Lycée de Sbeïtla Série d’exercices

1 Soit a un réel strictement supérieur à 1

Soit (u )_n la suite définie sur ℕpar

0

2 2

n n 1

n

u 2a a u

u , n

+ 2u

=



+

 = ∀ ∈



ℕ

1) Montrer que pour toutn∈ℕ, u_n >a

2) Montrer que (u ) est une suite décroissante _n 3) a) Montrer que pour toutⁿ∈ℕ^{, un 1}+ − ≤^{a 1}₂

(

)

b) Montrer que pour tout

n n

n , u a a 1 2

∈ − ≤    ℕ  

c) Déterminer alors _n

nlim u

→+∞

4) Soit (v ) la suite définie sur _n ℕpar _n ⁿ

n

u a

v u a

= +

− a) Montrer que pour toutn∈ℕ, v_{n 1+} =v²_n b) En déduire que pour toutn∈ℕ, v_n =3²ⁿ

c) Exprimer alors u en fonction de n et retrouver _{n n}

nlim u

→+∞

Soit (u ) la suite définie sur _n ℕpar

0

2 n n 1

u 1 2

u 1 3u , n

+ 2

 =



+

 = ∀ ∈

 ℕ

1) Montrer que pour tout 1 _n

n , u 1

∈ℕ 2 ≤ ≤ 2) a) Montrer que (u ) est une suite monotone _n

b) En déduire que(u ) est convergente et calculer sa limite _n 3) Montrer que pour tout

n 1 n

n , u 1 3 4

  +

∈ = − 

 

ℕ .Retrouver _n

nlim u

→+∞

4) Soit (v ) la suite définie sur _n ℕpar

0

n n 1

n 1

n n 1

u 1 : 2

v u

v , n

1 v u

+ +

+

 =

 +

 = ∀ ∈

 + ℕ

Lycée de Sbeïtla Série d’exercices

Thème : Suites réelles Année scolaire : 2015 // 2016 Professeur :

Elabidi Zahi

Mathématiques 4^ème Maths

Exercice 01

Exercice 02

2 a) Montrer que pour toutn∈ℕ,0<v_n ≤1

b) Montrer que pour toutⁿ∈ℕ^{,1 v}− ^{n 1}+ ≤¹₂

(

)

n 1 n

n ,1 v 1 2

  +

∈ − ≤ 

 

ℕ .Déterminer alors _n

nlim v

→+∞

Soit(u ) la suite définie sur _n ℕ^* par : _n n_{n 1} u = 2 ⁻

1) Montrer que (u ) est décroissante minorée ; que peut- on en déduire ? _n 2) Montrer que ^* _{n 1} 1 _n 1_n

n ; u u

2 2

∀ ∈ℕ + = + .En déduire _n

nlim u

→+∞

3) Soit(S ) la suite définie sur _n ℕ^* par : _n 2₁ 3₂ 4₃ n_{n 1}

S 1 ....

2 2 2 2 ⁻

= + + + + +

a) Calculer, pour toutn∈ℕ^*, S en fonction de n _n b) En déduire _n

nlim S

→+∞

4) Soit(v ) la suite définie sur _n ℕ^* par : v_n =n(sin x)^{n 1−} où x est réel de 0;

6 π

 

 

 

a) Comparer, pour toutn∈ℕ^*, v et u .En déduire _{n n n}

nlim v

→+∞

b) Pour toutn∈ℕ^*, on pose T_n = +1 2sin x 3sin x ... n(sin x)+ ² + + ^{n 1−} Montrer que

n

n n

1 (sin x) (1 sin x) T v sin x

1 sin x

− = − + −

− .En déduire _n

nlim T

→+∞

Soit (u ) la suite définie sur _n ℕpar ⁰

2

n 1 n n

u 1

u ₊ u 5 u 9, n

 =

 = + − + ∀ ∈

 ℕ

1) a) Montrer que pour toutn∈ℕ,0≤u_n ≤4 b) Montrer que (u ) est une suite croissante _n

c) En déduire que(u ) est convergente et calculer sa limite _n 2) Soit (v ) la suite définie sur _n ℕ^*par

n

n 2 k

k 0

v 1 u

n ₌

=

∑

nlim v 0

→+∞ =

3) Pour tout

n

* 2

n k 1 n

k 0

n ,on pose w 2 u ₊ n v

=

∈^ℕ =

∑

a) Montrer que pour tout entier k tel que 0≤ ≤k n on a _{k 1} 3 u^k

u ⁺ 2

≥ − (On pourra remarquer que(u ) est croissante) _n

b) En déduire que w_n ≥3n 3+ .Déterminer alors _n

nlim w

→+∞

Exercice 03

Exercice 04