CHAPITRE 1 Ensembles numériques Règles de calcul

CHAPITRE 1

Ensembles numériques Règles de calcul

Relations et opérations Sous-ensembles remarquables

Sommaire

A) L'ensemble N des nombres entiers "naturels"

B) l'ensemble Z des nombres entiers "relatifs"

C) l'ensemble Q des nombres "rationnels" : D) l'ensemble R des nombres "réels"

E) l’ensemble C des nombres "complexes"

G.L. - CHAPITRE 1 - 2 Avertissement :

La construction théorique des ensembles de nombres entiers, rationnels, réels, complexes IN, Q, IR, C, n’est pas au programme du DAEU-B. Le lecteur trouvera ici les règles de calcul et les propriétés des nombres et des ensembles numériques à connaître pour la suite.

Pour chaque ensemble de nombres, nous précisons les opérations et les relations qui relient ces nombres, ainsi que les parties (sous-ensembles) remarquables.

A) L'ensemble N des nombres entiers "naturels"

Un entier naturel est par exemple le résultat d’un comptage d’objets (aspect “ cardinal ”) ou de l’énumération d’une liste (aspect “ ordinal ”). Dans l’ensemble IN, on définit des opérations (addition, multiplication) et des relations telles que : “ égal ” notée =, “ inférieur ou égal ”, notée

≤ , ou bien “ divise ”, notée |.

Exemples : 2 ≤ 5, 3 | 12.

N.B. : ces relations donnent naissance à leur tour à des opérations telles que max, min, pgcd, ppcm.

1) Propriétés de l’addition : Exemples

a + b = b + a 2 + 3 = 3 + 2 = 5

a + (b + c) = (a + b) + c 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = (2 + 3) + 5 = 5 + 5

a + 0 = 0 + a = a 3 + 0 = 0 + 3 = 3

ainsi que :

a + c = b + c ⇒ a = b (règle de simplification) a + 2 = b + 2 ⇒ a = b

2) Propriétés de la multiplication : Exemples

a b = b a 2 . 3 = 3 . 2 = 6

a (b c) = (a b) c 2 . (3 . 5) = 2 . 15 = (2 . 3).5 = 6 . 5

a . 1 = 1 . a = a 3 . 1 = 1 . 3 = 3

a . 0 = 0 . a = 0 2 . 0 = 0 . 2 = 0

De plus, si un produit a . b est nul, alors l’un au moins des deux termes est nul.

Propriétés vis à vis de l’addition :

a (b + c) = a b + a c 2 (3 + 1) = 2 . 3 + 2 . 1 Enfin :

c a = c b et c ≠ 0 ⇒ a = b 3 . a = 3 . b ⇒ a = b (règle de simplification) D’où les importantes propriétés concernant carré, cube d’une somme :

(a + b)² = (a + b) (a + b) = a² + 2 a b + b² (2 + 3)² = 2² + 2 . 2 . 3 + 3²

(a + b)³ = a³ + 3 a² b + 3 a b² + b³ (2 + 3)³ = 2³ + 3 . 2² . 3 + 3 . 2 . 3² + 3²

3) règles du calcul des puissances :

a^b a^c = a^b+c 2² . 2³ = (2.2).(2.2.2) = 2²⁺³ = 2⁵ = 32 ( a^b )^c = a^bc (2²)³ = (2.2).(2.2).(2.2) = 2^2.3 = 2⁶ = 64 ( a b ) ⁿ = a ⁿ . b ⁿ (2.3)²= (2.3).(2.3) = 2².3²= 4.9 = 6²= 36

4) propriétés de la relation

≤

:

Etant donné 2 entiers a et b, la relation : a ≤ b est vraie si b est le résultat d’une addition d’un entier c à l’entier a, soit : b = a + c.

Cette relation “ a inférieur ou égal à b ” vérifie les propriétés suivantes.

a ≤ b et b ≤a ⇒ a = b Exemples

a ≤ b et b ≤ c ⇒ a ≤ c 2 ≤ 3 et 3 ≤ 5 ⇒ 2 ≤ 5

ainsi que :

a ≤ b et c ≤ d ⇒ a + c ≤ b + d 2 ≤ 5 et 3 ≤ 7 ⇒ 2 + 3 ≤ 5 + 7 a ≤ b et c ≤ d ⇒ a . c ≤ b . d 2 ≤ 5 et 3 ≤ 7 ⇒ 2 . 3 ≤ 5 . 7 en revanche, prendre garde ci-dessous à la "règle fausse" :

a ≤ b et c ≤ d ⇒ a - c ≤ b - d 5 ≤ 7 et 1 ≤ 3 ⇒ 5 - 1 ≤ 7 - 3

5) Maximum et minimum :

Etant donné deux entiers a et b, on définit les opérations : M = max { a ; b } par : M = a si a ≥ b,

M = b si a ≤ b. max { 3 ; 5 } = 5 De même :

M = min { a ; b } par : M = a si a ≤ b,

M = b si a ≥ b. min { 3 ; 5 } = 3

6) propriétés de la relation | : Exemples

a | b et b | a ⇒ a = b

a | b et b | c ⇒ a | c 2 | 6 et 6 | 18 ⇒ 2 | 18 ainsi que :

a | b et a | c ⇒ a | (b + c) 7 | 21 et 7 | 35 ⇒ 7 | 56

Tout entier a possède des diviseurs (au moins deux : 1 & a lui-même), et une infinité de multiples : 2a, 3a, 4a, etc... l’entier 31 n’a comme diviseurs que 1 et 31 : il est premier. On notera D ( a ) l’ensemble de ses diviseurs et M ( a ) celui de ses multiples.

Deux entiers a et b ont des diviseurs communs (au moins le nombre 1) et des multiples communs (notamment le produit a^xb). Ci-dessous, 3 cas typiques :

a b D (a) D (b) PGCD PPCM Observations

5 7 {1 ; 5} {1 ; 7} 1 35 5 et 7 sont premiers

8 9 {1 ; 2 ; 4 ; 8} {1 ; 3 ; 9} 1 72 8 et 9 premiers entre eux 12 18 {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12} {1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18} 6 36 a x b = PGCD x PPCM

G.L. - CHAPITRE 1 - 4

7) décomposition en facteurs premiers, PGCD, PPCM

L'idée est de déterminer tous les nombres premiers par lesquels un nombre donné est divisible, et avec quel exposant. Exemple : 72 = 2³ x 3². Cela permet de trouver rapidement pour 2 nombres ainsi décomposés le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) et le Plus Petit Commun Multiple (PPCM), comme indiqué ci-dessous.

Exemple : les nombres 210 et 360 210 | 2

105 | 3

35 | 5

7 | 7

1 | 1

ainsi :

210 = 2 ^x 3 ^x 5 ^x 7 et 360 = 2^3x 3^2x 5

360 | 2 180 | 2

90 | 2

45 | 3

15 | 3

5 | 5

1 | 1

Le PGCD sera égal à 2 ^x 3 ^x 5 = 30, le PPCM sera égal à 2^3x 3^2x 5 ^x 7 = 2520.

8) division euclidienne :

Soient 2 entiers a et b (b ≠ 0). Supposons a > b. Parmi les multiples de b {2.b, 3.b, 4.b, etc...}, on note q.b le dernier qui précède a, et l’on calcule le reste : r = a - q.b. Ainsi :

a = b.q + r avec r < b.

(a = dividende, b = diviseur) a | b

r | q |

Exemple : a = 25 et b = 8, les multiples de 8 sont : 8*1=8, 8*2=16, 8*3=24, 8*4=32, etc... le dernier précédant 25 est 8*3=24, le reste : r = 25 - 3*8 = 1. Quotient q = 3, reste r = 1.

Si b | a, alors le reste r est égal à 0, et réciproquement.

Exemple : si a < b, alors : a = 0 . b + a; Quotient 0 et reste a.

Notation : si b divise a, alors on peut écrire : q = a / b.

9) Parties remarquables de l’ensemble N des entiers "naturels" :

Etant donné un entier a, on considère les sous-ensembles suivants

entiers inférieurs ou égaux à a : I_a = { 0, 1, 2, ..., a-1, a } = {n / n ≤ a}

entiers supérieurs ou égaux à a : S_a = {a, a+1, a+2, ..., ... } = {n / n ≥ a}

entiers multiples de a : M_a = { a, 2a, 3a, ... } = { n / a|n } = { p.a / p ∈ N } entiers diviseurs de a : D_a = { 1, ..., a } = { m ∈ N / m|a }

Exemple : étant donné 2 entiers a et b, le sous-ensemble S_a ∩ I _b représente l’intervalle de tous les entiers compris entre a et b. On en compte exactement : b - a + 1.

10) L’ensemble |N

²

= |N

^x

|N :

Quand je m’intéresse à 2 entiers x et y, c’est à dire au couple ( x , y ), je peux les représenter dans le quadrillage ci-contre par un point d’abscisse x et d’ordonnée y :

Exemple 1 : le point ( 2 , 3 ).

Exemple 2 : un groupe de 5 élèves comprend x filles et 5 garçons. Représenter dans le quadrillage tous les cas possibles.

Exemple 3 ; entourer tous les points tels que x ≥ y.

Exemple 4 : entourer tous les points tels que : y = x + 1.

Exemple 5 : entourer les points ( x , y ) tels que x divise y.

Devinette :

Une équipe de sportifs est rassemblée en plusieurs rangées, lignes et colonnes.

On distingue le plus grand de chaque ligne (entouré d’un cercle), et l’on désigne par X le plus petit de ceux-ci (cercle double-trait).

De même, on distingue le plus petit de chaque colonne (entouré d’un carré), et l’on désigne par Y le plus grand de ceux-ci (carré double-trait).

Quel est le plus grand des deux sportifs X et Y ?

b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

G.L. - CHAPITRE 1 - 6

B) l'ensemble Z des nombres entiers "relatifs" :

Etant donné 2 entiers naturels a et b, on veut pouvoir effectuer dans tous les cas une soustraction c = b - a, dont le résultat c vérifie : a + c = b, y compris si a > b.

On note : c = b - a et -c = a - b. Le nombre c est positif si a < b, négatif si a > b.

Ainsi pour a = 2 et b = 5 : 5 - 2 = 3, et : 2 - 5 = - 3.

Les deux nombres 3 et -3 sont opposés.

Étant donné un entier relatif a, on note -a son opposé, ainsi : -

l’opposé de a = 3 est : -a = -3 -

l’opposé de a = -3 est : -a = -(-3) = 3.

Il en résulte l’ensemble Z des nombres entiers relatifs.

a) Valeur absolue d’un entier relatif :

Étant donné un entier relatif a, on note | a | le nombre dont la valeur est : a

si a est positif, | 3 | = 3 l’opposé

de a si a est négatif. | - 3 | = 3

b) Comparaison de deux entiers relatifs :

Étant donné deux entiers relatifs a et b, on définit a < b par :

• a et b sont positifs et : | a | < | b | 2 < 5

• a négatif et b positif -(2) < 5

• a et b négatifs et : | a | > | b | (-5) < -(2) On peut comparer les opposés –a et –b :

a ≤ b ⇒ -b ≤ -a 2 ≤ 5 ⇒ -5 ≤ -2

c) Addition des entiers relatifs

:

- Si a et b sont de mêmes signes, on

calcule la somme s = a + b en distinguant 2 cas : - Si a et b ≥ 0, la somme s = a + b est un

nombre positif et se calcule comme dans

l’ensemble IN des entiers naturels s = 2 + 3 = 5

- Si a et b ≤ 0, la somme a + b est un nombre

négatif de valeur absolue | a | + | b | s = (-2) + (-3) = -5

|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|___|

0 2 5

- Si a et b sont de signes contraires, on calcule

la somme s = a + b en distinguant 3 cas :

- si | a | > | b | , le signe de s est celui de a s = (-3) + 2 a pour signe celui de -3 et et | s | = | a | - | b | pour valeur absolue 3 - 2 = 1 ==> s = -1.

- si | a | < | b | , le signe de s est celui de b s = (4) + (-7) a pour signe celui de -7 et et | s | = | b | - | a | pour valeur absolue 7 - 4 = 3 ==> s = -3.

|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|___|

0

- si | a | = | b |, alors s = 0. 5 + (-5) = 0.

Bilan de la somme s = a + b

Signe : celui du plus grand nombre en valeur absolue ( sauf nombres opposés : s = 0 ) Valeur absolue : somme / différence de | a | et | b | selon signes égaux / opposés

d) Multiplication des entiers relatifs

:

Règle des signes : + ^x + = + et + ^x - = - ^x + = - 2 ^x -3 = -6 ainsi que : - ^x - = + -2 ^x -3 = +6

Inégalités : si a ≤ b, alors a.c ≤ b.c si c ≥ 0, 2 ≤ 5 ==> 2 . 3 ≤ 5 . 3 soit 6 ≤ 15 a.c ≥ b.c si c ≤ 0 2 ≤ 5 ==> 2 . (-3) ≥ 5 . (-3) soit -6 ≥ -15.

si 0 ≤ a ≤ b et 0 ≤ c ≤ d, alors : a . c ≤ b . d 2 ≤ 5 et 3 ≤ 7 ⇒ 2 . 3 ≤ 5 . 7

N.B. l’inégalité a . c ≤ b . d n’est garantie que si a et b sont positifs. Par exemple : -3 ≤ -2 et -5 ≤ -3 mais l’inégalité suivante est fausse : -3 . -5 ≤ -2 . -3,

Bilan du produit p = a ^x b

Signe : + si a et b sont de même signe, - si a et b sont de signe distinct.

Valeur absolue : le produit des valeurs absolues | a | et | b |

c) identités remarquables

:

But : transformer des sommes en produits et inversement.

a) Carrés :

(a + b)² = (a + b) (a + b) = a a + a b + b a + b b = a² + 2 a b + b² (a - b)² = (a - b) (a - b) = a a - a b - b a + b b = a² - 2 a b + b² (a + b) ( a - b) = a a - a b + b a - b b = a² - b²

b) Cubes :

(a + b)³ = a³ + 3 a² b + 3 a b² + b³ (a - b)³ = a³ - 3 a² b + 3 a b² - b³

a³ - b³ = (a - b) (a² + a b + b²) a³ + b³ = (a + b) (a² - a b + b²)

d) Retour sur la valeur absolue :

Pour tout entier relatif a, | a | = sup { a ; -a } (voir III). Ex. : | -3 | = | 3 | = sup { -3 ; 3 } = 3.

La valeur absolue vérifie la propriété | a | ≥ 0, et les règles suivantes :

| a . b | = | a | . | b | | -3 . 2 | = | -3 | . | 2 | Pour la somme, il n’y a pas d’égalité, mais seulement une inégalité :

| a + b | ≤ | a | + | b | | -5 + 2 | ≤ | -5 | + | 2 | car 3 ≤ 7 Enfin pour une différence, nous avons une double inégalité :

|

| a | - | b |

|

≤ | a - b | ≤ | a | + | b |

- CHAPITRE 2 - 8

3) l'ensemble Q des nombres "rationnels" :

Étant donné 2 entiers relatifs p et q, on veut représenter dans tous les cas le résultat d’une division u = a : b, même si cela ne “ tombe pas juste ”, c’est à dire si b ne divise pas a. Ce résultat u vérifie par définition : b . u = a.

On note : u = a / b, exemple : u = 2 / 3; on inaugure ainsi l’ensemble Q des nombres rationnels.

On ne distingue pas 2 / 3, 4 / 6, 10 / 15, etc … plus généralement a / b, 2a / 2b, 3a / 3b, etc...

qui forment le même nombre rationnel noté u.

a) Propriétés (supplémentaires) de l’addition :

a / b + a’ / b’ = (a b’ + b a’) / b b’ 2 / 3 + 3 / 4 = (2.4 + 3.3) / 3.4 = 17 / 12 b b’ est ici choisi comme “ dénominateur commun ”. Le plus petit est le PGCD de b et b’.

b) Propriétés (supplémentaires) de la multiplication

:

( a / b ) ( a’ / b’ ) = a a’ / b b’ (2 / 3 ). (5 / 4) = 2.5 / 3.4 = 10 / 12 = 5 / 6 Tout rationnel non nul r = a / b admet un inverse noté : r-1 = 1 / r = b / a, d’où l'introduction suivante du quotient obtenu en multipliant par l'inverse :

( a / b ) / ( a’ / b’ ) = ( a / b ).( b’ / a’ ) = a b’ / b a’ ainsi (2 / 3 ) / (5 / 4) = 8 / 15 Attention, a / (a + b) ne peut se simplifier : a / (a + b) = 1 / (1 + b) (“ règle ” fausse !)

c) Proportions

:

l’égalité a / b = a’ / b’ entraîne a b’ = b a’ , ainsi que : a / b = a’ / b’ = (a + a’) / (b + b’) Exemple : 5/3 = 20/12 entraîne 5 . 12 = 3 . 20 et 5/3 = 20/12 = (5+20) / (3+12)

d) Propriété (supplémentaire) des puissances

:

Soit un nombre rationnel r = a / b et un entier positif s, nous pouvons calculer r^s = a^s / b^s On peut calculer une puissance avec exposant négatif définie de la façon suivante : r^-1 = 1 / ( a / b ) = b / a plus généralement, r^-s = 1 / (r^s).

e) Propriétés des inégalités :

Si : 0 < a ≤ b, alors 1 / b ≤ 1 / a

Application : 3 ≤ a ≤ 5 et 2 ≤ b ≤ 4 alors 1 / 4 ≤ 1 / b ≤ 1 / 2 et 3 / 4 ≤ a / b ≤ 5 / 2.

Devinette : Son enfance dura 1/6 de sa vie ; sa barbe poussa 1/12 de sa vie plus tard ; après 1/7 de celle-ci, il se maria ; 5 ans plus tard, il eut un fils qui vécut la moitié de la vie de son père et mourut 4 ans avant : à quel âge est-il mort ?

Solution de la devinette

Avec x = durée de la vie, on écrit : ( 1/6 + 1/12 + 1/7 + 1/2 ) x + 9 = x soit ((14 + 7 + 12 + 42) / 84) x + 9 = x,

soit 75/84 x + 9=x. Puis x- (75/84) x = 9, qui donne: (9/84) x = 9 et enfin x = 84.

Diophante serait alors mort à 84 ans.

4) l'ensemble R des nombres "réels" :

L’ensemble des nombres rationnels comporte des “ trous ”, comme le montre l’exemple : Exemple :

On ne peut trouver aucune fraction r = p / q dont le carré p² / q² soit égal à 2.

• Supposons qu’il y en ait une, et qu’elle soit simplifiée “ au maximum ” : p et q n’ont alors aucun diviseur commun. Nous avons p² = 2 q², donc p² est pair, ce qui entraîne que p est aussi pair, de forme 2 p’. Comme p = 2 p’ est pair, alors son carré p² = (2 p’) ² = 2 q² est divisible par 4, et q² = 2 p’ ² est pair, ce qui entraîne que q est aussi pair, de forme 2 q’. Ainsi la fraction p / q

= 2 p’ / 2 q’ pourrait encore se simplifier, ce qui contredit l’hypothèse de départ. Donc aucune fraction r = p / q n’a un carré carré p² / q² égal à 2.

On dit que le nombre dont le carré est égal à 2 est irrationnel. On note ce nombre √2.

Cependant nous pouvons rechercher parmi les fractions 1/10, 2/10, 3/10, etc...la dernière fraction n/10 dont le carré est inférieur à 2. On trouve alors :

(14 / 10 )² < 2 < (15 / 10)²

De même parmi les fractions 1 / 100, 2 / 100, 3 / 100, etc... on trouve : (141 / 100 )² < 2 < (142 / 100)² et

(1414 / 1000 )² < 2 < (1415 / 1000)² etc...

Ainsi le nombre √2 admet des valeurs approchées à 1 / 10ème près, à 1 / 100ème près, etc...

On accède à travers cet exemple à un nouvel ensemble de nombres, l'ensemble |R des nombres réels. Qui contient l'ensemble Q des nombres rationnels, et d'autres nombres comme

√2 qui sont dits irrationnels. On montre que tout nombre réel admet comme valeur approchée, à une précision aussi petite que l’on veut, un nombre rationnel (et aussi un nombre décimal).

Ci-après une propriété caractéristique des deux types de nombres réels :

• Pour un nombre rationnel, les décimales reviennent par blocs successifs, par exemple : 1 / 7 = 0,142857 142857 142857 etc...

• Pour un nombre irrationnel, on n’observe aucune régularité de ce genre.

Ex : π = 3,141592653589793055255614 etc etc etc.

a) Exposants fractionnaires, traitement des racines :

Étant donné un nombre réel x et une fraction p/q, on définit :

z = x 1/q

comme racine de l’équation :

z ^q = x

, qui existe toujours si x ≥ 0, et qui existe moyennant q impair si x < 0.

Partant de z, on définit :

y = z p = x p / q

. C’est dans ces conditions qu’on définit, étant donné un rationnel r, la fonction

x r

.

Traitement des racines : (exemples chiffrés).

- CHAPITRE 2 - 10 Étant donné une expression non nulle du type :

u = a ± b c

, on peut toujours multiplier et diviser par l’expression conjuguée

v = a m b c

^.

b) Ensembles remarquables de |R :

[ a , b ] est l’ensemble des réels x tels que : a ≤ x ≤b ] a , b [ est l’ensemble des réels x tels que : a < x <b [ a , b [ est l’ensemble des réels x tels que : a ≤ x <b ] a , b ] est l’ensemble des réels x tels que : a < x ≤b

- CHAPITRE 2 - 12

5) l'ensemble C des nombres complexes

Cet ensemble, inventé de sorte qu’un carré z*z puisse être un nombre réel négatif, sera abordé plus complètement dans le cadre de la géométrie.

Ainsi l'on note

i

un nouveau nombre "imaginaire" tel que

i

^{2 = - 1.}

Il en résulte que le nombre 2

i

a pour carré : 4

i

² = - 4, etc.

Vu la règle des signes, les nombres opposés -

i

^{et - 2}

i

ont aussi pour carrés - 1 et - 4.

On considère comme un objet unique appelé nombre complexe la somme : z = a +

i

b, où a et b sont deux nombres réels.

On dit que a est sa partie réelle tandis que

i

b est sa partie imaginaire.

Exemple : z = 2 + 3

i

pour lequel 2 est la partie réelle, et 3

i

la partie imaginaire.

Une fois cette convention établie, on peut effectuer des opérations, sommes et produits, sur le modèle de celles que l'on fait dans l'ensemble des réels.

a) addition de nombres complexes :

Étant donné les nombres complexes z = a +

i

b et z' = a' +

i

^b',

z + z' = ( a +

i

b ) + (a' +

i

b' ) = ( 2 + 3

i

) + ( 3 - 4

i

^{) =}

( a + a' ) +

i

( b + b' ) ( 2 + 3 ) + ( 3 - 4 )

i

^{= 5 -}

i

b) multiplication de nombres complexes :

Cas général à gauche, exemple à droite.

z x z' = ( a +

i

^{b ) x (a' +}

i

b' ) = ( 2 + 3

i

^{) x ( 3 - 4}

i

^{) =}

a x a' + a x

i

^{b' +}

i

^{b x a' +}

i

^x

i

^{b' = = 2 x 3 - 2 x 4}

i

^{+ 3}

i

^{x 3 - 3 x 4}

i

²

a a' +

i

( a b' + b a' ) + (-1) b b' = 6 - 8

i

^{+ 9}

i

+ 12 ( - 1) = - 6 +

i

^.

c) Conclusion provisoire :

L'étude détaillée de ces nombres complexes suppose une représentation et un traitement géométrique. Nous y reviendrons après l'étude des vecteurs, distances et angles d'une figure plane.