Université Hassan II Mohammedia -Casablanca Faculté des Sciences et Techniques
Département de Physique
MODULE P146 POUR MIP
MECANIQUE QUANTIQUE ET RELATIVITE RESTREINTE
A L’USAGE DES ETUDIANTS DE LA DEUXIEME ANNEE MIP
J. MEZIANE
ANNEES UNIVERSITAIRES 2014/2015
Pr : J. Meziane
Chapitre I : Introduction aux phénomènes quantiques
1) Introduction
Physique quantique : c’est la physique des phénomènes microscopiques à l’échelle atomique ou subatomique, elle étudie les interactions matière-rayonnement.
C’est la mécanique des particules atomiques et intra-atomiques tel que : l’atome (Hydrogène ; alpha = Hélium sans électron He++ ; …) ; l’électron ; le proton ; le neutron ; le neutrino ; …
électron
Noyau atomique
Nu cléo n Proton
Neutron -
d ˜ 10-10m
-
- -
- -
Fig.1 : Les particules atomiques ou subatomiques
La mécanique quantique s’intéresse principalement aux interactions entre la matière et le rayonnement.
Le rayonnement englobe la lumière visible, les rayons Ultra Violet, Rayons Infra rouge ; Rayons X, Rayons Gamma, Rayons cosmique, …, les ondes hertziennes, les micros ondes …
Le rayonnement = onde Electromagnétique (E, B) = (Champ électrique, Champ magnétique).
La matière principalement les atomes (Hydrogène ; alpha = Hélium sans électron He++ ; …) ; les électrons ; les protons ; les neutrons ; les neutrinos ; …
En Mécanique Quantique :
La matière et le rayonnement subissent le même traitement Les particules se comportent comme un rayonnement.
Et le rayonnement se comporte comme des particules.
1.a) Les ondes électromagnétiques sont des particules « photons » : Elles seront caractérisé par :
i) Quantité de mouvement
ek
2 2 k h
P r r
r h
λ π
= π
=
λ P h P= r = ii) Énergie
c c P
E= = = =
ν λ ω h h h
ek
kr 2 r λ
= π vecteur d’onde
ek
r étant le vecteur unitaire de la direction de propagation.
λ π πν
ω 2
c 2 k c
k= r = = =
est le nombre d’onde ou le vecteur d’onde.
Pr : J. Meziane
λ : longueur d’onde υ : fréquence c/λ ω : pulsation 2π υ
1.b) Les particules sont des ondes.
Elles seront caractérisé par : i) Quantité de mouvement
k
k e
2 e 2 k h v
P r r r
r h r
λ λπ
π
m = = = h
=
λ v h P
P= r =m = ii) Énergie
ω
=h +
=
= v E
2 E 1 + E
Etot c p m 2 p
Elles ont une longueur d’onde λ :
mv h p h = λ= λ : longueur d’onde associée à la particule m : masse de particule
v : vitesse de la particule
h = 6.6261 10-34 J. s ; c = 3 108 m/s
π 2
= h h
2) Aspects corpusculaires des ondes électromagnétiques : Les ondes sont des particules La preuve par l’expérience que le rayonnement est composé de particules Le rayonnement = Ondes = particule de masse m = 0 !!!! ? Photon
2. 1) Le problème du corps noir
Tout corps chauffé à une température T émet des ondes électromagnétiques
T= Cst
) W/m )(
T ,
( λ
3ρ
2000 K
1750 K 1250 K
λ (µm)
Fig. 7 : Corps noir 2.1.a) Loi Planck, 1900 (Lois du corps noir)
Pr : J. Meziane
Planck fait l'hypothèse que les seules énergies possibles pour un mode de fréquence ν s’écrivent En = n hν où il a introduit :
Lois de Planck :
« L’énergie stockée dans un mode de fréquence ν et un multiple entier de l’énergie hν » Conduit à
1 - c e
h ) 8 , (
T k
h 3 3
B
ν
ν υ π
ρ T = Sachant que
ω ω ρ λ λ ρ ν ν
ρ( ,T)d = ( ,T)d = ( ,T)d On a
1 - e
1 c h ) 8
, (
T k hc 5
λ B
λ λ π
ρ T = h = 6.6261 10-34 J. s
ν fréquence
λ longueur d’onde ω : pulsation
L’énergie totale émise par un corps noir est :
4
0 ( , )d T
)
( ρ υ υ σ
ρ = =
= T
∫
+∞ TI la loi de Stefan Boltzmann (1879)
σ = 7,56 10-16 J. K-3 . m-3 d’où
T(K)
10 2,8987 max
(m) =
-3λ
2.2) Effet photo-électrique
Montage expérimental de l'effet photoélectrique
Fig 16 : Montage expérimental de l'effet photoélectrique Le métal joue le rôle d’une cathode
Le collecteur joue le rôle de l'anode
La cathode portée à un potentiel VC reçoit un rayonnement excitateur de fréquence ν et de puissance P.
L’anode portée à un potentiel VA recueille les électrons émis par la cathode.
L'expérience consiste à mesurer l'intensité du courant I qui traverse la cellule photoélectrique en fonction des trois paramètres expérimentaux:
i) La puissance P du rayonnement incident, c'est à dire la quantité d'énergie apportée par la lumière à la cathode par unité de temps.
ii) La fréquence ν du rayonnement incident, à laquelle correspond la longueur d'onde λ=c/ν.
iii) La différence de potentiel V = VA -VC entre l'anode et la cathode.
V µA C A
Lumière
I
Pr : J. Meziane
2.2.1) Postulat d’Einstein (1905) :
La lumière incidente est constituée de paquets d’énergie (de photons d’énergie) : E = h.υ = h.c/λ
Pour extraire les électrons d’un métal il faut fournir une énergie : h. υ > Ws = h νs
Ws est l’énergie d’extraction = énergie nécessaire pour arracher un seul électron.
L’excès d’énergie porté par le photon est transformé en énergie cinétique de l’électron.
U e h 2mv W 1 h
E= υ = s + 2e = υs +
Cas limite = cas où l’électron arrive au collecteur avec une vitesse nulle ve = 0.
h 2mv W 1 h
E= υ = s + e2 = υs Potentiel d’arrêt : Cas d’inversion de polartié
Fig. 22 inversion de la polarisation.
Si on inverse la polarité on repousse les électrons; ils seront arrêtés si : 0
eV 2mv
1
0
2 + =
e = Charge de l’électron = 1,6 10-19 C Où V0 est le potentiel d’arrêt
) e(
-h
V0 = υ−υs En pratique
+
=
−
=
eV eV 2mv
1
W h 2mv
1
0 2
s
2 υ
e eV) W
( e
V0 h s +
−
= υ
2. 3) Effet Compton (1922)
C A
Lumière
e- e-
I I
e- e-
+ -
A
Fréquence ν 0
|V0|
νs
e h Pente
ws
Pr : J. Meziane
Compton étudie la diffusion des ondes Electromagnétiques (EM) (rayons X) par la matière
Lorsqu’un faisceau de rayon X attaque une cible d’électrons libres (au repos) ces derniers se mettent en mouvement alors que les rayons X changent de longueur d’onde et de direction.
2.3.a) Observation expérimentale :
L’onde réfléchie est de fréquence différente, de longueur différente (λ’) que l’onde incidente (λ), λ’ > λ
Traitement relativiste vitesse v ≈ c iii) La relation de Compton
)) cos(
1 ( )) cos(
1 c( m h '
e
θ λ
θ λ
λ− = − = C −
pm 2,43 m 10 c 2,43 m
h -12
e
=
=
C = λ
Longueur d’onde Compton de l’é 3) Aspects ondulatoires des particules
Les particules sont des ondes 3.1 ) Interférence : Particules d’électrons
S0
S1
S2
Film photographique
Après 28 électrons
Après 100 électrons
Après 10 000 électrons
Résultat expérimental similaire à celui observé pour les photons
Existence d’interférences : distribution des électrons donnée par la théorie de l’interférence entre ondes EM
3.2) Diffraction des électrons
θ φ λ'
Après la diffusion x pre
y
E =hυ’
' k pph r r h
=
0 ve r r ≠ λ
Avant la diffusion
e
me x
y
0 vre r E =hυ =
k k
ph 2 e e
k 2
p r r r
r h
λ λ
π π
h
h =
=
=
Pr : J. Meziane
Faisceau d’e- dans le vide (éviter interaction e- / air)
Probabilité
d’impact des électrons Film photographique
P Px
Py
Solution : le concept de fonction d’onde
Les impacts semblent être détectés à certains endroits plutôt qu’à d’autres. Tout se passe comme si quelque chose favorisait la détection d’impacts
Notons ce quelque chose ψ1(x) si S1 est ouvert et ψ2(x) si S2 est ouvert Alors on peut concevoir que si S1 et S2 sont ouvertes, ce quelque chose prend la forme ψ1(x) + ψ2(x)
Par analogie optique : La probabilité de détection varie comme |ψ(x)|2 (densité de probabilité de présence)
Les interférences résultent de l’annulation de | ψ1(x) + ψ2(x) |2
Les valeurs de la fonction d’onde ψ(x) obéissent à une équation présentant des similarités avec l’électromagnétisme.
En généralisant : (rr, t)
Ψ pour décrire une variation spatio-temporelle quelconque.
On imposera pour un système à une particule : (Normalisation de la fonction d’onde)
1 r d t) , r
( 3
espace
2 =
∫
Ψ r L’électron se comporte comme une ondeDonc une particule ponctuelle de masse m = onde Ψ(rr, t)
La Notion de trajectoire est inadéquate (insuffisante) il sera remplacé par la fonction d’onde ψ(x, t)
Sa norme est la probabilité de présence |ψ(x, t)|2 : densité de probabilité de présence à l’instant t
|ψ(x, t)|2 probabilité de présence entre x et x+dx à l’instant t Ondes de De Broglie 1924
Une particule libre de masse m au repos, d‘énergie total E et d'impulsion p, sera décrite par une onde (de De Broglie) dont la longueur d'onde λ telle que :
v m h p h = λ=
h2 k 2
mv P
h E
=
=
=
=
=
=
λπ λπ
ν ω
h h h
Relation de la Dualité
Pour une particule relativiste, la longueur d’onde de De Broglie est donnée par c
1 v v m h
v m
h p h
2 2
0
−
=
=
=
= λ
λ
4) Quantification de l’énergie atomique 4. 1) Atome de Bohr
L’électron gravitant autour du noyau de charge Ze sur une orbite circulaire de rayon r, est soumis à deux forces égales et opposées
Pr : J. Meziane
Noyau +Ze Fc électron
Fe r
v
- A
2 2 r kZe
Fe= Force électrostatique
r v Fc m
2
= e Force centrifuge
r m v r k Ze
2 2 e
2 =
(1) r v m k Ze2 = e 2
Fc = Fe Équilibre
me : masse de l’électron = 9,1094.10-31 kg k = 9 10 9 S. I. dans le vide ou dans l'air
4 0
k 1
= πε 4.2) Hypothèses de Bohr
i) Les orbites accessibles à l’électron ont des rayons donnés par )
2 v( m r n
e n
= h n est un nombre entier positif : nombre quantique Le moment cinétique de l’électron dans ce cas s’écrit
v m r ) e
( rn er
r = ∧
σ Soit en tenant compte de i)
) 3 ( n r v me n
n = = h
σ
Le module mvr ne prend que des valeurs entières de =h 2
h π 4.3) Energie de l’électron E = Ec +Ep : énergie de liaison
r kZe 2 mv 1 2 Ec 1
2 2 =
=
r kZe r
kZe . e V . e Ep
2 -
- = =−
=
Ep = Energie potentiel crée par le noyau de charge Ze en un point distant de r )
4 r ( k Ze 2 1 r
kZe r kZe 2 Ep 1 Ec E
2 2
2
−
=
−
= +
= est l’énergie de liaison de l’électron
(3)2/(1) =
k Ze ) n ( r v m
) r v (m
2 2
n 2 e
2 n
e = h
Soit
h n
m kZe 4 r
1
2 2
e 2 2
n
= π
D’ou
0 2 e 2 2
2 2
n n a
m kZe 4 n h
r = =
π
Pr : J. Meziane
pm 53 m 10 m 53
kZe 4
a h 12
e 2 2
2
0 = = x − =
π
Avec a0 = 53 pm : rayon de Bohr L’énergie
0 2
2
e 2 2
2 2
2 2
a n k Ze 2 1 m kZe 4 n h k Ze 2 1 r k Ze 2
E=−1 = − =−
π Devient
n E Z n Z h
k e m
E 2 2
2 2 0
2 2
2 4 e
2 =−
−
= π
Avec E0 = 13,6 e.V 4.4) Niveaux d’énergies de l’atome Hydrogène
- 13,6 -3,39
-1,51 -0,85 -0,54
0
Énergie en eV Nombre
quantique n
n = 1, K n = 2, L n = 3, M n = 4, N n = 5, O n = 8
La longueur d’onde de l’énergie émise
Quand un électron passe d’un niveau initial Ei à un niveau final Ef, la quantité d’énergie émise où absorbée est donnée par :
nf ) 1 ni ( 1 Z E Ei - c Ef
h = = = 0 2 2 − 2
ν hλ
nf ) 1 ni ( 1 hc
Z E hc
Ei - Ef c 1
2 2 2
0 −
=
=
=ν λ Soit
hc Z R E
2 0
H =
RH La constante de Rydberg pour l’hydrogène ) nf
1 ni ( 1 1 R
2
H 2 −
λ =
RH =1,0967758 107 m-1 5) Unités de la physique quantique
5.1) Unité de masse atomique (u. m. a = uma = u C
atome l' de masse 12 uma 1 1 u.m.a
1 = = 126
La masse d’1mole de carbone = 12 g = masse(Na atomes de carbone) Une mole contient Na Atomes : Na nombre d’Avogadro = 6,022 1023
Pr : J. Meziane
g 12 ) C de atome
Masse(Na 126 =
kg 10 x 66054 , 6,022x10 1
10 x 12x 12 u.m.a 1
1 23 27
-3 = −
=
u.m.a 6,02214x10
kg
1 = 26
Exemple
me = 9,1093897x10-31 kg = 0,000 55 u ; mp = 1,6726231x10-27 kg = 1,007 u;
mn = 1,6749286x10-27kg =1,008 u . 5.2) Unité de longueur
Le mètre n'est pas une unité adaptée aux dimensions de l'atome, on utilise parfois le nanomètre (symbole : nm) tel que : 1 nm = 10-9 m
1µm = 1 micro mètre = 10−6 m 1nm = 1 nano mètre = 10−9 m 1 Angström = 1Ǻ = 10−10m 1pm = pico mètre = 10−12 m 1 Fermi = 1 F = 10−15 m
L'atome d'hydrogène a pour dimensions : Diamètre du noyau: dn = 2,4 F =2,4x10-15m.
Diamètre de l'atome: da = 1,1Ǻ =1,1x10-10m.
5.3) Unité de temps
La seconde est aussi une unité de mesure très grande pour d´écrire la durée de certains phénomènes nucléaire (temps de relaxation, durée de vie des états excités, temps de recombinaison, ).
On utilise alors les sous multiples de la seconde.
1ms = milliseconde = 10−3s 1 µs =microseconde = 10−6s 1ns = nanoseconde = 10−9s 1ps = picoseconde = 10−12s 5.4) Unité d’énergie
Electron-Volt (eV) (l'unité d'énergie utilisée en physique Quantique)
1eV = énergie acquise par un électron soumis à une différence de potentiel (d. d. p.) de 1V.
1eV = 1,6 10-19 C x 1V = 1,6 10-19 Joule C'est donc une unité très faible.
Les multiples sont : 1 kilo eV = 1 keV = 103eV 1 Mega eV = 1MeV = 106 eV, 1Géga eV = 1GeV = 109eV.
Soit
1,6x10 eV Joule 1
1 = -19 = .
6) Principe d’incertitude de Heisenberg En physique classique
Notion de trajectoire
On peut mesurer avec précession x et Px En physique Quantique
La notion de trajectoire est remplacée par la fonction d’onde On ne peut pas mesurer avec autant de précision x et Px
U =1V ++ ++ ++ --
-- --
Pr : J. Meziane
Toute mesure sur un système quantique se traduit par une perturbation important de ce système.
Les concepts classiques cessent de s’appliquer quand : Action caractéristique ≈ constante de Planck h
Avec
Action = longueur caractéristique x impulsion caractéristique Action =Temps x énergie
Action ≥ ħ mécanique classique Action ≈ ħ mécanique quantique
Principe d’incertitude entre la position et la quantité de mouvement
∆x. ∆Px ~ ħ ∆y. ∆Py ~ ħ ∆z. ∆Pz ~ ħ En général
∆x.∆Px ≥ ħ/2 ∆y.∆Py ≥ ħ/2 ∆z.∆Pz ≥ ħ/2 Principe d’incertitude entre le temps et l’énergie
∆E. ∆t ~ ħ ΔE.Δt ≥ ħ/2
Pr : J. Meziane
Chapitre II : La fonction d’onde de la matière et l’équation de Schrödinger
1) Ondes associées à la matière 1. 1) La dualité onde-corpuscule Les particules ont un Aspect ondulatoire
k
k e
e
m r r r
r h r
λ λ
π π
h 2
2 k h v
P= = = =
ω
=h
= +
= 2
tot v
2
E Ec Ep 1m
Même dans le cas relativiste v ≈ c où
k
k e
e
mr r r r
r
λ λπ
π
h 2
2 k h c 1 v v m P
2
0 = =
−
=
=
ω
=h +
=
= 2 2 2 2 4
tot P c m c
E mc 0
−
= 2
0
c 1 v m m
λ π k= 2
mv h p h = λ = λ : longueur d’onde
m : masse de particule v : vitesse de la particule
h = 6.6261 10-34 J. s ; c = 3 108 m/s
π 2
= h h 1. 3) La fonction d'onde de la matière
En Mécanique quantique la particule est décrite par une fonction d’onde Ψ(r, t). Son évolution est donnée par l’équation de Schrödinger.
Ψ(r, t) donne une description complète de l'état de la particule de masse m dans l'espace, à l'instant t.
Que représente Ψ(r, t) ?
En mécanique quantique, la fonction d'onde Ψ(r, t) représente notre connaissance de l’état du système.
Les fonctions d’ondes associées à la particule s’écrivent : k d e
g(k) t)
(r,
R3
t) 3 E - r P i(
∫
= Ψ
rr h
Avec
2m k) ( 2m E(P) P
E
2
2 h
h = =
=
= ω
Soit
P d e
g(P) t)
(r,
R3
t) 3 E - r P i(
∫
=
Ψ r
r h
Pr : J. Meziane
Pour une dimension :
dk e
g(k) t)
(x, +∞
∫
i(k x- t)∞
−
=
Ψ ω
dP e
g(P) t)
(x, (P x-E t)
i
∫
x+∞
∞
−
=
Ψ h
L’existence de la particule dans l’espace :
= Ψ
= Ψ
∫
∫
1 dx t) (x,
1 r d t) (r,
R
2 R
2 3
3 La particule de masse m existe dans l’espace
Ψ(r, t) est normée.
La densité de probabilité ρ(r) de trouver la particule au point r0 est ρ(r0) = ||Ψ(r0, t)||2
t) , (r t) , (r t)
,
(r0 2 =Ψ 0 Ψ* 0
Ψ (Ψ *= conjugué complexe de Ψ)
La probabilité de trouver la particule dans le volume dV = d3r = dxdydz autour du point r au temps t.
r d t) (r, 2 3 Ψ
La probabilité de présence de la particule dans un espace D autour de la position r r
d t) (r, D)
Proba(r
D
2 3
∫
Ψ=
∈
La densité de probabilité au point x0 est ρ(x0) = ||Ψ(x0, t)||2
La probabilité de trouver la particule autour du point x au temps t.
dx t) (x, 2 Ψ
La probabilité P(x0) de trouver la particule entre –x0 et x0. dx
t) (x, )
P(x
0
0
x
x
2
0
∫
−
Ψ
=
2) Equation de Schrödinger
a) Equation de Schrödinger dépendante du temps
t) (r, E t) (r, V(r) t) 2m (r,
- t) t (r, i
2 ∆Ψ + Ψ = Ψ
=
∂ Ψ
∂ h
h m la masse de la particule,
V(r) l’énergie potentielle de la particule au point r,
∆ est le Laplacien.
Js 10 1,05457 2
h -34
=
= π h Où bien
Ĥ ψ = Eψ
Equation aux valeurs propres de H où E est l’énergie de la particule.
Où H est l’opérateur associé à l’énergie : appelée opérateur hamiltonien du système ou plus souvent hamiltonien
V(r) 2m
Hˆ
2
+
∆
−
∂ =
= ∂ h
h t i
Pr : J. Meziane
b) Equation de Schrödinger indépendante du temps : solution stationnaire Pour chercher une solution qui ne dépend pas du temps (solution stationnaire) : L’énergie ne dépend pas du temps 0
t E =
∂
∂
Et de même pour son hamiltonien 0 t Hˆ
∂ =
∂
Système stable isolé
t) (r, E t) t (r,
i Ψ = Ψ
∂
h ∂ dt
i E d
= h Ψ
Ψ (r,t) A(r)e
t iE - h
= Ψ A t = 0
(r) A(r)
(r,0)= =ϕ
Ψ h h
t iE t -
iE -
e (r) e
(r,0) t)
(r, = Ψ =ϕ
Ψ
(r) (r) t) (r, t) (r, t)
(r, 2 =Ψ* Ψ = ϕ* ϕ
Ψ
Ψ* est le conjugué complexe de Ψ
Indépendante du temps Etat stationnaire L’équation de Schrödinger
t) (r, V(r) t) 2m (r,
- t) t (r, i
2
Ψ +
∆Ψ
=
∂ Ψ
∂ h
h Pour
h t i E
e-
(r) t) (r, = ϕ Ψ
Donne
(r) V(r) 2m (r)
- (r) E
2 ϕ ϕ
ϕ = h ∆ +
Equation de Schrödinger indépendante du temps (r)
E (r) Hˆ
ϕ = ϕ Equation aux valeurs propres E : valeur propre de Ĥ
Φ(r) : vecteur propre de Ĥ
c) Principe de correspondance : à tout grandeur physique mesurable est associé un opérateur qui agit sur la fonction d’onde comme suite
i x Pˆ P
i Pˆ v m P
i t Hˆ Ep Ec E
x x
→
→ ∂
− ∂
=
→
∇
−
=
→
=
∂
= ∂
→ +
=
X x
R r
h hr r r
r
h
t) (r, x t) (r, X
t) (r, r t) (r,
t) x (r, i t) (r, Pˆ
t) (r, i
t) (r, Pˆ
t) (r, E t) t (r, i t) (r, Hˆ
x
Ψ
= Ψ
Ψ
= Ψ
∂ Ψ
− ∂
= Ψ
Ψ
∇
−
= Ψ
Ψ
=
∂ Ψ
= ∂ Ψ
R
h hr r
h
H : Hamiltonien Opérateur énergie
t) (r, p t) (r, i P i t) x (r, i t) (r,
Pˆx Ψ =− xΨ = xΨ
∂
− ∂
=
Ψ h hh
px est la valeur propre de l’opérateur Pˆ x
t) (r, E t) (r, i E i t) t (r, i t) (r,
Hˆ Ψ = Ψ = Ψ
∂
= ∂
Ψ h hh
Pr : J. Meziane
E est la valeur propre de l’opérateur Hˆ
t) (r, p t) (r, -
t) (r,
Pˆ2 Ψ = h2∆Ψ = 2Ψ p2 est la valeur propre de l’opérateur Pˆ 2
d) Equation de Schrödinger : Procédure générale 1) Déterminer l’énergie totale de la particule :
E = Ec + Ep mv V(r)
2 1
E= 2 +
2) Trouver une relation entre l’énergie et la quantité de mouvement p = mv m V(r)
2 P E
2 +
= 3) Appliquer le principe de correspondance
i x Pˆ P
i Pˆ v m P
i t Hˆ Ep Ec E
x x
→
→ ∂
− ∂
=
→
∇
−
=
→
=
∂
= ∂
→ +
=
X x
R r
h hr r r
r
h
4) Remplacer chaque grandeur par son opérateur équivalent
( )
V(R)V(R) 2 2
i i t
Hˆ 2
2
+
∆
−
=
∇ +
= −
∂
= ∂
m m
r h h h
Soit à une seule dimension
x V(X) V(X) 2
2 i x i t
Hˆ
2 2 2 2
∂ +
− ∂
= +
∂
− ∂
∂ =
= ∂
m m
h h h
5) Appliquer l’équation obtenue en (4) à une fonction d’onde Soit Ψ(rr, t) la fonction d’onde associée à la particule.
t) , r ( E t) , r ( V(R) t)
, r 2 (
t) , r t ( i t) , r (
Hˆ r h2 r r r
r h
Ψ
= Ψ +
∆Ψ
−
=
∂ Ψ
= ∂
Ψ m
Soit à une seule dimension
(5) t) (x, E t) (x, V(X) t)
x (x, t) 2
t (x, i t) (x, Hˆ
2 2
2 Ψ + Ψ = Ψ
∂
− ∂
=
∂ Ψ
= ∂
Ψ m
h h
6) Dans le cas d’un système stationnaire
L’énergie ne dépend pas du temps 0 t E =
∂
∂
Et de même pour son hamiltonien 0 t Hˆ
∂ =
∂
L’équation (5) s’écrit :
t) , r ( E t) , r ( V(R) t)
, r 2 (
t) , r t ( i t) , r (
Hˆ r h2 r r r
r h
Ψ
= Ψ +
∆Ψ
−
=
∂ Ψ
= ∂
Ψ m
Où
Pr : J. Meziane
(r) e
t) (r,
t i E
- h ϕ
= Ψ Soit
(r) E (r) V(R) 2 (r)
(r) Hˆ
2 ϕ ϕ ϕ
ϕ =− ∆ + =
m h Où encore :
(r) V(R) 2m (r)
(r) E
2 ϕ ϕ
ϕ =− h ∆ +
Equation de Schrödinger indépendante du temps (r)
E (r) Hˆ
ϕ = ϕ Equation aux valeurs propres E : valeur propre de Ĥ
Φ(r) : vecteur propre de Ĥ
Pr : J. Meziane
Chapitre III : Etude de quelques systèmes quantiques : Etats stationnaires
a) Équation de Schrödinger indépendante du temps Cas d’une particule plongé dans un potentiel V(r) i) Son énergie totale :
m V(r) 2 V(r) p 2mv
E 1 E E
2 2
p
c+ = + = +
=
ii) Sa quantité de mouvement (son impulsion) p = m v Son Hamiltonien
m V(R) 2 P P) H(R,
2 +
=
On fixe E, on calcule les fonctions propres (états stationnaires) d’une particule soumise à un potentiel V(r)
En utilisant le principe de correspondance 2m V(R) - H
2 ∆+
= h L’équation de Schrödinger devient
(r) E (r)
Hϕ = ϕ
(r) V(R) 2m (r) - (r) E
2 ϕ ϕ
ϕ = h ∆ +
Equation de Schrödinger indépendante du temps Equation de Schrödinger stationnaire
Soit
0 (r) V(R)) E
( m (r)
2
2 ∆ϕ + − ϕ =
h Pour une seul dimension
0 (x) V(X)) E
( dx (x)
d m
2 2
2
2 ϕ + − ϕ =
h
2) Exemples de calcul de ψ à une dimension ψ(x, t)
2.1) Particule dans un puits de potentiel : Boite quantique
On considère une particule enfermée dans une boite unidimensionnelle.
Ce système est décrit par le potentiel suivant :
>
<
∞
≤
= ≤
L et x 0 Pour x ,
L x 0 Pour V(x) 0,
Fig. 2.1-Puit de potentiel L’énergie totale
m 2
k m 2 V(x) p 2mv
E 1 E E
2 2 2 2
p c
=h
= +
= +
=
L’équation de Schrödinger stationnaire est V
Zone II Zone III Zone I
0 L x
Pr : J. Meziane
0 (x) V(x)) E
( dx (x)
d m
2 2
2
2 ϕ + − ϕ =
h
Il faut résoudre l’équation de Schrödinger dans les trois zones.
Dans la zone II, V (x) = 0 l’équation de Schrödinger devient 0 (x) E dx (x)
d m
2 2
2 2
= + ϕ h ϕ
On remplaçant E par sa valeur
0 m (x)
2 (x) k dx
d m 2
2 2 2
2 2
=
+ ϕ
ϕ h
h
0 (x) k dx (x)
d 2
2
2 ϕ + ϕ =
La solution, exprimée avec les fonctions cosinus et sinus, est φ(x)= C sin(kx) + D cos(kx) dans la zone II et l’énergie qui lui correspond est
m 2 E k
2
h2
= Dans les zones I et III
A cause des murs de potentiel infiniment hauts en x = 0 et x = L, la particule ne peut pas se trouver à l'extérieur de l'intervalle [0, L]
Sa fonction d'onde doit donc nécessairement s'annuler dès que x atteint les bornes de l'intervalle.
φ(x) = 0 dans les zones I et III Nous avons donc
>
<
≤
≤
= +
L et x 0 x , 0
L x 0 Dcos(kx), sin(kx)
(x) C ϕ
La fonction φ(x) est une fonction continue en x = 0 et x = L.
La condition de continuité en x = 0 que D vaut 0.
En effet
0 D 0 ) (0 )
(0+ =ϕ − = ⇒ =
ϕ
La condition de continuité en x = L donne C doit être ≠ 0. Si non φ(x) sera nul 0
) (L sin(kL) C
)
(L− = =ϕ + =
ϕ
π n kL=
L k = nπ
Le vecteur k ne peut prendre que des valeurs discrètes nπ/L.
L’impulsion correspondante p vaut
L k n p
p n π
h h =
=
=
On dit alors que k et p sont quantifiés. La quantification de k implique donc aussi la quantification de l’énergie E de la particule :
2 2 2 2 2 2 2 2 2
L m.
8 n h L m.
2 n m
2
E=h k =h π = E varie comme n2 L’énergie est aussi quantifiée.
Normalisation de la fonction d’onde dans la zone II
Pr : J. Meziane
>
<
≤
= ≤
L et x 0 x , 0
L x 0 , L x) sin(n (x) C
n
ϕ π
La condition de normalisation de la fonction d’onde est
dx L x) (n sin C dx (x) dx
(x)
L
0 2 2 L
0
2
2
∫ ∫
∫
= =+∞
∞
−
ϕ π ϕ
a) ( cos 2 1 (a) sin 2 (a) sin a) ( cos ) 2 (
cos a = 2 − 2 = 2 − =− 2
1 L x)dx
cos(2n 2 dx
dx C L x) (n sin C
L
0 L
0 L 2
0 2 2
=
+
=
∫ ∫
∫
π π2 1 C 2 L=
L C= 2 La fonction d’onde normalisée est donc
>
<
≤
= ≤
L et x 0 x , 0
L x 0 , L x) sin(n L
2
n(x) ϕ π
0 L E0 , n = 1 x 4E0 , n = 2 9E0 , n = 3 16E0, n = 4 fn(x)
Fig. 2.2 – Etats propre fn(x) placées verticalement La densité de probabilité ||φ(x)||2 vaut
>
<
≤
= ≤
L et x 0 x , 0
L x 0 , L x) (n Lsin 2 (x)
2 2
n
ϕ π
2.3) Barrière de potentielle : Effet tunnel
>
<
≤
≤
= >
L et x 0 x , 0
L x 0 0, V(x) V0
Pr : J. Meziane
Fig. 2.3 – Effet tunnel
0 L
V
Zone I Zone II Zone III
x V0
Envisageant le cas d’une particule incidente depuis la gauche
Une particule arrive depuis x < 0 (depuis -∞) sur la barrière de potentiel V0
Résolvons le problème dans le cadre de la mécanique quantique.
L’énergie totale
m V(x) 2 V(x) k m
2 V(x) p 2mv
E 1 E E
2 2 2
2 p
c + = + = + =− +
= h
L’équation de Schrödinger stationnaire est
0 (x) E) V(x) ( dx (x)
d m
2 2
2 2
=
− +
−h ϕ ϕ
En multipliant par(-1)
0 (x) V(x)) E
( dx (x)
d m
2 2
2
2 ϕ + − ϕ =
h
Il faut résoudre l’équation de Schrödinger dans les trois zones I, II et III.
a)Dans la zone I et III, v(x) = 0 ; l’équation de Schrödinger s’écrit :
0 (x) E dx (x)
d m
2 2
2 2
= + ϕ h ϕ
E est l’énergie de la particule :
m 2 E k
2
h2
= On remplaçant E par sa valeur
0 m (x)
2 (x) k dx
d m 2
2 2 2
2
2 ϕ +h ϕ =
h
En devisant par m 2 h2
0 (x) k dx (x)
d 2
2
2 ϕ + ϕ =
La solution est
φI(x) = A1 exp(ikx) + B1 exp(-ikx) φIII(x) = A3 exp(ikx) + B3 exp(-ikx) k est donné par :
h mE k= 2
B3 vaut 0 car dans la zone III, il n’y a pas de particule allant dans la direction négative.
Pr : J. Meziane
φIII(x) = A3 exp(ikx) b) Dans la zone II.
L’équation de Schrödinger est
0 (x) ) V E ( dx (x)
d m
2 2 0
2 2
=
−
+ ϕ
h ϕ
b.1) Cas E < V0 (E - V0 ) < 0 : Effet tunnel
L’énergie E de la particule est inférieure à V0. En mécanique classique, la particule est réfléchie par la barrière de potentiel.
0 ) (x) V - E ( m (x) 2 dx
d
2 0 2
2
=
+ ϕ
ϕ h
Soit
0 (x) K dx (x)
d 2
2
2 ϕ − ϕ =
Où
h ) E m(V
K 2 0−
= La solution est :
φII(x) = A2 exp(Kx) + B2 exp(-Kx) h
) E m(V K= 2 0−
0 L
V V0
x E
On défini
||A1||2 donne la probabilité de la particule allant de gauche à droite.
||A3||2 donne la probabilité de trouver la particule dans la zone III.
Soit le rapport r = B1/A1 coefficient de réflexion en amplitude dans la zone I.
Soit le rapport t = A3/A1 coefficient de transmission en amplitude.
Appelons le rapport R = ||B1||2/||A1||2 coefficient de réflexion dans la zone I.
Appelons le rapport T = ||A3||2/||A1||2 coefficient de transmission de la zone I à la zone III en traversant la barrière de potentiel.
Nous devons imposer la continuité de en x = 0 et x = L, ainsi que la continuité de (dφ/dx) en x
= 0 et x = L. Donc
=
=
=
=
) L dx ( ) d L dx ( d
) 0 dx ( ) d 0 dx ( d
) L ( ) L (
) 0 ( ) 0 (
III II
II I
III II
II I
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
=
−
−
=
−
= +
+
= +
exp(ikL) ikA
exp(-KL) KB
exp(KL) KA
KB KA ikB ikA
exp(ikL) A
exp(-KL) B
exp(KL) A
B A B A
3 2
2
2 2 1
1
3 2
2
2 2 1 1
Pr : J. Meziane
=
−
= +
−
=
− +
= +
L) exp(ik A
ik exp(-KL) KB
exp(KL) KA
L) exp(ik A
exp(-KL) B
exp(KL) A
) B K(A ) B (A ik
B A B A
1 3
1 2
2
1 3
2 2
2 2 1
1 1
2 2 1 1
− +
=
= +
+ +
= −
+ −
= +
KL) L )exp(ik K
ik (K 2 B A
KL) - L )exp(ik K
ik (K 2 A A
K ) ik (K 2 ) B K
ik (K 2 B A
K ) ik (K 2 ) B K
ik (K 2 A A
1 1
3 2
1 1
3 2
1 1
1 1
2
1 1
1 1
2
+ +
−
= +
−
− +
+
= +
) ik K ( B ) ik K ( A KL) L )exp(ik ik
(K A
) ik K ( B ) ik K ( A KL) - L )exp(ik ik
(K A
1 1
1 1
1 1
3
1 1
1 1
1 1
3
En divisant le premier par A1(K+ik1) et le second par A1(K - ik1)
− + +
= +
+ + −
=
ik K
ik r K 1 KL) L exp(ik t
ik K
ik r K 1 KL) - L exp(ik t
1 1 1
1 1 1
Où t = A3/A1 et r = B1/A1
En multipliant le premier par (K+ik1)/(K-ik1) et le second par (K - ik1)/(K+ik1)
+ +
= − + +
−
− +
= +
− +
ik r K
ik KL) K
L exp(ik ik t
K ik K
ik r K
ik KL) K
- L exp(ik ik t
K ik K
1 1 1
1 1
1 1 1
1 1
1 1 1
1 1
1 1 1
1 1
ik K
ik -K ik K
ik KL) K
L exp(ik ik
K ik -K KL) - L exp(ik ik
K ik t K
+
−
−
= +
+
+
−
− +
En multipliant par (K+ik1) (K -i k1)
(
K ik)
exp(ik L-KL)4ik-(
KK ik)
exp(ikL KL)t
1 2
1 1
2 1
1
+
−
= +
(
K ik)
exp(-K L)1-(
K ik)
exp(KL)) L exp(ik
K
t 4ik 2
1 2
1 1 1
−
= +
(
k K)
sinh(KL)1 2ik K cosh(KL)) L exp(ik
K t 2ik
1 2
2 2 1 1
1
+
−
= −
(
12 22)
2 2 12 222 2 2 1 2
1 2 2 3
K 4k (KL) sinh K
k
K 4k A
t A
T= = = + +
[ ]
1
0 0
2 2
1 2 3
V 1 E V 4 E
exp(KL) -
exp(-KL) 1
A T A
−
− +
=
=
Pr : J. Meziane
Le fait que T soit non nul montre qu’il y a une probabilité non nulle pour que la particule traverse la barrière de potentiel et ressorte dans la zone III.
Et cela malgré que l’énergie cinétique des électrons E < V0
C’est ce qu’on appelle l’effet tunnel.
Pour KL >> 1
exp(-2KL) V
1 E V 4 E T
0 0
−
=
h ) E m(V
K 2 0−
=
L’effet tunnel décroît exponentiellement avec L et m1/2.
Les particules légères comme les électrons ont une probabilité plus grande de faire un effet tunnel que les particules plus lourdes.
b.2) Cas E > V0
Dans la zone II. L’équation de Schrödinger est
0 (x) ) V - E ( dx (x)
d m
2 2 0
2
2 ϕ + ϕ =
h La solution est :
φII(x) = A2 exp(ik2x) + B2 exp(-ik2Kx) h
) V m(E
k2 2 − 0
= Dans la zone I et III La solution est :
φI(x) = A1 exp(ik1x) + B1 exp(-ik1x) φIII(x) = A3 exp(ik1x)
h mE k1 = 2
2 0 2
2 1 2 2
mV 2 mE k 4
k + = h − h
2 2 0
1 2 2
mV k 2
k − =− h
) V m E(E
k 2
k1 2 = 2 − 0
h
0 L
V V0
x E
Nous devons imposer la continuité de en x = 0 et x = L, ainsi que la continuité de (dφ/dx) en x = 0 et x = L. Donc
Pr : J. Meziane
=
=
=
=
) L dx ( ) d L dx ( d
) 0 dx ( ) d 0 dx ( d
) L ( ) L (
) 0 ( ) 0 (
III II
II I
III II
II I
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
=
−
−
=
−
= +
+
= +
L) exp(ik A
ik L) exp(-ik B
ik L) exp(ik A
ik
B ik A ik B ik A ik
L) exp(ik A
L) exp(-ik B
L) exp(ik A
B A B A
1 3
1 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2 1 1 1 1
1 3
2 2
2 2
2 2 1 1
=
−
= +
−
=
−
+
= +
L) exp(ik A
ik L) exp(-ik B
ik L) exp(ik A
ik
L) exp(ik A
L) exp(-ik B
L) exp(ik A
) B (A k ) B (A k
B A B A
1 3
1 2
2 2 2
2 2
1 3
2 2
2 2
2 2 2 1 1 1
2 2 1 1
− +
=
= +
+ +
= −
+ −
= +
)L) k )exp(i(k k
k (k 2 B A
)L) k - )exp(i(k k
k (k 2 A A
k ) k (k 2 ) B k
k (k 2 B A
k ) k (k 2 ) B k
k (k 2 A A
2 1 2
1 2 3 2
2 1 2
1 2 3 2
2 1 2 1 2
1 2 1 2
2 1 2 1 2
1 2 1 2
+ +
−
= +
−
− +
+
= +
) k k ( B ) k k ( A )L) k )exp(i(k k
(k A
) k k ( B ) k k ( A )L) k - )exp(i(k k
(k A
1 2 1 1 2 1 2
1 1
2 3
1 2 1 1 2 1 2
1 1
2 3
En divisant le premier par A1(k2+k1) et le second par A1(k2 - k1)
− + +
= +
+ + −
=
k k
k r k 1 )L) k exp(i(k t
k k
k r k 1 )L) k - exp(i(k t
1 2
1 2 2
1
2 1
1 2 2
1
En multipliant le premier par (k2+k1) /(k2 - k1) et le second par (k2 - k1)/(k2+k1)
+ +
= − + +
−
− +
= +
− +
k r k
k )L) k
k exp(i(k k t
k k k
k r k
k )L) k
k - exp(i(k k t
k k k
2 1
1 2 2
1 2
1 1 2
1 2
1 2 2
1 1
2 1 2
2 1
1 2 1 2
1 2 2
1 2
1 1 2 2 1 1
2 1 2
k k
k -k k k
k )L) k
k exp(i(k k
k k -k )L) k - exp(i(k k
k k t k
+
−
−
= +
+
+
−
− +
En multipliant par (k2+k1) (k2 - k1)
(
k k)
exp(i(k -k )L)4k-(
kk k)
exp(i(k k )L)t
2 1 2
1 2 2
1 2
1 2
2 1
+
−
= +
(
k k)
exp(-ik L)1-(
k k)
exp(ik L)) L exp(ik
k t 4k
2 2
1 2 2 2
1 1 2
2 1
−
= +
(
k k)
sin (k L)k 4k
k 4k A
t A T
2 2 2
2 2 2 1 2 2 2 1
2 2 2 1 2
1 2 2 3
−
= +
=
=
Pr : J. Meziane
−
+
=
V 1 E V 4 E
L) (k 1 sin
T 1
0 0
2 2
T max T = 1 pour
0 L) (k sin2 2 = Donc
L k n n L
k2 = π ⇒ 2 = π Transmission complète (T = 1) pour k2L = nπ.
T minimale Tm
1 L) (k sin2 2 =
( )
1 2 n 2 L
k2 = + π
2 0
0
m (2 )
) (
T 4
V E
V E E
−
= −
Transmission en fonction de l’énergie de la particule :
+ >
−
− + <
−
−
=
0 2
2 2 0 0
0 2 0 2 0 0
0
pour L) (k sin )
( 4
) (
4
pour (KL) sinh )
( 4
) (
4 T
V V E
V E E
V E E
V V E
E V E
E V E
2.4) Marche de potentiel
<
= >
0 x , 0
0 x , V(x) V0
V
Fig. 2.4 –Barrière de potentiel 0
Zone I Zone II
x V0
Soit une particule d’énergie cinétique, en x < 0, égale à :
0
2 V
2mv E=1 >
Du point de vue classique, la situation est simple : la particule passe par dessus la barrière en venant de x < 0.
Qu’en est-il du point de vue quantique ? Dans la zone I, nous avons vu que
φI(x) = A1 exp(ik1x) + B1 exp(-ik1x) h
mE k1= 2