Ecole Polytechnique Universitaire de Lille´
TD3 Lois de Comportement (Master M1) - CORRIG´E
Enseignants : G. MOMPEAN, E. CALZAVARINI et R. MARTINS Polytech’Lille - D´epartement de M´ecanique - 2014/2015
I) Pour un ´ecoulement de cisaillement simple le champ de vitesse est du type~u= (u(y),0,0) et les ´el´ements non nuls du tenseur taux de d´eformation sont xy =yx = 12dudy. Donc, pour la loi de comportement consid´er´ee, le tenseur de contraintes s’´ecrit :
σ =
−p k
du dy
m−1 du dy 0 k
du dy
m−1 du
dy −p 0
0 0 −p
Si les forces sont en ´equilibre : ∇ ·σ ≡ −∇p+∇ ·σ0 = 0
∂p
∂x =k d dy
du dy
m−1du dy
!
∂p
∂y = 0
∂p
∂z = 0
On conclut que la pression ne d´epend que de x. Ainsi :
∂p
∂x = dp
dx =k d dy
du dy
m−1 du dy
!
=cste
car un’est fonction que de yetpn’est fonction que dex. De plus, la constante est nulle car p est uniforme dans cette configuration d’´ecoulement. Par analogie avec le profil de vitesse d’un cas newtonien, on a que :
du dy
= du dy
car du/dy >0. On peut donc int´egrer la relation trouv´ee pour obtenir : du
dy m
=cste
et on conclut que le profil de vitesse est lin´eaire (u ∝y) quelque soit m. Si on suppose une vitesse U impos´ee `a y = H et si on consid`ere la vitesse nulle `a la paroi (y = 0), on peut trouver le profil de vitesse par int´egration :
u(y) = U
H
y
II) a. Les ´equations d’´evolution sont:
ρ ∂vr
∂t +vr
∂vr
∂r + vθ r
∂vr
∂θ +vz
∂vr
∂z − vθ2 r
= ∂σrr
∂r +1 r
∂σrθ
∂θ +∂σrz
∂z +σrr−σθθ r +Fr, ρ
∂vθ
∂t +vr∂vθ
∂r +vθ r
∂vθ
∂θ +vz∂vθ
∂z +vrvθ r
= ∂σrθ
∂r + 1 r
∂σθθ
∂θ + ∂σθz
∂z + 2σrθ r +Fθ, ρ
∂vz
∂t +vr∂vz
∂r + vθ r
∂vz
∂θ +vz∂vz
∂z
= ∂σrz
∂r +1 r
∂σθz
∂θ + ∂σzz
∂z + σrz r +Fz.
(1)
Dans le cas consid´er´e, les composantes non nulles du tenseur de contraintes sont les com- posantes diagonales (σrr, σθθ, σzz) associ´ees ´a la pression, plus σrz etσzr qui sont associ´ees au cisaillement.
A l’´` equilibre, les trois ´equations de la dynamique deviennent :
∂σrr
∂r =−∂p
∂r = 0
∂σθθ
∂θ =−∂p
∂θ = 0
∂σrz
∂r +∂σzz
∂z +σrz
r = 0 On re-´ecrit la derni`ere ´equation :
−∂σzz
∂z = 1 r
∂
∂r(r σrz)
et, en utilisant la loi de comportement donn´ee, on a queσrz ≡σ0rz = 2kγm−1rz =k dwdr
m−1 dw dr. La pression n’´etant qu’une fonction de z (∂p/∂r = ∂p/∂θ = 0), et σrz n’´etant que fonction de r, on a successivement :
∂σzz
∂z = dp dz = 1
r d
dr(r σrz) rdp
dz = d
dr(r σrz) r σrz = dp
dz r2
2 +c1 σrz = dp
dz r 2 +c1
r
On conclut que c1 = 0 pour que σrz reste fini en r = 0. En sachant que dp
dz = −∆p L , on obtient :
σrz =−∆p 2Lr=k
dvz dr
m−1 dvz dr
En supposant dvz
dr <0 (par analogie avec le cas newtonien) :
dvz dr
=−dvz dr ⇒
dvz dr
m−1 dvz dr =−
−dvz dr
m
Donc, on obtient :
−k
−dvz dr
m
=−∆p 2Lr
−dvz dr
m
= ∆p 2kLr dvz
dr =− ∆p
2kL 1/m
r1/m
vz =− m m+ 1
∆p 2kL
1/m
r(1+m)/m+c2 apr`es int´egration sur r. Finalement, on impose c2 = m
m+ 1 ∆p
2kL 1/m
R(1+m)/m car vz = 0 en r=R (paroi). Ainsi, on a :
vz = m m+ 1
∆p 2kL
1/m
R(1+m)/m
1−r R
(1+m)/m
Pour m= 1 :
vz = 1 2
∆p 2kL
R2
1−r R
2
c’est-`a-dire un profil parabolique, comme pour un fluide newtonien en r´egime laminaire.
b. D´ebit volumique : Q =
Z R 0
w(r)2π rdr
= 2π m
m+ 1
∆p 2kL
1/mZ R 0
R(1+m)/mr−r(1+2m)/m dr
= 2π m
m+ 1
∆p 2kL
1/m 1
2R(1+3m)/m− R(1+3m)/m (1 + 3m)/m
dr
=π m
3m+ 1 ∆p
2kL 1/m
R(1+3m)/m
c. En introduisant la vitesse moyenne, ¯v = Q πR2 : w(r) = 3m+ 1
m+ 1 v¯
1−r R
(1+m)/m
Taux de cisaillement `a la paroi :
˙
γp = ∂w(r)
∂r r=R
=−3m+ 1 m
¯ v
R =−3m+ 1 m
Q πR3
III)a. Pour un fluide newtonien en ´ecoulement laminaire stationnaire, les ´equations d’´evolution sont les ´equations de Stokes. Pour un ´ecoulement de Poiseuille plan dans la direction x (~u= (u,0,0), p=p(x)) ces derni`eres se r´eduisent `a :
dp
dx =µd2u
dy2 =cste avec les conditions aux limites suivantes
p(0) =δp p(L) = 0
u(0) =u(h) = 0 D’o`u on a :
p=δp 1− x
L
et u= δp
2µLy(h−y) et finalement
Q=W Z h
0
u(y)dy= δp 12µLh3W
b. Pour un fluide rh´eo-fluidifiant caract´eris´e par la loi de comportement `a loi de puissance consid´er´ee ici, les ´equations d’´equilibre dynamique −∇p+∇ ·σ0 = 0 se r´eduisent `a :
k d dy
du dy
m−1du dy
!
= dp
dx =−δp L vue que σxy0 =σ0yx=k
du dy
m−1 du
dy (associ´e au cisaillement) est le seul ´el´ement non nul de σ0. On obtient donc une r´epartition de pression identique `a celle du cas newtonien.
Pour trouver le champ de vitesse, on remarque que, par raison de sym´etrie,du/dyest positif pour 0< y < h/2 et n´egatif pourh/2< y < h. Pour dudy >0, on obtient :
d dy
du dy
m
=−δp kL du
dy m
=−δp kLy+c
La constante cest d´etermin´ee par la condition au limite au centre du canal : du/dy = 0 en y=h/2. Donc :
c= δp kL
h 2 Par cons´equent :
du dy =
δp kL
1/m h 2 −y
1/m
.
Il est maintenant possible de calculer la vitesse par int´egration sury. En utilisant le change- ment de variable s= h2 −y on obtient
u1 = δp
kL 1/m
m m+ 1
h 2 −y
m+1m +c,
avec c constante. Cette derni`ere peut ˆetre d´etermin´ee sachant que u = 0 en y = 0, ce qui donne :
c= m m+ 1
h 2
m+1m δp kL
1/m
Finalement, le profil de vitesse cherch´e est u1(y) =
δp kL
1/m
m m+ 1
"
h 2
m+1m
− h
2 −y
m+1m #
Pourh/2< y < havecdu/dy <0, on utilise la mˆeme d´emarche et le changement de variable q =y−h/2 pour trouver :
u2(y) = δp
kL 1/m
m m+ 1
"
h 2
m+1m
−
y− h 2
m+1m #
Le calcul du d´ebit volumique se fait en int´egrant sur la surface transversale : Q=W
"
Z h/2 0
u1(y)dy+ Z h
h/2
u2(y)dy
#
= 2W Z h/2
0
u1(y)dy = 2W Z h
h/2
u2(y)dy.
En utilisant le(s) mˆeme(s) changement(s) de variable s =h/2−y (et/ouq = y−h/2) que pr´ec´edemment, on obtient :
Q= 2W δp
kL
1/m m 2m+ 1
h 2
2m+1m .