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1. concours général 1998 - exercice 2 énoncé
Soit (u
n)
n∈N une suite réelle vérifiant, pour tout entier naturel n, la relation : u
n+2=
|u
n+1| − u
n.
Montrer qu’il existe un entier p non nul tel que la relation : u
n+p= u
nait lieu pour
tout entier naturel n.
Solution 1
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2. concours général 1998 - exercice 2 Solution 1
Comme je n’ai aucune information sur les conditions initiales de la suite proposée, je vais essayer de voir les cas possibles. Pour cela, je dois envisager les six cas suivants :
0 ≤ u
0≤ u
1, 0 ≤ u
1≤ u
0, u
0≤ u
1≤ 0, u
1≤ u
0≤ 0, u
1≤ 0 ≤ u
0, u
0≤ 0 ≤ u
1.
1˚ cas 0 ≤ u
0≤ u
1u
2= u
1− u
0≥ 0 u
3= u
2− u
1= −u
0≤ 0
u
4= −u
3− u
2= u
0− u
1+ u
0= 2u
0− u
1Si 2u
0− u
1≥ 0, alors
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u
5= u
4− u
3= 2u
0− u
1+ u
0= 3u
0− u
1≥ 0 u
6= u
5− u
4= 3u
0− u
1− 2u
0+ u
1= u
0≥ 0 u
7= u
6− u
5= u
0− 3u
0+ u
1= u
1− 2u
0≤ 0 u
8= −u
7− u
6= −u
1+ 2u
0− u
0= u
0− u
1≤ 0 u
9= −u
8− u
7= u
1− u
0− u
1+ 2u
0= u
0≥ 0 u
10= u
9− u
8= u
0− u
0+ u
1= u
1≥ 0
u
11= u
10− u
9= u
1− u
0= u
2≥ 0 u
12= u
11− u
10= u
2− u
1= u
3≤ 0 u
13= −u
12− u
11= −u
3− u
2= u
4≥ 0
Si 2u
0− u
1≤ 0, alors
u
5= −u
4− u
3= −2u
0+ u
1+ u
0= −u
0+ u
1≥ 0 u
6= u
5− u
4= u
0− u
1− 2u
0+ u
1= 2u
1− 3u
0≥ 0 u
7= u
6− u
5= 2u
1− 3u
0− u
1+ u
0= u
1− 2u
0≥ 0 u
8= u
7− u
6= u
1− 2u
0− 2u
1+ 3u
0= u
0− u
1≤ 0 u
9= −u
8− u
7= −u
0+ u
1− u
1+ 2u
0= u
0≥ 0 u
10= u
9− u
8= u
0− u
0+ u
1= u
1≥ 0
u
11= u
10− u
9= u
1− u
0= u
2≥ 0
u = u − u = u − u = u ≤ 0
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2˚ cas 0 ≤ u
1≤ u
0u
2= u
1− u
0≤ 0
u
3= −u
2− u
1= u
0− 2u
1Si u
0− 2u
1≤ 0, alors
u
4= −u
3− u
2= −u
0+ 2u
1+ u
0− u
1= u
1≥ 0 u
5= u
4− u
3= u
1− u
0+ 2u
1= −u
0+ 3u
1≥ 0 u
6= u
5− u
4= 3u
0− 3u
1− 2u
0+ u
1= u
0− 2u
1≤ 0 u
7= −u
6− u
5= −u
0+ 2u
0+ 3u
1− 3u
0= 3u
1− 2u
0≤ 0 u
8= −u
7− u
6= −u
1+ 2u
0− u
0= u
0− u
1≤ 0
u
9= −u
8− u
7= u
1− u
0− u
1+ 2u
0= u
0≥ 0 u
10= u
9− u
8= u
0− u
0+ u
1= u
1≥ 0
u
11= u
10− u
9= u
1− u
0= u
2≤ 0
u
12= u
11− u
10= −u
2− u
1= u
3≤ 0
u
13= −u
12− u
11= −u
3− u
2= u
4≥ 0
Si u
0− 2u
1≥ 0, alors
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u
4= u
3− u
2= −2u
1+ u
0− u
1+ u
0= 2u
0− 3u
1≥ 0 u
5= u
4− u
3= 2u
0− 3u
1+ 2u
1− u
0= u
0− u
1≥ 0 u
6= u
5− u
4= u
0− u
1− 2u
0+ 3u
1= 2u
1− u
0≤ 0 u
7= −u
6− u
5= −2u
1+ u
0− u
0+ u
1= −u
1≤ 0 u
8= −u
7− u
6= u
1− 2u
1+ u
0= u
0− u
1≥ 0 u
9= u
8− u
7= u
0− u
1+ u
1= u
0≥ 0
u
10= u
9− u
8= u
0− u
0+ u
1= u
1≥ 0
u
11= u
10− u
9= u
1− u
0= u
2≤ 0
u
12= −u
11− u
10= −u
2− u
1= u
3≥ 0
u
13= u
12− u
11= u
3− u
2= u
4≥ 0
3˚ cas u
0≤ u
1≤ 0
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u
2= −u
1− u
0≥ 0
u
3= u
2− u
1= −u
0− 2u
1≥ 0 u
4= u
3− u
2= −u
1≥ 0 u
5= u
4− u
3= u
1+ u
0≤ 0 u
6= −u
5− u
4= −u
0≥ 0 u
7= u
6− u
5= −u
1− 2u
0≥ 0 u
8= u
7− u
6= −u
0− u
1≥ 0
u
9= u
8− u
7= −u
0− u
1+ u
1+ 2u
0= u
0≤ 0
u
10= −u
9− u
8= −u
0+ u
0+ u
1= u
1≤ 0
4˚ cas u
1≤ u
0≤ 0
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u
2= −u
1− u
0≥ 0
u
3= u
2− u
1= −u
0− 2u
1≥ 0 u
4= u
3− u
2= −u
1≥ 0 u
5= u
4− u
3= u
0+ u
1≤ 0 u
6= −u
5− u
4= −u
0≥ 0 u
7= u
6− u
5= −u
1− 2u
0≥ 0 u
8= u
7− u
6= −u
0− u
1≥ 0 u
9= u
8− u
7= u
0≤ 0
u
10= −u
9− u
8= −u
0+ u
0+ u
1= u
1≤ 0 u
11= −u
10− u
9= −u
1− u
0= u
2≥ 0 u
12= u
11− u
10= u
2− u
1= u
3≥ 0 u
13= u
12− u
11= u
3− u
2= u
4≥ 0 5˚ cas u
1≤ 0 ≤ u
0u
2= −u
1− u
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u
3= −u
2− u
1= u
0≥ 0 u
4= u
3− u
2= 2u
0+ u
1≥ 0 u
5= u
4− u
3= u
0+ u
1≥ 0 u
6= −u
5− u
4= −u
0≤ 0 u
7= −u
6− u
5= −u
1≥ 0 u
8= u
7− u
6= u
0− u
1≥ 0 u
9= u
8− u
7= u
0≥ 0 Si −u
1− u
0≥ 0, alors
u
3= u
2− u
1= −u
0− 2u
1≥ 0
u
4= u
3− u
2= −u
1≥ 0
u
5= u
4− u
3= u
0+ u
1≤ 0
u
6= −u
5− u
4= −u
0≤ 0
u
7= −u
6− u
5= −u
1≥ 0
u
8= u
7− u
6= u
0− u
1≥ 0
u
9= u
8− u
7= u
0≥ 0
6˚ cas u
0≤ 0 ≤ u
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u
2= u
1− u
0≥ 0 u
3= u
2− u
1= −u
0≥ 0 u
4= u
3− u
2= −u
1≤ 0 u
5= −u
4− u
3= u
0+ u
1Si u
1+ u
0≤ 0, alors
u
6= −u
5− u
4= −u
0≥ 0 u
7= u
6− u
5= −u
1− 2u
0≥ 0 u
8= u
7− u
6= −u
0− u
1≥ 0 u
9= u
8− u
7= u
0≥ 0
Si u
1+ u
0≥ 0, alors
u
6= u
5− u
4= 2u
1+ u
0≥ 0
u
7= −u
6− u
5= u
1≥ 0
u
8= u
7− u
6= −u
0− u
1≤ 0
u
9= u
8− u
7= u
0≤ 0
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