Calcul de primitives. Table des matières. Cours de É. Bouchet PCSI. 16 novembre 2021

Calcul de primitives

Cours de É. Bouchet PCSI 16 novembre 2021

Table des matières

1 Primitive d'une fonction sur un intervalle 2

1.1 Dénition et premières propriétés . . . 2

1.2 Primitives usuelles à connaître . . . 2

2 Intégrale d'une fonction 3 2.1 Généralités sur les intégrales . . . 3

2.2 Quelques calculs . . . 4

3 Méthodes de calcul 5 3.1 Intégration par parties . . . 5

3.2 Changement de variable . . . 6

3.3 Autres techniques classiques . . . 7

3.3.1 Linéariser . . . 7

3.3.2 Utiliser des exponentielles complexes . . . 7

3.3.3 Primitivert→ _at2+bt+c¹ . . . 8

1 Primitive d'une fonction sur un intervalle

1.1 Dénition et premières propriétés

Soit f une fonction dénie sur un intervalle I de R, à valeurs dans R ou C. Une fonction F est une primitive def sur l'intervalleI lorsque F est dérivable sur I et que∀x∈I,F⁰(x) =f(x).

Dénition (Primitive).

Remarque. Il n'y a pas unicité, on doit donc dire une primitive et pas la primitive .

Soit f une fonction dénie sur un intervalle I de R, à valeurs dans R ou C. Soit F une primitive de f sur l'intervalleI etG une fonction dénie sur I. Alors Gest une primitive de f surI si et seulement siG−F est une fonction constante surI.

Proposition (Ensemble des primitives d'une fonction sur un intervalle).

Démonstration. On a :

Si G est une primitive de f sur I, alors G est dérivable sur I et G−F est dérivable sur I par somme de fonctions dérivables. Sa dérivée estf−f = 0. Et donc, par propriété de monotonie des fonctions dérivables sur un intervalle, G−F est une fonction constante surI.

Réciproquement, on suppose qu'il existe a ∈ R ou C tel que ∀x ∈ I, (G−F)(x) = a. Alors ∀x ∈ I, G(x) =F(x) +a.Gest donc dérivable sur I par somme de fonctions dérivables, etG⁰ =F⁰+ 0 =f. Donc G est une primitive def sur I.

Soitα ∈C,f etg deux fonctions dénies sur un intervalleI de R, à valeurs dans R ouC. Soit F etG des primitives de f etg sur cet intervalleI. Alors :

αF +Gest une primitive de αf+g surI. G×F est une primitive def G+gF surI.

_F¹ est une primitive de−_F^f₂ surI (si ∀x∈I,F(x)6= 0).

Proposition (Opérations).

Remarque. Pour chaque résultat, il sut de dériver la primitive annoncée pour vérier qu'elle convient.

Remarque. Une primitive d'un produit N'EST PAS le produit de primitives.

1.2 Primitives usuelles à connaître

Ces formules sont valides pour tout intervalle de dérivabilité de la fonctionF. f(x) = F(x) =

e^x e^x

k(constante) kx x^α,α6=−1 ^x_α+1^α+1

1

x ln|x|

√1

x 2√

x

f(x) = F(x) = ln(x) xln(x)−x ch(x) sh(x) sh(x) ch(x) sin(x) −cos(x) cos(x) sin(x)

f(x) = F(x) = 1

cos(x)² tan(x) 1 + tan(x)² tan(x)

1

1 +x² arctan(x)

√ 1

1−x² arcsin(x)

Siu est une fonction dérivable sur un intervalleI, on obtient par composition les formules suivantes, à connaître également :

Fonction Primitive u⁰e^u e^u u⁰u^α (α6=−1) ^u_α+1^α+1

u⁰

u ln|u|

u⁰

√u 2√

u

Fonction Primitive u⁰cosu sinu u⁰sinu −cosu

u⁰

1+u² arctanu

u⁰

√1−u² arcsinu

Remarque. SoitF une primitive de f. Sia∈C^∗ etb∈C, une primitive dex→f(ax+b) estx→ ¹_aF(ax+b). Exemple 1. Une primitive dex→3 cos(5x+ 2)estx→ ³₅sin(5x+ 2).

Exemple 2. Siλ∈C^∗, une primitive dex→e^λx estx→ ¹_λe^λx. Cette primitive très classique nous resservira dans la suite du chapitre.

Exemple 3. Déterminer une primitive dex→tan(x) sur]−^π₂,^π₂[.

∀x∈]−^π₂,^π₂[,tan(x) = ^sin(x)_cos(x) =−^cos_cos(x)^0(x). Une primitive est doncx→ −ln(|cos(x)|). Exemple 4. Soita∈R^∗₊. Déterminer une primitive de x→ _x2+a¹ ₂ surR.

On remarque que :

∀x∈R, 1

x²+a² = 1 a²

1

x a

2

+ 1= 1 a

1 a x a

2

+ 1. Une primitive est doncx→ ¹_aarctan ^x_a

.

2 Intégrale d'une fonction

2.1 Généralités sur les intégrales

Soit f une fonction continue sur un intervalle I de R et à valeurs dans R ou dans C. Soit a ∈ I, on dénit la fonctionH par : ∀x∈I,

H(x) = Z x

a

f(t)dt.

AlorsH est la primitive de f sur I qui s'annule en a. Proposition (Théorème fondamental de l'analyse).

Démonstration. Admis.

Remarque. On utilise pour ce résultat la dénition d'intégrale vue en Terminale, comme aire algébrique sous la courbe. Une dénition plus complète sera proposée au second semestre.

Remarque. Une fonction à valeurs complexes est continue lorsque ses parties réelle et imaginaire sont des fonctions continues. Sif est à valeurs complexes, son intégrale est dénie par :

Z x a

f(t)dt= Z x

a

Re(f(t))dt+i Z x

a

Im(f(t))dt.

Remarque. Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Ses primitives sont donc les fonctions du type x→Rx

a f(t)dt+C où a∈I etC est une constante.

Soit f une fonction continue sur un intervalleI de R, à valeurs dansR ou C. Soit aetb deux réels de I etF une primitive def surI. Alors

Z b a

f(t)dt=F(b)−F(a).

Proposition.

Démonstration. F etx→R_x

a f(t)dt sont deux primitives def, donc il existeK∈Ctel que :

∀x∈I, F(x) = Z x

a

f(t)dt+K.

En particulier, pourx=a, on trouve F(a) =Ra

a f(t)dt+K =K, et pourx=b,F(b) =Rb

af(t)dt+K. Ces deux relations donnent bienRb

a f(t)dt=F(b)−F(a).

Remarque. Cette formule permet de mémoriser deux relations déjà connues : Z a

a

f(t)dt= 0 et Z b a

f(t)dt=− Z a

b

f(t)dt.

2.2 Quelques calculs

Exemple 5. Après avoir justié leur existence, calculer les réels suivants : 1. pourx >0,J(x) =Rx

1(1−¹_t)(lnt−2)dt.

La fonction t→(1− ¹_t)(lnt−2)est continue entre1 etx, donc l'intégrale existe, et J(x) =

Z x 1

ln(t)−ln(t)

t −2 +2 t

=

tln(t)−t−1

2(ln(t))²−2t+ 2 ln|t|

x 1

, J(x) =xln(x)−1

2(ln(x))²−3x+ 2 ln(x) + 3.

2. K =R1 0

√1−t dt. La fonction t→√

1−test continue sur [0,1], donc l'intégrale existe, et K=

−2

3(1−t)^3/2 1

0

= 2 3. 3. L=R^−π₂

0 (cosu)²du.

La fonction u→(cosu)² est continue sur [−^π₂,0], donc l'intégrale existe, et L=

Z −^π

2

0

1 + cos(2u)

2 du=

u

2 +sin(2u) 4

−^π₂

0

=−π

4 +sin (−π)

4 −0 =−π 4. 4. M =R2√

√ 2 3

√tdt t²+1. La fonction t→ ^{√ t}

t²+1 est continue sur [√ 3,2√

2], donc l'intégrale existe, et

M = Z 2√

2

√3

2tdt 2√

t²+ 1 =hp

t²+ 1i2√ 2

√

3 =√

9−√

4 = 3−2 = 1.

Soitf une fonction continue sur un intervalleI de R, eta,betc trois réels deI. Alors Z b

a

f(t)dt+ Z c

b

f(t)dt= Z c

a

f(t)dt.

Proposition (Relation de Chasles).

Démonstration. SoitF une primitive def surI. On a : Z b

a

f(t)dt+ Z c

b

f(t)dt=F(b)−F(a) +F(c)−F(b) =F(c)−F(a) = Z c

a

f(t)dt.

Remarque. La formule est vraie sans contrainte d'ordre entrea,betc. Exemple 6. Après avoir justié son existence, calculerN =

Z 1

−1

inf(t,0)dt.

La fonctiont→inf(t,0)est continue sur [−1,1], donc l'intégrale existe, et N =

Z 0

−1

inf(t,0)dt+ Z 1

0

inf(t,0)dt= Z 0

−1

tdt+ Z 1

0

0dt= t²

2 0

−1

=−1 2.

3 Méthodes de calcul

3.1 Intégration par parties

Soit(a, b)∈R² et soit u etv deux fonctions de classeC¹ entreaetb. Alors Z b

a

u⁰(t)v(t)dt=h

u(t)v(t)ib a

− Z b

a

u(t)v⁰(t)dt.

Théorème (Intégration par parties).

Démonstration. u et v sont de classe C¹ entre a et b, donc t → u⁰(t)v(t) et t → u(t)v⁰(t) sont continues sur l'intervalle associé et les deux intégrales existent. On trouve alors par calcul de primitive :

Z b a

u⁰(t)v(t) +u(t)v⁰(t) dt=

h

u(t)v(t) ib

a. D'où le résultat par linéarité de l'intégrale.

Exemple 7. Calculer la valeur de :

I = Z 1

0

x²exp(x)dx.

On poseu :x→x² etv :x→ e^x. Les fonctions u etv sont de classe C¹ sur [0,1], avec u⁰(x) = 2x etv⁰(x) =e^x on peut donc eectuer une intégration par parties :

I =

x²exp(x)1 0−

Z 1 0

2xexp(x)dx=e−0− Z 1

0

2xexp(x)dx.

Les fonctions f : x → 2x et g : x → e^x sont de classe C¹ sur [0,1], avec f⁰(x) = 2 et g⁰(x) = e^x on peut donc eectuer une nouvelle intégration par parties :

I =e−[2xexp(x)]¹₀+ Z 1

0

2 exp(x)dx=e−2e+ 0 + [2 exp(x)]¹₀=−e+ 2e−2 =e−2.

Exemple 8. Déterminer la primitive delnsurR^∗₊ qui s'annule en1. ln est continue sur R^∗₊, donc cette primitive existe, et vaut x → Rx

1 ln(t)dt. Il ne reste plus qu'à calculer cette intégrale. Soit x > 0, u : t → ln(t) et v : t → t sont de classe C¹ entre 1 et x, avec u⁰(t) = ¹_t et v⁰(t) = 1, une intégration par parties donne donc :

Z x 1

ln(t)dt= [tln(t)]^x₁− Z x

1

t1

tdt=xln(x)−(x−1) =xln(x)−x+ 1.

La primitive recherchée est doncx→xln(x)−x+ 1. 3.2 Changement de variable

Soit f une fonction continue sur un intervalle I de R, à valeurs dans R ou C. Soit u :t −→ u(t) une fonction de classe C¹ sur un intervalle[α, β]de Ret à valeurs dans I. Alors

Z u(β) u(α)

f(x)dx= Z β

α

f(u(t))u⁰(t)dt.

Théorème (Changement de variable).

Démonstration. La fonction f est continue sur I, donc admet une primitive F sur cet intervalle. Soit h =F◦u. La fonctionh est de classeC¹ sur[α, β](par composée de fonctions de classe C¹), et pour toutt∈[α, β],

h⁰(t) =F⁰(u(t))u⁰(t) =f(u(t))u⁰(t).

Cette fonction étant continue sur[α, β], on peut passer à l'intégrale et on trouve : Z _β

α

f(u(t))u⁰(t)dt=h(β)−h(α) =F(u(β))−F(u(α)) = Z _u(β)

u(α)

f(x)dx.

Remarque. Ce changement de variable se notex=u(t)et on s'autorise la notationdx=u⁰(t)dtpour interpréter la formule :

Z u(β) u(α)

f(x)dx= Z β

α

f(u(t)

|{z}x

)u⁰(t)dt

| {z }

dx

.

Exemple 9. En utilisant le changement de variablet=x−4, calculer la valeur de : J =

Z 4 0

exp(x−4)dx.

x→exp(x−4) est continue sur[0,4], doncJ existe. x→ x−4 est de classe C¹ sur [0,4], on peut donc poser le changement de variablest=x−4, avec dt=dx :

J = Z 0

−4

exp(t)dt= [exp(t)]⁰₋₄ = 1−exp(−4).

Exemple 10. En utilisant le changement de variablet= cos(x), calculer la valeur de : I =

Z π 0

sin(x) 1 + cos(x)²dx.

x→ _1+cos(x)^sin(x)₂ est continue sur [0, π], donc I existe. x→ cos(x) est de classe C¹ sur[0, π], on peut donc poser le changement de variablest= cos(x)avec dt=−sin(x)dx:

I = Z π

0

−1

1 + cos(x)²(−sin(x))dx=

Z cos(π) cos(0)

−1 1 +t²dt=

Z 1

−1

1

1 +t²dt= arctan(1)−arctan(−1) = π 4 −

−π 4

= π 2.

Remarque. Si u est strictement monotone sur l'intervalle [α, β], alors u réalise une bijection de [α, β] sur un intervalle[a, b]et

Z b a

f(x)dx=

Z u⁻¹(b) u⁻¹(a)

f(u(t))u⁰(t)dt.

Exemple 11. En utilisant le changement de variablex= cos(t), calculer la valeur de : K =

Z 1 0

p1−x²dx.

x→√

1−x² est continue sur[0,1], doncK existe.t→cos(t)est de classeC¹ sur[0,^π₂]et bijective à valeurs dans [0,1]. On peut donc poser le changement de variables "à l'envers" x = cos(t) avec dx = −sin(t)dt, en utilisant arccospour les bornes :

K = Z ₀

π 2

p1−cos(t)²(−sin(t))dt=

Z _arccos(0)

arccos(^π₂)

|sin(t)|sin(t)dt= Z ^π

2

0

(sin(t))²dt.

Il ne reste plus qu'à linéariser l'expression pour déterminer une primitive : K =

Z ^π

2

0

1−cos(2t) 2 dt= 1

2

t−sin(2t) 2

^π₂

0

= 1 2

π

2 −0−0 + 0

= π 4. (Dans le cas de cet exemple, on aurait aussi pu poser t = arccos(x), mais la relation dt =−^{√ 1}

1−x²dx aurait été beaucoup plus dicile à manipuler, d'où le choix du changement de variables "à l'envers".)

3.3 Autres techniques classiques 3.3.1 Linéariser

Exemple 12. Déterminer une primitive def :t→(sint)⁵ surR. On utilise les formules d'Euler et du binôme de Newton :∀t∈R,

f(t) = (sint)⁵ =

e^it−e^−it 2i

5

= e^5it−5e^3it+ 10e^it−10e^−it+ 5e^3it−e^−5it

2⁵i = sin(5t)−5 sin(3t) + 10 sin(t)

16 .

Chacun de ces termes est facilement primitivable, ce qui permet de proposer comme primitive la fonctionF dénie par :

∀t∈R, F(t) = −cos(5t)

5×16 −5−cos(3t)

3×16 + 10−cos(t)

16 =−cos(5t)

80 +5 cos(3t)

48 −5 cos(t) 8 . 3.3.2 Utiliser des exponentielles complexes

Exemple 13. Déterminer une primitive deg:t→e^2tcos(5t) surR. On remarque que :

∀t∈R, g(t) =e^2tcos(5t) =e^2tRe(e^5it) = Re(e^2t+5it) = Re(e^t(2+5i)).

Une primitive complexe det→e^t(2+5i) est t→ _2+5i¹ e^t(2+5i). Or,

∀t∈R, 1

2 + 5ie^t(2+5i)= 2−5i

4 + 25e^2t(cos(5t) +isin(5t)) = e^2t

29(2 cos(5t) + 5 sin(5t) + 2isin(5t)−5icos(5t)).

Cela permet de proposer comme primitive pourgla fonction G dénie par :

∀t∈R, G(t) = Re 1

2 + 5ie^t(2+5i)

= e^2t

29(2 cos(5t) + 5 sin(5t)).

3.3.3 Primitivert→ _at2+bt+c¹

Exemple 14. Déterminer une primitive deg:x→ 1

x²+ 2x+ 1 sur un intervalleI où g est bien dénie.

Le discriminant du dénominateur vaut∆ = 4−4 = 0, ce qui donne la factorisation :

∀x∈I, g(x) = 1 (x+ 1)². Une primitive est doncx→ −_x+1¹ .

Exemple 15. Déterminer une primitive def : t→ 1

2t²−6t+ 4 sur un intervalleI où f est bien dénie.

Le discriminant du dénominateur vaut∆ = 36−32 = 4 >0, ce qui fournit deux racines ⁶⁺²₄ = 2 et ⁶⁻²₄ = 1, et permet donc de factoriser l'expression :

∀t∈I, f(x) = 1

2t²−6t+ 4 = 1

2(t−1)(t−2). Décomposons en éléments simples : on cherche(α, β)∈R² tels que∀t∈I,

1

2(t−1)(t−2) = α

t−1+ β t−2.

Multiplier par t−2 puis faire tendre t vers 2 donne β = ¹₂. Multiplier par t−1 puis faire tendre t vers 1 donne α=−¹₂. Donc :

∀t∈I, f(x) =−1 2

1 t−1 +1

2 1 t−2. Une primitive est donct→ −¹₂ln(|t−1|) +¹₂ln(|t−2|).

Exemple 16. Déterminer une primitive deh:u→ 1

u²+ 2u+ 4 sur un intervalle I où h est bien dénie.

Ici, le discriminant du dénominateur vaut∆ = 4−16 =−12<0. Un passage sous forme canonique donne :

∀u∈I, h(u) = 1

u²+ 2u+ 4 = 1

(u+ 1)²+ 3 = 1 3

1 u+1√

3

2

+ 1

= 1

√ 3

√1 3

u+1√ 3

2

+ 1 .

Une primitive est doncu→ ^√1

3arctan

u+1√ 3

.