une droite.
• D´efinition d’une repr´esentation param´etrique de droite et droite d´efinie par une repr´esentation param´etrique.
• D´efinition d’une ´equation cart´esienne de droite et droite d´efinie par une ´equation cart´esienne.
