RESISTANCE DES MATERIAUX (1a)
Référence:
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
John T. DeWolf
Notes de cours:
J. Walt Oler
Texas Tech University
Introduction –
Notion de contraintes
Rappel de Statique
• Une structure est conçue pour supporter une charge de 30 kN
• Réaliser une analyse statique pour déterminer la force interne dans chaque éléments de la structure ainsi que les forces de réaction aux supports.
• Cette structure est composée d’un bras et d’une barre joints par une articulation (moment de liaison nul) avec des supports articulés.
Diagramme global des corps libres
• La structure est séparée des supports et les forces de chargement et de réaction sont représentées
• Ay et Cy ne peuvent pas être déterminés à partir de ces équations
( ) ( )( )
kN 30
0 kN 30 0
kN 40 0
kN 40
m 8 . 0 kN 30 m
6 . 0 0
= +
=
− +
=
=
−
=
−
=
+
=
=
=
−
=
=
∑
∑
∑
y y
y y
y
x x
x x
x x
x C
C A
C A
F
A C
C A F
A
A M
• Conditions l’équilibre statique:
Diagrammes locaux des corps libres
• En complément à la structure complète, chaque composant doit satisfaire les
conditions de l’équilibre statique.
• Résultats :
↑
=
←
=
→
= 40kN Cx 40kN Cy 30kN A
Les forces de réaction sont dirigées le long du bras et de la barre
( )
0
m 8 . 0 0
=
−
=
∑ =
y
y B
A
A M
• Considérons le diagramme pour le bras :
kN
= 30 Cy
valeur remplacée dans l’équation d’équilibre de la structure
• La contrainte normale à un point particulier n’est pas forcément égale à la contrainte moyenne mais la résultante de la distribution de contrainte doit satisfaire
moy
A
P =σ A=
∫
dF =∫
σ dAChargement axial : Contrainte Normale
• La résultante des forces internes pour un
chargement axial est normal à la section droite de l’élément.
lim0 moy A
F P
A A
σ σ
∆ →
= ∆ =
∆
• L’intensité de la force sur cette section est définie comme étant la contrainte normale.
• La distribution détaillée de la contrainte est statiquement indéterminée, c-a-d, elle ne peut être obtenue à partir de la seule étude statique.
• Si un élément est chargé de façon excentrée, alors la résultante de la distribution de
contrainte dans une section mène à la création d’une force axiale et d’un moment.
Chargements Centrés & Excentrés
• La distribution de contraintes en chargement excentré ne peut pas être uniforme ou
symétrique.
• Une distribution uniforme de la contrainte dans une section implique que la ligne
d’action de la résultante des forces internes passe par le centre de la section.
• Une distribution uniforme de la contrainte est seulement possible si la concentration de
chargement sur les extrémités d’un élément soumis à deux forces est appliquée sur le centre de la section. Il s’agit alors d’un chargement centré.
Contrainte de cisaillement
• Les forces P et P’ sont appliquées transversalement sur l’élément AB.
moy
P τ = A
• La contrainte de cisaillement moyenne correspondante est,
• La résultante de la distribution des forces internes de cisaillement est définie comme étant le
cisaillement de la section et est égale au chargement P.
• Les forces internes correspondantes agissent dans le plan de la section C et elles sont appelées les contraintes de cisaillement (ou tangentielles).
• La distribution de la contrainte de cisaillement varie de zéro à la surface de l’élément à une valeur maximum qui peut être supérieure à la valeur moyenne.
• La distribution de la contrainte de cisaillement ne peut pas être considérée comme uniforme.
Exemples de contrainte de cisaillement
moy
P F A A
τ = =
Cisaillement simple
moy 2
P F A A
τ = =
Cisaillement double
Contraintes dans un corps soumis à deux forces
• On montrera que des forces axiales ou cisaillantes peuvent produire des
contraintes aussi bien normales que cisaillantes par rapport à un plan autre que celui perpendiculaire à la ligne moyenne.
• Les forces axiales dans un corps soumis à deux forces induisent des contraintes uniquement axiales dans un plan perpendiculaire à la ligne moyenne.
• Les forces transversales exercées sur les boulons et les écrous
induisent uniquement des
contraintes de cisaillement dans un plan perpendiculaire à l’axe du boulon et de l’écrou.
• Soit une section à travers la poutre qui forme un angle θ par rapport au plan normal.
θ θ
θ τ θ
θ θ
σ θ
θ θ
cos sin
cos sin
cos cos
cos
0 0
2 0 0
A P A
P A
V
A P A
P A
F
=
=
=
=
=
=
• Les contraintes moyennes normales et tangentielles sur le plan oblique sont
Contrainte dans un plan oblique
θ
θ sin
cos V P
P
F = =
• Décomposer P en composantes normales et tangentielles par rapport à la section oblique,
• A partir des conditions d’équilibre, la
somme des forces présentes sur le plan doit être équivalente à la force P.
• La contrainte normale maximum apparaît quand le plan de référence est perpendiculaire à l’axe de la poutre,
0
0
m = τ′ =
σ A
P
• La contrainte cisaillante maximum apparaît pour un plan à + 45o par rapport à l’axe,
σ
τ = = = ′
0 0 sin45cos45 2
A P A
P
m
Contraintes maximum
θ θ
τ θ
σ cos sin cos
0 2
0 A
P A
P =
=
• Les contraintes normales et cisaillantes sur un plan oblique sont,
(a) Chargement axial
(b) Contrainte pour θ= 0
(c) Contrainte pour θ= 45°
(d) Contrainte pour θ= -45°
Contrainte sous chargement général
• Un corps soumis à une combinaison générale de chargement est coupé en deux parties passant par Q
• Pour l’équilibre, une force interne et une distribution contrainte interne égales et opposées doivent s’exercer sur l’autre partie du corps.
A V A
V A F
zx A
xz yx
A xy
x A
x
∆
= ∆
∆
= ∆
∆
= ∆
→
∆
→
∆
→
∆
lim lim
lim
0 0
0
τ τ
σ
• La distribution des composantes de la contrainte interne peut être
définie telle que,
• Les composantes de la contrainte sont définies pour les plans coupés parallèlement aux axes x, y et z. Pour l’équilibre, des contraintes égales et opposées sont exercées sur les plans cachés.
• Ainsi seulement 6 composantes de contrainte sont nécessaires pour définir complètement l’état complet de contrainte
• La combinaison de forces générées par les contraintes doit satisfaire les conditions d’équilibre :
0 0
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
z y
x
z y
x
M M
M
F F
F
( ) ( )
yx xy
yx xy
z A a A a
M τ τ
τ τ
=
∆
−
∆
=
∑ = 0
zy yz zy
yz τ tτ τ
τ = e =
similaire, çon
fa de
• En considérant les moments par rapport à l’axe z :
