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PREPA COURCELLES DEUXIEME ANNEE 1

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Academic year: 2022

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1

Convergence en loi et Scilab

1. Rappel du tracé d’un histogramme et du graphe d’une densité

Génération de 1 000 000 de nombres distribués selon une loi normale 𝒩(3,4), représentation de la statistique ainsi créée sous forme d’un histogramme comportant 20 classes et mise en évidence de la densité correspondante

x=grand(1000,1000,'nor',3,2); a=-5:0.01:15;

histplot(20,x),plot2d(a,1/(sqrt(2*%pi)*2)*exp(-1/2*(a-3)^2/2)) ans =

column 1 to 14

0.000011 0.000045 0.000277 0.001398 0.005255 0.016907 0.042705 0.087233 0.140359 0.181577 0.186886 0.153245 0.100247 0.052405

column 15 to 20

0.021713 0.007349 0.001942 0.000372 0.00006 0.000014

(2)

2

2. Approximation d’une loi de Poisson 𝓟 𝝀 par une loi normale 𝒩(𝝀,𝝀)

Génération de 1 000 000 de nombres distribués selon une loi de Poisson 𝒫 20 , représentation de la statistique ainsi créée sous forme d’un histogramme comportant 50 classes et mise en évidence de la densité correspondant à 𝒩(20,20)

Pour bien échelonner le graphique, il convient de déterminer les valeurs prises par une variable X qui suit une loi 𝒫 20 :

--> x=grand(1000,1000,'poi',20); m=tabul(x,'i') m =

2. 2.

3. 2.

4. 17.

5. 55.

6. 202.

7. 575.

8. 1369.

9. 2904.

10. 5776.

11. 10704.

12. 17651.

13. 27159.

14. 39163.

15. 51846.

16. 64371.

17. 76078.

18. 84290.

19. 88939.

20. 88435.

21. 84864.

22. 76608.

23. 67089.

24. 55660.

25. 44581.

26. 34060.

(3)

3 27. 25239.

28. 18125.

29. 12537.

30. 8396.

31. 5289.

32. 3329.

33. 1993.

34. 1166.

35. 674.

36. 428.

37. 197.

38. 114.

39. 68.

40. 25.

41. 14.

42. 2.

43. 2.

44. 1.

45. 1.

Dès lors, le graphe de la densité sera fondé sur des abscisses comprises entre 2 et 45

--> x=grand(1000,1000,'poi',20); a=2:0.01:45; histplot(50,x), plot2d(a,1/(sqrt(2*%pi)*sqrt(20))*exp(-1/2*(a-20)^2/(sqrt(20)))) ans =

column 1 to 16

0.000014 0.000055 0.00017 0.000541 0.001363 0.

0.002969 0.005971 0.010683 0.017612 0. 0.02693 0.038862 0.051913 0.064589 0.

column 17 to 32

0.076105 0.084488 0.088783 0.089105 0. 0.084042 0.076924 0.067251 0.055417 0. 0.044475 0.034248 0.02547 0.018053 0. 0.01222

column 33 to 48

(4)

4

0.008304 0.005445 0.003311 0. 0.00201 0.001176 0.000685 0.000403 0. 0.000208 0.000102 0.000044 0.000031 0. 0.000014 0.000006

column 49 to 50 0.000007 0.000001

(5)

5

3. Approximation d’une loi binomiale 𝑩 𝒏,𝒑 par une loi normale 𝒩(𝒏𝒑,𝒏𝒑𝒒)

Génération de 1 000 000 de nombres distribués selon une loi binomiale B 30,0,8 , représentation de la statistique ainsi créée sous forme d’un histogramme comportant 50 classes et mise en évidence de la densité correspondant à 𝒩(24 ; 4,8)

Pour bien échelonner le graphique, il convient de déterminer les valeurs prises par une variable X qui suit une loi B 30,0,8 :

--> x=grand(1000,1000,'bin',30,0.8); m=tabul(x,'i') m =

11. 2.

12. 2.

13. 12.

14. 61.

15. 182.

16. 659.

17. 2170.

18. 6464.

19. 15950.

20. 35516.

21. 67630.

22. 110765.

23. 154032.

24. 179049.

25. 172297.

26. 132664.

27. 78475.

28. 33640.

29. 9233.

30. 1197.

Dès lors, le graphe de la densité sera fondé sur des abscisses comprises entre 11 et 30

(6)

6

--> x=grand(1000,1000,'bin',30,0.8); a=11:0.01:30;

histplot(50,x),plot2d(a,1/(sqrt(2*%pi)*sqrt(4.8))*exp(-1/2*(a- 24)^2/(sqrt(4.8))))

ans =

column 1 to 22

0.000002 0. 0.00001 0. 0. 0.000043 0. 0. 0.000169 0. 0. 0.00065 0. 0.002204 0. 0. 0.006487 0. 0.

0.015948 0. 0.

column 23 to 44

0.035306 0. 0.067787 0. 0. 0.110775 0. 0.

0.153226 0. 0. 0.179629 0. 0. 0.173217 0.

0.131966 0. 0. 0.078384 0. 0.

column 45 to 50

0.033617 0. 0. 0.009364 0. 0.001216

(7)

7

4. Approximation d’une loi binomiale 𝑩 𝒏,𝒑 par une loi de Poisson 𝓟(𝒏𝒑)

Génération de 1 000 000 de nombres distribués selon une loi binomiale B 30,0,8 , et de 1 000 000 de nombres distribués selon une loi de Poisson 𝒫(24) et représentation des statistiques ainsi créées sous forme d’histogrammes comportant 20 classes

x=grand(1000,1000,'poi',80); y=grand(1000,1000,'bin',100,0.8);

histplot(50,x),histplot(50,y)

(8)

8 5. Application du théorème de la limite central

a. Rappel du théorème

Soit une suite de n variables aléatoires indépendantes 𝑋!,𝑋!,…,𝑋! qui suivent la même loi de probabilité

Soit :

𝑋!=1 𝑛 𝑋!

!

!!!

Dans ce cas :

𝑋! =𝑋!−𝐸(𝑋!)

𝑉(𝑋!) 𝒩(0,1) Soit

𝐸 𝑋! =𝐸 𝑋! =⋯=𝐸(𝑋!)=𝑚 𝑉 𝑋! =𝑉 𝑋! =⋯=𝑉(𝑋!)=𝜎! Dans ce cas :

𝐸 𝑋! =𝐸 1 𝑛 𝑋!

!

!!!

=1

𝑛 𝐸(𝑋!)=

!

!!!

1

𝑛 𝑚=1

𝑛𝑛𝑚=𝑚

!

!!!

𝑉 𝑋! =𝑉 1 𝑛 𝑋!

!

!!!

= 1

𝑛! 𝑉(𝑋!)=

!

!!!

1

𝑛! 𝜎!= 1

𝑛!𝑛𝜎! =𝜎! 𝑛

!

!!!

On a alors :

𝑋! = 𝑋!−𝑚 𝜎

𝑛

𝒩(0,1)⟺𝑋! = 𝑛𝑋!−𝑚

𝜎 𝒩(0,1)

b. Exemple

Soit une suite de n variables aléatoires indépendantes 𝑋!,𝑋!,…,𝑋!" qui suivent la même loi 𝑈 0,1 . Dans ce cas :

𝐸 𝑋! =𝐸 𝑋! =⋯=𝐸(𝑋!")=0+1

2 =1 2 ;

𝑉 𝑋! =𝑉 𝑋! =⋯=𝑉(𝑋!")= 1−0 !

12 = 1 12

𝑋!"= 1

12 𝑋!

!"

!!!

𝑋!" = 12𝑋!"−1

2 121

=12 1 12 𝑋!

!"

!!!

−1

2 = 𝑋!

!"

!!!

−6 𝒩(0,1)

(9)

9

c. Traduction de l’exemple en Scilab en simulant N fois la variable 𝑋!" --> N=input('N? : '),x=-6:0.01:6;y=zeros(1,N);

for k=1:N do y(k)=sum(rand(1,12))-6;end,

histplot(10,y),plot2d(x,1/sqrt(2*%pi)*exp(-x^2/2)) N? : 1000000

N = 1000000.

ans =

0.000078 0.002513 0.027668 0.130297 0.28991 0.320088 0.176838 0.046963 0.00541 0.000235

(10)

10

Comparaison avec une variable qui suit une loi normale centrée réduite --> N=input('N? : '),x=grand(1,N,'nor',0,1);

a=-6:0.01:6;histplot(10,x),plot2d(a,1/sqrt(2*%pi)*exp(-a^2/2)) N? : 1000000

N =

1000000.

ans =

0.000134 0.003244 0.03451 0.161774 0.337905 0.310753 0.127153 0.022739 0.001727 0.000061

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