• Aucun résultat trouvé

p k dy k p 0 dy 0 0 p dy dy

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "p k dy k p 0 dy 0 0 p dy dy"

Copied!
5
0
0

Texte intégral

(1)

Ecole Polytechnique Universitaire de Lille´

TD3 Lois de Comportement (Master M1) - CORRIG´E

Enseignants : G. MOMPEAN, E. CALZAVARINI et R. MARTINS Polytech’Lille - D´epartement de M´ecanique - 2014/2015

I) Pour un ´ecoulement de cisaillement simple le champ de vitesse est du type~u= (u(y),0,0) et les ´el´ements non nuls du tenseur taux de d´eformation sont xy =yx = 12dudy. Donc, pour la loi de comportement consid´er´ee, le tenseur de contraintes s’´ecrit :

σ =

−p k

du dy

m−1 du dy 0 k

du dy

m−1 du

dy −p 0

0 0 −p

Si les forces sont en ´equilibre : ∇ ·σ ≡ −∇p+∇ ·σ0 = 0

∂p

∂x =k d dy

du dy

m−1du dy

!

∂p

∂y = 0

∂p

∂z = 0

On conclut que la pression ne d´epend que de x. Ainsi :

∂p

∂x = dp

dx =k d dy

du dy

m−1 du dy

!

=cste

car un’est fonction que de yetpn’est fonction que dex. De plus, la constante est nulle car p est uniforme dans cette configuration d’´ecoulement. Par analogie avec le profil de vitesse d’un cas newtonien, on a que :

du dy

= du dy

car du/dy >0. On peut donc int´egrer la relation trouv´ee pour obtenir : du

dy m

=cste

et on conclut que le profil de vitesse est lin´eaire (u ∝y) quelque soit m. Si on suppose une vitesse U impos´ee `a y = H et si on consid`ere la vitesse nulle `a la paroi (y = 0), on peut trouver le profil de vitesse par int´egration :

u(y) = U

H

y

(2)

II) a. Les ´equations d’´evolution sont:

ρ ∂vr

∂t +vr

∂vr

∂r + vθ r

∂vr

∂θ +vz

∂vr

∂z − vθ2 r

= ∂σrr

∂r +1 r

∂σ

∂θ +∂σrz

∂z +σrr−σθθ r +Fr, ρ

∂vθ

∂t +vr∂vθ

∂r +vθ r

∂vθ

∂θ +vz∂vθ

∂z +vrvθ r

= ∂σ

∂r + 1 r

∂σθθ

∂θ + ∂σθz

∂z + 2σ r +Fθ, ρ

∂vz

∂t +vr∂vz

∂r + vθ r

∂vz

∂θ +vz∂vz

∂z

= ∂σrz

∂r +1 r

∂σθz

∂θ + ∂σzz

∂z + σrz r +Fz.

(1)

Dans le cas consid´er´e, les composantes non nulles du tenseur de contraintes sont les com- posantes diagonales (σrr, σθθ, σzz) associ´ees ´a la pression, plus σrz etσzr qui sont associ´ees au cisaillement.

A l’´` equilibre, les trois ´equations de la dynamique deviennent :

∂σrr

∂r =−∂p

∂r = 0

∂σθθ

∂θ =−∂p

∂θ = 0

∂σrz

∂r +∂σzz

∂z +σrz

r = 0 On re-´ecrit la derni`ere ´equation :

−∂σzz

∂z = 1 r

∂r(r σrz)

et, en utilisant la loi de comportement donn´ee, on a queσrz ≡σ0rz = 2kγm−1rz =k dwdr

m−1 dw dr. La pression n’´etant qu’une fonction de z (∂p/∂r = ∂p/∂θ = 0), et σrz n’´etant que fonction de r, on a successivement :

∂σzz

∂z = dp dz = 1

r d

dr(r σrz) rdp

dz = d

dr(r σrz) r σrz = dp

dz r2

2 +c1 σrz = dp

dz r 2 +c1

r

On conclut que c1 = 0 pour que σrz reste fini en r = 0. En sachant que dp

dz = −∆p L , on obtient :

σrz =−∆p 2Lr=k

dvz dr

m−1 dvz dr

(3)

En supposant dvz

dr <0 (par analogie avec le cas newtonien) :

dvz dr

=−dvz dr ⇒

dvz dr

m−1 dvz dr =−

−dvz dr

m

Donc, on obtient :

−k

−dvz dr

m

=−∆p 2Lr

−dvz dr

m

= ∆p 2kLr dvz

dr =− ∆p

2kL 1/m

r1/m

vz =− m m+ 1

∆p 2kL

1/m

r(1+m)/m+c2 apr`es int´egration sur r. Finalement, on impose c2 = m

m+ 1 ∆p

2kL 1/m

R(1+m)/m car vz = 0 en r=R (paroi). Ainsi, on a :

vz = m m+ 1

∆p 2kL

1/m

R(1+m)/m

1−r R

(1+m)/m

Pour m= 1 :

vz = 1 2

∆p 2kL

R2

1−r R

2

c’est-`a-dire un profil parabolique, comme pour un fluide newtonien en r´egime laminaire.

b. D´ebit volumique : Q =

Z R 0

w(r)2π rdr

= 2π m

m+ 1

∆p 2kL

1/mZ R 0

R(1+m)/mr−r(1+2m)/m dr

= 2π m

m+ 1

∆p 2kL

1/m 1

2R(1+3m)/m− R(1+3m)/m (1 + 3m)/m

dr

=π m

3m+ 1 ∆p

2kL 1/m

R(1+3m)/m

c. En introduisant la vitesse moyenne, ¯v = Q πR2 : w(r) = 3m+ 1

m+ 1 v¯

1−r R

(1+m)/m

(4)

Taux de cisaillement `a la paroi :

˙

γp = ∂w(r)

∂r r=R

=−3m+ 1 m

¯ v

R =−3m+ 1 m

Q πR3

III)a. Pour un fluide newtonien en ´ecoulement laminaire stationnaire, les ´equations d’´evolution sont les ´equations de Stokes. Pour un ´ecoulement de Poiseuille plan dans la direction x (~u= (u,0,0), p=p(x)) ces derni`eres se r´eduisent `a :

dp

dx =µd2u

dy2 =cste avec les conditions aux limites suivantes

p(0) =δp p(L) = 0

u(0) =u(h) = 0 D’o`u on a :

p=δp 1− x

L

et u= δp

2µLy(h−y) et finalement

Q=W Z h

0

u(y)dy= δp 12µLh3W

b. Pour un fluide rh´eo-fluidifiant caract´eris´e par la loi de comportement `a loi de puissance consid´er´ee ici, les ´equations d’´equilibre dynamique −∇p+∇ ·σ0 = 0 se r´eduisent `a :

k d dy

du dy

m−1du dy

!

= dp

dx =−δp L vue que σxy00yx=k

du dy

m−1 du

dy (associ´e au cisaillement) est le seul ´el´ement non nul de σ0. On obtient donc une r´epartition de pression identique `a celle du cas newtonien.

Pour trouver le champ de vitesse, on remarque que, par raison de sym´etrie,du/dyest positif pour 0< y < h/2 et n´egatif pourh/2< y < h. Pour dudy >0, on obtient :

d dy

du dy

m

=−δp kL du

dy m

=−δp kLy+c

(5)

La constante cest d´etermin´ee par la condition au limite au centre du canal : du/dy = 0 en y=h/2. Donc :

c= δp kL

h 2 Par cons´equent :

du dy =

δp kL

1/m h 2 −y

1/m

.

Il est maintenant possible de calculer la vitesse par int´egration sury. En utilisant le change- ment de variable s= h2 −y on obtient

u1 = δp

kL 1/m

m m+ 1

h 2 −y

m+1m +c,

avec c constante. Cette derni`ere peut ˆetre d´etermin´ee sachant que u = 0 en y = 0, ce qui donne :

c= m m+ 1

h 2

m+1m δp kL

1/m

Finalement, le profil de vitesse cherch´e est u1(y) =

δp kL

1/m

m m+ 1

"

h 2

m+1m

− h

2 −y

m+1m #

Pourh/2< y < havecdu/dy <0, on utilise la mˆeme d´emarche et le changement de variable q =y−h/2 pour trouver :

u2(y) = δp

kL 1/m

m m+ 1

"

h 2

m+1m

y− h 2

m+1m #

Le calcul du d´ebit volumique se fait en int´egrant sur la surface transversale : Q=W

"

Z h/2 0

u1(y)dy+ Z h

h/2

u2(y)dy

#

= 2W Z h/2

0

u1(y)dy = 2W Z h

h/2

u2(y)dy.

En utilisant le(s) mˆeme(s) changement(s) de variable s =h/2−y (et/ouq = y−h/2) que pr´ec´edemment, on obtient :

Q= 2W δp

kL

1/m m 2m+ 1

h 2

2m+1m .

Références

Documents relatifs

3) Tracer dans la même fenêtre (help subplot) les réponses indicielles de la chaine directe, de la chaine de retour, de la boucle ouverte et de la

Après une première partie consacrée à l’étude de la projection sur les convexes fermés de w” on établira (dans IF?‘) le théorème du point faxe de

Le mouvement n’est donc pas absolu : deux observateurs différents, placés dans deux référentiels en mouvement relatif, décriront de façon différente le

The study of oscillatory singular integral operators on Hardy spaces began with the investigation on operators with bilinear phase functions by D... We state our

Donner une condition nécessaire et suffisante pour que soit une différentielle totale exacte.. 2/ Déterminer alors la

Il faut donc avec k=0 que n

◊ remarque : ces notations mathématiques ont été introduites car elles ont l'avantage de simplifier certains raisonnements abstraits, mais elles ont l'inconvénient

27bR , la résolution de lʼéquation conduit à plusieurs valeurs possibles du volume pour une même pression ; on en déduit lʼexistence de plusieurs états