Matrices Chap32

Matrices

1 Structure de M

pKq

1.1 D´efinition

D´efinition. Soit K R ou C,n etp deux entiers non nuls. On appelle matrice `a n lignes et p colonnes `a coefficients dans K une application : A : t1, . . . , nu t1, . . . , pu Ñ K

pi, jq ÞÑ a_ij . Notation. Ces ´el´ements sont dispos´es en tableau :

A pa_ijq^1¤i¤n

1¤j¤p

a₁₁ a₁₂ a_1p

a₂₁ a₂₂ a_2p

an1 an2 anp

D´efinition. Dans la notationpaijq¹¤i¤n

1¤j¤p,is’appelle l’indice de ligne etj l’indice de colonne.

L’ensemble de ces matrices est not´eMnppKq.

Lorsque n p, on dit que la matrice est carr´ee, et on note MnpKq l’ensemble des matrices carr´ees d’ordre

n `a coefficients dans K. Les coefficients pour lesquels indice de ligne et de colonne sont ´egaux s’appellent les

coefficients diagonaux.

1.2 Structure d’espace vectoriel

D´efinition. SoitA pa_ijqij etB pb_ijqij deux matrices de MnppKq. On d´efinit lasommedes matricesAetB

parA B pcijq PMnppKq o`u :

@pi, jq P t1, . . . , nu t1, . . . , pu, cij aij bij

Remarque.

Exemple.

Propri´et´e. pMnppKq, q est un groupe ab´elien, d’´el´ement neutrela matrice nulle.

D´efinition.SoitA pa_ijqij une matrice deMnppKqetλP Kun scalaire. On d´efinit lamultiplication externe

de A par le scalaireλparλA pb_ijq PMnppKq o`u :

@pi, jq P t1, . . . , nu t1, . . . , pu, b_ij λa_ij Remarque.

Exemple.

Propri´et´e. pMnppKq, ,qest un espace vectoriel sur K. Th´eor`eme.

On pose Eij la matrice de MnppKq dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui de lai^`eme ligne et

j^`eme colonne, qui vaut 1.

E11

1 0 0

0 0 0

0 0 0

E12

0 1 0

0 0 0

0 0 0

E21

0 0 0

1 0 0

0 0 0

La famillepEijq^1¤i¤n

1¤j¤p est une base deMnppKq, appel´ee base canonique.

Corollaire. MnppKq est de dimension np.

1.3 Multiplication matricielle

D´efinition. Soit n,p,q trois entiers non nuls.

Soit A PMn,ppKq, A pa_ijq¹¤i¤n 1¤j¤p

etB PMp,qpKq, B pb_jkq¹¤j¤p 1¤k¤q

. On appelleproduit de matrices A

par B la matrice AB pc_ikq^1¤i¤n

1¤k¤q PMn,qpKqo`u c_ik

¸p j1

a_ij b_jk @1¤i¤n, @1¤k¤q

Remarque. Attention ! Calcul pratique.

a

a

a

b

b

b

a

a

a

a

a

a

b

b

b

b

b

b

c

A

n lignesp colonnes

B

p lignesq colonnes

C = A × B

n lignes q colonnes

c

= X

j=1

a

b

Exemple. Calculer

2 1 1

1 0 2

2 0 1 0

1 1 2 2

1 0 1 0

Propri´et´e. La multiplication matricielle est associative.

Elle n’est bien-sˆur pas commutative !

Propri´et´e. L’application MnpMpq Ñ Mnq

pA, Bq ÞÑ AB

est bilin´eaire, c’est-`a-dire que : A pβB β¹B¹q βAB β¹AB¹ etpαA α¹A¹q B αAB α¹A¹B.

1.4 Anneau MnpKq Th´eor`eme.

pMnpKq, qest un anneau, dont l’´el´ement neutre est In

1

<<

<<

<<

<<

<<

<0 0

0

0

0 0 1

Remarque. Attention !

Contre-exemple.avec n2 `a la commutativit´e : Contre-exemple.avec n2 `a l’int´egrit´e :

Exemple. Exemple de matrice nilpotente : 1.5 Matrices inversibles dans MnpKq

D´efinition. Une matrice M P MnpKq est dite inversible si et seulement s’il existe M¹ P MnpKq telle que M M¹ M¹M In, c’est-`a-dire si M est inversible dans l’anneaupMnpKq, ,q.

On note GLnpKq, et on appellegroupe lin´eaire d’ordre nl’ensemble des matrices inversibles deMnpKq.

Remarque.

Th´eor`eme.

Soit M PMnpKq.

M PGLnpKq ðñ DM¹ PMnpKq t.q. M M¹ In

ðñ DM² PMnpKq t.q.M²M In

Et dans ce cas,M¹M¹ M².

Exemple.

2 Matrice de vecteurs, d’applications lin´ eaires

2.1 Repr´esentation matricielle d’un vecteur

Matrice d’un vecteur. SoitE unK-espace vectoriel de dimension finien. SoitB pe₁, . . . , e_nqune base deE.

Un vecteurxPE est repr´esent´e par la matrice unicolonne de ses coordonn´ees dans la baseB :

Six

¸n i1

xiei, on note :

Mat_Bpxq

x1

x₂ ... x_n

Matrice d’une famille de vecteur. Avec les mˆemes notations, si px1, . . . , xpq est une famille dep vecteurs de E, elle est repr´esent´ee par une matrice pn, pq dont les colonnes sont les coordonn´ees des vecteurs dans la

base B :

Si pour toutj,x_j

¸n i1

x_ije_i, on note :

Mat_Bpx1, . . . , xpq

x₁₁ x₁₂ x1p

x21 x22 x2p

xn1 xn2 xnp

2.2 Repr´esentation matricielle d’une application lin´eaire

Construction (lien entre application lin´eaire et matrice). Soit E e.v. de dimension finie p et de base B pe₁, , e_pq

Soit F e.v. de dimension finie net de baseC pf1, , fnq

uPLpE, Fq est compl`etement d´etermin´ee par la donn´ee de upe1q, , upepq.

Chaque upe_jqest lui-mˆeme d´etermin´e par ses coordonn´ees dans la base C

uest donc compl`etement d´etermin´e par la donn´ee depncoefficients qui sont les coordonn´ees en question :

upe₁q

a11

a₂₁ ... a_n1

C

upe₂q

a12

a₂₂ ... a_n2

C

upe_pq

a1p

a_2p ... a_np

C

Construction. On appelle matrice de l’application u relativement aux bases B et C, la matrice de MnppKq :

M Matpu,B,Cq

a11 a12 a1p

a₂₁ a₂₂ a_2p

... ... ...

a_n1 a_n2 a_np

Exemple. On consid`ere u : R2rXs Ñ R3rXs

P ÞÑ pX 2qP P¹ .

On note B p1, X, X²q la base canonique de R2rXs et C p1, X, X², X³q la base canonique de R3rXs.

D´eterminer Matpu,B,Cq.

Exemple. Dans le mˆeme cadre que l’exemple pr´ec´edent, d´eterminer l’application lin´eairev telle que :

Matpv,B,Cq

1 0 0 2 1 0 0 2 1 0 0 2

Propri´et´e. SoitE e.v. de dimension finie pet de base B pe₁, , e_pq

Soit F e.v. de dimension finie net de baseC pf₁, , f_nq

Alors :

φ : LpE, Fq Ñ MnppKq

u ÞÑ Matpu,B,Cq

est une bijection.

Corollaire. Toute matrice Ade MnppKq repr´esente une unique application lin´eaire de K^p dansKⁿ relativement

aux bases canoniques. On l’appelle application lin´eaire canoniquement associ´ee `a A

Int´erˆet.

Remarque.

2.3 Utilisation de la repr´esentation matricielle

Etude.´ Soit E e.v. de dimension finie p et de baseB pe₁, , e_pq Soit F e.v. de dimension finie net de base C pf₁, , f_nq

Soit uPLpE, Fq telle que Matpu,B,Cq A paijqij. Soit xPE tel queMat_Bpxq X

x1

x2

...

xp

et notons yupxq PF etMat_Cpyq Y y1

y2

...

yn

.

R´esum´e. Appliquer `a x l’application lin´eaire u revient `a mulitplier `a gauche la matrice colonne de X par la

matrice Ade u.

Exemple. SoitE e.v. de dimension 3 de baseB pe1, e2, e3qet F e.v. de dimension 2 de baseC pf₁, f₂q

Soit uPLpE, Fq t.q. Matpu,B,Cq

1 2 7

3 1 0

.

Calculer upxq o`u xest donn´e par ses coordonn´ees dans la base B :x 3

2 1

2.4 Liens entre op´erations sur les matrices et op´erations sur les applications lin´eaires

Somme. Soitu et v deux applications lin´eaires de E dans F, repr´esent´ees respectivement par les matrices A

etB relativement aux basesB etC. Alors :

Matpu vq Matpuq Matpvq (relativement `a B etC)

Loi externe. Soit uune application lin´eaire deE dansF, repr´esent´ee par la matrice Arelativement aux bases B etC. Soit λP K. Alors :

Matpλuq λMatpuq (relativement `aB etC)

Th´eor`eme.

Avec les notations usuelles, l’application :

φ : LpE, Fq Ñ MnppKq

u ÞÑ Matpu,B,Cq

est unisomorphisme d’espaces vectoriels.

Corollaire. Toujours avec les notations ci-dessus,

dimLpE, Fq dimMnppKq np

Remarque. En particulier,dimLpEq n² etdim LpE,Kq n.

Produit/composition. Soit E e.v. sur K de dimensionp muni d’une baseB,

F e.v. sur K de dimensionnmuni d’une base C,

etG e.v. surK de dimensionq muni d’une baseD.

Soit uPLpE, Fq, de matrice Matpu,B,Cq, vPLpF, Gq, de matrice Matpv,C,Dq. Alors :

Matpvuq Matpvq Matpuq (relativement aux bases. . . )

2.5 Liens entre op´erations sur les matrices carr´ees et op´erations sur les applications lin´eaires Remarque.

Matrice carr´ee d’un isomorphisme. Siu est un isomorphisme de E dans F munis respectivement des bases B etC, alors Matpu,B,Cq est inversible et

Matpuq¹Matpu¹q (relativement aux bases. . . )

Matrice carr´ee d’un endomorphisme. Lorsque u est un endomorphisme, et que l’on choisit la mˆeme base B

de E `a la source comme au but, on note Matpu,Bq Matpu,B,Bq.

L’application :

φ : LpEq Ñ MnpKq

u ÞÑ Matpu,Bq

est un isomorphisme d’espaces vectoriels et d’anneaux.

Matrice carr´ee d’un automorphisme. Avec les notations pr´ec´edentes. u est un automorphisme de E si et

seulement si Matpu,Bqest inversible.

Dans ce cas,

Matpuq¹Matpu¹q (relativement `a la baseB)

Par suite, l’application :

φ : GLpEq Ñ GL_npKq

u ÞÑ Matpu,Bq

est un isomorphisme de groupes.

Remarque. Avec des notations ´evidentes, on a : pABq¹ B¹A¹.

3 Changement de base

3.1 Matrice de passage

D´efinition. Soit E un e.v. de dimensionn,

soitE pe₁, . . . , e_nq une base deE, dite« ancienne base»,

et soit E¹ pe¹₁, . . . , e¹_nq une autre base de E, dite« nouvelle base».

On appelle matrice de passage de E `a E¹ la matrice P PMnpKqdont les colonnes sont les coordonn´ees des

vecteurs de la nouvelle base dans l’ancienne. Si e¹_j

¸n i1

pijei @jP t1, . . . , nu, alors P ppijq^1¤i¤n

1¤j¤n

D´efinition.

nouvelle base

hkkkkkkkkkkkkkkkkkikkkkkkkkkkkkkkkkkj e¹₁ e¹₂ e¹_j e¹_n

P

p_1j p_2j ... p_ij

... pnj

e₁ e₂ ... e_i

... en

,/ // // // /. // // // // -

ancienne base

Autre fa¸con de d´efinir P. Remarque.

3.2 Formule du changement de base : cas des vecteurs

Formule du changement de base. Soit xPE, de coordonn´ees dans l’ancienne base x1

...

xn

. C’est-`a-dire X

x1

...

xn

Mat_Epxq. Notons

_x1

..1

.

x¹_n

ses coordonn´ees dans la nouvelle base et posonsX¹

_x1

..1

.

x¹_n

Mat_E1pxq.

Soit P pp_ijq^1¤i¤n

1¤j¤n MatpId_E,E¹,Eq la matrice de passage deE`a E¹. Alors,

XP X¹

Exemple. SoitE R³ e.v. sur Rde dimension 3. SoitEla base canonique deE, consid´er´ee comme«ancienne base »,

et soit E¹ pe¹₁, e¹₂, e¹₃qune « nouvelle base», d´efinie par

$'

&

'%

e¹₁ p1,1,0q e¹₂ p1,2,2q e¹₃ p0,1,1q Soit x p1,2,3q P R³. Donner ses coordonn´ees dans la base Epuis E¹.

Exemple.SoitE R3rXse.v. de dimension 4 surR. SoitE p1, X, X², X³qla base canonique deE, consid´er´ee comme «ancienne base »,

et soit E¹ p1, X 1,pX 1q²,pX 1q³q une « nouvelle base » de E. On consid`ere le polynˆome Q 2X³ X² X 3, et on demande les coordonn´ees de Q dans la baseE¹.

3.3 Formule de changement de base : cas d’une matrice d’application lin´eaire Th´eor`eme.

Soit E e.v. de dimension p d’ancienne baseE

de nouvelle baseE¹

F e.v. de dimension n d’ancienne baseF

de nouvelle base F¹

Soit uPLpE, Fq, M Matpu,E,Fq

M¹ Matpu,E¹,F¹q

*

PMn,ppKq

Soit P la matrice de passage deE`a E¹ (P PGL_ppKq)

Qla matrice de passage deF `aF¹ (QPGLnpKq)

Alors

M QM¹P¹

D´efinition. Deux matricesA etA¹ de MnppKqsont dites´equivalentesi et seulements’il existeP PGLppKqet QPGLnpKqtelles que : AQA¹P¹

Propri´et´e. Deux matrices sont donc ´equivalentes si et seulement si elles repr´esentent une mˆeme application lin´eaire dans des bases diff´erentes.

Remarque.

3.4 Formule de changement de base : cas d’une matrice d’endomorphisme Th´eor`eme.

Soit E e.v. de dimension finie d’ancienne base E de nouvelle base E¹ et u P LpEq. On note M

Matpu,EqetM¹ Matpu,E¹q. On note enfin P la matrice de passage deE`a E¹. Alors

M P M¹P¹

Exemple. SoitE e.v. de dimension 2 de baseE pe1, e2q. SoituPLpEq t.q. Matpu,Eq M

1 2

3 1

. Soit pe¹₁, e¹₂q PE² t.q.

#e¹₁ e₁ e₂ e¹₂ e1e2

(a) Montrer quepe¹₁, e¹₂qest une base de E, not´ee E¹.

(b) Donner Matpu,E¹q.

D´efinition.Deux matrices carr´eesAetA¹deMnpKqsont ditessemblablessi et seulements’il existeP PGL_npKq telles que : AP A¹P¹

Propri´et´e.Deux matrices carr´ees sont donc semblables si et seulement sielles repr´esentent un mˆeme endomor- phisme dans des bases diff´erentes.

Remarque.

4 Sous-ensembles remarquables de M

pKq

4.1 Matrices sym´etriques et antisym´etriques D´efinition. Soit M PMn,ppKq,M paijq^1¤i¤n

1¤j¤p.

On appellematrice transpos´ee de M, et l’on note^tM, la matrice^tM pbijq^1¤i¤p

1¤j¤n PMp,npKqavec

@i, j, bij aji

Exemple.

Propri´et´e. @pA, Bq PMn,ppKq, @λP K

(a) ^tpA Bq ^tA ^tBPMp,npKq

(b) ^tpλAq λ^tA (c) ^tp^tAq A

Propri´et´e. SoitAPMn,ppKqet BPMm,npKq.

On a BAPMm,ppKq

De plus, ^tAPMp,npKq et^tB PMn,mpKq. On a donc ^tA^tBPMp,mpKq

Alors

tpBAq ^tA^tB

Remarque. Dans le cas particulier des matrices carr´ees, pour A P MnpKq, on a ^tA P MnpKq. On peut donc consid´erer

τ : MnpKq Ñ MnpKq

A ÞÑ ^tA

Alors τ est unendomorphisme involutif de MnpKq; c’est un automorphisme de MnpKq. Th´eor`eme.

Si APGL_npKq, alors^tAPGL_npKq etp^tAq^{1 t}pA¹q

D´efinition. Dans MnpKq,Aest ditesym´etrique si^tAA,antisym´etrique si^tA A.

Remarque. A paijq^1¤i¤n

1¤j¤n.

A est sym´etrique si et ssi aij aji@i, j

A est antisym´etrique si et ssia_ij a_ji @i, j; en particulier a_ii0 Propri´et´e. On d´efinit : SnpKq tM PMnpKq t.q.^tM Mu

AnpKq tM PMnpKq t.q.^tM Mu

Ce sont deux sous-e.v. suppl´ementaires de MnpKq et

dimSnpKq npn 1q

2 dimAnpKq npn1q 2

4.2 Matrices triangulaires D´efinition. M paijq¹¤i¤n

1¤j¤n PMnpKqest triangulaire sup´erieure si et ssi

@pi, jq P t1, . . . , nu², j i ùñ a_ij 0

M

a11 a12 a1n

0 a22

JJ JJ JJ

0 0 a_nn

On note T^snpKq l’ensemble des matrices triangulaires sup´erieures d’ordren`a coefficients dans K.

On d´efinit de mˆeme les matrices triangulaires inf´erieures.

Propri´et´e. T^snpKq est stable pour l’addition et la multiplication externe (´evident), mais aussi pour la multipli- cation.

4.3 Matrices diagonales D´efinition. M pa_ijq^1¤i¤n

1¤j¤n PMnpKqest diagonalesi et ssi

@pi, jq P t1, . . . , nu², ji ùñ aij 0

M

a₁₁ 0 0

0 a22

DD DD DD DD

0

0 0 ann

diagpa11, . . . , annq

On note DnpKq l’ensemble des matrices carr´ees d’ordrendiagonales.

Propri´et´e. DnpKq est stable pour l’addition et la multiplication externe, mais aussi pour la multiplication. De

plus, si A

a₁₁ 0 0

0 a22

DD DD DD DD

0

0 0 a_nn

,

alors pour tout pP N,A^p

a^p₁₁ 0 0 0 a^p₂₂

AA AA AA A

0

0 0 a^pnn

Matricesetapplicationslin´eaires 32.1SoitαPR.´ EcrirelesmatricesdanslabasecanoniquedeR3 desendomorphismessuivants: (a)l’homoth´etiederapportα; (b)leprojecteurpsurleplanPd’´equationxy2z0dedirection celledeup1,1,1q; (c)lasym´etriesparrapport`aDVectpuqetdedirectionP; (d)l’affinit´efderapportα,debasePetdedirectionD. mat_16.tex 32.2SoitfPLpR3 qdematriceA 204 342 125 danslabase canoniqueBdeR3 . (a)D´efiniranalytiquementf; (b)D´eterminerlenoyauetl’imagedef. mat_13.tex 32.3SoitfPLpR3 ,R2 qdematriceA 112 211 dansles basesBetB1 deR3 etR2 respectivement. (a)D´efiniranalytiquementf; (b)D´eterminerlenoyauetl’imagedef. mat_14.tex 32.4SoitElesous-e.v.deRR engendr´epar: f1:xÞÑ1f2:xÞÑsinxf3:xÞÑsin2x Montrerqueu:EÑR3 fÞÑfpπ 2q,fpπq,fpπ 6qestunisomorphisme. mat_34.tex 32.5SoitfPLpR3 qd’expressionanalytique:

$ ' &1 xx2y3z 1 yx3y2z ' %1 z2x5y5z Donnerlamatricedefrelativement`alabasecanonique. mat_57.tex Structurealg´ebriquedeMnppKq 32.6Soittr:MnpKqÑK Mpaijq1¤i,j¤nÞÑa11ann

n¸ k1akk appel´eetrace. (a)Montrerquetrestuneformelin´eaire; (b)MontrerquepourtoutpA,BqPMnpKq2 ,onatrpABqtrpBAq. mat_18.tex 32.7Soitu:S2pRqÑM2pRq ab bc ÞÑ acb babcMontrerque uestunendomorphismedel’espacedesmatricescarr´eessym´etriques d’ordre2`acoefficientsr´eels.DonnerdesbasesdeKeruetImu.mat_12.tex 32.8SoitA 11 11 etϕ:M2pRqÑM2pRq XÞÑAXXA (a)

´ Ecrirelamatricedeϕdanslabasecanonique. (b)D´eterminerlenoyaudeϕ. (c)D´eterminerl’imagedeϕ. mat_37.tex 3 32.9SoitBpe,e,eqlabasecanoniquedeR.Onnotei123 3 l’identit´eetuPLpRqd´efiniepar: upeqe,upeqe,upeqe132231 2 SoitEVectpu,iq.Pourpa,bqPR,onnoteϕaibuetMpa,bqa,b samatricedansB.Onappelleenfin: 2 AtMpa,bq,pa,bqPRu (a)MontrerqueAestunsous-e.v.deMpRqetendonnerunebase.3 (b)MontrerqueAestunsous-anneaucommutatifdeMpRq.3 (c)•Calculerϕϕ.a,ba,b

•D´eterminerlesinversiblesdeE. •Poutϕa,bnoninversible,d´eterminerunebasedesonimageet desonnoyau. mat_33.tex 32.10Soitfunendomorphismed’unespacevectorielEdedimen- sion3telque: f2 0,f3 0 Montrerquel’ensembledesendomorphismescommutantavecfestle sous-espacedeLpEqengendr´eparId,f,f2 .mat_29.tex 32.11Onconsid`erelamatriceM 0zy z0x yx0 o`ux2 y2 z2 1.OnposePM2 I3.D´emontrerquePestsym´etriqueetque P2 P.mat_10.tex Matricesinversibles 32.12SoitAPMnpKqtellequeA2 AIn0.MontrerqueA estinversibleetcalculerA1 .mat_38.tex 32.13DansMnpKq,unematriceMestditenilpotentes’ilexiste qPN tellequeMq 0.Lepluspetitentierqv´erifiantcelaestappel´e indicedenilpotencedeM. (a)D´emontrerquesiMestnilpotented’indiceq,alorsInMet InMsontinversibles.Calculerleursinverses. (b)D´emontrerquesiMetNsontnilpotentesetqueMNNM, alorsMNetNMsontnilpotentes. (c)SoitApaijqi,jPT^{s n}pKqtellequelescoefficientsdiagonauxde Asontnuls.Interpr´etercettepropri´et´eentermesd’application lin´eaire.MontrerqueAn 0.End´eduireuncalculrapidedeBp , pPN,dansM3pRq,avecB 211 021 002 .Best-elleinversible? Peut-oncalculersimplementB1 ? mat_6.tex

32.14Soitlamatrice:A

01sinθ 10cosθ sinθcosθ0

(a)CalculerA3 . (b)Pourtoutxr´eel,ond´efinit: ϕpxqIxAx2 2A2 Montrerqueϕd´efinitunmorphismedepR,qdanspM3pRq,q. (c)End´eduireque,pourtoutxr´eel,ϕpxqestinversibleetdonner soninverse. mat_22.tex 32.15MontrerquelamatriceA 123 312 231 estinversibleet pr´ecisersoninverse.mat_25.tex 32.16SoitApaijq1¤i,j¤nPMnpRqavec: @pi,jqPt1,...,nu2 ,aij# p1qi1j1 i1 sii¤j 0sii¡j Enconsid´erantφ:PpXqÞÑPp1Xq,endomorphismedeRn1rXs, calculerA2 etd´eterminerA1 .mat_23.tex 32.17SoitApaijq1¤i,j¤nPMnpCqtellequepourtoutiP t1,...,nu, |aii|¡¸ 1¤j¤n ji|aij| MontrerqueAestinversible.mat_26.tex 32.18Soitωe2iπ nPCetApaijq1¤i¤n 1¤j¤netBpbijq1¤i¤n 1¤j¤n deux´el´ementsdeMnpCqtelsqueaijωpi1qpj1q etbijωp1iqpj1q . CalculerA2 ,ABetBA.D´emontrerqueAetBsontinversibleset d´eterminerleursinverses.mat_5.tex

Puissancesdesmatrices 32.19DansM3pRq,soitAlamatricetellequeA 111 011 001 . D´eterminerJPM3pRqtellequeAI3JetcalculerJn ,pourtout nPN.End´eduireAn . S’inspirerdelam´ethodepr´ec´edentepourcalculerBn ,o`uB 110 011 001 mat_1.tex 32.20SoitMPMnpKqtellequeM2 7M12In0.Soit PM3InetQM4In. (a)CalculerPm ,Qm ,PQ,QPpmPNq; (b)CalculerMenfonctiondePetQ,puisMm ; (c)Exemple:ondonneA 12 36 .CalculerAm ,o`umPN. mat_2.tex 32.21Soit,dansM2pRq,A 54 43 CalculerA100 .mat_7.tex 32.22SoitA 211 121 112. (a)MontrerqueA2 αAβI3o`ul’onpr´eciseraαetβ. (b)Aest-elleinversible? (c)MontrerquepourtoutnPN,ilexistepαn,βnqtelqueAn αnAβnI3. (d)Calculerαnetβnenfonctionden. mat_28.tex Utilisationduchangementdebase 32.23SoitfPLpR3 qdematriceA 101 202 101 danslabase canoniqueBdeR3 . (a)D´emontrerqueff0;

(b)Trouverunebasepε1,ε2,ε3qdeR3 tellequefpε1qε2et fpε3q0.

´ Ecrirelamatricedefdanscettenouvellebase. (c)Retrouverlesr´esultatspr´ec´edentsenappliquantlaformulede changementdebase. mat_15.tex 332.24CestmunideBpe,e,eqbasecanonique.Soit123 3 uPLpCqtelque: 2i2i1 AMatpu,Bq2p1iq12i1i 12i1i1

Onposef1e1e2,f2ie2e3etf3e1e2ie3.Onpose enfinB1 pf1,f2,f3q. (a)MontrerqueB1 estunebasedeC3 .D´eterminerlamatricede passagePdeB`aB1 ,ainsiqueP1 . (b)D´eterminerA1 Matpu,B1 q. (c)Montrerqueuestinversible;d´etermineru1 etA1 . (d)CalculerA12 .Qu’enconclurepouru2 etA2 ? (e)D´eterminerlescomposantesdansBdeu2 pf1f2f3q;celles dansB1 deu1 pe1e2e3q. mat_21.tex 32.25SoitA 7760 10078 etfl’endomorphismedeR2 canoni- quementassoci´e`aA. (a)D´eterminerunebasedeR2danslaquellelamatricedefest D 20 03 (b)D´eterminerl’ensembledessuitespunqnPNetpvnqnPNd´efiniespar ladonn´eedepu0,v0qet: @nPN# un177un60vn vn1100un78vn mat_24.tex