1 Dénition. Lien avec l'exponentielle

113 : Groupe des nombres complexes de module 1.

Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.

Pierre Lissy May 6, 2010

1 Dénition. Lien avec l'exponentielle

1.1 Dénition

Dénition-proposition 1. U = ensemble des nombres complexes de module 1, ie tels que si z = x+iy, on a x²+y² = 1. c'est un groupe multiplicatif compact connexe par arcs (pour la topologie induite par la norme qu'est le module)

Remarque 1. C'est le plus grand sous-groupe borné deC^∗(pour l'inclusion). C'est aussi le noyau du morphisme de groupe multiplicatifz7→ |z|.

1.2 Exponentielle

Dénition 1. exp(z) =P zⁿ/n!.

Proposition 1. exp est un morphisme surjectif du groupe additif C vers le groupe multiplicatif C^∗.

Lemme 1. Sous-groupes additifs deR: lesaZou denses.

Théorème 1. L'applicationt7→e^itest un morphisme du groupeRvers le groupeC, dont le noyau est un sous-groupe de la formeaZ, avec a6= 0. On pose π:=a/2. Le morphisme déni si-dessus est alors2π-périodique; De plus, il est à valeurs dans U et surjectif, ie tout nombre de U sécrit sous la formee^it.

Dénition-proposition 2. cos(θ) est la partie paire dee^iθ, sin(θ) la partie impaire divisée par i. On a alors l'égalitécos(θ) +isin(θ) =e^iθ et cos(nθ) +isin(nθ) = (cos(θ) +isin(θ))ⁿ.

On peut retrouver à partir de là toutes les formules sur Application 1. P

cos(kθ) = cos(nθ/2)∗sin((n+ 1)θ))/sin(θ)/2).P

sin(nθ) = . De même on peut linéarise facilement lescosⁿ(θ etsinⁿ(θ).

Application 2. Tout nobmre complexe non nul s'écrit sous la formez=|z|e^iθ. θ est appelé un argument dez. Deux argments dièrent de2π.

Application 3. Tout morphisme continu du groupe additifRvers le groupes des racines n-ièmes de l'unité est de la formef(t) =e^iαt.

Application 4 (Tchebytchev). il existe un unique polynôme de degré n vériant T_n(cos(x)) = cos(nx).

1.3 Racines n-ièmes

Dénition-proposition 3. Un = les z tels que zⁿ = 1. Il y en a n, ce sont exactement les nombres de la formee^2ikπ/naveckvariant de0àn−1. C'est un groupe cyclique, qui est engendré par e^2iπ/n = un. Les générateurs de ce groupe cyclique sont appelées les racines primitives de l'unité.

Remarque 2. ceci entraine qu'un nombre complexe écrit sour la forme re^iθ a n racines : les r^1/nei(θ+2ikπ)/n.

Proposition 2. On note Π_n l'ensemble des racines primitives n-ièmes de l'unité. C'est un en- semble qui aϕ(n)éléments.

1.4 Sous-groupes de U, groupes isomorphes ou homéomorphes à U

Lemme 2. Sia/bn'est pas rationnel alors le groupeaZ+bZ est dense dansR.

Théorème 2. Les sous-groupes deU sont soient nis et donc c'est un sous-groupe des racines de l'unité, ce qui implique qu'ils sont cycliques, soit denses dansU.

Application 5. Les sous-groupes nis deC sont les groupesU_n.

Théorème 3. U est isomorphe à R/2πZ en tant que groupes. Il est même homéomorphe à ce groupe si on munit ce groupe de la topologie quotient. U est isomorphe au groupes des rotations d'un plan euclidien orienté. Il est même homéomorphe à ce groupe si on le munit de la topologie induite par n'importe quelle norme sur les matrices.

2 Polynômes cyclotomiques

2.1 Dénition. Exemples

Dénition 2. n-ième polynôme cyclotomique =Φn(X) =Q

z∈Πn(X−z).

Exemple 1. Φ₁(X) = X −1. Φ₂(X) = X + 1. Φ₃(X) = X²+X + 1. Φ₄(X) = X²+ 1. Φ₅(X) = 1 +X+X²+X³+X⁴. Φ₆(X) =X²−X−1.

Remarque 3. On peut aussi dénir les polynômes cyclotomiques d'un corps quelconque en con- sidérant de la même manière les racines primitives (il faut quand même avoir n premier à la caractéristique dep).

2.2 Propriétés

Proposition 3. Xⁿ−1 =Q

d|nΦ_d(X)

Proposition 4. Les polynômes cyclotomiques sont des polynômes unitaires de degréϕ(n). Ils sont de plus à coecients dansZ.

Application 6. On obtient le polynôme cyclotomique dans un corps quelconque k en réduisant par le canonique deZ dansk les coecients du polynôme cyclotomique dansC.

Proposition 5. Les polynômes cyclotomiques sont irréductibles sur Z[X], et donc sur Q[X]

puisqu'ils sont primitifs.

Citons une curiosité.

Proposition 6. Le plus petit nombre n tel que le polynôme cyclotomique Φ_n ait des coecients autres que1,0,−1 est 105.

2.3 méthodes de calcul de certains poly cyclotomiques

Proposition 7. Simetnsont premiers entre eux alorsϕmn(X) =Q

a∈ΠnQ

b∈Πm(X−ab). Notamment, pournimpair non égal à 1 on aΦ2n(X) = Φn(−X).

Proposition 8. Soitppremier. AlorsΦ_pα = Φ_p(X^pα−1). Proposition 9. Pournpair, on a Φ2n = Φn(X²).

Proposition 10. Sin=Qp^α_iⁱ alors en posantd=Qpi, on aΦn(X) = Φd(X^n/d).

Proposition 11. Soitpun nombre premier ne divisant pasn. Alors Φ_pn= Φ_n(X^p)/Φ_p(X).

2.4 Applications

Proposition 12. ϕ_n est le polynôme minimal surQdes racines primitives.

Application 7. Sia et b sont des racinesn-ièmes et m-ièmes avec n et m premiers entre eux, alorsQ(a)∩Q(b) =Q.

Application 8 (Wedderburn). La commutativité est une conséquence des autres axiomes de la structure de corps pour les corps nis.

Application 9 (Dirichlet). il existe une innité de nombres premiers de la formean+ 1, aveca etnpremiers entre eux.

3 Analyse de Fourier.

3.1 Groupe dual

Dénition 3. SoitG un groupe topologique localement compact. On appelle groupe dual de G, notéGb le groupe des caractères de G, ie. des morphismes de G vers le groupe multiplicatifU (il en existe au moins 1, celui qui envoie tout sur 1),muni du produit terme à terme (dont le neutre est le caractère trivial)

Exemple 2. On a déjà montré que les caractères deRsont les x7→e^itx. Rb 'R. De même, les caractères deRⁿ sont les produits tensoriels de caractères deR et on a encoreb(Rⁿ)'Rⁿ. Enn, si l'on considère le cercle unité (ie le tore), ses caractères sont lesz=e^it7→e^imt avec m entier.

DoncTb'Z. Enn, on considère le groupeUn; Ses caractères sont les e^2iπkt/n7→e^2iπmkt/n avec mentier compris entre0 etn−1, donc Ub_n'U_n.

Dénition 4. On noteM1(G)l'espace de Banach des mesures de Radon signées sur Gde masse nie. On appelle transformée de Fourier de la mesureµl'application ξ∈Gb7→R

Gξ(g)dµ.

Exemple 3. sur les réels on prene la mesure de Lebesgue et on considère une application f intégrable. Alors si l'on considère la mesure signée dénie par la fonctionf, elle est bien de masse nie et on peut s'intéresser à sa transformée de Fourier. C'est la transformée de Fourier au sens usuel.

Exemple 4. Sur le tore on prend la mesure de Lebesgue λ, et on considère une application f intégrable. Alors . Alors la transformée de Fourier est juste F(ξ) =R

Tξ(e^it)f(t)dλ(t). Mais on identie le groupe dual à Z dont on obtient F(n) = R

Te^intf(t)dλ(t). Ce sont les coecients de Fourier au sens usuel.

Exemple 5. Sur l'ensembleU_n on considère la mesure de comptage non renormalisée, et de même une application f sur U_n. Alors la transformée de Fourier est F(ξ) =Pξ(e^2ikπ/n)f(e^2ikπ/n, et donc compte tenu de l'isomorphisme précédent on obtientF(l) =P(e^2ikπl/nf(e^2ikπ/n.

Intêret de tout cela?

Théorème 4. On a dans les trois cas précédent, à savoir le tore, les réels, et les ensembles nis, une formule d'inversion qui permet de faire la synthèse spectrale de l'applicationf considérée.

1. Sif ∈L₁(R)etf inLb ₁)alors bfb= 2πf 2. Sif ∈L1(T)alors b

fb= 2πf.

3. Sif est quelconque sur[1, n]alors bfb=N f.

3.2 Transformée de Fourier discrète

Dénition 5. On considère un signals dont on se donne un échantillon deN valeurs. On pose la transformée de Fourier discrèteS(k) =PN−1

n=0 s(n)·e^−2iπkNn pour 06k < N. La transformée de Fourier inverse est donnée par la formulebs(n) = 1/NPN−1

k=0 s(n)·e^−2iπnNk

Remarque 4. Avec le formalisme précédent, la transformée de Fourier discrète de notre signal, c'est juste la transformée de Fourier de la mesure de comptage sur [1, n] mais pondérée par les valeurss(k)comme précedemment.

Dans ce cas, on a bien comme annoncé Théorème 5. bs(n) =s(n)

3.3 Application en EDP

Résolution de l'équation des ondes périodiques de manière approchée.

Dénition 6. Equation des ondes périodiques: utt −uxx = 0 pour (x, t) ∈ [0, L]×[0, T], u L−priodiqueetu(x,0) =v⁰(x)etut(x,0) =v¹(x).

On admet que sous certaines conditions on a une unique solution à ce problème. Plutôt que de faire un schéma aux diérences nies classiques pour calculer de manière approchée l'équation de la chaleur, on applique à bon escient les petits résultats suivantes.

Proposition 13. On considère une fonctionf qu'on échantillonne enN (avecNune puissance de 2) points réguliérement espacés sur[0, L]. On notev_j les valeurs aux points d'interploation. Alors si l'on appelleP le polynôme symétrique qui interpolef en ces points, ieP(x) =PN/2−1

k=−N/2cⁿ_ke^2ikπx/L, alors les coecientscⁿ_k jouissent des propriétés suivantes: cⁿ_k =bv_k/N pourk60,etcⁿ_k−N =vb_k/N pour ceux négatifs.

Proposition 14. Si l'on applique la formule des trapèzes composite à l'ordreN pour approximer les coecients de Fourier def, on aboutit aux coecients de la TFD.

Ceci suggère que l'on peut bien approximer les solutions de l'équation de la chaleur en procé- dant de la manière suivante. On échantilonne v⁰ et v¹, on calcule les coecients de la tfd correspondant et on cherche la solution de notre système des ondes sous la forme u(x, t) = 1/NPN/2−1

k=−N/2bu_k(t)e^2ikπx/L. Les coecients ub_k(t) vériant alors une équation diérentielle or- dinaire à savoir ub⁰⁰_k −4π²k²/Lbuk = 0 avec comme conditions initiales ubk(0) = bv_k⁰ pour k > 0, buk−N(0) = bv⁰_k pour k positif par trop grand, et de même pour bu⁰_k(0). On résoud de manière explicite cette EDO, et ceci nous donneuque l'on calcule donc en eectuant une transformée de Fourier inverse.

3.4 Application en traitement d'images

Regardons ce qui se passe quand on sous-echantillone un signal.

Théorème 6. On considère une fonction périodique u(x) = P

Zcn(u)e^2inπx/a, avec les coef- cients de Fourier qui CVA. Alors les coecients du polynôme trigonométrique qui interpolle u est la N-périodisée de la suite des coecients de Fourier de u: ubn = P

q∈Zcn+qN(u) pour n=−N/2, . . . , N/2−1.

Dénition 7. On considère un signal échantillonéuk. Un signal sous-échantilloné à l'ordrepest la donnée desukp

Corollaire 1. Si l'on considère un signal sous-echelonné à l'ordre2, la formule précédente donne bvn=bun+u_n−N/2+bu_n+N/2.

Ceci illustre le phénoèmene de repliement du spectre : on superpose notre spectre avec le spectre du signal dont le spectre est décalé deN/2. Le spectre du signal sous-echantilloné contient donc des informations parasites qui n'ont rien à voir avec le signal lui-même. En traitement d'image, on obtient ce qu'on appelle un eet de moiré: apparitations de taches et de laments paraistes sur l'image, ainsi que non-conservation des motifs réguliers. CEci apparait dans de nombreux DVD commerciaux. Pour éviter ceci, une technique possible: avant d'échantilloner notre signal, on tronque les hautes fréquences.