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Submitted on 24 Aug 2004
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Analyse multirésolution non emboîtée : applications à la visualisation scientifique
Alexandre Gerussi
To cite this version:
Alexandre Gerussi. Analyse multirésolution non emboîtée : applications à la visualisation scientifique.
Modélisation et simulation. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 2000. Français. �tel-00006745�
SCIENCES & G ´EOGRAPHIE
TH ` ESE
pour obtenir le grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSIT ´E JOSEPH FOURIER
Discipline : Math´ematiques Appliqu ´ees Pr´esent´ee et soutenue publiquement
par
Alexandre Gerussi
le 15 d´ecembre 2000
TITRE DE LA TH `ESE
Analyse Multir ´esolution Non Emboˆıt ´ee Applications `a la Visualisation Scientifique
Directeur de th`ese Georges-Pierre Bonneau
COMPOSITION DU JURY :
Mme. Val ´erie Perrier Professeur Pr´esidente
M. Kadi Bouatouch Professeur Rapporteur
M. Alain Le M ´ehaut´e Professeur Rapporteur
M. Bernard Lacolle Professeur Examinateur
M. Georges-Pierre Bonneau Charg´e de Recherches Examinateur
Remerciements
Je voudrais remercier Madame Val´erie Perrier pour l’honneur qu’elle m’a fait en pr´esidant le jury.
Que soient ´evidemment remerci´es ´egalement Messieurs Kadi Bouatouch et Alain Le M´ehaut´e pour avoir accept´e d’ˆetre mes rapporteurs de th`ese, contribuant par leur expertise `a sa finalisation. Merci tout autant `a Bernard Lacolle d’avoir compl ´et´e le jury.
Je remercie Georges-Pierre Bonneau d’avoir propos´e puis dirig´e cette th`ese. J’ai beaucoup appris `a son contact ; qu’il trouve dans ces quelques lignes le t ´emoignage de ma reconnaissance.
Merci `a tous les th´esards qui sont pass´es par le bureau 25 en maintenant une at- mosph`ere d´etendue mais travailleuse, comme je les appr´ecie. Je pense aux colocataires officiels (Val´erie, Riadh, Sylvia) mais plus g ´en´eralement `a tous les membres actifs de CLEBAR ou du SIT (Franc¸ois, Guillaume, Sophie, Vo¨ıchita), sans oublier les th ´esards
hhl´egendairesii(Jean-Christophe, Khaled, Mohammed).
Enfin, bien s ˆur, une pens´ee sp´eciale revient `a ma petite C´eline, qui s’est si bien occup´ee de moi durant ces ann´ees de labeur.
Table des Mati `eres
Notations ......................................................... 1
Introduction ....................................................... 3
Chapitre I. De la Premi `ere `a la Deuxi `eme G ´en ´eration .................... 7
I.1. Premi`ere g´en´eration ......................................... 8
I.1.1. Analyse multir´esolution .................................. 8
I.1.2. Cascade ............................................... 9
I.1.3. Projection, dualit´e ....................................... 11
I.1.4. Reconstruction, ondelettes................................ 13
I.2. Notion d’espaces de subdivision R´ealisation du processus num´erique ........................... 16
I.3. Deuxi`eme g´en´eration ........................................ 19
I.3.1. La construction de Lounsbery ............................. 20
I.3.2. La construction de Sweldens.............................. 22
I.3.3. De la mise en œuvre des ondelettes de seconde g´en´eration .... 24
Chapitre II. Multir ´esolution Non Emboˆıt ´ee : Aspects Alg ´ebriques........... 27
II.1. MNE : Le point de vue non emboˆıt´e ........................... 28
II.1.1. Approximation et reconstruction.......................... 28
II.1.2. Forme d´evelopp´ee de la reconstruction .................... 30
II.1.3. Bases, matrices d’analyse et de synth`ese................... 32
II.2. MNE : Le point de vue subdivision ............................ 34
II.2.1. Espaces de subdivision et op´erateurs...................... 34
II.2.2. Espaces d’´echelle, espaces de d´etail ....................... 34
II.2.3. Bases ................................................ 37
II.3. Comparaison entre les deux points de vue ..................... 38
Chapitre III. Multir´esolution Non Emboˆıt ´ee : Aspects Analytiques.......... 39
III.1. Stabilit´e .................................................. 40
III.1.1. Stabilit´e du processus d’analyse ......................... 42
III.1.2. Stabilit´e du processus de synth`ese....................... 48
III.2. Mesure d’erreur............................................ 51
III.2.1. Cadre g´en´eral......................................... 51
III.2.2. Le cas des similitudes.................................. 54
III.3. Conditionnement........................................... 56
III.3.1. Conditionnement d’une ´etape d’analyse................... 57
III.3.2. Conditionnement d’une ´etape de synth`ese ................ 58
III.4. DVS et d´ecomposition multir´esolution ......................... 60
III.5. Techniques de construction des op´erateurs .................... 65
III.5.1. Choix des op´erateurs de synth`ese connaissant les op´erateurs de d´ecimation ........................................ 65
III.5.2. Choix des op´erateurs de d´ecimation connaissant les op´erateurs de synth`ese .......................................... 67
Chapitre IV. Triangulations et D ´ecimation............................... 73
IV.1. Triangulations ............................................. 73
IV.1.1. D´efinitions de base .................................... 73
IV.1.2. Relations d’Euler...................................... 75
IV.2. Techniques de d´ecimation de maillages ........................ 76
IV.2.1. La suppression de sommets............................. 76
IV.2.2. La suppression d’arˆetes et la suppression de triangles ...... 79
IV.3. D´ecimation r´eguli`ere........................................ 80
Chapitre V. Multir ´esolution pour Fonctions D ´efinies sur des Maillages Irr ´eguliers .............................................. 83
V.1. Approximation lin´eaire ...................................... 84
V.1.1. Ondelettes de Haar dans le cas plan ...................... 84
V.1.2. S´equence d’approximation dans le cas irr´egulier ............ 86
V.1.2.1. Construction des maillages : espaces d’approximation ... 86
V.1.2.2. Op´erateurs d’approximation ......................... 88
V.1.2.3. R´eduction de la taille des matrices dans le cas lin´eaire ... 91
V.1.3. Exemples ............................................. 94
V.1.4. Espaces auxiliaires dans le cas irr´egulier .................. 95
V.1.4.1. Surjectivit´e des op´erateurs d’approximation ............ 95
V.1.4.2. Choix des espaces auxiliaires ........................ 97
V.1.5. Calcul des matrices d’analyse et de synth`ese ............... 98
V.1.5.1. La m´ethode par ´elimination .......................... 98
V.1.5.2. La m´ethode de la DVS .............................. 100
V.1.5.3. Comparaison exp´erimentale du conditionnement des deux m´ethodes ......................................... 102
