dossier de révision juin

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dossier de révision

examen de juin

Les parties du document dans les cadres grisés constituent des rappels théoriques. La matière de l’examen ne se limite pas à ces extraits, mais correspond à la liste de questions théoriques fournie en début de document

Les exercices sont représentatifs du niveau de difficulté de l’examen. Ils couvrent les trois compétences évaluées (P1, P2 et P3).

Les corrigés seront disponibles en pdf sur : http://profdecamps.e-monsite.com

1 Théorie

1.1 Exponentielles et logarithmes

1) Quelles sont les deux familles de graphes des fonctions exponentielles ? Qu'est-ce qui les différencie ?

2) Remplis les pointillés et démontre la propriété utilisée : log 3𝑥 + log 𝑥 = log⁡(… … ) 3) Remplis les pointillés et démontre la propriété utilisée : log 3𝑥 − log 4𝑥 = log⁡(… … ) 4) Remplis les pointillés et démontre la propriété utilisée : 3 log 5𝑥 = log(… … ) 5) Remplis les pointillés et démontre la propriété utilisée : 2 log 3𝑥 =⁡

6) Résous et démontre la propriété utilisée : ^{log ⁡5𝑥2}

log 2 = log_{(…… )}5𝑥²

7) Y a-t-il des conditions d'existence aux équations exponentielles ? Pourquoi ?

8) Comment peut-on calculer log₃7 en utilisant la calculatrice ? Démontre la propriété utilisée.

9) Quand et pourquoi faut-il changer le sens de l'inégalité dans une inéquation exponentielle ? 10) Y a-t-il des conditions d'existence aux équations logarithmiques ? Pourquoi ?

11) Invente une équation exponentielle en base e impossible (solution vide).

12) Quel est l'ensemble image d'une fonction exponentielle ? Justifie à l’aide d’un graphique.

1.2 Géométrie analytique

1) Donne un exemple d'équations paramétriques d'une droite de l'espace. Explique les comment les obtenir à partir de la définition vectorielle.

2) Donne un exemple d'équation paramétrique d'un plan de l'espace. Explique les comment l’

obtenir à partir de la définition vectorielle.

3) Donne un exemple d’équations cartésiennes de trois plans dont l’intersection est vide et justifie.

4) Donne un exemple d’équations cartésiennes de trois plans dont l’intersection est une droite et justifie.

5) Donne un exemple d’équations cartésiennes de trois plans dont l’intersection est un plan et justifie.

6) Donne un exemple d’équations cartésiennes de trois plans dont l’intersection est un point et justifie.

7) Donne les équations paramétriques de deux droites parallèles.

8) Que représente graphiquement le système d’équations {𝑥 + 1 = 0 𝑦 − 3 = 0 ? 9) Que représente graphiquement le système d’équations {𝑥 + 1 = 0

𝑧 − 3 = 0 ?

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10) Que représente graphiquement le système d’équations {𝑦 + 1 = 0 𝑧 − 3 = 0 ? 11) Donne les équations cartésiennes de deux droites parallèles.

12) Donne les équations cartésiennes de deux plans parallèles.

1.3 Probabilité et analyse combinatoire

1) Définis les notions suivantes (en français, pas de formule nécessaire) : phénomène aléatoire, événement certain, variable aléatoire.

2) Définis les notions suivantes (en français, pas de formule nécessaire) : épreuve, événement impossible, arrangement sans répétition.

3) Définis les notions suivantes (en français, pas de formule nécessaire) : catégorie d’épreuves, événements équiprobables, permutation avec répétition.

4) Définis les notions suivantes (en français, pas de formule nécessaire) : événement, arrangement à répétition, loi de probabilité.

5) Définis les notions suivantes (en français, pas de formule nécessaire) : événement élémentaire, combinaison, distribution de probabilité.

6) Définis les notions suivantes (en français, pas de formule nécessaire) : probabilité, événements contraires, espérance mathématique.

7) Quelle différence existe-t-il entre arrangement sans répétition et combinaison ? Donne un exemple pratique pour chaque notion.

8) Quelle différence existe-t-il entre arrangement sans répétition et permutation sans répétition

? Donne un exemple pratique pour chaque notion.

9) Définis la notion de probabilité conditionnelle, indique comment la calculer (formule) et explique chaque élément de la formule à l’aide d’un exemple.

10) Explique la notion d’indépendance d’événements, indique comment vérifier l’indépendance (formule) et explique chaque élément de la formule à l’aide d’un exemple.

11) Comment peut-on utiliser les notions de dénombrement pour calculer une probabilité. Donne un exemple.

12) Que mesurent l’espérance, la variance et l’écart-type d’une variable aléatoire ?

13) Qu’appelle-t-on une épreuve de Bernoulli, qu’est-ce qu’un schéma de Bernoulli, comment calcule-t-on la probabilité associée ?

1.4 Intégrales

1) Définis les notions suivantes et explique les différences : primitive, intégrale indéfinie, intégrale définie

2) Comment calcule-t-on une intégrale définie ? Donne un exemple de calcul et résous.

3) Pourquoi ajoute-t-on toujours 𝐾 dans les calculs d'intégrales indéfinies ? 4) Combien une fonction intégrable admet-elle de primitives ?

5) Une intégrale définie représente-t-elle toujours une aire ? Explique.

6) Explique la notion d'intégrale définie.

7) Comment peut-on faire l'intégrale d'une somme ? 8) Complète et explique : ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =_𝑎^𝑎

9) Complète et explique : ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +_𝑎^𝑐 ⁡∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =_𝑐^𝑏

10) Dans quels cas utilise-t-on l'intégration par substitution ? Explique son principe sur un exemple.

11) Dans quels cas utilise-t-on l'intégration par parties ? Explique son principe sur un exemple.

12) Explique comment calculer l'aire d'une partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, le graphe d'une fonction et deux droites verticales. Donne un exemple et résous.

13) Explique le lien entre la vitesse et la distance et explique l’utilité de l’intégration pour les relier.

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2 Exercices

2.1 Exponentielles et logarithmes

Rappel : Définitions et propriétés des puissances Puissance négative :

𝒙^−𝒑 = 𝟏 𝒙^𝒑 Par exemple, 𝑥⁻¹=¹

𝑥 , 𝑥⁻²= ¹

𝑥²

Puissance fractionnaire : 𝒙

𝒑

𝒒 = √𝒙^{𝒒 𝒑} Par exemple,

𝑥¹²= √𝑥, 𝑥¹³= √𝑥³ , 𝑥²⁵= √𝑥^{5 2} Puissance négative et fractionnaire :

𝒙⁻

𝒑 𝒒= √𝟏

𝒙^𝒑

𝒒

Par exemple, 𝑥⁻¹²= √¹

𝑥 𝑥⁻²³= √¹

𝑥²

3

𝒙^𝒑. 𝒙^𝒒 = 𝒙^𝒑+𝒒 𝒙^𝒑

𝒙^𝒒= 𝒙^𝒑−𝒒 (𝒙. 𝒚)^𝒑 = 𝒙^𝒑. 𝒚^𝒑

[𝒙 𝒚]

𝒑

=𝒙^𝒑 𝒚^𝒑 [𝒙^𝒑]^𝒒 = 𝒙^𝒑.𝒒

2.1.1 Equations exponentielles

Pas⁡de⁡CE⁡(condition⁡d’existence)⁡car⁡𝑑𝑜𝑚 exp_𝑎𝑥 ⁡ = ⁡ℝ Exemples :

1) 3^5𝑥+1⁡ = ⁡3^2−4𝑥

Si on a une égalité de 2 exponentielles de même base (ici a=3), on égale les exposants.

⇔ 5𝑥 + 1⁡ = ⁡2 − 4𝑥

⇔ 9𝑥 = 1

⇔ 𝑥 = 1/9⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑆 = {1/9}

2) 2^2𝑥⁡ = ⁡1/4

On se ramène à une égalité de 2 exponentielles de même base (ici a=2) :

⇔ 2^2𝑥⁡ = ⁡ 2⁻² On égale les exposants

⇔ 2𝑥 = −2

⇔ 𝑥 = −1⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑆 = {−1}

3) 3. (¹₃)^𝑥⁡ = ⁡9

On utilise les propriétés des puissances :

⇔ 3¹. (3⁻¹)^𝑥⁡ = ⁡3²

⇔ 3¹. 3^−𝑥⁡ = ⁡3²

⇔ 3^1−𝑥⁡ = ⁡3² On égale les exposants

⇔ 1 − 𝑥 = 2

⇔ 𝑥 = −1⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑆 = {−1}

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Exercice 1. (P2) Résous les équations suivantes.

a. 2^6𝑥⁡–⁡2^2𝑥−1= 0

b. 3^5𝑥= ¹

27

c. 5^2𝑥+1= 5^𝑥

d. 16^𝑥 = ¹

4^2𝑥+2

e. 5 (¹

25)^𝑥 = 125

f. 2^3𝑥+1=¹

8

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Exercice 2. (P3) Une⁡population⁡de⁡bactéries⁡double⁡toutes⁡les⁡heures.⁡A⁡l’heure⁡𝑥 = 1, il y a deux⁡ bactéries.⁡ Exprime⁡ le⁡ nombre⁡ de⁡ bactéries⁡ en⁡ fonction⁡ du⁡ nombre⁡ d’heures⁡ écoulées.⁡

Détermine en résolvant une équation exponentielle après⁡combien⁡d’heures il y a 64 bactéries ?

2.1.2 Inéquations exponentielles

Pas⁡de⁡CE⁡(condition⁡d’existence) 𝑑𝑜𝑚 exp_𝑎𝑥 ⁡ = ⁡ℝ Exemples :

1) (0,2)^3𝑥+4⁡ < ⁡ (0,2)^5𝑥+1⁡

On⁡change⁡le⁡sens⁡de⁡l’inégalité⁡car⁡la⁡fonction⁡exp0,2 est⁡décroissante,⁡c’est-à-dire que si la valeur⁡de⁡l’exponentielle⁡augmente,⁡l’abscisse⁡de⁡la⁡fonction⁡(exposant)⁡diminue

⇔ 3𝑥 + 4⁡ > ⁡5𝑥 + 1

⇔ −2𝑥⁡ > ⁡ −3

⇔ 𝑥⁡ <3 2 𝑆 =⁡←,3

2[

2) 3^2𝑥+1⁡ ≥¹₉

⇔ 3^2𝑥+1⁡ ≥ ⁡ 3⁻²

On⁡ne⁡change⁡pas⁡le⁡sens⁡de⁡l’inégalité⁡car⁡la⁡fonction⁡exp3 est⁡croissante,⁡c’est-à-dire que si la valeur⁡de⁡l’exponentielle⁡augmente,⁡l’abscisse⁡de⁡la⁡fonction⁡(exposant)⁡augmente.

⇔ 2𝑥 + 1⁡ ≥ ⁡ −2

⇔ 2𝑥 ≥ ⁡ −3

⇔ 𝑥⁡ ≥ ⁡ −3 2 𝑆 = ⁡ [−3

2, →

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Exercice 3. (P2) Résous les inéquations suivantes.

a. 4^2𝑥+2⁡>₁₆¹

b. 2^𝑥+5⁡ − ⁡ 2⁸≥ 0

c. 5^3𝑥+2⁡ < ⁡ 5^2𝑥+1

d. [ ¹

1000]^𝑥> 10

e. 56^3𝑥−1⁡> ⁡1

f. 0,1^𝑥+5⁡ − ⁡ [_0.01¹ ]⁸≥ 0

g. 4^3𝑥⁡ < ⁡4

h. [¹₃]^𝑥> 9

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2.1.3 Fonctions logarithmes : définition et exemples 1) log₂ : ℝ₀⁺⁡⁡ → ⁡⁡ℝ

⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡x⁡⁡⁡⁡⁡ → ⁡⁡y = log₂x⁡ ⇔ 2^y= x

log₂2 = 1⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡car⁡⁡⁡⁡⁡2¹ = 2 log₂8 = 3⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡car⁡⁡⁡⁡⁡2³= 8 log₂¹₂= −1⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡car⁡⁡⁡⁡⁡⁡2⁻¹=¹₂ log₂⁵√64=⁶

5⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡car⁡⁡⁡⁡⁡2⁶⁵= √2^{5 6} = √64⁵ 2) log_1/2 : ℝ₀⁺⁡⁡ → ⁡⁡ℝ

⁡x⁡⁡⁡⁡⁡ → ⁡⁡y = log_1/2x⁡ ⇔ (1 2⁄ )^y= x log_1/22 = −1⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡car⁡⁡⁡⁡⁡(1 2⁄ )⁻¹= 2

log_1/2 ¹

√8=³

2⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡car⁡⁡⁡⁡⁡(1 2⁄ )³²= (1 2⁄ ³)

1 2= (¹

8)

1 2= ¹

√8 log_1/264 = −6⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡car⁡⁡⁡⁡⁡⁡(1 2⁄ )⁻⁶= ((1 2⁄ )⁻¹)⁶= (2)⁶= 64 log_1/2√4³ = −²₃⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡car⁡⁡⁡⁡⁡(1 2⁄ )⁻²³= ((1 2⁄ )⁻²)¹³= (2²)¹³= √4³ Exercice 4. (P2) Calcule sans calculatrice :

a. log₅1 = car :

b. log₅25 = car :

c. log₅ ¹

25= car :

d. log5√125⁴ = car :

e. log¹

5

1 = car :

f. log¹

5

25 = car :

g. log¹

5

1

25= car :

h. log¹

5

√1254

= car :

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2.1.4 Fonctions logarithmes : propriétés

Logarithme d’un produit log_𝑎(𝑥 ∙ 𝑦) = log_𝑎𝑥 + log_𝑎𝑦

Logarithme d’une puissance log_𝑎𝑥^𝑟 = 𝑟 ∙ log_𝑎𝑥

Logarithme d’un quotient log_𝑎(𝑥

𝑦) = log_𝑎𝑥 − log_𝑎𝑦

Changement de base log_𝑎𝑥 =log_𝑏𝑥

log_𝑏𝑎

Exercice 5. (P2) Exprime les logarithmes suivants en fonction de log 3 et/ou log 7, en utilisant uniquement⁡ les⁡ propriétés⁡ des⁡ logarithmes.⁡ Ecris⁡ la⁡ propriété⁡ utilisée⁡ appliquée⁡ à⁡ l’exercice.⁡

Sachant que log 3 = 0.477 et log 5 =0.845, détermine le résultat avec ta calculatrice.

a. log 21 =

b. log 49 =

c. log⁷

3=

d. log 63 =

Exercice 6. (P2) Calcule en utilisant la formule de changement de base. Ecris la formule appliquée⁡à⁡l’exercice,⁡ensuite⁡calcule⁡le⁡résultat⁡avec⁡ta⁡calculatrice.

a. log_0.823 =

b. log_0.218 =

c. log₂1000 =

d. log_2.4𝜋 =

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2.1.5 Equations logarithmiques

Il⁡ faut⁡ tout⁡ d’abord⁡ déterminer⁡ les⁡ conditions⁡ d’existence⁡ (CE)⁡ car⁡le domaine de la fonction logarithme est ℝ₀⁺. Il en découle que pour la fonction log 𝑥 , 𝑥 doit être strictement positif.

Exemples :

Logarithmes de même base dans chaque membre : log₄(𝑥 − 2) ⁡ = log₄5 CE : 𝑥 − 2⁡ > 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ ⇔ ⁡⁡𝑥 > 2

On trouve directement :

⇔ ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑥 − 2 = 5

⇔ ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑥 = 7⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑆⁡ = ⁡ {7}

Egalité d’un logarithme et d’un réel : log₃(5 − 𝑥) ⁡ = ⁡2 CE : 5 − 𝑥⁡ > 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ ⇔ ⁡⁡𝑥 < 5

⇔3^{𝑙𝑜𝑔3(5−𝑥)⁡}

⁡

⇔ ⁡ (5 − 𝑥) = 3²

⇔ ⁡ (5 − 𝑥) = 9

⇔ ⁡⁡𝑥 = −4 𝑆 = {−4}

Cas où il faut utiliser les propriétés des logarithmes : log 𝑥 + log 2 = 1 CE : 𝑥 > 0

⇔ log 2𝑥 = 1 avec la formule du produit de logarithmes

⇔ 10^{log 2𝑥}= 10¹

⇔ 2𝑥 = 10 en utilisant la définition du logarithme ; 𝑎^{𝑙𝑜𝑔𝑎x⁡}= 𝑥

⇔ 𝑥 = 5⁡⁡ 𝑆 = {5}

Exercice 7. (P2) Résous⁡les⁡équations⁡suivantes,⁡n’oublie⁡pas⁡les⁡conditions⁡d’existence:

a. log₂(2𝑥 + 1) ⁡ = log₂16

b. log₄(1 −^𝑥

2) ⁡ = ⁡3

c. log₄𝑥 +log₄5 = 16

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d. log₃2 −log₃2𝑥 = 2

e. log₂⁡(3𝑥 − 1) ⁡ = log₂7

f. log₄(1 − 𝑥) ⁡ = ⁡3

g. ln 2𝑥 + ln 5 = 2

h. ln 2𝑥 − ln 5 = 2

i. ln(𝑥 − 3) − ln(𝑥 + 3) = 1

j. log₅6𝑥 − log₅(𝑥 + 5) ⁡ = ⁡1

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2.1.6 Inéquations logarithmiques

Comme pour les équations, il⁡faut⁡tout⁡d’abord⁡déterminer⁡les⁡conditions⁡d’existence⁡(CE).

Exemples :

Logarithmes de même base dans chaque membre : log0,4(5x-1) < log0,4(3x+4)

CE : {5𝑥 − 1 > 0

3𝑥 + 4 > 0 ⇔⁡{𝑥 >¹

5

𝑥 >⁻⁴

3

⇔⁡𝑥 >¹

5

⇔ (5x-1) > 3x+4

⇔ 2x > 5

⇔ x > ⁵

2 𝑆⁡ =⁡]⁡⁵

2, →

Inégalité d’un logarithme et d’un réel : log2(3x-1)⁡≤⁡5 CE : 3x-1 >0 ⇔ x > ¹

3

⇔ 2^{log2(3𝑥−1)⁡}

≤

⇔ 3x − 1 ≤ ⁡2^5⁡

⇔ 3𝑥 − 1 ≤ ⁡32

⇔ 3𝑥 ≤ ⁡33

⇔ 𝑥 ≤ ⁡11

Cas où il faut utiliser les propriétés des logarithmes : log 𝑥 − log 2 ≤ log(1 − 3𝑥) CE : { 𝑥 > 0

1 − 3𝑥 > 0 ⇔⁡{𝑥 > 0

𝑥 <¹₃ ⇔⁡0 < 𝑥 <¹

3

⇔ log^𝑥

2≤ log(1 − 3𝑥)

⇔ ^𝑥

2≤ 1 − 3𝑥

⇔ ^7𝑥

2 ≤ 1⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡

⇔ 𝑥 ≤^2⁡

7 𝑆 = ]0,^2⁡

7] l’ensemble des solutions doit prendre en compte les CE

Exercice 8. (P2) Résous les inéquations⁡suivantes,⁡n’oublie⁡pas⁡les⁡conditions⁡d’existence⁡:

a. log₃(𝑥 − 5) > log₃11

b. log₃(1 + 3𝑥) ≤ 5

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c. log₄2𝑥 −log₄3 < 3

d. log₂3 +log₂3𝑥 ≥ 0

e. log⁡(𝑥 + 1) < log 3𝑥

f. log₂(2 − 2𝑥) > ⁡3

g. ln 2𝑥 + ln 5 < 2

h. ln 2𝑥 − ln 5 < 2

i. ln(𝑥 − 3) − ln(𝑥 + 3) ≤ 1

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Exercice 9. Le⁡nombre⁡d’utilisateurs⁡de⁡Snapchat en 2018 est de 188 millions. Ce nombre augmente de 45 % par an.

a. Combien y aura-t-il⁡d’utilisateurs⁡supplémentaires⁡dans⁡un⁡an ?

b. Par quel facteur faut-il multiplier le⁡nombre⁡d’utilisateurs pour obtenir le nombre d’utilisateurs⁡de⁡l’année⁡suivante⁡?

c. Quel sera le⁡nombre⁡d’utilisateurs⁡en 2021 ?

d. En⁡quelle⁡année⁡le⁡milliard⁡d’utilisateurs⁡sera⁡atteint ?

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2.2 Géométrie analytique dans l’espace

Deux vecteurs 𝑢⃗ et 𝑣 sont parallèles s’il existe un réel 𝑘 non-nul tel que 𝑣 = 𝑘. 𝑢⃗

Avec 𝑢⃗ (𝑥_𝑢, 𝑦_𝑢, 𝑧_𝑢) et 𝑣 (𝑥_𝑣, 𝑦_𝑣, 𝑧_𝑣) deux vecteurs dans un repère orthonormé, 𝑢⃗ et 𝑣 sont orthogonaux si et seulement si

𝑥_𝑢∙ 𝑥_𝑣+ 𝑦_𝑢∙ 𝑦_𝑣+ 𝑧_𝑢∙ 𝑧_𝑣= 0

Exercice 10. (P1) Les vecteurs suivants sont-ils parallèles, orthogonaux ou de position relative quelconque ?

𝑢⃗ (3,2,1) et 𝑣 (−3, −2, −5)

𝑢⃗ (2,4,12) et 𝑣 (−4,8, −2)

𝑢⃗ (3,2, −4) et 𝑣 (−2,4,¹₂)

𝑢⃗ (1,2,6) et 𝑣 (−1, −2, −6)

𝑢⃗ (3, −1,2) et 𝑣 (−3,2,2)

𝑢⃗ (1, −2,5) et 𝑣 (−2,4,2)

2.2.2 Position relative de points

Trois points 𝐴, 𝐵 et⁡𝐶 distincts sont alignés si et seulement s’il existe un réel 𝑘 non-nul tel que 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

Le point 𝐷 est dans le même plan que trois points 𝐴, 𝐵, 𝐶 non alignés si et seulement s’il existe deux réels 𝑘 et 𝑙 tels que

𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑙. 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

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Exercice 11. (P3) Dans la définition ci-dessus : « Le point 𝐷 est dans le même plan que trois points 𝐴, 𝐵, 𝐶 non⁡alignés⁡si⁡et⁡seulement⁡… ». Que deviendrait la condition pour que le point 𝐷 appartienne au plan 𝐴𝐵𝐶 si les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 étaient alignés ?

Exercice 12. (P2)

a. Les points 𝐴(1,1,1), 𝐵(2,4,5) et 𝐶(−1, −5, −7) sont-ils alignés ?

b. Vérifie que les 3 points 𝐴(1,1,1), 𝐵(2,4,5) et 𝐶(4,10,9) ne sont pas alignés.

c. Avec 𝐴(1,1,1), 𝐵(2,4,5) et 𝐶(4,8,9) , le point 𝐷(2, −3,2) appartient-il au plan 𝐴𝐵𝐶 ?

d. Avec 𝐴(1,1,1), 𝐵(2,4,5) et 𝐶(4,8,9) , le point 𝐷(−2, −5, −5) appartient-il au plan 𝐴𝐵𝐶 ?

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2.2.3 Equations de droites dans l’espace Equation vectorielle d’une droite

Toute droite 𝑑 de⁡ l’espace⁡ peut⁡

s’exprimer⁡ au⁡ moyen⁡ d’un⁡

vecteur directeur 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . Si un point 𝑋 appartient à la droite, alors le vecteur⁡𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ doit être multiple du vecteur ⁡𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , ce qui se note 𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ = ⁡𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⁡, cette équation est

appelée équation vectorielle de la droite. Pour une valeur donnée de 𝛼, on trouve un point donné de la droite.

Equations paramétriques d’une droite

Le point 𝐴 a pour coordonnées (𝑥_𝐴, 𝑦_𝐴, 𝑧_𝐴), ce qui se note 𝐴(𝑥_𝐴, 𝑦_𝐴, 𝑧_𝐴). De façon similaire, on a B (𝑥_𝐵, 𝑦_𝐵, 𝑧_𝐵). Le point 𝑋 est⁡ variable,⁡ il⁡ peut⁡ se⁡ trouver⁡ n’importe⁡ où⁡ sur⁡ la⁡ droite⁡ 𝐴𝐵. Les coordonnées du point 𝑋 sont donc des variables, notées 𝑥, 𝑦⁡et⁡𝑧, ce⁡qui⁡s’écrit⁡𝑋 (𝑥, 𝑦, 𝑧).

En⁡développant⁡l’équation⁡vectorielle⁡𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ = ⁡𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , on obtient les équations paramétriques de la droite :

{

𝑥 − 𝑥_𝐴= 𝛼(𝑥_𝐵− 𝑥_𝐴) 𝑦 − 𝑦_𝐴= 𝛼(𝑦_𝐵− 𝑦_𝐴) 𝑧 − 𝑧_𝐴= 𝛼(𝑧_𝐵− 𝑧_𝐴) Note :⁡si⁡la⁡droite⁡n’est⁡pas⁡définie⁡par⁡deux⁡points comme ci- dessus, mais par un point C⁡ayant pour coordonnées (𝑥_𝐶, 𝑦_𝐶, 𝑧_𝐶)⁡ et un vecteur directeur 𝑢⃗ ⁡de composantes⁡⁡

(𝑥𝑢, 𝑦𝑢, 𝑧𝑢), les équations paramétriques de la droite sont : {

𝑥 − 𝑥_𝐶 = 𝛼𝑥_𝑢 𝑦 − 𝑦_𝐶 = 𝛼𝑦_𝑢 𝑧 − 𝑧_𝐶 = 𝛼𝑧_𝑢 Equations cartésiennes d’une droite

Pour obtenir les équations cartésiennes⁡d’une⁡droite⁡à⁡partir⁡

de ses équations paramétriques, il faut éliminer le paramètre 𝛼 pour obtenir deux équations du premier degré en x, y et z. Les équations qui ne contiennent plus de paramètre sont les équations cartésiennes.

A partir des équations paramétriques de la droite, on isole 𝛼 :

{ 𝑥 − 𝑥𝐴

𝑥_𝐵− 𝑥_𝐴= 𝛼 𝑦 − 𝑦_𝐴 𝑦_𝐵− 𝑦_𝐴= 𝛼

𝑧 − 𝑧_𝐴 𝑧_𝐵− 𝑧_𝐴= 𝛼

En égalant les équations 2 à 2 : {

𝑥 − 𝑥_𝐴

𝑥_𝐵− 𝑥_𝐴= 𝑦 − 𝑦_𝐴 𝑦_𝐵− 𝑦_𝐴 𝑦 − 𝑦_𝐴

𝑦_𝐵− 𝑦_𝐴= 𝑧 − 𝑧_𝐴 𝑧_𝐵− 𝑧_𝐴

Nous avons ici un système de deux plans dont

l’intersection⁡est⁡une⁡droite,⁡ce⁡qui⁡est⁡illustré⁡ci-dessus 𝑨𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⁡𝜶𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑪𝑿⃗⃗⃗⃗⃗ = ⁡𝜶𝒖⃗⃗

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Exercice 13. Soit la droite 𝑑 de vecteur directeur 𝑢⃗ (1,2,3) passant par le point 𝐴(1,1,1).

a. Donne les équations paramétriques de 𝑑,

b. indique si le point 𝐵(3,5,7)est un point de 𝑑.

c. Donne⁡l’équation⁡vectorielle⁡de⁡cette⁡droite.

Exercice 14. (P2) On considère la droite 𝑑 passant par les deux points 𝐴(2,3,5)⁡et⁡𝐵(−1,0,2).

a. Donne⁡l’équation⁡vectorielle⁡de⁡𝑑,

b. donne les équations paramétriques de⁡𝑑,

c. donne deux autres points de la droite 𝑑,

d. indique si le point (1,1,1) appartient à la droite 𝑑.

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Exercice 15. (P2) Détermine

a. les équations paramétriques et cartésiennes des axes 𝑂𝑥, 𝑂𝑦, 𝑂𝑧 d’un⁡repère⁡

𝑂𝑥𝑦𝑧⁡de l'espace (pas de calcul nécessaire, trouve les équations en raisonnant),

b. les équations paramétriques de la droite 𝐴𝐵 avec 𝐴(1,1,2) et 𝐵(2,2,1)

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2.2.4 Equations de plans dans l’espace Equation vectorielle d’un plan

Tout plan 𝜋 de⁡ l’espace⁡ peut⁡

s’exprimer⁡ au⁡ moyen⁡ de 2 vecteurs directeurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (avec 𝐴, 𝐵, 𝐶 non alignés). Si un point 𝑋 appartient au plan, alors le vecteur⁡𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ doit être une combinaison linéaire des vecteurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , ce qui se traduit par :𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ =

⁡𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛽𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ . Cette relation est appelée équation vectorielle du plan. Pour une valeur donnée de 𝛼 et une valeur donnée de 𝛽 on trouve un point donné du plan.

Equations paramétriques d’un plan

Pour⁡ passer⁡ de⁡ l’équation⁡ vectorielle⁡ d’un⁡ plan⁡ à⁡ ses⁡ équations⁡ paramétriques,⁡ il⁡ faut⁡ écrire⁡

l’équation⁡vectorielle⁡sous⁡forme⁡de⁡composantes.⁡On⁡a⁡𝐴(𝑥_𝐴, 𝑦_𝐴, 𝑧_𝐴), 𝐵(𝑥_𝐵, 𝑦_𝐵, 𝑧_𝐵) et 𝐶(𝑥_𝐶, 𝑦_𝐶, 𝑧_𝐶).

Le point 𝑋 est variable, il peut se trouver n’importe⁡où⁡sur⁡le⁡plan.⁡Les⁡coordonnées⁡du⁡point⁡𝑋 sont donc des variables, notées 𝑥, 𝑦⁡et⁡𝑧, ce⁡qui⁡s’écrit⁡𝑋 (𝑥, 𝑦, 𝑧).

En⁡développant⁡l’équation⁡vectorielle⁡𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ = ⁡𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛽𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , on obtient les équations paramétriques :

{

𝑥 − 𝑥_𝐴= 𝛼(𝑥_𝐵− 𝑥_𝐴) + 𝛽(𝑥_𝐶− 𝑥_𝐴) 𝑦 − 𝑦_𝐴= 𝛼(𝑦_𝐵− 𝑦_𝐴) + 𝛽(𝑦_𝐶− 𝑦_𝐴) 𝑧 − 𝑧_𝐴= 𝛼(𝑧_𝐵− 𝑧_𝐴) + 𝛽(𝑧_𝐶− 𝑧_𝐴)

Note : si le plan⁡n’est⁡pas⁡défini par trois points comme ci-dessus, mais par un point C⁡ayant pour coordonnées (𝑥𝐶, 𝑦𝐶, 𝑧𝐶)⁡ et deux vecteurs directeurs 𝑢⃗ ⁡ (𝑥_𝑢, 𝑦_𝑢, 𝑧_𝑢) et 𝑣 ⁡(𝑥_𝑣, 𝑦_𝑣, 𝑧_𝑣), les équations paramétriques du plan sont :

{

𝑥 − 𝑥_𝐶 = 𝛼𝑥_𝑢+ 𝛽𝑥_𝑣 𝑦 − 𝑦_𝐶 = 𝛼𝑦_𝑢+ 𝛽𝑦_𝑣 𝑧 − 𝑧_𝐶 = 𝛼𝑧_𝑢+ 𝛽𝑧_𝑣 Equations cartésiennes d’un plan

Pour obtenir les équations cartésiennes⁡d’un⁡plan⁡à⁡partir⁡de⁡ses⁡équations⁡paramétriques,⁡il⁡faut⁡

éliminer les paramètres 𝛼 et 𝛽 pour obtenir une équation du premier degré en x, y et z.

L’équation⁡qui⁡ne⁡contient⁡plus⁡de⁡paramètre⁡est⁡l’équation⁡cartésienne.⁡A⁡partir⁡des⁡équations paramétriques du plan, et en éliminant les paramètres 𝛼 et 𝛽, on obtient une équation linéaire c’est-à-dire une équation de la forme :

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑⁡avec⁡𝑎 ≠ 0⁡ou⁡𝑏 ≠ 0⁡ou⁡𝑐 ≠ 0

que⁡nous⁡avons⁡déjà⁡identifié⁡comme⁡étant⁡l’équation⁡d’un⁡plan.

Page 20

Exercice 16. (P2) Soit le plan 𝜋 passant par les trois points non alignés 𝐴(0,0,1), 𝐵(1,2,2) et 𝐶(2,1,0).

a. Donne une équation vectorielle de 𝜋,

b. donne les équations paramétriques de 𝜋,

c. donne 2 autres points du plan.

Exercice 17. (P2) Soit le plan 𝜋 passant par les trois points non alignés 𝐴(1,2,1), 𝐵(2,1,1) et 𝐶(2,2,1).

a. Donne une équation vectorielle de 𝜋,

b. donne les équations paramétriques de 𝜋,

c. détermine dans ce plan un point d’ordonnée 3.

Page 21

Exercice 18. (P2) Soit le plan 𝜋 comprenant le point 𝐴(1,2,3) et de vecteurs directeurs 𝑢⃗ (−1,1,0) et 𝑣 (1,0, −1).

a. Donne une équation vectorielle de 𝜋,

b. donne les équations paramétriques de 𝜋,

c. détermine dans ce plan un point de cote 2.

Page 22

2.2.5 Plans et droites parallèles Droites parallèles

Deux droites sont parallèles si elles ont un même vecteur directeur ou des vecteurs directeurs multiples. Pour déterminer si deux droites sont parallèles, on compare leurs équations paramétriques, car elles font apparaître le vecteur directeur (ce qui multiplie le paramètre, en gras ci-dessous)

Soient la droite d ≡ {

x = (𝟑)α + 2 y = (𝟓)α − 1 z = (𝟏)α + 3

et la droite ⁡d′ ≡ {

x = (𝟔)α − 1 y = (𝟏𝟎)α − 2

z = (𝟐)α + 5 u

⃗ = 2u′⃗⃗⃗ ⁡, les vecteurs directeurs des droites d⁡et d′ sont multiples, ces droites sont parallèles.

Plans parallèles

Deux⁡ plans⁡ sont⁡ parallèles⁡ s’ils⁡ ont⁡ un⁡ même⁡ couple⁡ de⁡ vecteurs⁡ directeurs⁡ parallèles⁡ ou⁡ des⁡

vecteurs directeurs multiples. Pour déterminer si deux plans sont parallèles, on compare leurs équations paramétriques, car elles font apparaître les composantes des vecteurs directeurs (ce qui multiplie les paramètres, en gras ci-dessous)

Soient les plans π ≡ {

x = (−𝟏)α + (𝟏)β y = (−𝟐)α + (−𝟏)β z = (𝟏)α + (−𝟏)β + 2

et ⁡π′ ≡ {

x = (𝟐)α + (−𝟑)β + 1 y = (𝟒)α + (𝟑)β − 3 z = (−𝟐)α + (𝟑)β + 5

u′⃗⃗⃗ = −2u⃗ ⁡et⁡v′⃗⃗⃗⃗ = −3v⃗ ⁡Les vecteurs directeurs des plans π et π′ sont multiples, ces plans sont parallèles.

Droite et plan parallèles

Une droite et un plan sont parallèles si le vecteur directeur de la droite est aussi un vecteur directeur du plan (ou si ces vecteurs sont multiples). Pour déterminer si une droite et un plan sont parallèles, on compare leurs équations paramétriques, car elles font apparaître les composantes des vecteurs directeurs (ce qui multiplie les paramètres, en gras ci-dessous).

Soient la droite d ≡ {

x = (𝟏)α − 1 y = (𝟐)α + 3 z = (−𝟏)α + 5

et le plan ⁡π ≡ {

x = (𝟐)α + (𝟏)β + 1 y = (𝟒)α + (−𝟏)β + 2 z = (−𝟐)α + (𝟑)β + 4 u′⃗⃗⃗ = 2u⃗ ⁡⁡

Le vecteur directeur de la droite d et un des vecteurs directeurs du plan π′sont multiples, la droite d et plan π′ sont parallèles.

Règles utilisant les équations cartésiennes

Si on a déjà les équations cartésiennes, il est plus facile de déterminer les conditions de parallélisme en utilisant les règles ci-dessous :

Les plans π et π′ sont parallèles si les coefficients a, b et c sont identiques pour les deux plans : π ≡ 𝐚x + 𝐛y + 𝐜z + d = 0⁡et⁡π^′ ≡ 𝐚x + 𝐛y + 𝐜z + d^′= 0

Les droites d et d′ sont parallèles si les coefficients a,⁡b,⁡c,⁡a’,⁡b’⁡et⁡c’ sont identiques pour les deux droites :

d ≡ { 𝐚x + 𝐛y + 𝐜z + d = 0

𝐚^′x + 𝐛^′y + 𝐜^′z + d^′ = 0⁡et⁡d′ ≡ { 𝐚x + 𝐛y + 𝐜z + D = 0 𝐚′x + 𝐛′y + 𝐜′z + D′ = 0

Note :⁡parfois⁡les⁡équations⁡doivent⁡d’abord⁡être⁡simplifiées⁡afin⁡de⁡rendre⁡les⁡coefficients⁡a,b,⁡et⁡c⁡

les plus petits possibles, par exemple : 3x + 3y + 6z + 2 = 0 peut être simplifié en x + y + 2z +²

3= 0.

Page 23

Exercice 19. (P2) Donne les équations paramétriques d’une droite :

a. parallèle à la droite 𝑑 d’équations paramétriques :𝑑 ≡ {𝑥 = 𝛼 + 2 𝑦 = 𝛼 𝑧 = 3𝛼 + 1

b. parallèle à la droite 𝑑 d’équations paramétriques : 𝑑 ≡ { 𝑥 = 2 𝑦 = 1 𝑧 = 𝛼 + 1

c. parallèle au plan 𝜋 d’équations paramétriques : 𝜋 ≡ {

𝑥 = 𝛼 + 3𝛽 + 1 𝑦 = 2𝛼 + 2 𝑧 = 2𝛼 + 𝛽 − 2

Exercice 20. (P2) Donne les équations paramétriques d’un plan : a. parallèle au plan 𝜋 d’équations paramétriques : 𝜋 ≡ {

𝑥 = 2𝛼 + 4𝛽 + 1 𝑦 = 𝛼 − 2𝛽 𝑧 = 2𝛼 + 3𝛽 + 3

b. parallèle au plan 𝜋 d’équations paramétriques : 𝜋 ≡ {

𝑥 = 3𝛼 + 2 𝑦 = 2𝛼 − 2𝛽 − 5

𝑧 = 2𝛽 + 2

Page 24

Exercice 21. (P2) Donne l’équation cartésienne :

a. d’un plan parallèle distinct au plan 𝜋, d’un plan parallèle confondu au plan 𝜋, et d’une droite parallèle au plan 𝜋, d’équation :

𝜋 ≡ 3𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 − 1 = 0

b. d’un plan parallèle distinct au plan 𝜋, et passant par le point 𝑃(1,2,3).

c. d’une droite parallèle distincte à la droite 𝑑, d’une droite parallèle confondue à la droite 𝑑, et d’un plan parallèle à la droite 𝑑, d’équation :

𝑑 ≡ {𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 − 3 = 0 2𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 + 2 = 0

d. d’une droite parallèle distincte à la droite 𝑑, et passant par le point 𝑃(1,2,3).

Page 25

2.2.6 Plans et droites orthogonaux Droites orthogonales

Deux droites 𝑑₁ et 𝑑₂⁡sont orthogonales si le vecteur directeur de 𝑑₂ est orthogonal au vecteur directeur de 𝑑₁.

Si en plus les droites sont sécantes, elles sont dites perpendiculaires.

Vecteur normal

Dans un repère orthonormé,

soit le plan 𝜋 ≡ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 (avec 𝑎, 𝑏 et/ou 𝑐 ≠ 0), le vecteur 𝒏⃗⃗ (𝒂, 𝒃, 𝒄) est orthogonal à tout vecteur directeur de ce plan. On dira que c’est un vecteur normal à 𝝅.

Plans perpendiculaires

Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux Droite et plan perpendiculaire

Une droite et un plan sont perpendiculaires si le vecteur directeur de la droite est normal au plan Exercice 22. (P2 : Appliquer) Démontre que :

a. la droite 𝑑 d’équations paramétriques {

𝑥 = 2 + 2𝛼 𝑦 = −4𝛼⁡

𝑧 = 6𝛼

est perpendiculaire au plan 𝜋 ≡ 3𝑥 − 6𝑦 + 9𝑧 = 0,

b. les droites 𝑑₁ ≡ {

𝑥 = 3 − 4𝛼 𝑦 = 2 + 2𝛼⁡

𝑧 = −1 − 6𝛼

et 𝑑₂≡ { 𝑥 = 2 − 𝛼 𝑦 = −1 − 2𝛼⁡

𝑧 = 2

sont orthogonales,

Page 26

c. le plan 𝜋₁≡ −𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 + 1 = 0 et le plan 𝜋₂ ≡ 2𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 + 1 = 0 sont perpendiculaires,

d. la droite 𝑑 d’équations paramétriques {

𝑥 = 1 + 2𝛼 𝑦 = 3⁡

𝑧 = −2 + 2𝛼

n’est pas perpendiculaire au plan 𝜋 ≡ 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0,

e. les droites 𝑑₁ ≡ {

𝑥 = 2 − 2𝛼 𝑦 = 2 + 5𝛼⁡

𝑧 = −1 − 3𝛼

et 𝑑₂≡ {

𝑥 = 1 + 2𝛼 𝑦 = −3 + 𝛼⁡

𝑧 = −3 + 2𝛼

ne sont pas orthogonales,

f. le plan 𝜋₁≡ 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0 et le plan 𝜋₂≡ 𝑥 = 0 ne sont pas perpendiculaires,

Page 27

2.2.7 Position relative de trois plans

En fonction de leurs positions relatives, l’intersection de 3 plans peut être vide, consister en un point, une droite ou un plan, voici les différentes configurations possibles :

3 plans parallèles

3 plans parallèles distincts : intersection

vide 3 plans parallèles confondus : intersection selon 1 plan

2 plans confondus et un plan distinct : intersection

vide

2 plans parallèles

2 plans parallèles confondus : intersection selon une

droite 2 plans parallèles distincts : intersection

vide

Aucun plan parallèle

Intersection selon trois

droites parallèles : intersection

vide

Intersection selon 1

droite

Intersection en 1 point

Page 28

Exercice 23. (P3 : Transférer) Donne une interprétation géométrique de la solution des système suivants en déduisant la position relative des plans à l’aide de leurs équations cartésiennes.

{

𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 − 1 = 0

−𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 3 = 0

−2𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 = 0

{

𝑥 = 2 𝑦 = 1 2𝑥 − 8 = 0

{ 𝑥 = 2 𝑥 = 4 𝑦 = 1

{

𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 1 = 0

−𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 3 = 0 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 2 = 0

Page 29

{

𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 1 = 0

−𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 2 = 0

−2𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 − 4 = 0

{

𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 1 = 0

−𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 2 = 0 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 2 = 0

{

𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 1 = 0

−𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 2 = 0

−2𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 = 0

{

𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 1 = 0 𝑧 = 2 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 2 = 0

Page 30

{

𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 1 = 0

−𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 1 = 0

−2𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 − 2 = 0

{ 𝑥 = 2 𝑦 = 2 𝑧 = 2

{

𝑥 + 𝑦 = 2 2𝑥 + 2𝑦 = 4

−𝑥 − 𝑦 + 2 = 0

{

𝑥 + 𝑦 = 1 𝑥 + 𝑧 = 1 𝑦 + 𝑧 = 1

Page 31

2.3 Probabilités

2.3.1 Dénombrement

Dénombrer,⁡c’est⁡compter⁡des⁡objets⁡particuliers⁡dans⁡un⁡ensemble⁡d’éléments.⁡

𝑃_𝑝= 𝑝!

𝑃_𝑝^{𝑖,𝑗,…}= 𝑝!

𝑖! ⁡ ∙ ⁡𝑗! ⁡ ∙ ⁡ …

𝐴_𝑛^𝑝= 𝑛!

(𝑛 − 𝑝)!

𝐵_𝑛^𝑝= 𝑛^𝑝

𝐶_𝑛^𝑝= 𝑛!

(𝑛 − 𝑝)!. 𝑝!

Exercice 24. De combien de manières peut-on : a. former des suites de 4 lettres ?

b. former des nombres de 8 chiffres distincts?

c. écrire des anagrammes du mot COURAGE ?

d. écrire des anagrammes du mot EXAMEN ?

Page 32

e. écrire des anagrammes du mot MATHEMATIQUE ?

f. tirer au sort 5 questions parmi 20 pour un examen oral ?

g. tirer successivement et sans remise 3 questions dans une boîte contenant 5 questions ?

h. tirer⁡ successivement⁡ et⁡ avec⁡ remise⁡ 3⁡ boules⁡ d’une⁡ urne⁡ contenant⁡ 7⁡ boules⁡ de⁡

couleurs différentes ?

i. former des horaires de passage pour 7 élèves présentant un examen oral ?

j. former des listes de 5 questions dans une liste de 40 questions ?

k. obtenir⁡les⁡5⁡nombres⁡de⁡l’euromillions⁡dans⁡l’ordre⁡parmi⁡50⁡numéros⁡?

l. obtenir⁡les⁡5⁡nombres⁡de⁡l’euromillions dans le désordre parmi 50 numéros ?

m. répondre à 4 questions dans un questionnaire à choix multiples proposant 5 réponses possibles à chaque question ?

Page 33

2.3.2 Probabilités 2.3.2.1 Propriétés

Si⁡tous⁡les⁡événements⁡élémentaires⁡d’un⁡phénomène⁡aléatoire⁡sont⁡équiprobables, alors :

𝑷(𝑨) =𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆⁡𝒅𝒆⁡𝒄𝒂𝒔⁡𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆⁡𝒅𝒆⁡𝒄𝒂𝒔⁡𝒑𝒐𝒔𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔

Si 𝐴 et 𝐵 sont des événements contraires, alors :

𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) = 1

Cette propriété⁡est⁡utile⁡quand⁡il⁡est⁡plus⁡facile⁡de⁡calculer⁡la⁡probabilité⁡de⁡l’événement⁡contraire⁡

que⁡celle⁡de⁡l’événement⁡de⁡départ :

Si 𝐴 et 𝐵 sont des événements qui n’ont⁡rien⁡en⁡commun alors 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ et : 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)

Si 𝐴 et 𝐵 sont des événements quelconques alors :

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

Cette propriété est utile quand il est plus facile de calculer la probabilité d’événements⁡

séparément.

Exercice 25. On jette un dé non-pipé,⁡quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡qu’apparaisse : a. un nombre strictement supérieur à 3,

b. un nombre inférieur à 4

c. un nombre impair

d. un nombre qui ne soit pas 5, utilise ce résultat pour vérifier la formule des événements contraires.

e. un nombre impair strictement inférieur à 5, utilise ce résultat pour vérifier la formule des événements quelconques.

Page 34

Exercice 26. Une boîte contient 13 questions de géométrie, 12 questions sur les intégrales et 20 questions sur les probabilités :

a. quelle est la probabilité de tirer une question sur les probabilités ?

b. quelle est la probabilité de ne tirer aucune question sur les probabilités ?

Exercice 27. Dans une excellente école de Uccle, la probabilité de tirer une question facile à l’examen⁡de⁡mathématiques est de 32 %, la probabilité de tirer une question de géométrie est de 23 %. Sachant que la probabilité de tirer une question de géométrie facile est de 11%.

a. Tu⁡n’as⁡étudié⁡que⁡les⁡questions⁡réputées⁡faciles⁡et⁡toute⁡la⁡géométrie.⁡Quelle⁡est⁡la probabilité de tirer une question qui te soit favorable ?

b. Quelle est la probabilité de tirer une question qui te soit défavorable ?

Page 35

2.3.2.2 Diagramme en arbre

Exercice 28. Une boîte contient des questions de mathématiques : 3 questions de géométrie, 4 questions de probabilités, et 5 questions sur les intégrales. On tire successivement deux questions au⁡hasard⁡et⁡sans⁡remise.⁡Dessine⁡l’arbre⁡représentant⁡le⁡phénomène.

a. Quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡d’obtenir⁡une⁡seule⁡question⁡sur⁡les intégrales ?

b. Quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡d’obtenir⁡2⁡questions⁡de⁡probabilités ?

c. Quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡d’obtenir⁡aucune⁡question⁡sur⁡les⁡intégrales ?

d. Quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡d’obtenir⁡au⁡moins⁡une⁡question⁡de⁡géométrie ?

Exercice 29. On tire successivement et au hasard 4 lettres du mot « MATHEMATIQUES » Quelle est⁡ la⁡ probabilité⁡ pour⁡ que,⁡ en⁡ tenant⁡ compte⁡ de⁡ l’ordre⁡ du⁡ tirage,⁡ ces⁡ lettres⁡ forment⁡ le⁡ mot⁡

« AIME » ?

Dessine⁡l’arbre⁡correspondant.⁡Il⁡n’est⁡pas⁡nécessaire⁡de⁡dessiner⁡tout l’arbre,⁡mais⁡uniquement⁡

la partie concernant le mot « AIME ».

Page 36

Exercice 30. Une urne contient 5 boules vertes, 2 boules noires et 4 boules rouges. On tire successivement 3 boules avec remise.

a. Dessine⁡l’arbre⁡correspondant⁡aux⁡deux⁡premiers⁡tirages

b. Quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡d’obtenir⁡3⁡boules⁡rouges ?

c. Quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡d’obtenir⁡dans⁡l’ordre⁡2⁡boules⁡vertes⁡et⁡une⁡rouge⁡?

d. Quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡d’obtenir⁡dans⁡l’ordre⁡1⁡boule⁡verte⁡et⁡deux⁡noires⁡?

Exercice 31. Une urne contient 5 boules vertes, 2 boules noires et 4 boules rouges. On tire successivement 3 boules sans remise.

a. Dessine⁡l’arbre⁡correspondant⁡aux⁡deux⁡premiers⁡tirages

b. Quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡d’obtenir⁡3⁡boules⁡rouges ?

c. Quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡d’obtenir⁡dans⁡l’ordre⁡2⁡boules⁡vertes⁡et⁡une⁡rouge⁡?

d. Quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡d’obtenir⁡dans⁡l’ordre⁡1⁡boule⁡verte⁡et⁡deux⁡noires⁡?

Page 37

2.3.2.3 Probabilité conditionnelle

La⁡ probabilité⁡ qu’un⁡ événement⁡ 𝐴 se⁡ réalise⁡ sachant⁡ qu’un⁡ événement⁡ 𝐵 est réalisé se note 𝑃(𝐴|𝐵).On calcule la probabilité conditionnelle de 𝑨 sachant 𝑩 comme suit :

𝑷(𝑨|𝑩) =𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) 𝑷(𝑩)

Exercice 32. Tu réponds au hasard à un examen avec deux questions cotées sur 5.

a. Quelle est la probabilité que tu obtiennes plus de 6/10, sachant que le professeur a déjà corrigé ta première question et que tu as obtenu 2/5 ? Vérifie ton intuition en utilisant la formule.

b. Quelle est la probabilité que tu obtiennes exactement 5/10, sachant que le professeur a déjà corrigé ta première question et que tu as obtenu 5/5 ? Vérifie ton intuition en utilisant la formule.

Exercice 33. Dans un jeu de 52 cartes, on tire une carte. Quelle est la probabilité que la carte soit un⁡4⁡sachant⁡qu’elle⁡est⁡comprise⁡entre⁡2⁡et⁡5 ?

Exercice 34. Un dé est jeté deux fois. Quelle est la probabilité pour que la somme obtenue lors des deux jets soit inférieure à 7 :

a. sachant⁡qu’on⁡obtient⁡4⁡au⁡deuxième⁡jet ?

b. si on obtient 3 au premier jet ?

Page 38

2.3.2.4 Notion d’indépendance

On⁡dit⁡que⁡l’événement⁡𝐴 est⁡indépendant⁡de⁡l’événement⁡𝐵 si⁡le⁡fait⁡que⁡savoir⁡que⁡l’événement⁡

𝐵 est réalisé ne change pas la probabilité de 𝐴. On peut dire que 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴|𝐵). Les événements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants si et seulement si :

𝑷(𝑨). 𝑷(𝑩) = 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

Exercice 35. La probabilité de tirer⁡une⁡question⁡facile⁡à⁡l’examen⁡de⁡mathématiques⁡est⁡de⁡32⁡

%, la probabilité de tirer une question de géométrie est de 23 %. Sachant que la probabilité de tirer une question de géométrie facile est de 11%.

a. Montre que le fait de tirer une question de géométrie n’est indépendant du fait de tirer une question facile ?

b. Quelle serait la probabilité de tirer une question de géométrie facile si les événements étaient indépendants ?

Exercice 36. Est-ce que tirer un 8 dans un jeu de carte est a. indépendant⁡de⁡tirer⁡un⁡cœur ?

b. indépendant de tirer une carte inférieure à 10 ?

Page 39

2.3.2.5 Dénombrement et probabilités

Si⁡tous⁡les⁡événements⁡élémentaires⁡d’un⁡phénomène⁡aléatoire⁡sont⁡équiprobables, alors :

𝑷(𝑨) =𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆⁡𝒅𝒆⁡𝒄𝒂𝒔⁡𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆⁡𝒅𝒆⁡𝒄𝒂𝒔⁡𝒑𝒐𝒔𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔

On peut utiliser les notions de dénombrement pour calculer le nombre de cas possibles et le nombre de cas favorables.

Exercice 37. Une boîte contient 13 questions de géométrie, 12 questions sur les intégrales et 20 questions sur les probabilités. On tire 3 questions au hasard, sans remise.

a. Quelle est la probabilité que les 3 questions portent sur la géométrie ?

b. Quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡que,⁡dans⁡l’ordre,⁡les⁡2⁡premières⁡questions⁡portent⁡sur⁡la⁡

géométrie et la dernière sur les intégrales ?

c. Quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡qu’on⁡ait,⁡sans⁡tenir⁡compte⁡de⁡l’ordre⁡de⁡tirage, en tout 2 questions portant sur la géométrie et une sur les intégrales ?

d. Quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡de⁡n’avoir⁡aucune⁡question⁡sur⁡les⁡intégrales ?

e. Quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡d’avoir⁡au⁡moins⁡une⁡question⁡sur⁡les⁡intégrales ?

f. Quelle est la probabilité que les trois questions soient sur le même chapitre ?

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Exercice 38. On arrache 5 pages au hasard dans un cours contenant 40 pages sur la géométrie et⁡56⁡pages⁡sur⁡les⁡intégrales.⁡Quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡d’obtenir :

a. les cinq premières pages⁡dans⁡l’ordre ?

b. les cinq premières pages dans le désordre ?

c. aucune page sur la géométrie ?

d. au moins une page sur la géométrie ?

e. sans⁡ faire⁡ aucun⁡ calcul⁡ supplémentaire,⁡ devine⁡ la⁡ probabilité⁡ d’obtenir⁡ les⁡ cinq⁡

dernières pages dans⁡l’ordre ?

f. deux⁡pages⁡sur⁡la⁡géométrie⁡et⁡trois⁡pages⁡sur⁡les⁡intégrales⁡dans⁡l’ordre ?

g. deux pages sur la géométrie et trois pages sur les intégrales dans un ordre quelconque ?

Page 41

2.3.3 Lois de probabilités 2.3.3.1 Définitions

Pour un phénomène aléatoire donné, on appelle variable aléatoire 𝑿 une caractéristique numérique associée aux événements de ce phénomène (gain d’argent, nombre de pommes, …).

On appelle espérance mathématique de la variable aléatoire 𝑋 la valeur la plus probable prise par 𝑋. Elle est notée 𝐸(𝑋) et se calcule comme suit :

𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥_𝑖. 𝑃(𝑥_𝑖)

𝑛

𝑖=1

On appelle variance de la variable aléatoire 𝑋 une grandeur qui mesure la dispersion des valeurs de 𝑋⁡autour de la valeur la plus probable prise par 𝑋,⁡c’est-à-dire 𝐸(𝑥). Elle est notée⁡𝑉(𝑋) et se calcule comme suit :

𝑉(𝑋) = ∑ 𝑃(𝑥𝑖). (𝑥_𝑖− 𝐸(𝑋))²

𝑛

𝑖=1

On appelle écart-type de la variable aléatoire 𝑋 la racine carrée de la variance. Elle est notée⁡𝜎(𝑋) et se calcule comme suit :

𝜎(𝑋) = √𝑉(𝑋)

Exercice 39. A⁡ la⁡ tombola⁡ de⁡ l’école,⁡ ils⁡

distribuent comme lot des pommes provenant du jardin⁡ de⁡ l’école,⁡ tu⁡ décides⁡ de⁡ participer⁡ parce⁡

que tu veux aider les TQ environnement et que tu aimes les pommes. Le nombre de pommes par lot est variable, mais tout le monde est gagnant :

a. Définis une variable aléatoire 𝑋.

b. Donne sous forme de tableau sa loi de probabilité

c. Détermine son espérance mathématique, et donne sa signification

d. Détermine son écart-type et donne sa signification

Nombre de billets Lot

1 10 pommes

2 5 pommes

10 3 pommes

10 2 pommes

27 1 pommes

Page 42

2.3.3.2 Loi binomiale

On appelle épreuve de Bernoulli une expérience qui ne possède que deux résultats possibles, l’un nommé succès 𝑺 et l’autre nommé échec 𝑬. Ces résultats correspondent à 2 événements contraires. On note 𝒑 la probabilité du succès et 𝒒 la probabilité de l’échec. Si on répète plusieurs fois, dans les mêmes conditions, une épreuve de Bernoulli, on obtient un schéma de Bernoulli.

En prenant comme variable aléatoire 𝑋 le nombre de succès d’un schéma de Bernoulli, on obtient une variable aléatoire qui obéit à une loi binomiale. On calcule la probabilité d’avoir 𝑥_𝑖 succès sur 𝑛 épreuves comme suit :

𝑷(𝒙_𝒊) = 𝑪_𝒏^𝒙𝒊. 𝒑^𝒙𝒊. 𝒒^{𝒏−𝒙𝒊}⁡

L’espérance mathématique d’une loi binomiale de paramètres 𝑛 et 𝑝 se calcule comme suit : 𝑬(𝒙) = 𝒏. 𝒑

La variance d’une loi binomiale de paramètres 𝑛 et 𝑝 se calcule comme suit : 𝑽(𝒙) = 𝒏. 𝒑. 𝒒

Exercice 40. Pour ton examen de mathématique, tu as vraiment la flemme, tu as décidé de tout miser sur la chance parce que tu avais vraiment très envie de regarder la télévision plutôt que de découvrir la magnifique histoire des nombres. Ton prof te pose 10 questions auxquelles il faut répondre un nombre entre 0 et 10. Tu réponds au hasard à chaque question.

a. Quelle chance as-tu⁡d’avoir⁡10/10 ?

b. Quelle chance d’avoir⁡au⁡moins⁡1/10 ?

c. Quelle chance d’avoir⁡exactement⁡5/10 ?

d. Quelle chance as-tu de réussir (avoir plus de 5/10 ?)

e. Quel est le résultat le plus probable ?

f. En⁡moyenne⁡de⁡combien⁡ton⁡résultat⁡s’écartera t-il du résultat le plus probable ?

Page 43

2.4 Intégrales

2.4.1 Intégrales immédiates

𝒇(𝒙) ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙

𝟎 𝑲

𝟏 𝒙 + 𝑲

𝒙 𝒙^𝟐

𝟐 + 𝑲

𝒙² 𝒙^𝟑

𝟑 + 𝑲

⁡⁡𝒙^𝒏⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑛 ∈ ℚ/{1}⁡⁡ 𝒙^𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏+ 𝑲 𝟏

𝒙⁡⁡ 𝐥𝐧|𝒙| + 𝑲

√𝒙 ⁡⁡ 𝟐

𝟑√𝒙^𝟑+ 𝑲

𝐬𝐢𝐧 𝒙⁡ − 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝑲

𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝑲

𝟏

𝐜𝐨𝐬^𝟐𝐱 𝐭𝐚𝐧⁡𝒙 + 𝑲

𝒆^𝒙 𝒆^𝒙+ 𝑲

Exercice 41. Calcule les intégrales suivantes : a. ∫(3𝑥²− 8𝑥) 𝑑𝑥 =

b. ∫ 5 sin 𝑥 ⁡𝑑𝑥 =

c. ∫ 21 ⁡𝑑𝑥 =

d. ∫ (^√𝑥₄ +^𝑥

4+¹

4) 𝑑𝑥 =

e. ∫(2𝑥³+ 5𝑥²+ 2𝑥 + 25) 𝑑𝑥 =

f. ∫^(2𝑥5_2𝑥^+3𝑥)⁡𝑑𝑥 =

g. ∫^(2𝑥−3)_𝑥2 ⁡𝑑𝑥 =

h. ∫ (√⁴ _𝑥¹₃) ⁡𝑑𝑥 =

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2.4.2 Intégrales par substitution

L’intégration par substitution opère un changement de variable. Il convient d’être capable de déterminer dans quels cas cette méthode peut être utile. On l’utilise quand il est possible de se ramener à une formule simple du tableau des intégrales immédiates, en substituant à 𝑥 une fonction 𝑢(𝑥). On a :

∫ 𝒇(𝒖) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒖)⁡𝟏 𝒖′⁡𝒅𝒖

Exercice 42. Calcule les intégrales suivantes par la méthode de substitution : a. ∫(𝑥 − 2)⁴𝑑𝑥 =

b. ∫(2𝑥)⁶𝑑𝑥 =

c. ∫_2x+1¹ 𝑑𝑥 =

d. ∫ √3𝑥 + 1⁡𝑑𝑥 =

e. ∫_(5𝑥+1)¹ ₂𝑑𝑥 =

f. ∫ √(2𝑥 + 1³ )²⁡𝑑𝑥 =

g. ∫ sin(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 =

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2.4.3 Intégrales par parties

∫ 𝑓. 𝑔^′⁡𝑑𝑥 = 𝑓. 𝑔 − ∫ 𝑓^′. 𝑔 ⁡𝑑𝑥

Exercice 43. Calcule⁡les⁡intégrales⁡suivantes⁡en⁡utilisant⁡l’intégration⁡par⁡parties a. ∫ 𝑥 √𝑥⁡𝑑𝑥 =

b. ∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 =

c. ∫ 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 =

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2.4.4 Intégrales quasi-immédiates

∫ 𝑓(𝑔(𝑥)). 𝑔^′(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑔(𝑥)) + 𝐾 Exercice 44. Calcule les intégrales suivantes

a. ∫(4𝑥³− 1). (𝑥⁴− 𝑥)³𝑑𝑥 =

b. ∫_𝑥^2𝑥₂₋₁𝑑𝑥 =

c. ∫ 8 cos³𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 =

d. ∫(𝑥²− 2𝑥⁵). √𝑥^{4 6}− 𝑥³𝑑𝑥 =

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2.4.5 Intégrales définies

∫ 𝒇(𝒕)

𝒃 𝒂

𝒅𝒕 = 𝑭(𝒃) − 𝑭(𝒂)⁡

Autrement dit, pour une fonction située au-dessus de l’axe des abscisses entre 𝑎 et 𝑏, l’intégrale définie de la fonction entre les bornes 𝑎 et 𝑏 est égale à la différence des valeurs d’une primitive en 𝑎 et en 𝑏.

Exercice 45. Vérifie les valeurs des intégrales définies suivantes, utilise les méthodes par substitution ou par parties si nécessaire.

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