Lyc´ee Paul Constans, Montlu¸con, 2018-2019 Programme de colle semaine 22 - du 25/03 au 29/03 1
Programme de colle semaine 22 - du 25/03 au 29/03
Questions de cours
• Soient F et G des sous-espaces vectoriels de E. Donner les crit`eres `a v´erifier pour que F et G soient suppl´ementaires.
• Base canonique de Kn, de Mn,p(K), de Rn[X].
• Enoncer le th´´ eor`eme de division euclidienne dans N.
• Toute question proche du cours.
Chapitre 19. Espaces vectoriels.
Reprise des trois premiers paragraphes.
I) Structure de K-espace vectoriel. II) Sous-espaces vectoriels. III) Applications lin´eaires IV) Somme de sous-espaces vectoriels, somme directe, suppl´ementaires
Somme de deux sous-espaces vectoriels.
Somme directe. Caract´erisation par l’intersection.
Sous-espaces suppl´ementaires.
Exemples.
Dans R2, R3.
Mn(K) =Sn(K)⊕An(K)
Les fonctions paires et les fonctions impaires sont suppl´ementaires dansRI (o`u I est sym´etrique par rapport `a 0).
Pour a ∈I, les fonctions s’annulant en a et les fonctions constantes Vect (1) sont suppl´ementaires dans RI.
V) Familles finies.
Familles libres, li´ees, g´en´eratrices, bases. Vecteurs lin´eairement ind´ependants.
Exemples de diff´erentes techniques pour montrer la libert´e d’une famille.
Bases canoniques de Kn et de Mn,p(K).
N L’objectif principal de ce paragraphe est d’´etudier la libert´e d’une famille finie. Les coordonn´ees dans une base feront l’objet d’un chapitre ult´erieur.
N L’espace vectoriel K[X] n’a pas encore ´et´e d´efini. On peut n´eanmoins se placer dans celui des fonctions polynomiales de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2.
Chapitre 20. Rudiments d’arithm´ etique dans N .
Tout le chapitre. Voir r´esum´e de cours.
N Les points suivants sont hors programme en fili`ere PTSI. La relation de B´ezout, les entiers pre- miers entre eux, le lemme de Gauss, le vocabulaire valuationp-adique, les congruences, l’arithm´etique dans Z.
N La caract´erisation de la divisibilit´e en termes de valuations p-adiques et l’expression du pgcd et du ppcm `a l’aide des valuations p-adiques ont ´et´e ´enonc´ees, mais sont hors programme.
