ANALYSE SPECTRALE
L’objectif de ce chapitre est de donner les fondements de l’analyse spectrale (harmonique) des signaux.
Les dispositifs électroniques sont en général étudiés quand ils sont excités par des signaux sinusoïdaux. On définit alors la fonction de transfert, et l’étude de ses variations en fonction de la fréquence conduit à la méthode du diagramme de Bode.
Mais de nombreux signaux ne sont pas sinusoïdaux. Par exemple, les impulsions logiques dans les circuits des calculateurs, ou les signaux délivrés par des capteurs.
Ce chapitre a pour objectif de montrer que tout signal peut se décomposer en une somme discrète ou continue de signaux sinusoïdaux.
On commencera par les signaux qui se reproduisent dans le temps. Ces signaux sont dits périodiques et ils se décomposent en une série appelée série de Fourier.
Si on connaît la réponse d’un circuit à une entrée sinusoïdale et si tout signal peut se décomposer en une somme de sinusoïdes, on est alors en mesure de connaître la réponse du circuit pour tout signal d’excitation.
1. Décomposition d’un signal périodique en série de Fourier.
Mathématiquement, la périodicité s’écrit : f(t)=f(t+T)
Une fonction périodique f(t) de période T peut, sous certaines conditions mathématiques qui seront toujours réalisées dans la pratique en physique, se décomposer en une somme de fonctions sinusoïdales de la forme : (décomposition en séries de Fourier)
On montre que la fonction f(t) peut s’écrire :
( )
∞
=
=
ω +
ω +
= n
1
n n n
0 a cosn t b sinn t
a ) t ( f
T
= 2π ω
Les coefficients a0, an et bn sont indépendants du temps et sont donnés par les intégrales suivantes :
= t +T 0 t
0
0 f(t)dt T
a 1 , c’est la valeur moyenne (ou composante continue)
+ ω
= t T
n t
0
0 f(t)cosn tdt
T a 2
+ ω
= t T
n t
0
0 f(t)sinn tdt T
b 2
Dans ces relations, n est un entier positif et t0 est un temps quelconque.
On choisit assez souvent t0 = 0.
La connaissance des coefficients a0, an et bn (coefficients de Fourier) et de la fréquence fondamentale f0 (ou pulsation fondamentale ω0 = 2πf0) est équivalente à la connaissance de la fonction temporelle f(t).
Cette décomposition s’appelle série de Fourier en termes réels, ou série de Fourier trigonométrique.
On remarque que a0est la valeur moyenne de la fonction f(t) : a0est donc nul si la fonction f(t) est alternative.
Deux cas particuliers :
Si la courbe représentative de la fonction f(t) admet un centre de symétrie situé sur l’axe Ox, alors, en choisissant ce point comme origine des temps : f(-t) = - f(t)
La fonction f(t) est une fonction impaire ; son développement en séries de Fourier ne comportera que des termes en sinus (les coefficients an sont nuls).
Si la courbe représentative de la fonction f(t) admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie, alors f(-t)=f(t)
La fonction f(t) est une fonction paire. Le développement en séries de Fourier ne contient alors que des termes en cosinus ((les coefficients bn sont nuls).
Spectre en fréquences :
L’harmonique de rang 1 est appelé le fondamental.
Le terme général
(
ancosnωt+bnsinnωt)
est appelé harmonique de rang n. Il peut être mis sous la forme :( )
+ + + +
=
+ n t
b a t b b n
a b a a t n b t n a
n n
n n
n n n n n
ncos ω sin ω cos ω sin ω
2 2 2
2 2 2
En posant dn = an2 +bn2 ;
n n an
= b ϕ
tan ;
2
cos 2
n n n n
b a
a
= +
ϕ ;
On a : ancosnωt+bnsinnωt=dncos
(
nωt−ϕn)
Et le fonction périodique f(t) peut alors s’écrire : =∞
( )
=
−
=n
n dn n t n
t f
1
cos )
( ω ϕ
On obtient la représentation spectrale des amplitudes de la fonction f(t) en portant en ordonnée l’amplitude des harmoniques (les termes dn) et en abscisse les pulsations (ou les fréquences) correspondantes.
Une autre manière de présenter cette décomposition consiste à exprimer les sinus et cosinus en fonction des exponentielles complexes. C’est la série de Fourier exponentielle ou complexe.
On obtient alors :
∞
=
−∞
=
= n ω n
t jn ne c )
t ( f
+ − ω
= t T
t
t n jn
0
0 f(t)e dt
T c 1
On peut vérifier que : n
(
an jbn)
2
c = 1 −
(
n n)
n a jb
2 c− = 1 +
Le coefficient cn, associé au terme exponentiel, mesure l’importance de la pulsation nω (de la fréquence
π ω 2
n ) dans la décomposition du signal. Le terme étant complexe, il faut en faite observer son module, soit cn 2.
La représentation de la série des modules des coefficients est le spectre mathématique ou spectre de module du signal.
0
0 a
c =
0 n pour 2
cn = dn ≠
0 1
ωF
22ω 2F
33ω 3F
44ω 4F
55ω 5F
no. d’harmonique pulsations
fréquences a0 = d0
d1
d2
ω = 2 π F F = 1 / T
d3
d4
d5
dn
Spectre d’amplitude du signal
0 1 ωF
22ω 2F
33ω 3F
no. d’harmonique pulsations
fréquences c0 = d0
c1
c2 ω = 2 π F F = 1 / T
c3
cn
c1
-1- ω - F - 2- 2ω
- 2F - 3- 3ω
- 3F
c2
c3
spectre mathématique ou spectre de module
Exemples de décomposition en séries de Fourier :
Sinusoïde.
La sinusoïde s’écrit : j t Ae j t 2 Ae 1 2 t 1
Acosω = ω + −ω
Spectre réel : 1 raie de hauteur A, à la pulsation ω (ou fréquence 2 ) Spectre mathématique : 2 raies de hauteurs
2
A, à la pulsation ± ω (ou fréquence ± 2 )
Série d’impulsions carrées, (amplitude A, période T)
La fonction f(t) est impaire et sa décomposition ne contiendra que des termes en sinus. On peut calculer :
Par conséquent, la décomposition ne comprend que des harmoniques d’ordre impair : t
S(t) A
- A
a0 = 0 ; bn = 0
an = π
π 2
sin n n
V
4 , donc d
n = π
π 2
sin n n
V
4 ,
t S(t)
0 1
ω F
22ω 2F
33ω 3F
44ω 4F
55ω 5F
no. d’harmonique pulsations
fréquences a0 = 0
4A/π dn
Spectre d’amplitude du signal d’impulsions carrées
4A/3π
4A/5π
Série d’impulsions triangulaires.
On considère le signal triangulaire donné ci-dessous (la fonction s(t) est paire).
a0 = 0 ; bn = 0
an =
(
π)
π n
n
A 1 cos 4
2
2 − , donc dn =
(
π)
π n
n
A 1 cos 4
2
2 − ,
On peut remarquer que les harmoniques d’ordre supérieur à 1 sont beaucoup moins importants pour le signal triangulaire que pour le signal carré, ce qui est naturel puisque le signal triangulaire a une forme proche de celle d’un signal sinusoïdal.
t S(t)
Signal en dents de scie.
Signal sinusoïdal redressé.
2. La transformée de Fourier.
Quand la fonction f(t) n’est pas périodique, la méthode de décomposition en série exposée précédemment n’est plus applicable.
On utilise alors la transformée de Fourier :
+∞
∞
−
= f(t)e π dt )
f (
F _j2 ft
et la transformée inverse :
+∞
∞
−
= F(f)e π df )
t (
f j2 ft
Ces deux formules importantes expriment la décomposition d’un signal en fonction de la fréquence.
Le spectre de raies, discret pour un signal périodique, est maintenant continu.
Toutes les fréquences sont présentes.
La fonction F(f) est le coefficient correspondant à la fréquence f. Elle est également appelée transformée de Fourier du signal.
Les fréquences négatives ne sont que le résultat de la décomposition des sinus et cosinus en exponentielles complexes et sont une commodité de calcul.
La figure suivante représente quelques transformées classiques :
