Probabilités .1 Propriétés

Si⁡tous⁡les⁡événements⁡élémentaires⁡d’un⁡phénomène⁡aléatoire⁡sont⁡équiprobables, alors :

𝑷(𝑨) =𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆⁡𝒅𝒆⁡𝒄𝒂𝒔⁡𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆⁡𝒅𝒆⁡𝒄𝒂𝒔⁡𝒑𝒐𝒔𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔

Si 𝐴 et 𝐵 sont des événements contraires, alors :

𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) = 1

Cette propriété⁡est⁡utile⁡quand⁡il⁡est⁡plus⁡facile⁡de⁡calculer⁡la⁡probabilité⁡de⁡l’événement⁡contraire⁡

que⁡celle⁡de⁡l’événement⁡de⁡départ :

Si 𝐴 et 𝐵 sont des événements qui n’ont⁡rien⁡en⁡commun alors 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ et : 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)

Si 𝐴 et 𝐵 sont des événements quelconques alors :

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

Cette propriété est utile quand il est plus facile de calculer la probabilité d’événements⁡

séparément.

Exercice 25. On jette un dé non-pipé,⁡quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡qu’apparaisse : a. un nombre strictement supérieur à 3,

b. un nombre inférieur à 4

c. un nombre impair

d. un nombre qui ne soit pas 5, utilise ce résultat pour vérifier la formule des événements contraires.

e. un nombre impair strictement inférieur à 5, utilise ce résultat pour vérifier la formule des événements quelconques.

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Exercice 26. Une boîte contient 13 questions de géométrie, 12 questions sur les intégrales et 20 questions sur les probabilités :

a. quelle est la probabilité de tirer une question sur les probabilités ?

b. quelle est la probabilité de ne tirer aucune question sur les probabilités ?

Exercice 27. Dans une excellente école de Uccle, la probabilité de tirer une question facile à l’examen⁡de⁡mathématiques est de 32 %, la probabilité de tirer une question de géométrie est de 23 %. Sachant que la probabilité de tirer une question de géométrie facile est de 11%.

a. Tu⁡n’as⁡étudié⁡que⁡les⁡questions⁡réputées⁡faciles⁡et⁡toute⁡la⁡géométrie.⁡Quelle⁡est⁡la probabilité de tirer une question qui te soit favorable ?

b. Quelle est la probabilité de tirer une question qui te soit défavorable ?

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2.3.2.2 Diagramme en arbre

Exercice 28. Une boîte contient des questions de mathématiques : 3 questions de géométrie, 4 questions de probabilités, et 5 questions sur les intégrales. On tire successivement deux questions au⁡hasard⁡et⁡sans⁡remise.⁡Dessine⁡l’arbre⁡représentant⁡le⁡phénomène.

a. Quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡d’obtenir⁡une⁡seule⁡question⁡sur⁡les intégrales ?

b. Quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡d’obtenir⁡2⁡questions⁡de⁡probabilités ?

c. Quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡d’obtenir⁡aucune⁡question⁡sur⁡les⁡intégrales ?

d. Quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡d’obtenir⁡au⁡moins⁡une⁡question⁡de⁡géométrie ?

Exercice 29. On tire successivement et au hasard 4 lettres du mot « MATHEMATIQUES » Quelle est⁡ la⁡ probabilité⁡ pour⁡ que,⁡ en⁡ tenant⁡ compte⁡ de⁡ l’ordre⁡ du⁡ tirage,⁡ ces⁡ lettres⁡ forment⁡ le⁡ mot⁡

« AIME » ?

Dessine⁡l’arbre⁡correspondant.⁡Il⁡n’est⁡pas⁡nécessaire⁡de⁡dessiner⁡tout l’arbre,⁡mais⁡uniquement⁡

la partie concernant le mot « AIME ».

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Exercice 30. Une urne contient 5 boules vertes, 2 boules noires et 4 boules rouges. On tire successivement 3 boules avec remise.

a. Dessine⁡l’arbre⁡correspondant⁡aux⁡deux⁡premiers⁡tirages

b. Quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡d’obtenir⁡3⁡boules⁡rouges ?

c. Quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡d’obtenir⁡dans⁡l’ordre⁡2⁡boules⁡vertes⁡et⁡une⁡rouge⁡?

d. Quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡d’obtenir⁡dans⁡l’ordre⁡1⁡boule⁡verte⁡et⁡deux⁡noires⁡?

Exercice 31. Une urne contient 5 boules vertes, 2 boules noires et 4 boules rouges. On tire successivement 3 boules sans remise.

a. Dessine⁡l’arbre⁡correspondant⁡aux⁡deux⁡premiers⁡tirages

b. Quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡d’obtenir⁡3⁡boules⁡rouges ?

c. Quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡d’obtenir⁡dans⁡l’ordre⁡2⁡boules⁡vertes⁡et⁡une⁡rouge⁡?

d. Quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡d’obtenir⁡dans⁡l’ordre⁡1⁡boule⁡verte⁡et⁡deux⁡noires⁡?

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2.3.2.3 Probabilité conditionnelle

La⁡ probabilité⁡ qu’un⁡ événement⁡ 𝐴 se⁡ réalise⁡ sachant⁡ qu’un⁡ événement⁡ 𝐵 est réalisé se note 𝑃(𝐴|𝐵).On calcule la probabilité conditionnelle de 𝑨 sachant 𝑩 comme suit :

𝑷(𝑨|𝑩) =𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) 𝑷(𝑩)

Exercice 32. Tu réponds au hasard à un examen avec deux questions cotées sur 5.

a. Quelle est la probabilité que tu obtiennes plus de 6/10, sachant que le professeur a déjà corrigé ta première question et que tu as obtenu 2/5 ? Vérifie ton intuition en utilisant la formule.

b. Quelle est la probabilité que tu obtiennes exactement 5/10, sachant que le professeur a déjà corrigé ta première question et que tu as obtenu 5/5 ? Vérifie ton intuition en utilisant la formule.

Exercice 33. Dans un jeu de 52 cartes, on tire une carte. Quelle est la probabilité que la carte soit un⁡4⁡sachant⁡qu’elle⁡est⁡comprise⁡entre⁡2⁡et⁡5 ?

Exercice 34. Un dé est jeté deux fois. Quelle est la probabilité pour que la somme obtenue lors des deux jets soit inférieure à 7 :

a. sachant⁡qu’on⁡obtient⁡4⁡au⁡deuxième⁡jet ?

b. si on obtient 3 au premier jet ?

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2.3.2.4 Notion d’indépendance

On⁡dit⁡que⁡l’événement⁡𝐴 est⁡indépendant⁡de⁡l’événement⁡𝐵 si⁡le⁡fait⁡que⁡savoir⁡que⁡l’événement⁡

𝐵 est réalisé ne change pas la probabilité de 𝐴. On peut dire que 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴|𝐵). Les événements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants si et seulement si :

𝑷(𝑨). 𝑷(𝑩) = 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

Exercice 35. La probabilité de tirer⁡une⁡question⁡facile⁡à⁡l’examen⁡de⁡mathématiques⁡est⁡de⁡32⁡

%, la probabilité de tirer une question de géométrie est de 23 %. Sachant que la probabilité de tirer une question de géométrie facile est de 11%.

a. Montre que le fait de tirer une question de géométrie n’est indépendant du fait de tirer une question facile ?

b. Quelle serait la probabilité de tirer une question de géométrie facile si les événements étaient indépendants ?

Exercice 36. Est-ce que tirer un 8 dans un jeu de carte est a. indépendant⁡de⁡tirer⁡un⁡cœur ?

b. indépendant de tirer une carte inférieure à 10 ?

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2.3.2.5 Dénombrement et probabilités

Si⁡tous⁡les⁡événements⁡élémentaires⁡d’un⁡phénomène⁡aléatoire⁡sont⁡équiprobables, alors :

𝑷(𝑨) =𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆⁡𝒅𝒆⁡𝒄𝒂𝒔⁡𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆⁡𝒅𝒆⁡𝒄𝒂𝒔⁡𝒑𝒐𝒔𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔

On peut utiliser les notions de dénombrement pour calculer le nombre de cas possibles et le nombre de cas favorables.

Exercice 37. Une boîte contient 13 questions de géométrie, 12 questions sur les intégrales et 20 questions sur les probabilités. On tire 3 questions au hasard, sans remise.

a. Quelle est la probabilité que les 3 questions portent sur la géométrie ?

b. Quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡que,⁡dans⁡l’ordre,⁡les⁡2⁡premières⁡questions⁡portent⁡sur⁡la⁡

géométrie et la dernière sur les intégrales ?

c. Quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡qu’on⁡ait,⁡sans⁡tenir⁡compte⁡de⁡l’ordre⁡de⁡tirage, en tout 2 questions portant sur la géométrie et une sur les intégrales ?

d. Quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡de⁡n’avoir⁡aucune⁡question⁡sur⁡les⁡intégrales ?

e. Quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡d’avoir⁡au⁡moins⁡une⁡question⁡sur⁡les⁡intégrales ?

f. Quelle est la probabilité que les trois questions soient sur le même chapitre ?

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Exercice 38. On arrache 5 pages au hasard dans un cours contenant 40 pages sur la géométrie et⁡56⁡pages⁡sur⁡les⁡intégrales.⁡Quelle⁡est⁡la⁡probabilité⁡d’obtenir :

a. les cinq premières pages⁡dans⁡l’ordre ?

b. les cinq premières pages dans le désordre ?

c. aucune page sur la géométrie ?

d. au moins une page sur la géométrie ?

e. sans⁡ faire⁡ aucun⁡ calcul⁡ supplémentaire,⁡ devine⁡ la⁡ probabilité⁡ d’obtenir⁡ les⁡ cinq⁡

dernières pages dans⁡l’ordre ?

f. deux⁡pages⁡sur⁡la⁡géométrie⁡et⁡trois⁡pages⁡sur⁡les⁡intégrales⁡dans⁡l’ordre ?

g. deux pages sur la géométrie et trois pages sur les intégrales dans un ordre quelconque ?

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2.3.3 Lois de probabilités