Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚1
Logique, raisonnement, in´ egalit´ es
Exercice 1 (Transitivit´e de l’implication, transitivit´e de l’´equivalence) SoientP, Q, R trois propositions logiques.
1. Montrer que la proposition
((P⇒Q) et (Q⇒R)) ⇒(P ⇒R) est vraie.
2. Montrer que la proposition
((P⇔Q) et (Q⇔R)) ⇒(P ⇔R) est vraie.
Exercice 2 (Un r´eel de carr´e sup´erieur `a 1 n’est pas n´ecessairement plus grand que 1) SoitP la proposition
(∀x∈R) (x2≥1)⇒(x≥1).
1. ´Ecrire la n´egation deP.
2. Montrer queP est fausse.
Exercice 3 (La racine carr´ee n’est pas additive) SoitP la proposition
(∀a∈R+) (∀b∈R+) √
a+b=√ a+√
b.
1. ´Ecrire la n´egation deP.
2. Montrer queP est fausse.
Exercice 4 (Ordre entre un nombre r´eel et son carr´e) SoitP la proposition
(∀x∈R) x≤x2.
La propositionP est-elle vraie ? Si elle est vraie la prouver, sinon prouver sa n´egation.
Exercice 5 (Un entier naturel est impair si et seulement si son carr´e l’est) Soitn∈N.
On rappelle quenest pair si et seulement si :
(∃k∈N) n= 2k et quenest impair si et seulement si :
(∃k∈N) n= 2k+ 1.
Montrer que :
(∀n∈N) (nest impair) ⇔ (n2est impair).
Exercice 6 (Un raisonnement par contraposition) D´emontrer que
(∀x∈R\ {−1}) (∀y∈R\ {−1}) (x6=y)⇒
x
x+ 1 6= y y+ 1
.
1
Exercice 7 (Fonction partout nulle vs. fonction qui s’annule) Soitf:R→Rune fonction.
1. Traduire `a l’aide de quantificateurs la proposition
La fonctionf est partout nulle.
2. Traduire `a l’aide de quantificateurs la proposition
La fonctionf s’annule (en au moins un point).
3. Que remarque-t-on ?
Exercice 8 (Addition, multiplication et ordre dansR)
On rappelle ci-dessous les propri´et´es fondamentales qui lient les op´erations + et×`a l’ordre≤dansR. (a) (∀x∈R) (∀y∈R) (∀a∈R) (x≤y)⇒(x+a≤y+a)
(b) (∀x∈R) (∀y∈R) (∀a∈R+) (x≤y)⇒(ax≤ay) (c) (∀x∈R) (∀y∈R) (∀a∈R−) (x≤y)⇒(ax≥ay) 1. Exprimer `a l’aide d’une phrase le sens de chacune des propri´et´es (a), (b) et (c).
2. D´emontrer que :
(∀x∈R) (∀y∈R) (∀a∈R) (x≤y)⇔(x+a≤y+a).
3. D´emontrer que :
(∀x∈R) (∀y∈R) (∀a∈R+∗) (x≤y)⇔(ax≤ay).
4. D´emontrer que :
(∀x1∈R+) (∀x2∈R+) (∀y1∈R+) (∀y2∈R+) ((x1≤y1) et (x2≤y2))⇒(x1x2≤y1y2).
Exercice 9 : (Un crit`ere de nullit´e pour les nombres r´eels) 1. D´emontrer la propositionP d´efinie par
(P) : (∀x∈R) (∀ε∈R+∗ 0≤x≤ε)⇒(x= 0).
2. La r´eciproque de la propositionP est-elle vraie ?
Exercice 10 (In´egalit´es) 1. Montrer que
(∀x∈R\ {1}) (x≥2)⇒
3
1−x ≥ −3
. 2. Montrer que
(∀x∈R) 2x2+x≥ −1 8.
Exercice 11 (Sens de variation) 1. Montrer que :
(∀x∈R∗) (∀y∈R∗) (x < y)⇒
1
y < 1 x
puis interpr´eter le r´esultat en termes de fonctions.
2. Montrer que :
(∀x∈]− ∞,2[) (∀y∈]− ∞,2[) (x < y)⇒
1−x
x−2 < 1−y y−2
puis interpr´eter le r´esultat en termes de fonctions.
2
