Lyc´ee Pierre de Fermat 2020/2021
MPSI 1 colles
Programme de colle
Num´ero de semaine : 17
Semaine du 1er/2/2021 au 6/2/2021 Questions de cours :
1. Th´eor`eme de Gauss.
2. Si a∧b=a∧c= 1 alorsa∧bc= 1 et sa g´en´eralisation.
3. Si tous les entiersa1, . . . , an divisentbet sont deux `a deux premiers entre eux, alors leur produit diviseb.
4. R´esoudre une ´equation explicite du typeax+by=cd’inconnues (x, y)∈Z2 o`u (a, b, c)∈Z3. 5. L’ensemble des nombres premiers est infini.
6. Preuve de la caract´erisation de la valuationp-adique.
7. Caract´erisation de a|b par les valuations p-adiques (preuve de la propri´et´e de morphisme des valuations p-adiques utilis´ee).
8. Pourppremier,∀(a, b)∈Z2, (a+b)p≡ap+bp[p]. Application au petit th´eor`eme de Fermat.
Th` eme de la colle : Arithm´ etique dans Z .
Divisibilit´e dansZ. Division euclidienne.
PGCD, PPCM.
Th´eor`eme de B´ezout.
Th´eor`eme de Gauss.
Nombres premiers. D´ecomposition en facteurs premiers.
Congruences. Th´eor`eme de Fermat. Quelques ´equations diophantiennes.
Vincent Bayle
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