CALCUL MÉCANIQUE DES LIGNES ÉLECTRIQUES DANS LE CAS DE LONGUES PORTÉES EN FORTE PENTE

L A H O U I L L E B L A N C H E 41

Calcul m é c a n i q u e des lignes électriques dans le cas d e longues portées e n forte pente

(SUITE ET FIN) f1)

Dans la première partie de cette étude, l'auteur avait établi les formules mathématiques permet- tant de déterminer, dans tous les cas, d'une manière rigoureuse, les conditions de pose d'un câble Dans le présent article, il examine d'abord les solutions pratiques qui ont fait l'objet de publications dans d'autres périodiques, puis il expose la méthode de similitude employée par lui ; des exemples numériques permettent de comparer ces divers procédés.

II. — M É T H O D E S PRATIQUES D E CALCUL

1. L a méthode de la Verband deutsche El. (2), est basée sur les propriétés ci-après de la chaînette, approximatives mais suffisamment exactes dans le cas des portées inclinées habi- tuelles :

a) L e lieu des milieux des cordes parallèles à une direction fixe est une droite verticale passant par le point de contact de la tangente parallèle à celte direction.

b) D a n s les formules (1) et (2) (x) donnant Y et l en fonction de x, on peut, négliger y— j à partir de la puissance trois.

c) L a tension m o y e n n e Tm de la portée inclinée A B est la tension au point de contact de la tangente parallèle à A B .

Il en résulte alors, pour la flèche la valeur :

Vx + y%

(1) Voir la Houille Blanche d e mai-juin 1926.

(2) Voir la R. G. E. d u 1 0 m a i 1 9 2 4 .

expression dans laquelle ym est l'ordonnée d u point de contact dont l'abscisse est considérée c o m m e égale à

3-2 ~T"

L'équation (1) (*) permet d'exprimer y^y^ en fonction de x, x9

et donne aussi :

, , 1

\ m 2 m

Fig. 2

Par des transformations successives et en négligeant les puissances de — supérieurs a quatre, on trouve, en portant ces expressions de yx y2 ym dans celle de / :

' ~ 8 m

11 x1 + x2\ COS h I . ]

m

L a formule (8) (*), devient, d'autre part, u n négligeant les , d

puissances de supérieures a trois : s m •1 x, +

m

(1) Voir la Houille Blanche d e i-juin 1926.

J E JFt .F* A T U M

N o 117-118, Septembre-Octobre 1926 : Compensateurs de phase pour Moteurs asynchrones.

P a g e 153, ?e formule, lire :

îiû ^{a u h e u d e} m

P a g e 153, colonne d e droite, -4e ligne après la figure, lire : B;, B , au H e u d e B , B.,

P a g e 153, colonne d e droite, 1 7e ligne après !i fï^ure, lire : e'I e"2 a u lieu d e e'3 e".,

P a g e loi, colonne d e g a u c h e , dans les formules, P =: .. , Q : lire :

P a u lieu d e »

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1927008

E n élevant au carré ces deux équations et les retranchant ensuite m e m b r e à m e m b r e :

1 ~ ~ 6 4 m* ' \ & dy-.

O n se rappelle que le module m représente yy, T⁰ étant la tension au point S et II la force externe appliquée au câble par unité de longueur.

D e l'hypothèse (a) résulte :

2 d T⁰ ~ T ^m cos ç = T^m . g et, par suite :

(•12) N . a b -

8 T^m

Enfin, de l'équation (2), par des transformations analogues aux précédentes et avec les m ê m e s approximations, on tire, pour la longueur « / » de l'arc de la chaînette A B :

(13)

1

î — A B -f- g/ . ⁸

Les formules (12) et (13) étant de la m ê m e forme que celles ci-après relatives aux chaînettes horizontales

„ * . (2 d)*

8 Tⁿ 'o — ^{1 a} ~T 2 4 • — r ~ 2 —

L

-,

i

représentées par les abaques de M . Blondel, le calcul de / et

Fig. 3

de T^m pourra être effectué au m o y e n de ces abaques dans les- quels on entrera avec A B et T ^m au lieu de 2 d et T⁰.

O n sait que, en plus des approximations précédemment énu- mérées, l'emploi de ces abaques en implique une quatrième qui consiste à négliger le produit

a(l — A B )

L e calcul de la tension au point le plus haut est ici très simple puisque, par suite des approximations admises :

T = T A + N / + N |

2. M . Bachet Q) préconise u n procédé de calcul, applicable à toutes les portées inclinées, qui aboutit aussi à l'utilisation des abaques de M . Blondel. Les approximations admises sont les suivantes :

a) Pour une portée fixe et u n m ê m e câble on peut négliger le carré de la variation de longueur de l'arc A B résultant des variations de T⁰.

(d\p

b) Les terme ^g I — 1 peuvent être remplacés par des coefficients fixes égaux à leur valeur m o y e n n e si « p » est plus grand que

quatre, tant que l'amplitude des variations du module se main- tient entre certaines limites.

c) L a variation de la longueur /' d'un câble sans tension, provoquée par une variation A 6 de la température, peut être considérée c o m m e égale à a /' A 0.

Cette approximation revient à négliger le produit A l⁰ . A 0 (en appelant /„ la longueur sans tension à o°).

d) L a variation de la longueur « / » d'un câble sous tension peut être considérée c o m m e la s o m m e algébrique, des variations qui résulteraient, séparément, d'une part de A T⁰, d'autre part de A 9 (cela est d'ailleurs mathématiquement, vrai pour des variations infiniment petites) ; de sorte que :

A / . : / (> A 0 ! À A T0)

e) L a longueur infiniment petite d /„ d'un élément de. câble au repos peut être considérée c o m m e égale, à un infiniment près d'un ordre supérieur et négligeable, à la longueur dl de l'arc élémentaire formé par ce. m ê m e élément sous tension.

D e s approximatives ci-dessus résultent : la formule :

(H)

2_dV

h

dans laquelle pi est un paramètre, fixe tant que =r ne sort pas de certaines limites, «/; » la longueur initiale, T^; la tension hori- zontale initiale, T⁰ la tension horizontale finale, et la formule :

15) _{A / = a}

h à

dans laquelle « / » est la tension finale en un point quelconque.

/; la tension initiale en ce m ê m e point.

C o m m e , par suite des propriétés connues de la chaînetle :

* = T ⁰ ^ , U = Tj fr^ , d Z = c o s / i ( ^ )

" dx dx \m/

on tire des équations (14) et (15), après une série de transforma- tions :

(16) A . A 0

l A \

24-17

Voir R. G. E. des 15 et 29 m a i 1926.

où A et B sont des constantes à déterminer pour chaque cas particulier.

Cette équation ayant la m ê m e forme que celle traduite par les abaques de M . Blondel, la détermination de T⁰ pourra être effectuée au m o y e n de ces abaques dans lesquels on entrera, non pas avec 0 et 2 d, mais avec A 6 et B (2 d).

T

A y a n t ainsi déterminé le module m = y j c'est-à-dire la chaî- nette dont fait partie l'arc correspondant à l'équilibre final, on pourra facilement calculer, soit la tension appelée m o y e n n e dans la m é t h o d e précédente, soit la tension au point le plus haut.

3. L e calcul par la méthode de similitude est basé sur la consi- dération suivante c o m n u e :

« D e u x chaînettes quelconques de module m et m' sont sem- blables et le rapport de similitude est —,. »

m

LA H O U I L L E B L A N C H E 43 D o n c si on fait coïncider en S les sommets de toutes les chaî-

nettes et si on appelle m m' m"... leurs modules, chaque rayon vecteur donne les relations :

x = — x , m m m

;/ = — ( / m

m m

i,

lj ~

ttc

e.c.

O n sait, d'autre part, que, en appelant Y Y ' Y"..., les longueurs

;/ + m , y' + m', y" + m", les tensions aux points B B ' B"...

sont II Y 11' Y* II" Y"... :

C o m m e les deuxièmes relations ci-dessus donnent :

que la longueur de l'arc P Q en fonction des éléments semblables de la chaînette A B dès que l'on connaît le rapport de similitude.

Il suffira dès lors de calculer très exactement tous les éléments géométriques d'une chaînette unique de «référence» de module

« r » ; ces calculs seront d'ailleurs assez rapides si on utilise des tables hyperboliques d'un emploi courant maintenant. O n éta- blira ainsi, au m o y e n des formules (1) et (2), pour un module m = r:

1°. U n e table y=f(x) pour des intervalles àx suffisamment petits par rapport à x.

2° U n e table des valeurs des arcs « Z^x » correspondants 3° U n e table des différences premières : &^x — l — x.

4° U n e table des rapports ^ .

D a n s la table « Z^x », intercaler les arcs L ^x, soit en les calculant directement ce qui est assez rapide puisque.

c'est-à-dire

sin h — — 2 sin h - cos h -

r . /âx = 2 /^x( y + r)

soit en les déduisant des valeurs de « Z^x » voisines au m o y e n des différences premières et secondes (formule de Newton).

5° de la table Z^x ainsi complétée on déduit la table de : -Jx — lix - 2 x

y' +^m' = (y _|_^m) , y" + m" = (y + ^m ) . . . ^etc.

O n a aussi

m

777 Y " = —— Y

m

etc.

D e m ê m e en appelant l¹ l\ l'\ ... les longueurs des arcs de chaînette S B , S B', S IV... :

777

h' = " k

Ces m ê m e s relations subsistent pour les longueurs des arcs S A , S A ' SA"..., de sorte que, les longueurs Z Z' Z"... des arcs A B , A' B', A " B"... sont aussi reliées par :

777 ^{r = ™} i

777

etc.

Enfin on sait qu'un câble suspendu entre P et Q est un segment

QÎ

d'une chaînette Q Q' de s o m m e t o, de sorte qu'en transportant par la pensée le point o eu S, le câble vient prendre la place d'une des courbes de la figure 4, et par suite les relations pré- cédentes permettent d'exprimer les tensions en P et Q ainsi

O n a ainsi tous les éléments nécessaires pour suivre les varia- tions de la tension du câble P Q quand les conditions atmosphé- riques varient ; il suffit, en effet, d'utiliser les formules (9), (9Z»is), (10), (10 bis), dans lesquelles les longueurs Z⁽¹, Z^{5 d}, s^d, sont obtenues en multipliant Z^x, Z^{2 x}, s^x, z^ix, par le rapport

.,. , m

de similitude — . r

Soit, par exemple, un câble de poids unitaire -, de portée 2 d, dont les points d'appui sont dénivelés de H et dont on connaît la tension horizontale Tj. Il s'agit de déterminer la tension horizontale T⁰ à laquelle sera soumis ce câble, à la m ê m e tem- pérature, quand une surcharge provenant d u vent ou du givre donnera lieu, par unité de longueur, à u n effort extérieur résul- tant II.

L a longueur initiale du câble sous tension est (voir formule 3) :

L,« = H - -f (2

hf-

2 ZY, est la longueur d'une chaînette horizontale de module T-

7?îi = —¹ et de portée 2 d ; celle-ci est semblable à la chaînette de référence « r » ; l'arc de « r », semblable au segment 2 P^A, a c o m m e portée

(17) 2 3 , = 2 à \ —

Connaissant ainsi x^it les tables précédentes permettent, au m o y e n de la formule de Newsten, de calculer Z'^x et Z'^ix.

C o m m e (17 w»)

on obtient (18)

m r

et Ih

là

L;

\/

77?i

L a formule (9) donne alors, pour la tension m o y e n n e initiale : H⁸

(10) T¹

A ï i'Li

L a longueur du cable au repos à la m ê m e température résulte de la formule (7) :

(20)

I + A Tⁿ

Lorsque - sera devenu I'I, le câble sera un segment de chaî- nette de tension horizontale T⁰ et de partie 2d. J'appelle 2.r la projection horizontale du segment semblable de la chaînette de référence, L la longueur du câble ainsi surchargé ; on a :

le câble et le segment semblable de la chaînette de référence ; 2 d

c o m m e , d'autre part, ce dernier rapport est aussi ç.—, on a : (IV)

ab

m

r

2_d 2 x c o m m e p q est égal à 2 d, il en résulte :

a b = 2 x

d'où la construction représentée fig.6.La longueur •< 2 /^d » est celle de l'arc psq delà chaînette de module m et de portée 2 d ; 2 Z est la longueur de l'arc asb delà chaînette de module r. O n a .

9/1 '^d " • 2 x

donc

(18') L = ^V/ H « + ( 2 / ^x| | ) "

L a tension m o y e n n e du nouvel équilibre est (voir formule 9^{b l s}) H²

2 d + I-,A / I +

/^{2 d} est la demie longueur d'un arc de chaînette horizontale de portée 2.2d et de module m; la portée semblable de la chaî-

L + (2 M ) *

où 2 /^d est l'arc d'une chaînette horizontale pq de modules T

m = —, de portée 2 d. L e rapport de similitude entre cette chaî-

m . , , . .

nette et celle de référence est : — ; c est aussi le rapport de sinu- r

litude entre le segment incliné de la chaînette dont fait partie

netle de référence est 2 . 2 d , dire 2 . 2 x. D o n c :

r 2 x

c'est-à-dire 2 . 2 d . -r-, c'est-à-

m

"1 X

2_d 2 x c o m m e , d'autre part :

lo

II _ 2_d

r ~ 2 x c'est-à-dire T „ = II la formule précédente devient :

2 d 11 . r . (22) T^m = "1 x

2 Lⁿ

2 d + /^âx

2_d 2 a:

H *

(2.1)

L a formule (7) donne alors :

M -^RF 2 x

T E T

2 d

2 d + / ,

| 4 / l +

Pour chaque valeur de x, les fables de la chamelle de référence donnent l^x, Z^{2 x}, d'où, pour le premier m e m b r e , une valeur z, et, pour le deuxième m e m b r e , une valeur z'. Par approximations successives et par la méthode graphique habituelle en pareil cas, on détermine la valeur ,T⁰ de x pour laquelle z = z\ L'équa- tion (21) donne alors la tension cherchée :

T⁰ = I I . r

1É

2 a;

Remarque. — Malgré la grande facilité qu'apporte aux calculs de (23) l'établissemenl préalable des tables /^x, /^{2 x}, il est incontestable que l'élégance et la rapidité des deux méthodes résumées aux paragraphes précédents condamneraient celle-ci si on l'employait dans les cas où l'une des deux autres suffit.

Aussi est-elle à envisager seulement pour les 1res grandes portées car, alors, on ne doit pas reculer devant la nécessité des calculs.

Néanmoins, afin de pouvoir comparer ses résultats à ceux donnés par les deux premières, je l'appliquerai à u n des exemples traités par M . Brachet.

Exemple :

2 d

- 150

-150

8 k g

II

: 0,0094 1,71 . *

L A H O U I L L E B L A N C H E 45 Je prends c o m m e chaînette de référence r = 281,69, pour la

seule raison que j'ai antérieurement Q) établi ces tables.

Remplaçant les lettres de l'exemple général ci-dessus par ces valeurs, on obtient :

par la formule (17) : 2 x-, = 24,8239 D a n s les tables de r — 281,09 on trouve : pour x = 24 ê x == 0,029

pour x = 2G ^{£ x} = 0,0369

A u m o y e n de ces différences premières, on calcule par la formule de N e w t o n :

E'x == 0,0321 donc :

ïx = 24,8239 + 0,0321 = 24,855 Par application de (17b f e) :

8

h = 24,855 = 75,09-'

et par application de (18)

Li = [/ 150" + L . (75,094)* = 212, m 2 0 5 D a n s les tables de « r » on trouve ensuite : (2)

pour 2 x == 50 t.lx = 0,2618 pour 2 x = 52 s->x •-= 0,2793 qui permettent de déterminer :

é^iyi = 0,2569 donc :

et par suite :

V,x = 49,9048

Zi: x = . -49,9048 . 0,0094 281,69 Par application de (19) :

8

+ 2 (75,094)2/. = I |k,328 (20) donne alors

212 9U5

L = — > 212m 032

0 1 + 97 . 1 0 - " . 11,328 ' L'équation (23) permet maintenant d'écrire directement

V

1 + X .

150 1,71.0,0094.281,69.^

2.212,032

m

150 + h^x ~-)0 2 x

1 +

(1) Voir Houille Blanche d e n o v e m b r e - d é c e m b r e 1925.

(2) L e calcul d e ex n'avait p a s été fait p a r 2 x *= 4 8 ,

c'est-à-dire après calcul des coefficients et simplifications : ,« r ]

150

1 +

1

m

Appelons z le premier m e m b r e et z' le second.

Pour n = 25 les tables de r donih nt

I h,

25,0329

= 50,2628 d'où :

z = 0,233

Pour x = 26 les tables de r donnent d'où :

z = 0,248 ; : 0,396

l /x = 26,0369 I Zî x = 52,2958 z = 0,3807

N o u s voyons que z'—- z est passé seulement de 0,163 à 0,1327.

E n admettant une certaine proportionnalité entre A (z' — z) et A x, on voit que z sera égal à z' pour X voisin de 30.

J'essaye alors x — 35

Les tables de r donnent : /x = 35,090 U x = 70,7226 d'où :

z = 0,374 z' = 0,2837 z' — z étant devenu négatif, je reviens en arrière :

x = 27,5 donne z = 0,263 z* = 0,36037

Enfin x = 30 donne : z = 0,299 z' = 0,3304.

L e graphique z' — z = / (x) construit à grande échelle et com- pensé au m o y e n des différences troisièmes de l'ordonnée, est une ligne presque droite, légèrement incurvée vers le haut, dont l'intersection avec l'axe des x est :

%q — 31)3

L a valeur des T0 se déduit de (21) : T0 = 1,74 .0,0094.281,69. 150

2.31,3 — IQk.85 L a valeur de la tension m o y e n n e se déduirait de (22) mais elle n'a pas grand intérêt numérique.

L a tension au point de contact de la tangente parallèle à P Q est :

cos a

= T0j / 2 = 15^,3

Comparons maintenant ces résultats à ceux obtenus par appli- cation des deux premières méthodes exposées précédemment.

Celle du § 1 serait conduite ainsi :

Tension initiale d u point de contact de la tangente parallèle à P Q :

J L = i-l,:3

cos a

E n entrant dans l'abaque Blondel avec :

portée =

l/ïbûr +

P o u r en déduire les conditions d'équilibre en surcharge II, il faut y entrer avec :

portée = 212,13 -f 1,71 = 362,74

et prendre l'intersection avec l'horizontale 81 qui donne c o m m e tension au point de contact, avec la tangente :

16k,5

au lieu de 15k,30 trouvés précédemment, par la méthode de similitude.

Q u a n d à la méthode du § 2, elle a donné à M . Brachet T0 = 1 lk

au lieu de 10,85 obtenus ci-dessus par la méthode, de similitude.

Noia. — 11 est à remarquer que l'exactitude de la méthode de similitude, bien que pouvant théoriquement, être absolue, est fortement atténuée, pour les portées de faible amplitude, c o m m e c'est le cas ici, si on ne conserve pas, dans chaque opéra- tion, au moins quatre décimales exactes.

III.— UTILISATION D U P R O C É D É «PAR SIMILITUDE»(*) L O R S Q U E LA TENSION D U C A B L E A U POINT L E PLUS H A U T EST TRÈS DIFFÉRENTE D E LA TENSION M O Y E N N E .

1. L a question des très longues portées se pose habituellement ainsi en pays accidenté :

Choisir un métal, une section de câble et des points d'attache tels que :

L a distance du sol au câble soit toujours inférieure à la limite imposée.

Q.

L a composante verticale des forces au point d'attache du bas soit toujours dans le sens de la pesanteur.

O C e procédé a, en pajtieiilicr, p e r m i s à la « Société p o u r les Applications d e l'Aluminium et des Alliages légers d e Grenoble », d e vérifier avec exactitude ses calculs d e portées d e 1.200 et 1 .400 mètres, projetées p o u r u n e ligne e n aluminium-acier actuellement e n construction d a n s la vallée d e la B o u r n e .

L a tension au point le plus haut soit toujours inférieure à celle résultant du taux de sécurité, imposé.

O n peut alors prendre le problème de deux façons différentes : 1e r cas. — O u bien déterminer d'abord graphiquement quelle est la chaînette la moins fendue (pas de. surcharge et température m a x i m a ) la mieux appropriée au terrain et chercher ensuite par le calcul pour un métal et une section donnés quelle sera la ten- sion m a x i m a d'un câble placé ainsi, lorsque les conditions atmos- phériques se modifieraient,

2e cas. — O u bien déterminer pour une portée donnée la section du câble et son métal de manière à satisfaire aux condi- tions de surcharge les plus dures et chercher ensuite si le câble ainsi posé se maintient en tous ses points à une distance suffisante du terrain lorsque les conditions atmosphériques varient.

Dans le 1e r cas, on dessinera d'abord la coupe, du terrain et des points d'attache P Q, ainsi que la chaînette de référence A B . L e s calquer ensuite sur deux feuilles transparentes pq,ub,

Fig. 7 bis

que l'on placera sur deux plaques de verre dépoli dans un appareil à agrandissement V ; en éclairant p q l'image de P R Q se projettera sur A S B . Par déplacements relatifs de l'objectif o et par glisse- ments des deux calques sur les plaques de leurs châssis, on cher- chera la position pour laquelle l'image P ' R ' Q ' de P H Q vient se placer tangcntiellement à A S B ; dans cette position, on i m m o - bilisera, par un léger collage, les deux calques sur leurs châssis, puis on rapprochera a b suffisamment pour que les points de P ' R ' Q ' les plus voisins de A S B eu soient à une distance suffi- sante (limite imposée, transposée à l'échelle de A B ) . Mesurer alors g, k et calculer :

q

F = | X f apport des échelles des deux dessins.

Placer ensuite sur A B la figure semblable au terrain ainsi réalisée ; cela revient à matérialiser sur la feuille de dessin la figure 7. Il suffit pour cela de promener parallèlement à l'incli- naison d e P Q u n e droite de longueur F. P Q dont une extrémité est appuyée sur la courbe A S B jusqu'à ce que l'autre extrémité vienne aussi sur cette courbe. Il ne reste plus qu'à vérifier l'exac- titude d u résultat, en dessinant entre les deux points de A S B ainsi obtenus la coupe d u terrain à l'échelle F, ce qui permet de s'assurer que l'écartement limite n'est atteint, en aucun point particulier tel que R'.

L a chaînette limite convenant au terrain a c o m m e module, en appelant R celui de la chaînette de référence du dessin :

H m = v

L A H O U I L L E B L A N C H E 47

Les formules du chapitre I permettant de déterminer les divers éléments de cette chaînette, on peut, en particulier, vérifier par le calcul qu'aucun point du terrain ne s'en approche à un intervalle trop faible.

Se donner ensuite un métal et une section du câble (c'est-à- dire ?:), ainsi que la température m a x i m u m © .

Puis déterminer, au m o y e n des formules déduites par le pro- cédé de similitude, c o m m e on l'a fait précédemment, de celles du chapitre I, la tension m a x i m a du câble ainsi calculé, et dans le cas le. plus défavorable. Si cette tension est supérieure à celle résultant de la limite de sécurité imposée, modifier soit l'empla- cement d u point d'attache soit le métal, soit la section.

Dans le 2^e cas. — Pour un diamètre donné D , on connaît la surcharge m a x i m a II produite à une certaine température 0 par la résultante du poids et du vent ou du givre; d'autre part pour le diamètre I) et pour chaque métal, on connaît la tension m a x i m a T admissible. Il s'agit maintenant de savoir si un câble du métal choisi, de diamètre D, tendu entre P et Q de manière à ce que la tension en P soit T pour une charge II réalisée à la température 0, satisfera au profil d u terrain pour toutes les conditions atmosphériques et si la tension m a x i m a T ne sera jamais dépassée.

E n d'autres termes la chaînette initiale étant déterminée par : T

Y , II

au point Q , ainsi que par la pente, la portée P Q, le coefficient de. dilatation a, le coefficient d'allongement ± X, il faut voir ce qu'elle devient quand la température passe de 6 à 0 et la charge de 11 à r.- Cela fait, il ne restera plus qu'à la poser sur la coupe du terrain par le procédé graphique exposé au premier cas, avec, cependant, cette simplification, que, le module de la chaînette finale ayant été calculé, et le rapport de similitude graphique F étant par conséquent connu, on pourra placer directement P' Q' sur le dessin sans avoir à se servir de l'appareil à agrandissement.

L a question est donc entièrement résolue théoriquement par les formules déduites, au m o y e n du principe de similitude, c o m m e on l'a fait précédemment, de celles des paragraphes 6 et 7 du chapitre 1. Mais j'ai annoncé dans ce chapitre la possibilité de simplifier les calculs par des constructions graphiques. U n exemple numérique va m e donner l'occasion d'exposer ces cons- tructions.

Bien que cet exemple eût dû être choisi parmi les portées exceptionnelles, j'ai pris à dessein une portée m o y e n n e à pente ordinaire afin de rester dans des limites permettent des com- paraisons avec les résultats que donneraient les méthodes uti- lisant les abaques de M . Blondel.

2. Données initiales :

3 8 2 Câbles aluminium de 37 brins de Tension m a x i m a admise par m m² : 11 kg

Projection horizontale de la portée : 2 d = 170 m .

Différence de niveau des points d'attache : II = 14 m . 45 Hypothèse qui semble la plus défavorable (^x) : vent de 72 kg.

à 10°.

Poids unitaire apparent correspondant à cette hypothèse, par m m³ de section utile : II = 0,00385 X 1,61

Dessiner d'abord très exactement à une échelle convenable une chaînette auxiliaire calculée au m o y e n des tables de la chaî- nette de référence r; cette chaînette auxiliaire de module R devra être choisie de manière à être utilisable pour tous les câbles et toutes les portées d'une m ê m e catégorie afin de n'avoir pas à recommencer pour chaque projet ce dessin préliminaire. D a n s le but de tirer partie de la remarque faite au chapitre I formule 7 ter, il sera avantageux de dessiner aussi la chaînette de module R

2 *

Si on a à étudier des portées peu inclinées, il sera préférable de prendre l'échelle des y plus grande que celle des x. Après quelques tâtonnements, on arrive à se formuler des règles pratiques qu'il serait trop long d'exposer ici et que chacun peut d'ailleurs déterminer à sa manière, desquelles on déduit certains repères permettant de faire un choix judicieux de R et des échelles.

D a n s le cas des câbles aluminium acier à 37 brins et des por- tées d u genre de celle choisie ici, j'ai pu utiliser une chaînette auxiliaire de module quadruple de la chaînette de référence utilisée dans l'exemple traité au chapitre précédent.

R = 4.r Les échelles de l'épure sont

= 4.281,69.

pour x : 1 m / m par mètre, pour y : 10 m / m par mètre.

a) Construction graphique initiale

Il s'agit de placer sur cette courbe une corde P ' Q ' de pente

telle que (fig. 8)

14,45 1 0 170 " 1 y + 1 0 . R _ P ' Q '

Y , P Q

Fig. 8 étant entendu que

Yⁱ⁼= 10 Il kg 0,00385 . 1,01

Pour faciliter l'explication de la construction adoptée (fig. 9), je suppose que l'inclinaison donnée est A B . Soit ab, sur la chaî- nette auxiliaire, la corde parallèle à A B, à déterminer de telle façon que :

a b _ y + 1 0 - R À ~ B ~ Y ;

Soit A K = Y j et «/V = y + 10 R . Les triangles bda' B D A sont semblables, de m ê m e a de, A D E . O n a d o n c : (1) Voir plus loin remarque faite à ce sujet, à propos de la lon-

gueur initiale.

A D E D

ad d e

D'où

A D

A D

D a n s le cas actuel :

A D = i 7 0 » V

Yi =

E

D

11

0,0035.-l,T>

_.-10»V

R = 4.281,00

Fig. 9

et on trouve :

/ ^g = 107 "»/" 9 = 26,975 x 1

D'autre part, puisque K E = 170 m / m et A K = Y^{i 5} la direc- tion A E , c'est-à-dire, la direction de af, peut être construite graphiquement.

Pour déterminer la position de ab sur la chaînette auxiliaire O R on opérera alors ainsi (fig. 10) :

Prendre un point quelconque a' sur O R , mener la droite a'f de direction connue (celle de af) ; porter /' g' égal à 107 m / m 9 ; mener la verticale g¹ b' et, par a', une droite parallèle à A B ; elle coupe g' V en u n point b^x.

R e c o m m e n c e r pour u n autre point a' jusqu'à ce que b' b^lt soit nul.

Cette construction donne toute satisfaction quand g' est voisin de o, car alors l'intersection b' est très franche.

S'il n'en est pas ainsi, on peut, de la figure 9, déduire d'autres constructions géométriques permettant de vérifier les résultats de la première. Pour ne pas allonger outre mesure cet article, je m'en tiendrai à celle-ci.

O n trouve, par cette construction :

x\ = 40 m / m y\ = 6 m / m 8 x\ = 151 m / m y²' = 102 m / m

Ces coordonnées rapportées à la chaînette de référence / = ^ , et exprimées en mètres, deviennent :

x^x — 10 m . y'\ = 0 m 170.

x "2 = 37 m 85 y'\ = 2 m 55.

Mais les calculs qui vont suivre exigeant une très grande précision, ces coordonnées graphiques ne peuvent être adoptées sans corrections.

E n calculant, au m o y e n des tables de r, l'y correspondant à x¹ = 10, on trouve : y^x = 0 m 177. D'autre pari (fig. 9), les triangles semblables o B E , o b c, donnent :

c'est-à-dire : (24)

et c o m m e : (25)

on a donc :

d'où on tire

b e o b B Ë " ~ Ô B

Ui + r ob Yi — 1 4 , 4 5 o B

ob o a a d

,r

—

b~B~~~ô~A~ Â ~ D

170

yi + r x\ — x¹ Y , — 1 4 , 4 5 170

Ui + r x", = ^ + 170 .

qui donne :

x\ x^x •'-

170 .

Yi — 14,45

(0,177 + 281,09) 0,00385 . 1,151 11 — 14,45 . 0,00,185 . 1,61

= 10 + 27,224 = 37,224 au lieu de 37,85 trouvé graphiquement.

Mais si on détermine .r² par l'intersection de la chaînette. « r » avec une droite parallèle à A B passant par le poinl x^x j/J c'est-à- dire par l'équation :

(26) IY»5 _ Y³ — 170 .T„ — x |

r ( cos II — cos

*7'>

qu'on résoul soit en employant une table hyperbolique soit

au m o y e n des tables de « r », par approximations successives, on trouve :

x^z = 37,822 d'où y^t = 2,5429 b) Faut-il prendre 37,224 ou 37,822 ?

Pour le décider, cherchons l'explication de celte divergence.

L e point b devrait être l'intervention exacte de o B avec la chaînette o R ; le point obtenu graphiquement en diffère légère-

L A H O U I L L E B L A N C H E 49 m e n t de sorte que l'abscisse lue x^x = 40 correspond à un point D o n c

bx de o R dont l'ordonnée est y\ = 0,177 X 4. Les égalités (24) et (25) étant basées sur le parallélisme de la droite B A et de celle à obtenir ainsi que sur la proportionnalité de leurs longueurs, amèneront à un point % tel que a1abb1 soit un parallélogramma de sorte que ce point ax d'abscisse 37,224 x 4 n'est nullement sur la chaînette o R et que, par suite, il ne peut servir à déterminer le rapport de similitude cherché. — A u contraire l'équation (26) exprime que le point ix2, iy2 est à l'intersection de la chaînette o R et de la ligne droite b^ ax ;ce point est a2. Il n'y a donc aucun doute, il faut adopter x2 ~ 37,812 et non pas 37,224.

Mais il est bon de se rendre compte des conséquences de ce choix. Ce point «2 devra correspondre à un point A2 tel que A2B j

T , = II.(y, + r) 170

27.822 = 19^,759

FIS. 11

ait la longueur el l'inclinaison A B c'est-à-dire q u e A a A B B j e s t un parallélogramme. L a chaînette cherchée étant semblable à la chaînette « r » et le rapport de similitude étant

a,

A., B,

a'a b', c'est-à-dire

170

c'est-à-dire

(37,822 — 1 0 ) i

170

son module m satisfait à la relation

m 170

c'est-à-dire :

r ~ 37,822 - 10

m = 2 8 1 , 6 9 . ^ £ = 1721 m, 20

L a tension horizontale de cette chaînette est : I V = 1721,2 x II = 10 k. 668

Quel est l'Y de cette chaînette au point x$^%, c'est-à-dire quelle est la tension m a x i m a initiale ?

Il sulisfajl à :

L'erreur graphique initiale équivaut donc à une légère modifi- cation du taux de sécurité imposé ; cette erreur peut d'ailleurs être d'un sens quelconque.

Si on voulait tomber exactement sur 11k., il faudrait aug- menter m , c'est-à-dire, puisque

m

170

r x,

diminuer ,r2 — xL ; c o m m e a b resterait parallèle à la m ê m e direction, ;r2 et y2 devraient être pris plus petits. O n essayerait, par exemple, x² = 37,820 : pour cela, on calculerait Vy² corres- pondant, puis xx y1 intersection de la chaînette de référence

. « ™

i^o

/• avec une droite passant par x2 j/2 et parallèle a A R ; • donnerait un nouveau rapport de similitude duquel on dédui-

rait, c o m m e ci-dessus, Y j puis la tension. Par approximations successives on pourrait ainsi trouver u n point a donnant exactement Tj = 11.

Mais il est bien évident que cette recherche minutieuse est généralement inutile, car de deux choses l'une : ou bien on dispose d'un métal déterminé et alors il vaut m i e u x adopter u n taux de sécurité légèrement plus fort que celui imposé ce qui s'obtient en modifiant dans le sens voulu x2y2 résultant de la construction graphique, ou bien le fournisseur du métal dispose de toute une g a m m e de métaux et alors il y a avantage pour le constructeur de la ligne à adopter le T, le plus fort;

dans ce. cas, une différence de l'ordre de l'erreur résultant de la construction graphique n'aura aucune iniporlancecarT;—11kg aura été choisie un peu au hasard et légèrement au-dessous du m a x i m u m réalisable par le fournisseur.

J'adopte donc : v u la formule (18)

Tj = 10 kg. 759

V

170 27,822 C o m m e vérification, appliquons la formule (17)

27,822 2 Xi = 170

170 ^{= 27,822}

on retrouve donc bien pour 2 .Tj la valeur de x2 — :r„ c o m m e

;1 fallait s'v attendre.

Donc. 13,911

O n pourrait déduire Z'x des tables de « r » par interpolation 170 mais l'erreur commise ainsi serait multipliée par 2 . c'est- à-dire environ par 12 ; il est. donc préférable de calculer Z'x par la formule (2) on trouve :

Z! x = 13,9167 donc :

Li

70

208,8025 + ( 2 ^ 5 13,9167 ) = 170,82 L a tension m o y e n n e peut être évaluée graphiquement an m o y e n de la formule (7 ter) :

da 2e parenthèse est la longueur du segment de la chaînette m

l e module compris entre les verticales X j et X2 limitant le.

segment A B de la chaînette de module m. Si on considère les verticales .r, .rs de la chaînette référence r et la longueur fX j — /'x

r

du segment de la chaînette ^ compris entre ces verticales, on voit que ce segment est semblable au premier et que le rapport de similitude est :

m

T m

~~r c'est-à-dire -j

donc :

-ri - -

1 m —

ou bien, (fig. 12) : T ,

T V 2 Li

m

T • 2 L}

c'est-à-dire :

V

Vf ^{2 r. . s m} h — . 2 \ r

9

T»

T '

2 sin /(

/ ! /

A /

I

Fig. 1 2

X o

ou

j v

r

2 Li

L

Sur l'épure des deux chaînettes auxiliaires R et on peut mesurer la longueur b' $ ; par suite de l'échelle des ordonnées choisie ici, il faudra diviser par 40 la valeur trouvée avant de la porter dans la formule ci-dessus. -- Q u a n d à L X i, elle est donnée par les tables de « r ». O n obtient ainsi :

Î ^10,1188 2 . 170

S8 I

,682

L

C o m m e on l'a fait précédemment, il est prudent de connaître l'ordre de grandeur de l'erreur c o m m i s e en opérant ainsi. A cet effet, calculons T'n, algébriquement par la formule 7 bis.

T '

Ti — 0

1 m — o, j 1 7 0 + S) (LiX, — Ls x,)J

L a 2e parenthèse est la longueur du segment de la chaînette de module « m » compris entre deux verticales situées à des distances de o doubles de celles passant par A el B. Ce segment est semblable à celui de la chaînette de référence compris entre les verticales 2 xx et 2 .r2 ; donc :

Lî xs - égalité dans laquelle

Li x, = ~ •

(h

2 Xt = 75,641 ² xl = 20

/,x, = 2 0 , 0 1 0 7

2 . 1 /0,li82 L y 5 , 0 U ' Les tables de « /• » donnent :

h Xi = 70,55,1 D o n c :

L a différence entre celle valeur exacte de T1,,, et la valeur approchée précédente est :

10,008 170 ...

2 . 1 /0,082 oo,b W v '

c'est-à-dire environ 0 k. 032 soit 0,3 % . C o m m e T 'm sera multipliée ultérieurement par /,, la première manière semble être d'une exactitude suffisante pour les portées moyennes à forte tension.

J'adopte le T'm calculé entièrement algébriquement : 10 k 7056 L a longueur du câble sans tension à 10° résulte de l'équation (20) :

L \

170,082 1 + X . 10,7050

avec À = 1,15 . 1 0 ~ 4 ; expression qui donne Ll 0 — 170,172 a o°, la longueur sans tension sera :

L„» = ,^m\ \ ! ^ avec a = 17,25 . 10 - «

0 1 + 1 0 . a '

Remarque. — 11 faudrait maintenant refaire des calculs ana- logues pour chacune des conditions initiales qui peuvent être les plus défavorables, et adopter pour L0° la plus grande des longueurs ainsi calculées.

Pour ne pas allonger outre mesure, j'admets que l'hypothèse initiale choisie ici est la plus défavorable.

d) Il s'agit maintenant de voir si le câble ainsi calculé con- viendra au profil d u terrain quand le vent sera nul et la tem- pérature 40°.

L a longueur au repos à 40° est : 1 4- 4 0 y.

L( l = 170,4721 _ ± ^ ^ 170,567

Sous la charge -R = 0,00385, celLc longueur devient en appelant 2x la projection d u segment semblable de la chaînette «r » et

L A H O U I L L E B L A N C H E ⁵¹ 2lx la longueur de la portée horizontale 2x dans la chaînette «r»

(formule 18') :

L ^{T-T-rr-a (}

n , 1 7 U \2

14,45- + (2 ^

la tension horizontale est devenue maintenant T⁰, et on a

T r

^ (w*

'

la tension m o y e n n e est devenue (formule 9 et 22) 184,36".

T ^m = - 2

2 x

+ (2 /x ™ '

2 x

1 +

2 .T

2 /. 1 7 0 \8

IL X

et, c o m m e , formule (7) :

L = L„(1 + X T , il vient :

Y/ÎMS

+ ( 2 /

^ J

1 + 115. 10-".

4

X

V

^ + (

S)'

',70 + ( „ ™ / l +

c'est-à-dire

a; |^835,25 + 115600 «82,268

Y/208,8

• • • - = 614,78 + | | [614,78 + 8,88 [~j C o m m e T0 est certainement inférieur à T,,1, c'est-à-dire à 10,66 el c o m m e

184,365 2 x — ' il en résulte : x > 9.

Mais on peut, de plus, au m o y e n de cette expression de x, se faire une idée de sa valeur approximative.

Pour a; = 40 on aurait T0 — 2,3

— x

— x

— x

Par analogie avec les cas usuels il est probable que T o est compris entre 3 kg. et 5 kg.

J'essaye donc x = 30.

D a n s les tables de la chaînette « r » on trouve : Zx = 30,0567 L2x = 60,454 d'où

(|Y ^ 1,0038 {£f^ ti,9908 | | - -1,00757

Les valeurs correspondantes des deux m e m b r e s de l'équation finale ci-dessus sont :

3 0 [835 + 116037 — 116627J et 614,78 + 628,35 L a différence entre le 1e r et le 2e n o m b r e est : 6125.

L e 2e m e m b r e varie très peu, / \2

X

et r

restant voisins de 1 ; dans le 1e r m e m b r e ( — j varie plus vite que

Y/208 + ( <

d'ailleurs le premier est multiplié par un facteur fixe plus fort que le second. C o m m e ^ diminue avec x, il résulte des remarques ci-dessus qu'il faut essayer u n x plus petit.

x = 20 Zx = 20,0167 ltx = 40,1345 d'où :

k\' = 1,00177 ( ï ) " = 0,99832 ^ --•= 1,00336

'x/ —

X

Portant dans les deux m e m b r e s , on trouve :

2 0 |835 -f 115793 — 116497] et 614,78 + 6-25,735 L a différence entre le premier et le deuxième est : 1380..

C o m m e , par suite des remarques ci-dessus, il faut encore dimi- nuer x, j'essaye :

x = 14 Z^x = 14,0058 k x = 28,0461 d'où

(F)'=1,00055

2.x 1,001646 Portant ces valeurs dans les deux m e m b r e s :

1 4 [835,25 + 115695,716 — 116,449] et 614,78 + 614,679 L e premier m e m b r e a c o m m e valeur : 1110,54; le second:

1239,46 la différence entre le premier et le deuxième est donc négative ; elle est ;

— 98,93

Ces trois essais suffisent pour le tracé dont il a déjà été question dans l'exemple du chapitre précédent ; il donne c o m m e solution :

d'où :

donc :

-r0 = 14,7

T - i ^ i 1 5 - - 0 ^ 7

" — i\) 4 — '

m ^{= 1628 m}

alors que le module de la ehaînetlc initiale était 1721 mètres.

Par suite de. la faible différence entre ces deux, modules et vu la petitesse de la portée, la queslion du terrain ne se pose pas ici.

c) P o u r avoir la tension de pose à une température quelconque 0, il faudrait écrire :

L = L⁰ (1 + A T.„)

la longueur de la corde du segment semblable de celle dernière est :

X l U?<rr + TÏÏÏ* = a b

O n pourra facilement placer ab sur le graphique H puisqu'on connaît sa direction et sa longueur. L'ordonnée supérieure y,ⁿ donne la tension de pose au point d'attache :

T - (y,,, + H )

-

Si on veut connaître cette tension avec une exactitude par- faite, on la calculera au m o y e n de l'équation (11) où

c'est-à-dire une équation de la forme :

/2x

2 rf= 170 T „

II

X

I 4- "101

p + i ( i

L e premier m e m b r e est une fonction

j) II faut aussi vérifier que la tension au point le plus bas A n'a pas une composante opposée au sens de la pesanteur, c'est-à- B ~ 4 - c 0 dire que le point le plus bas de la chaînette, dont l'ail partie

le câble reste toujours entre les deux verticales des points d'atta- che. Si cette condition est réalisée pour le câble, elle le sera aussi / (x), le deuxième pour a b sur la chamelle, graphique R ; le contrôle en est donc

z' — f (^f0- On construira séparément ces deux courbes (fig. 13). facile graphiquement. Si on veut le vérifier algébriquement on opérera ainsi :

Pour chaque .r, et par suite chaque T⁰, l'équation (11) donne T ; le rapport de similitude étant , l'y du point de la chaînette

« r » correspondant au point d'attache supérieur résulte de :

U2 +

T 170

Chaque horizontale donnera Vx correspondant au 0 de pose O n en déduira la tension horizontale de pose puisque :

_ . 184,305 Li — „

L e rapport de similitude avec la chaînette auxiliaire R étant

R

\J.

les tables de « r » donnent l'.r² correspondant à cet i/². C o m m e :

x2 — x = x^x

on voit immédiatement si le point de la chaînette « r » correspon- dant au point d'attache le plus bas est à droite ou à gauche de son axe de symétrie ce qui résout la question.

Bemarque. — Les modules d'équilibre des câbles aluminium- acier étant compris entre 1.000 et 2.000, il sera préférable de calculer les tables de base « Ix » ... etc., pour une chaînette de référence r = 1.000 mètres. D e cette manière, le rapport de similitude sera compris entre 1 et ^, et, les erreurs des tables, au lieu d'être multipliées, c o m m e dans les calculs précédents, par un coefficient voisin de 5, le serait par u n coefficient beau- coup plus faible.

N . D E W U L F ' c'est-à-dire :

1 + ^ 0

, /TT i70\

i x

y

/

^ j